CC BY
27
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Физико-математические пауки
УДК 512
НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ТОЖДЕСТВ ПОДПРОСТРАНСТВ М0т'к)(Г), М[т'к) (Г) МАТРИЧНОЙ СУПЕРАЛГЕБРЫ
М {т'к)(Г)
С.Ю. Антонов
Аннотация
Введены и исследованы несколько видов многочленов свободной ассоциативной алгебры Е{И}. Найдены условия, при которых эти многочлены являются тождествами подпространств М0т'к)(Е), ы[т'к) (Е) супералгебры М(т'к) (Е). Ключевые слова: Т-идеал, полиномиальное тождество, матричная супералгебра.
Введение
Пусть Р - произвольное поле, Р^} - свободная ассоциативная алгебра, порожденная счетным множеством Z = т, А; — любые натуральные числа, Мт+й(Р) - алгебра (т + &) х (т + &)-матриц с элементами из Р, М(т'й) (Р) = = (Мт+й(^),Мдт'й)(^),М(т'й)(^)) - матричная супералгебра, градуированная подпространствами:
М0(т'^) = { ) М, М^ОР) = { (А0™) втГ.
0кхт иихк (Р [ \AfcxmlF ) 0кхк ) )
Через ) будем обозначать линейную оболочку множества Z. Напомним, что многочлен /,..., 2^) € Р{Z} называется полиномиальным тождеством подпространства где г = 0,1, если для любого гомоморфизма ^ €
€ Иош_р(Р{Z},Мт+^(Р)) такого, что )) С М4(т'й)(Р), справедливо равен-
ство: ^ )) = 0-
Нетрудно видеть, что множество всех полиномиальных тождеств подпространства г = 0,1, образует двусторонний идеал алгебры Р{Z}, который называется идеалом тождеств подпространства и обозначается символом Т[М4(т'й)(Р),Мт+^(Р)]. Мы будем использовать более короткую запись Т )].
В [1] показано, что /3(21,22, 23) = 212223 -232221 € Т[М(1,1)(Р)], /5(21,..., 25) = = 2122232425 - 2124252223 + 2322252421 - 2324212225 + 2522212423 - 2524232221 €
€ Т[М1(2,1)(Р)].
В настоящей работе мы обобщаем конструкцию многочленов /3(21,22,23), /5(21,..., 25), приводим их основные свойства и показываем, что полученные многочлены, названные нами квазимногочленами Капелли, являются тождествами подпространств М4(т'й) (Р) начиная с некоторой степени.
1. Определение и основные свойства квазимногочленов Капелли
Пусть £п - симметрическая группа степени и, Ап = {п € £п | sgnп = 1}, А- = = {т € ¿п | sgn т = -1}, X = {22п-1}пе^ У = {22n}neN • Кроме того, для любого
п € N положим хп = 22п-1> = • Очевидно, что X П У = 0, X и У = Рассмотрим многочлены вида
/2п-1(х,у)=^ ^ sgn П^п п sgn тХп(1)Ут(1)Хп(2) ••• Ут(п-1)Хп(п) I пея„т
02п-1(ж,У/)=^ ^ sgn П Sgn т Хп(1) Ут(1)Хп(2) ••• Ут(п-1)Хп(п) I
пея„т
/2п(х,у)= ^ ^ sgn п£д3„п sgn т Хп(1) Ут(1)Хп(2) Ут(п-1)Хп(п) Ут(п)| пея„т
£2п(ж,у) = ^ ^ sgn —sgn п sgn тхп(1) ут(1)хп(2) • • • хп(п)ут(п); пея„тейп
которые в дальнейшем будем называть квазимногочленами Капелли. Установим основные свойства введенных нами многочленов.
Предложение 1. Многочлены /2п-1(ж,у), д2п-1(ж,у) обладают следующими свойствами:
1) если отображения ^ : {1,..., п} —> N Ф : {!,•••, п—1} — N неиньективны,
/2п-1(х^(1), • • • ,х^(п)> • • • > У^(п-1)) = 0,
52п-1(х^(1), • • •, х^(п) • • •, у^(п-1)) = 0;
2) для любо го а € Ап
/2п-1(хст(1), • • • ,Жст(п) ,У1, • • • ,Уп-1) = /2п-1(Х,у), 52п-1(хст(1),. • • ,жст(п),У1, • • • ,Уп-1) = £2п-1(ж,у);
3) для любо го ^ €
/2п-1(хм(1) ,...,хм(п) ,У1,...,Уп-1) = —£2п-1(х,у), 52п-1(жм(1), •••,Жм(п) ,У1, • • • ,Уп-1) = —/2п-1(х,у);
4) для любо го р € Ап-1
/2п —1 (х1, • • • ,хп,Ур(1), • • • ,Ур(п-1) ) = /2п-1(х,у), £2п-1(х1, • • • ,хп,Ур(1), • • • ,Ур(п-1) ) = 52п-1(х,у);
5) для любо го и € А——1
/2п-1(х1, • • • , Хп,уш(1), • • • , Уш(п-1)) = 52п-1(Х,у), З2п-1(Ж1, • • • ,Хп,уш(1), • • • ,Уш(п-1)) = /2п—1 (X, у)•
Доказательство. Проведем его для многочлена /2п-1(ж,у), поскольку для 02п-1(х, у) оно аналогично.
