О конусе связных подграфов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Приведем пример окрестностной мультиагентной системы MNSg = (N0,V,Y,0,0,F,0), состоящей из трех узлов-агентов A = {01,02,03}, причем узел a1 - нейронная сеть NSnn = = (N1, 0 , V1, Y1, 0,0, F1, 0) [1], узел a2 - нейронная сеть NSnn = (N2, 0 ,V2,Y2,0,0,F2,0), a3 - узел-управление. Причем, Ov(a1) = {a1,a3}, Ov(a2) = {a2,a3}, Ov(a3) = {a3}, Oy(a1) =

= {a1}, Oy (a2) = {a2} Oy (a3) = {a1 ,a2,a3}-

В линейном случае уравнения связи узлов-агентов окрестностной мультиагентной системы будут иметь вид:

Wy [1,1] Y1 + Wv [1,1] V1 + Wv [1, 3]V3 = 0;

Wy [2, 2] Y2 + Wv[2, 2] V2 + Wv[2, 3]V3 = 0;

Wy[3,1]Y1 + Wy[3, 2]Y2 + Wy[3, 3]Y3 + Wv[3,1] V3 = 0;

где Wv[i,j],Wy[i,j] (i = 1, 2, 3), - матрицы-параметры входных и выходных воздействий, соответственно.

Таким образом, в работе дано определение и приведен пример окрестностной мультиа-гентной системы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шмырин А.М., Седых И.А.. Окрестностный подход к мультиагентным системам // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней матем. школы. Воронеж: ВГУ, 2013. С. 289.

2. Шмырин А.М., Седых И.А. Дискретные модели в классе окрестностных систем. Вестник Тамбовского государствкнного униыерситета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов. 2012. Т. 17. Вып. 3. С. 867-871.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом РФФИ (код проекта 11-08-97525 р-центр а).

Sedykh I.A. NEIGHBORHOOD MODELING OF MULTI-AGENT SYSTEMS A definition and an example of the neighborhood multi-agent systems are given Key words: neighborhood multi-agent systems.

УДК 519.852.2

О КОНУСЕ СВЯЗНЫХ ПОДГРАФОВ

© А.В. Селиверстов

Ключевые слова: комбинаторная оптимизация; полиэдральный конус; многогранник; подграф.

Дано описание ребер релаксационных многогранников для булева квадратичного программирования. Нами установлено соответствие между ребрами такого многогранника и связными подграфами полного графа.

Различные задачи для передачи информации [1, 2] и биоинформатики [3, 4] сводятся к оптимизации функционала на множестве связных подграфов данного графа. Это объясняет

2668

интерес к описанию связных подграфов, удобному для обработки данных методами линейного программирования. С другой стороны, такое описание позволяет использовать методы перечисления связных графов [5] для изучения многогранников, связанных с трудными задачами оптимизации квадратичных функционалов на множестве вершин многомерного куба [6, 7]; и оценить колмогоровскую сложность [8] таких многогранников. Близкая задача описания многогранников разбиений чисел рассмотрена в [9].

Пусть граф имеет п вершин. Рассмотрим прямую сумму пространств М” ф Мм, где число N = п(п — 1)/2. Координаты в М” обозначим хі, в Мм обозначим х^, где і<і-Координаты в М” соответствуют вершинам графа, в Мм — ребрам графа. Полиэдральный конус Л” размерности п(п + 1)/2 задан системой (3п2 — 3п)/2 неравенств трех типов: хі ^ ^ х^, хі ^ х^ и х^ ^ 0.

Точке х Є Л” соответствует подграф С(х) полного графа К” с п вершинами: если Хі > 0, то вершина і принадлежит С(х); если х^ > 0, то вершины і и і смежны в С(х). Легко видеть корректность определения для точек из конуса Л” : если ребро принадлежит подграфу, то и вершины этого ребра тоже принадлежат подграфу.

Теоремаї. Существует взаимно однозначное соответствие между связными подграфами графа К” и крайними лучами конуса Л”. Более того, если точка х принадлежит крайнему лучу, то ее ненулевые координаты равны между собой.

Доказательство. Если подграф С(х) несвязный, то точка х равна сумме точек х(^ Є Л”, для которых С(х(к)) служат компонентами связности в С(х); при этом координата точки х(^ равна либо соответствующей координате точки х, либо нулю. Следовательно, х не порождает крайнего луча конуса Л”.

Итак, крайнему лучу соответствует единственный связный подграф. Покажем, что точка, принадлежащая крайнему лучу, определяется графом с точностью до умножения на число. Обозначим Н компоненту связности остовного подграфа С(х), в котором для всех индексов і<і вершины і и і смежные, если х^ = шахіхі. Обозначим у такую {0,1} -точку конуса Л”, у которой граф С(у) = Н. Предположим, что Н — собственный подграф. Тогда для маленького положительного числа є точка х — єу Є Л”. При этом х и у линейно независимые. Точка х, равная сумме линейно независимых точек конуса, не принадлежит крайнему лучу конуса. Противоречие. Следовательно, С(х) = Н. Это возможно только если ненулевые координаты х равны между собой.

