Вн-базисы для одного класса фасет многогранника разбиения на клики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2018. №2 4(48). С. 27-34

УДК 519.852 DOI: 10.25513/2222-8772.2018.4.27-34

ВН-БАЗИСЫ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ФАСЕТ МНОГОГРАННИКА РАЗБИЕНИЯ НА КЛИКИ

Р.Ю. Симанчев

к.ф.-м.н., доцент, e-mail: osiman@rambler.ru П.В. Соловьева

магистрант ИМИТ, e-mail: polinochka.chervonnykh@mail.ru

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия

Аннотация. Пусть Кп = (V., Е) — полный неориентированный п-вершинный граф без петель и кратных рёбер. Остовный подграф Н С Кп называется М-графом, если каждая его компонента связности (возможно одновершинная) является кликой. Иными словами, всякий М-граф является правильным разбиением графа Кп на вершинно-непересекающиеся клики. Семейство всех М-графов в Кп обозначим через Н. Это семейство является множеством допустимых решений задачи о разбиении на клики, заключающейся в нахождении в полном рёберно-взвешенном графе М-графа минимального веса [2-4]. В упомянутых работах рассматриваются полиэдральные свойства [1] этой задачи, а именно строятся классы неравенств, порождающих грани многогранника задачи, на базе которых разработаны алгоритмы ветвей и отсечений. В настоящей работе, применяя технику, предложенную в [7], мы доказываем фасетность неравенств специального класса относительно многогранника задачи разбиения на клики.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 18-07-00599). Ключевые слова: многогранник, фасета, задача разбиения на клики.

Введение

Для любого графа И С Кп через УБ и ЕБ будем обозначать множества его вершин и рёбер соответственно. Для ребра е € Е будем также использовать запись иь, где и,ь — вершины из V, инцидентные ребру е. Множество рёбер, инцидентных вершине и будем обозначать как 8(и). Каждое множество К С Е индуцирует некоторый подграф Т, в котором ЕТ = К и УТ — множество вершин из V, инцидентных рёбрам из К. Граф, индуцированный множеством рёбер К, иногда будем обозначать через К. Для подграфов В,Р из Кп положим

и если Р С В, то В\Б = (УВ,ЕВ\ЕР). Кликой в Кп называется подграф, вершины которого попарно смежны. Одновершинный граф также является кликой.

Б U F = (VD U VF,EB U EF),Б П F = ЕВ П EF,

С графом Кп свяжем евклидово пространство RE размерности п2-п, поставив в соответствие каждому ребру ось координат в RE. Это пространство может рассматриваться как множество вектор-столбцов, компоненты которых индексируются элементами из Е. Если х Е RE и R с Е, то через x(R) обозначим линейную форму ^ хе. Вектором инциденций произвольного подграфа

eeR

D с Кп называется вектор xD Е RE с компонентами хf = 1 при е е ED и х,D = 0 при еЕ ED.

Множество Р с RE называется многогранником, если Р является выпуклой оболочкой конечного числа точек. Под размерностью (dim Р) многогранника Р будем понимать уменьшенную на 1 мощность максимального по включению аф-финно независимого семейства его точек. Если dim Р = \Е|, то будем называть Р многогранником полной размерности.

Линейное неравенство abx ^ а0 (а,х Е RE, а = 0, а0 Е R) называется правильным относительно многогранника Р, если alx ^ а0 для любого х Е Р. Правильное неравенство alx ^ а0 называется опорным к Р, если существуют х',х" Е Р такие, что а1х' = а0 и а1х" < а0. Всякое опорное к Р неравенство порождает множество {х Е Р\а1х = а0|, которое называется гранью многогранника Р. Грани размерности 0 будем называть вершинами, а грани размерности (dim Р — 1) — фасетами многогранника Р. Неравенство, порождающее фасету многогранника Р, называется фасетным относительно этого многогранника. Многогранником М-графов или, что то же, многогранником задачи разбиения на клики называется множество

Рн = conv{xH Е Re\Н е Н}.