1. Для отображений ^ и ф имеем
/2п-1(х^(1), . . . , х^(п),У^(1), . . . , У^(п-1)) =
= ^ ^ ^ П^п п sgn т х^(п(1))У^(т (1)) ••• у^(т (п-1))х^(п(п)). пея„т
Если ф неинъективны, то для некоторых г, у € {1,..., п}, г = у, и г, в € € {1,..., п — 1}, г = в, справедливы равенства у(г) = у>(у), ф(г) = ф(в).
Пусть п, т — произвольные элементы групп ¿П и £п_1 соответственно. Тогда п(а) = г, п(6) = т(с) = г, т(й) = в для некоторых а, 6 € {1,...,и}, с, й € € {1,..., и - 1}. Рассмотрим подстановки п' € 5п, т' € 5п—1, для которых
{п(-у), если V / {а, 6}, |т(т), если т / {с, й},
если V = а, т'(т) = | в, если т = с,
г, если V = 6, I г, если т = й.
Тогда
Sgn п^П п Тх^(п(1))У'(т(1)) • • • У'(т(п—1))х^(п(п)) +
+ sgn п'^п п' sgn Т' Х<^(п'(1))У'(т '(1)) • • • у'(т '(п—1))х<^(п'(п)) = Sgn п^п п sgn т х^(п(1))У'(т (1)) ••• У'(т (п—1))х^(п(п)) -
- Sgn п¿_sgn п _sgn т х^(п'(1))У'(т '(1)) ••• У'(т '(п—1))х^(п'(п)) =
Отсюда следует, что /2п—1(^(1),...
1))=0-
2. Для произвольного а € Ап имеем
/2п—1(хст(1), . . . , ^(п^УЬ . . . , Уп—1) =
= 53 53 Sgn п^п п sgn тха(п(1)) Ут(1) ••• Ут(п—1)ха(п(п)) = 1ПуСТЬ п = а_11 = пея„т
= 53 sgn а sgn а sgn а sgn т 1 а(1)) Ут(1) ••• Ут(п—1)ха(ст-1 а(п)) =
т
= /2п—1(Х,У).
3. Для произвольного ^ € А— имеем
/2п—1(жм(1), . . . ,Жм(п),У1, ... ,Уп—1) =
= 53 53 Sgn п^п п sgn тЖм(п(1)) Ут(1) ••• Ут(п— 1)Жм(п(п)) = ^Т Ьп = ^ —1а | = пея„т
= 53 53 ^ ^ sgn м sgn а sgn тхм(м-1а(1))Ут(1) ••• Ут(п—1)жм(м_1а(п)) =
т
= Sgn а^—sgn а sgn тХа(1)Ут(1) ••• Ут(п— 1)Ха(п) = -£2п—1 (X, у) .
аЁЯ„т
4. Для произвольного р € Ап—1 имеем
У2п—1 (х1, . . . Ур(1), . . . ,Ур(п —1)) =
= 53 53 sgn п^п п sgn тхп(1)Ур(т(1)) ••• Ур(т(п—1))хп(п) = ^устьт = р—^ 1 = пея„т
= 53 X/ sgn п^п п sgn р sgn 7хп(1)Ур(р-17(1)) ••• Ур(р-17(п—1))хп(п) = /2п—1(х,у).
5. Для произвольного ^ € А—— 1 имеем У2п—1 (х1, . . . ^п^ш^^ . . . ,Уш(п—1)) =
= 53 ^ п^п п sgn т хп(1)Уш(т (1)) ••• Уш(т (п—1))хп(п) = 1 пусть т = ^ —1 =
пея„т
= 53 X/ sgn ^п п sgn ш sgn ахп(1)Уш(ш-1а(1)) Уш(ш-1а(п—1))хп(п) = 52п—1(х,у).
Аналогично доказывается
Предложение 2. Многочлены /2п(Х, у), д2п(Х,у ) обладают свойствами: 1) если отображения ф : {1,..., те} —> N неитективны, то
/2п(х^(1), . . .