Если ненулевые координаты точки х Є Л” равны между собой и граф С(х) связный, то точка х принадлежит крайнему лучу конуса Л”. Теорема доказана.

Для п ^ 15 числа связных подграфов графа К” приведены в последовательности А167939 Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей http://oeis.org.

Для графа Н с п вершинами все точки х Є Л”, для которых граф С(х) С Н, составляют грань конуса Л”. Это позволяет рассматривать подграфы произвольного графа.

Теорема 1 позволяет описать ребра релаксационного многогранника Ь” для задачи булева квадратичного программирования [10]. Этот многогранник имеет (2п2 — 2п) фасет и получается из конуса Л” добавлением новых неравенств вида хі + хі — хі ^ 1.

Т еорема2. Любые две целые вершины многогранника Ь” соединены ребром.

Доказательство. Группа симметрий п -мерного куба вкладывается в группу автоморфизмов решетки граней Ь” и транзитивно действует на множестве целых вершин Ь”. Поэтому достаточно показать, что начало координат соединено ребрами с каждой целой вершиной. Эти ребра соответствуют крайним лучам конуса Л”, а по Теореме 1 — связным подграфам К”. Поскольку целые точки многогранника Ь” соответствуют кликам, они соединены ребрами друг с другом. Теорема доказана.

Вершины многогранника Ь” — это {0,1, 1} -точки. Вычисления программой 1ге 4.2с, реализующей алгоритм из [11], показали, что при п ^ 6 все {0, 2, 1} -точки в Ь” являются

2669

либо вершинами, либо серединами ребер, соединяющих целые вершины.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ерзин А.И., Плотников Р.В., Шамардин Ю.В. О некоторых полиномиально разрешимых случаях и приближенных алгоритмах для задачи построения оптимального коммуникационного дерева // Дискретный анализ и исследование операций. Новосибирск, 2013. Т. 20. № 1. С. 12-27.

2. Салий Я.В., Ченцов А.Г. Об одной маршрутной задаче на узкие места с внутренними работами //

Вестник Тамбовского Университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2012. Т. 17 Вып. 3. С. 827-847.

3. Горбунов К.Ю., Любецкий В.А. Дерево, ближайшее в среднем к данному набору деревьев // Проблемы передачи информации. М. 2011. Т. 47. № 3. С. 64-79.

4. Conrad J.M., Gomes C.P., van Hoeve W.-J., Sabharwal A., Suter J.F. Wildlife corridors as a connected subgraph problem // Journal of Environmental Economics and Management. Elsevier, 2012. V. 63. № 1. P. 1-18.

5. Воблый В.А. Об одной формуле для числа помеченных связных графов // Дискретный анализ и исследование операций. Новосибирск, 2012. Т. 19. № 4. С. 48-59.

6. Селиверстов А.В. Замечания о расположениях точек на квадриках // Моделирование и анализ информационных систем. Ярославль, 2012. Т. 19. № 4. С. 72-77.

7. Wang Y., Ьй Z, Glover F., Hao J.-K. Path relinking for unconstrained binary quadratic programming //

European journal of operational research. Elsevier, 2012. V. 223. № 3. P. 595-604.

8. Колмогоров А.Н. Три подхода к определению понятия «количество информации» // Проблемы передачи информации. М. 1965. Т. 1. № 1. С. 3-11.

9. Шлык В.А. О связи вершин политопов разбиений чисел с нетривиальными фасетами // Вестник Белорусского государственного университета. Серия 1. Минск, 2010. № 1. С. 153-156.

10. Padberg M. The boolean quadric polytope: some characteristics, facets and relatives // Mathematical programming. Springer, 1989. V. 45. № 1-3. P. 139-172.

11. Avis D., Fukuda K. A pivoting algorithm for convex hulls and vertex enumeration of arrangements and polyhedra // Discrete and computational geometry. Springer, 1992. V. 8. № 1. P. 295-313.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа частично поддержана грантом Минобрнауки РФ 8481.

Seliverstov A.V. ON CONNECTED SUBGRAPH CONE

The edges of the linear relaxation polytopes for quadratic Boolean programming problems are described. We found a correspondence between the edges of such polytope and connected subgraphs of the complete graph.

Key words: combinatorial optimization; polyhedral cone; polytope; subgraph.

УДК 517.977

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ГИБРИДНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ (ЛГФДСП)

© П.М. Симонов

Ключевые слова: гибридные системы; устойчивость.

Предложено решение задачи об устойчивости ЛГФДСП.

Исследованию по устойчивости решений ЛГФДСП посвящено сравнительно мало работ [1]. Запишем абстрактную ЛГФДСП в виде

СцХ + С12У = X - ГцХ - ^12У = /, И2\Х + С22У = Ах - ^21Ж - ^22У = §■ (1)

2670