32п(х^(1), • • • , Х^(п) >у^(1)> • • • > У^(и)) =
2) <?лл любо го а € Ап
/2п(хст(1), • • • ,жст(„) ,У1, • • • ,у„) = /2„(ж,у),
У2п(хст(1),.. •, жст(„), У1,..., у„) = У2п(х, у);
3) для любо го у, € А-
/2п(жм(1) ,...,жм(„) ,у1,...,у„) = -У2п(х,у),
У2п(хм(1), • • • ,Хм(п) ,уь • • • ,уп) = -/2п(х,у );
4) <?ля любо го р € Ап
/2„(х1, • • • ,ур(1), • • • ,ур(„) ) = /2п(х,у ),
У2п(х1, • • •, хп, уР(1), • • •, уР(„)) = У2п(х,у );
5) <?ля любо го ^ € А-
/2п(х1, ••.,!„, уш(1), • • • , уш(„)) = У2п(Х, у), У2п(х1, • • • ,Х„,уш(1), • • • ,уш(„)) = /2„(ж,у).
Предложение 3. Справедливы равенства: а) если п = 2г, то
п/2
/2п-1(Х,у) = ^ ^¿-1/2(п-1)(У,%Р1) - Х2гУ2(п-1)(у, Х^) = ¿=1
п/2
= ^3 /2(п-1)(хЙ,у - 32(п-1)(хй-1,у ^¿-Ь ¿=1
6) есл и п = 2г + 1, то
(п+1)/2 (п-1)/2
¿=1 ¿=1
(п+1)/2 (п-1)/2
¿=1 ¿=1
с) есл и п = 2г, то
п/2
У2п-1(Х,у) = ^132(п-1)(у,Х2:т-1) - ^¿/2^-1)^X2^) = ¿=1
п/2
Й^п-^^у)^ - /2(п-1)(%Р1>У)^-1;
d) если n = 2r + 1, то
(n+1)/2 (n-1)/2
g2n-l(x,y)= x2i-1g2(n-1)(y,x27-1) - 53 x2¿/2(n-1)(y, x2i) =
i=1 i=1
(n+1)/2 (n-1)/2
= 53 g2(n-1)(X2¿-l'y)x2¿-1 ^53 /2(n-1)(x2i ,y)x2i. i=1 i=1
n
Доказательство, a) /2n-1(x,y) = 53 хА(уъ..., Уп-1, xb..., í¿,..., Xn), ири-
i=1
чем для любого i e {1,..., n}
xi^i (y1 ? . . . ? X1 , . . . , ' ... ' Xn )
= 53 Sgn n^sgn nsgn т Xn(1) Ут (1) ••• Ут (n-1)Xn(n),
nesn(i) тes„-i
где Sn(i) = {п e Sn | п(1) = i^
Нетрудно видеть, что всякую подстановку п e Sn (i) можно представить в виде п = a^i, где
/12 ... i - 1 i i + 1 ... n\ * = ^i 1 ... i - 2 i - 1 i + 1 ... nj' a(i)=i.
Заметим также, что sgn^ = (—1)i-1. Положим Sn(i) = {a e Sn | a(i) = i}. Тогда
n
/2n-1(x,y)^^ 53 53 Sgn(aMi)^sgn( CT^¿)sgn тха"^(1)ут(1) • • • ут(n-(n) i=1 ff£S„(i) т£S„-1
n
= ^(-1)i-1Xi ^ 53 sgn a^(-1)¿-1sgn CTSgn т Ут (1)x<r(1) ...Ут (i)XCT(i+1) ••• i=1 ff£S„(i) тES„-1
n/2
••• Ут (n-1)X^(n) =53 X2i-1/2(n-1)(?7'%P1) - X2ig2(n-1)(y, X2i). i=1
Докажем вторую часть равенства а). Для этого заметим, что
n
/2п-1(Х,У) = 53 Vi(x1,. . . 'Xi' . . .' Хп,У1, ..., Уп- 1 )Xí,
i=1
причем для любого i e {1,..., n}
vi (x1' . . . ,Xi' . . . ,xn ,у)Х = 53 Sgn n^sgn nsgn т xn(1) Ут (1) ••• Ут (n-1)xn(n)'
ne§n(i) тesn-i
где Sn(i) = {п e Sn | n(n) = i}.
Нетрудно видеть, что всякую подстановку п e Sn(i) можно представить в виде: п = api, где
/1 2 ... i - 1 i ... n - 1 n\ pi = 1 2 ... i - 1 i + 1 ... n i ' a(i) = i.
Заметим также, что sgnр¿ = ( — 1)п ¿. Положим £п(г) = {а € £п | а(г) = г}. Тогда
п
/2п-1(х,у) = 53 53 53 8ёп(ар ^п^р^п т (1)ут (1) ••• ут ( п-1)ХарДп)
¿=1 аезп^) т
п
^ 53(-1)п-^ ^ ^ аsgn т Ха(1) ут (1) •••
¿=1 аезп^) т
• • • ^(¿-1) ут(¿-1)Ха^+1) ут(¿) • • • Ха(п) ут(п-1)Х =
п
= 53(-1^ 53 ^ аsgn тХст(1)ут(1) ••• ут(п-1)Х =
¿=1 аезп^) т
п/2
/2(п-1)(ж:,у)^ - д2(п-1)(%р1,у)^-1.
¿=1
Ь) Рассуждая так же, как и при доказательстве свойства а), получим:
(п+1)/2 (п-1)/2
/2п-1(Х,у)= 53 ^¿-1/2(п-1)(у%р1) ^53 ^¿^(п-^у,^);
/2п-1(х,у ) = 53(-1)¿1 53 53
8ёп 1)®-^п а sgn тХа(1) ут(1) • • • ут(п-1)Х
¿=1 стейП^)т
(п+1)/2 (п-1)/2
= 53 /2(п-1)(х2Й1'у)^-1 ^53 д2(п-1)(х24 ¿=1 ¿=1
с) Рассуждая так же, как и при доказательстве свойства а), получим:
п
д2п-1(х,у) = 53(-1^-1^ 53 53 ^ ^(-1)^п а Sgn т ут (1)Ха(1) •••
¿=1 аезп^) т
п/2
••• ут (п-1)Ха(п) = 53 ^¿-1д2(п-1)(у%р1) - ^¿/2(п-1)(2/,Ж:);
52п-1(х,у ) ^ 53(-1)^ ^ 53 ^ ^(-1)*"^ а Sgn т Ха(1) ут (1) ••• ут (п-1)Х = ¿=1 аей„(¿) т
п/2
= 53 д2(п-1) (Х^,2/)^ - /2(п-1)(Х2й-1 ,у)х^-1 • ¿=1
(1) Рассуждая так же, как и при доказательстве свойства а), получим:
п
д2п-1(х,у) = 53(-1^-1Х 53 53 ^ а ^п т ут (1)Ха(1) •••
¿=1 аей„(¿) т
(п+1)/2 (п-1)/2
••• ут(п-1)Ха(п) = 53 ^¿-1д2(п-1)(у,Хй-1) ^53 ^¿/2(п-1)(У,Ж:);
¿=1 ¿=1
£2п— 1(х,у) = 53(-1)г 1 53 53 sgn а^(—1)^п ^п тХа(1)Ут(1) ••• Ут(п—1)Х =
¿=1 ае«п(г) т
(п+1)/2 (п—1)/2
= 53 ^2(п— 1) (Х21—1, у)ж2г— 1 - 53 /2(п—1)(Х24 ,у)х2г. ¿=1 ¿=1
Аналогично предыдущему доказывается
Предложение 4. Справедливы, равенства:
а) и = 2г
п/2
/2п(х,у) ^53 X2¿—1 /2п— 1(у, Хр—1) - Ж2¿g2n—1(У,ХЙ) = ¿=1
п/2
= 53 /2п— 1(Х,У2г)У2г + £2п— ^г/р^ — 1; ¿=1
б) если и = 2г + 1, то
(п+1)/2 (п —1)/2
/2п(Х,у)= 53 X2¿—1 /2п— 1 (У , Хр—) ^53 ^¿^п— 1(у, X") = ¿=1 ¿=1
(п+1)/2 (п —1)/2
= 53 /2п— 1 ^53 £2п—
¿=1 ¿=1
с) и = 2г
п/2
52п(Х,у) ^53 X2¿— 1£2п— 1(у, Хр—1) - Х2т/2п—1 (У , Х^^^) =
¿=1
п/2
= 53 52п—+ /2п—1 (х, Ур—1 )y2¿—1; =1
3) есл и и = 2г + 1, то
(п+1)/2 (п —1)/2
52п(Х, У) =53 Х2¿— 1 Й2п— 1 (У , Хр—1) -53 X2¿/2п—1 (У, Хр ) = =1 =1
(п+1)/2 (п—1)/2
= 53 52п—1(Х,УР—1)У2¿—1 +53 /2п—1(х,У2:г ^. =1 =1
Замечание 1. Используя предложения 3. 4. можно получить различного рода разложения многочленов /2п—1 (X, У), ^2п—1 (X, У), /2п(Х, У), ^2п(Х, У), например, если и = 2г, то
/2п—1 (X, У) = п/2 п/2
= 5353^ —1У2^ —1/2(п—1) —1(Хр—1 ,У2р1) - x2¿У25 — 1£2(п— 1) — 1 ,У2р1)) -¿=1 5=1
п/2 п/2 —1
- 53 53 (x2¿ —1У25£2(п—1) —1(хр—1 ,У2") - x2¿У25/2(п—1) —1 (хЙ, ^)). ¿=1 5=1
Совместно с многочленами /2п-1(х,у ), д2п-1(х,у ), /2п(х,у ), д2п(х,у ) рассмотрим транспонированные по отношению к ним многочлены:
/2п- п sgn тХп(п)ут(п-1)Хп(п-1) • • • ут(1)Хп(1);
пея„т
д2п-1(/,у) = ^ 53 ^ п ^п т Хп(п) ут(п-1)Хп(п-1) ••• ут(1)Хп(1);
/2п(/,у)= 53 Е п^п
п sgn тут(п)Хп(п) • • • ут(1)Хп(1);
пейп тейп
д2п(/,у ) = 53 13 ^
-sgn п sgn тут(п)Хп(п) • • • ут(1)Хп(1) •
пейп т
Утверждение 1. Справедливы, равенства:
/2п-1(/,у ) =
= (-1)п(п-1)/2 ^ ^ ^п а^-^п-1^ а ^п рХа(1) ур(1) ••• ур(п-1)Ха(п);
д2п-1(/,у) = (-1)п(п-1)/2 53 53 ^ ^(-!)^п а ^п рХа(1) уР(1) ••• уР(п-1)Ха(п) •
ае5„рейп-1
Доказательство. Проведем его для первого равенства, поскольку для второго оно аналогично. Итак.
/2п-1(/,у)^Е 53 ^ п sgn т Хп(п)ут (п-1) ••• ут (1)Хп(1) =
пейп тейп-1
= |пусть п = аа, т = рв, |
где
= /1 2 ... п\ /1 2 ...п - 1
а = уп п - 1 ... 1) ' в = уп - 1 п - 2 ... 1
sgn а = (-1)(п-1)+(п-2)+...+1 = (-1)п(п-1)/2,
8ёп в = (-1)(п-2)+(п-3)+...+1 =
= (-1)(п-1)(п-2)/2 = (-1)п(п-1)/2(-1)-2(п-1)/2 = (-1)п-18ёп а| =
= (-1)п(п-1)/2 53 ^(-1)"-^ в sgn а sgn в sgn рХа(1)ур(1) • • • уР(п-1)Ха(п) =
аейп рейп-1
= (-1)п(п-1)/2 53 ^ а^-^™-1^ а Sgn рХа(1) ур(1) ••• ур(п-1)Ха(п) •
аейп рейп-1
Следствие 1. Пусть п = 2г +1, тогда
/2п-1(Х,у) = (-1)г /2п-1(Х,у), д2п-1(Х,у) = (-1)г д2п-1(Х,у).
Следствие 2. Пусть п = 2г, тогда
/2п-1(Х,у ) = (-1)г д2п-1(Х,у ), д2п-1(Х,у ) = (-1)г /2п-1(Х,у).
По аналогии с утверждением 1 можно доказать
Утверждение 2. Справедливы, равенства:
/2п(Х, У ) = (-1)п(п—1)/2/2п(У ,Х), #2п(Х,У ) = (-1)п(п—1)/252п(У ,Х).
Мы закончим этот пункт обобщением известного равенства ^(АВ) = ^(ВА). Пусть ), ) - матричные векторные пространства, Яушд, (В) =
= {А € Мй(В) | АТ = А}, А1^(В) = {А € Мй(В) | АТ = -А}.
Предложение 5. Для любых Аь ..., Ап € Мйхт(В), Вь..., Вп € МтхД;(В)
. г (Л Л тз тз ^ /tr/2п(В1,...,Вп,А1,...,Ап), если и = 2г +1;
^ ^ 52п(В1,...,Вп,А1, ...,Ап), если и = 2г;
1Чг52п(В1,...,Вп,А1,...,Ап), если и = 2г + 1;
tr 32п(А1,...,Ап,В1,...,Вп) = < . , НА л \ о
/2п(В1,...,Вп,А1, ...,Ап), гели и = 2г.
Доказательство. Проведем его для первого равенства, поскольку для второго оно аналогично. Итак.
^ Лп^Ь . . . , Ат Вь . . . , Вп) = tr 53 53 sgn п^п пsgn т Ап(1)Вт (1) • • • Ап(п)Вт (п) = 53 53 sgn ^п пsgn тtr((Aп(1) Вт(1) ••• Ап(п))Вт(п)) =
= 53 53 Sgn П^п
пsgn т
^ (Вт(п)Ап(1)
пея„тейп
Положим т = а^, где
' 1 2 ... и - 1 и
М >ч2 3 ... и 1
и заметим, что sgn ^ = (-1)п—1. Тогда
^ /2п(А1,...,Ап,В1,...,Вп) =
= tr 53 53 ^^М^п^м^п пВам(п) Ап(1)Вам(1) . . . Ап(п) =
= (-1)п— 1tr 53 53 sgn а^(—о^п пВа(1) Ап(1) . . . Ва(п) Ап(п) =
/2п(В1,..., Вп, А1,..., Ап), если и = 2г + 1; ^2п(В1,... ,Вп, А1, ...,Ап), если и = 2г.
Из предложения 5 и утверждения 2 вытекает
Утверждение 3. Пусть и = 2г + 1, А1,..., Ап € М^хт (В), В1,...,Вп € € МтхЙ(В). Тогда
tr /2п(А1,...,Ап,В1,...,Вп) /2п(В1,...,Вп,А1,...,Ап) =
= (-1)(п—1)/2 tr /2п(ВТ ,...,ВТ ,АТ ,...,Ап);
^ 52п(А1,...,Ап,В1,...,Вп) =
= tr32п(Вь ..., Вп, А1,..., Ап) = (-1)(п—1)/2 tr £2п(ВГ,..., ВТ, АТ,..., АТ).
Следствие 3. Пусть Аь ..., Ап, Вь ..., Вп € 8ушк(В)(А1^(В)). Тогда /2п(В1,..., Вп, А1,..., Ап) = (-1)(п-1)/2 tr /2п(В1, • • •, Вп, А1,..., Ап); tr 32п(В1,..., Вп, А1,..., Ап) = (-1)(п-1)/2 tr32п(В1,..., Вп, А1,..., Ап)• Следствие 4. Пусть
еИаг В = 2, п - 1 = 2(2в + 1), Аь...,Вп € Яушк (В )(АИ;к (В)).
Тогда
^ /2п(А1,...,Ап,В1,...,Вп) = 0; tr 32п(А1,...,Ап,В1,...,Вп) = 0. Доказательство. В силу следствия 3
^ /2п(В1,..., Вп, А1,..., Ап) = = -tr /2п(В1,..., Вп, А1,..., Ап);
^ У2п(В1, • • • , Вп, А1, • • • , Ап) = = У2п(В1, . . . , Вп, А1, . . • , Ап).
Отсюда и из того, что char В = 2, получаем равенства ^ /2п(В1,..., Вп, А1,..., Ап;
= 0; trу2п(В1,..., Вп, А1,..., Ап) = 0. Применяя предложение 5, получаем требуемый результат. Следствие доказано. □
2. Некоторые тождества подпространств
В этом пункте мы найдем условия, при которых квазимногочлены Капелли являются тождествами для подпространств Мг(т'к)(В).
Утверждение 4. Пусть при некотором ц € N, любых А1,..., Ад € Мкхт(В), В1,...,В9-1 € Мтхй(В) /29-1(А1,...,А9,В1,...,В9-1) = 0, тогда
52д-1(А1, • • • , Ад , В1, • • • , Вд-1) = 0.
Верно и обратное. Пусть у2д-1(А1,..., Ад, В1,..., Вд-1) = 0, тогда
У2д-1 (А1, • • • , Ад, ВЬ • • • , Вд-1 ) = 0.
Доказательство. В силу 5) предложения 1 для произвольной подстановки ш € А--1 имеем /2д-1(ж,уш(1), •.. ,уш(д-1)) = #2д-1(Х,у ). Следовательно,
0 = У2д-1 (А1, • • • , Ад, • • • , Вш(д-1)) = 02д-1(АЬ • • • , Ад, B1), • • • , Вд-1).
Обратно, по свойству 5) предложения 1 для произвольной подстановки ш € А--1 имеем 529-1(Х,уш(1),...,уш(д-1)) = /2д-1(Х,у). Следовательно,
0 = 5,2д-1(АЪ • • • , Ад, • • • , Вш(д-1)) = /2д-1 (А1, • • • , Ад, B1, • • • , Вд-1).
Аналогичным образом доказывается
Утверждение 5. Пусть при некотором ц € N, любых А1,..., Ад € Мкхт(В), В1,...,Вд € Мтхй(В) /2д(Аь...,Ад,ВЬ...,В,)=0, тогда
02, (А1,...,Ад ,В1,...,Вд) =0.
Верно и обратное. Пусть у2д(А1,..., Ад, В1,..., Вд) = 0, тогда /2д(АЬ...,Ад ,В1,...,Вд ) =0.
Замечание 2. С учетом утверждений 4 и 5 дальнейшее исследование значений многочленов /2п—1(Х, У), д2п—1(Х, У), /2п(Х, У), д2п(Х, У) от различных наборов матриц достаточно провести, например, для многочленов /2п—1 (X, У), /2п(Х, У), что н сделано ниже.
Утверждение 6. Пусть при некотором ц € N, любых А1,..., А9 € М^хт(В), В1,...,Вд—1 € Мтхй(В) /2д— 1(А1,...,Ад, Вь ..., Вд— 1) = 0. Тогда для всякого и > ц, произвольных А1,..., Ап € М^хт(В), В1,..., Вп € Мтх^(В) верно равенство: /2п(Аь...,Ап,Вь...,Вп) = 0, /2п—1(А1,...,Ап, В1,...,Вп—1) = 0.
Доказательство. Очевидно, что ц > 1. Далее, ее ли и = ц, то в силу предложения 4 при и = 2г и и = 2г +1 соответственно имеем:
п/2
/2п(х,У) = 53 /2д—1(Х,У24)У2» + 529— ь
¿=1
(п+1)/2
/2п(х,У)= /29— 1(Х,УЙ—1 + д2д—1(х,Ур^.
¿=1
Отсюда и из утверждения 4 получаем, что в обоих случаях
/2п (А1, . . . , Ап, В1, . . . , Вп) = 0. Пусть и = ц + г, тогда равенства
/2п (А1, . . . , Ап, В1, . . . , Вп) = 0, /2п—1 (А1, . . . , Ап, В1, . . . , Вп—1) = 0 вытекают нз замечания 1 и утверждений 4, 5. □
Аналогичным образом доказываются
Утверждение 7. Пусть при некотором ц € N, любых А1,..., А9 € М^хт(В), В1,..., В9 € Мтх^(В) /2д(А1,..., А9, В1,..., В9) = 0. Тогда для всякого и > ц +1, произвольных А1,..., Ап € М^хт(В), В1,..., Вп € Мтх^(В) верны равенства: /2п(А1, . . . , Ап, В1, . . . , Вп) = 0, /2п—1 (А1, . . . , Ап, В1, . . . , Вп—1) = 0.
Утверждение 8. Пусть при некотором ц € N, любых В1,..., В9 € Мтх^(В), А1,...,Ад—1 € Мйхт(В) /29— 1(ВЬ ..., Вд ,А1,...,Ад—1) = 0. Тогда для всякого и > ц, произвольных В1,..., Вп € Мтх,(В), А1,..., Ап € М^хт(В) верны равенства: /2п(Вь ..., Вп, А1,..., Ап) = 0, /2п—1(В1,..., Вп, А1,..., Ап—1) = 0.
Утверждение 9. Пусть при некотором ц € N, любых В1,..., В9 € Мтх^(В), А1,..., А9 € М^хт(В) /2д (В1,..., В9, А1,..., А9) = 0. Тогда для вся кого и > ц +1, произвольных В1,...,Вп € Мтх^(В), А1,...,Ап € М^хт(В) верны равенства: /2п(В1, . . . , Вп, А1, . . . , Ап) = 0, /2п—1 (В1, . . . , Вп, А1, . . . , Ап—1) = 0.
Теперь покажем, что число ц, о котором говорится в утверждениях 7-9, действительно существует.
Утверждение 10. Пусть ц = тк + 1. Тогда для любых матриц А1,...,А9 € М^хт(В), В1,...,В9 € Мтх^(В) справедливо равенство: /29 (Аь...,Ад ,ВЬ...,В,) = 0.
Доказательство. Оно вытекает из линейности многочлена /2д(Х,У) по каждой группе переменных и части 1) предложения 2. □
Следствие 5. Пусть q = max{m2 +1, k2 + 1}. Тогда /2q(x, y) G T[M0(m'k)(F)].
Утверждение 11. Пусть q = mk + 2. Тогда для любых матриц G Mkxm(F), G Mmxk(F) справедливо равенство:
/2q-1(A1, . . . , Aq, Bb . . . , Bq_1) =
Доказательство. Вытекает из линейности многочлена /2q_1(x,y) по каждой группе переменных и части 1) предложения 2. □
Следствие 6. Пусть q = max{m2+2, k2+2} .Тогда h,_1 (x,y ) G T [M0(m'fc)(F)].
Замечание 3. В работе [1] показано, что при m = 2 многочлен /5(z1,..., z5) G
G T[М((тД)(В)]. Несложно показать, что это будет верно и при m > 2. Отсюда q
понизить до числа 3.
Обозначим через d(m, k, F) (t(m, k, F)) наименьшее натуральное число n, при котором многочлен /2n(x,y) (соответственно /2n_1(x,y)) удовлетворяет условию: при любых A1,..., An G Mkxm(F), B1,..., Bn G Mmxk(F) справедливо равенство /2„(Ab...,An,Bb...,B„) = 0 (соответственно /2n_1(Ab..., A„, Bb ..., B„_1) = = 0).
Кроме того, пусть d'(m, k, F) (t'(m, k, F)) означает наименьшее натуральное число n, при котором многочлен /2n(x,y) (соответственно /2n_1(x,y)) удовлетворяет условию: при любых B1,..., B„ G Mmxk(F), A1,..., A„ G Mkxm(F) справедливо равенство /2n(B1,..., Bn, A1,..., An) = 0 (соответственно /2n_1(B1,..., Bn, A1,...,A„_1) = 0).
Утверждение 12. Пусть m > k > 1. Тогда справедливы неравенства: d(m, k, F) > 2k, t(m, k, F) > 2k, d'(m, k,F) > 2k, t'(m,k, F) > 2k.
Доказательство. Для многочлена /2(2k_1)(x,y ) рассмотрим следующую подстановку аргументов, называемую двойной лестницей:
(x1,. .. ,xfc, .. . ,x2k_1) = (e11, e2 2,. .., efcfc, efcfc_1, efc_1 k_2,. .., e2 1),
(У1, .. ., yk, .. ., y2k_1) = (e12, e2 3, .. ., ek_1 k, efcfc, efc_1 k_1, .. ., e11), где ej j - матричные единицы. Нетрудно видеть, что
/2(2k_1)(e1 1, . . . , e2 1, e1 2, . . . , e1 1) =
{2F - e^, если char F = 2;
v1)
e11, если char F =2.
Предположим, что d(m, k, F) < 2k (t(m, k,F) < 2k). Тогда для некоторого q G N многочл ен /2q (x,y) (/2q_1(x,y)) удовлетворяет условию: для любых A1,...Aq G Mkxm(F), B1,...,Bq G Mmxk(F) справедливо равенство: /2q (A1,...,Aq ,Bb...,B,) = 0 (/2,_ 1 (A,..., A,, B1,..., B,_ 1) = 0). Следовательно, в силу утверждения 7 (утверждения 6) многочлен /2(2k_1)(x,y ) обращается в нуль на двойной лестнице, а это противоречит (1). Отсюда заключаем, что паше предположение неверно, и потому d(m, k, F), t(m, k, F) > 2k.
Предположим, что d'(m, k, F) < 2k (t'(m, k, F) < 2k). Тогда для некоторого q G N многочл ен /2q (x,y) (/2q_1(x,y)) удовлетворяет условию: для любых B1,...,Bq G Mmxk(F), Ab...A, G Mkxm (F) /2, (B1, . . . , B, ,Ab...,A,) = 0
(/2д- 1(В1,..., В9, А1,..., А9—1) = 0). Следовательно, в силу утверждения 9 (утверждения 8) многочлен /2(2^— 1) (X, У) обращается в нуль на двойной лестнице, а это (1)
¿'(т, к, В), t'('m, к, В) > 2к. Утверждение доказано. □
Предложение 6. Пусть т, к - любые натуральные числа, причем т > к, В - произвольное поле. Тогда при и > тк + 1 многочлены /2п(Х, У), д2п(Х, У) € € Т[М(т'Й)(В)], а при и < 2к /2п(Х,У ), д2п(Х,У ) / Т[М(т'Й)(В)].
Доказательство. В силу утверждения 4 доказательство достаточно провести для многочлена /2п(Х, У ). Пусть и = тк + 1,
ai _ i°mx™ Bmxfc | j — |0mXm Cmxfc \ g M"(m'fc)(F) \Afcxm 0fcxfc у xm Ofcxfc
где г, j — 1,..., n. Тогда согласно утверждению 10
/2п(а1,...,ап,61,...,6п) Н 1 1 =0.
^ ^ V 0йхт /2п(А1, ..., Ап, С1,..., Сп)у
Пусть и > тк + 1, тогда то, что /2п(Х,У ) € Т[М^'^В)], следует из утверждений 7 и 9. Вторая часть предложения 6 вытекает из утверждения 12. Предложение доказано. □
Аналогичным образом доказывается
т, к т > к
В - произвольное поле. Тогда при и > тк + 2 многочле ны /2п—1(Х, У ), д2п—1(Х, У ) € € Т[М(т'Й)(В)], а при и < 2к /2п—1(Х,У), д2п—1(Х,У) / Т[М(т'Й)(В)].
и
котором многочлены /2п(Х,У), /2п—1(Х,У) € Т[М(т'Й)(В)], эквивалентна задаче о значениях функций шах{й(т, к, В), ¿'(т, к, В)}, шах{£(т, к, В), ¿'(т, к, В)}.
Summary
5. Уи. Antonov. Some Types of Identities of Subspaces M0m,k)(F), M(m'k) (F) of Matrix Superalgebra M(mk)(F).
Some types of polynomials of free associative algebra F{Z} have been introduced and investigated. The conditions under which these polynomials are the identities of subspaces M0m,k)(F), M-(m'k)(F) of superalgebra M(m'k)(F) have been found. Key words: T-ideal, polynomial identity, matrix superalgebra.
Литература
(2 1)
1. Антонов С.Ю. Наименьшая степень тождеств подпространства M1 (F) матричной супералгебры
M(2,1)
(F)
УлГТУ, 2007. Т. 4. С. 27 30.
Поступила в редакцию 01.12.11
Антонов Степан Юрьевич старший преподаватель кафедры высшей математики Казанского государственного энергетического университета. Е-шаП: antunuvst-vjnMrajnbler.ru