1. Класс правильных неравенств

Будем рассматривать множество Е рёбер графа Кп в качестве основного множества. В качестве семейства подмножеств % С 2е возьмём семейство всех М-графов в графе Кп. Пусть Ш = {ух,у2, ...,ур} — упорядоченное подмножество множества V, р — нечётно. Через Р обозначим звезду в Кп с центром в вершине и Е Ш и лучами иу^, а через С — цикл с множеством вершин Ш и множеством рёбер {уху2,..., ур-хур, уру\}. С графом Р и С свяжем линейное неравенство

х(ЕИ) - х(ЕС) ^ Р

или, что то же,

2

(х* - хь) х ^ ]. (1)

Лемма 1. Неравенство (2) является опорным относительно Рп.

Доказательство. Пусть множество ЕР П ЕН = {иу\у Е и}, и С Ш, тогда \ЕР П ЕН\ = \и\ = в. Если VI, у+ Е и, то е ЕС П ЕН (вершины из

Ш индексируются по модулю р). Следовательно, множество ЕС П ЕН будет являться набором цепей. При этом между двумя соседними цепями есть, по

крайней мере, одна вершина, не лежащая в и. Обозначим эти цепи Р1,Р2, ...,Рг,

г

причём IV Р^ ^ 1, % = 1, 2,...,Ь. В связи с этим в = ^ вг, где — количество

г=1

вершин в цепи Р^. Пусть ) Е V\ и — вершина, непосредственно следующая за последней вершиной цепи Рг в цикле С. Тогда множество УРг и {у(Р^} назовём блоком, г = 1, 2,...,1. Нетрудно заметить, что IV Рг и{^(Р»)}| ^ 2.

Найдём верхнюю оценку числа ¿. Очевидно, что максимально возможное количество цепей будет при условии минимальности длин этих цепей. Соответственно, это будут цепи длины 0, т. е. цепи, состоящие из 1-ой вершины. Так как р — нечётно и в данном случае IVРг и {ь(Р^}1 = 2, то количество одновершинных цепей будет не больше, чем количество всех вершин в Ш, без учёта вершины, не вошедшей в блок, уменьшенное в 2 раза. Иначе говоря,

* < ¥ = 12 ]

Легко заметить, что хн(ЕС) = 1ЕС П ЕН| = X] | = — 1) =

г=1 г=1

I

= 8г — í = в — ¿, где — длина цепи г = 1, 2,...,Ь. Следовательно,

г=1

хн(ЕР) — хн(ЕС) = 1ЕН П ЕРI — 1ЕН П ЕС| = в — в + г = г ^ [§]. Правильность неравенства (2) относительно Р-ц доказана.

Опорность этого неравенства к многограннику РЦ следует из того, что вектор инциденций, например, клики на вершинах {и,у1,у3,ь5, ...,ьр-2}, обращает его в равенство.

Лемма доказана. ■

2. Фасетность

В работе [3] представлена техника доказательства фасетности опорного неравенства. Применительно к многограннику полной размерности эта техника имеет следующий вид.

Пусть Ъ1х ^ Ь0 — опорное к РЦ неравенство.

Определение 1. Непустое множество 5 С Е будем называть 6%-переключением, если существуют такие Н1,Н2 Е V, что:

1) 5 = Н1АН2,

2) Ъгхн1 = Ъгхн2 = Ьо,

где Н1АН2 = (Н1 \ Н2) и (Н2 \ Н\) — симметрическая разность множеств Н1 и Н2.

Определение 2. Элемент е0 Е Е называется Ш-базисом, если выполняются следующие условия:

(г) Ьео = 0,

(И) для всякого е Е Е \ {е0} существует такая упорядоченная последовательность е1,е2,...,е1 = е элементов из Е, что при любом г Е {1,2,...,Ь} элемент ег принадлежит некоторому Ш-переключению, лежащему в

{ео,еье2,...,ег}.

Теорема 1. [3]. Для того чтобы опорное к Рц неравенство Нх ^ Ь0 было фасетным, достаточно существования ЬН-базиса е0 Е Е.

Следуя описанной технике доказательства фасетности опорного неравенства относительно многогранника Рц, сформулируем утверждение.

Предложение 1. Пусть Н — семейство всех М-графов в графе Кп, (хр — хс)ьх ^ [р\ — неравенство вида (2), индуцированное графом Р и С. Следующие множества рёбер являются (хр — хс)Н-переключениями:

a) одноэлементные множества рёбер при Е V(^ и С);

b) множество вида {зи,8Уг, 8у^+2, вУг+4, ...,8Уг+(р-3)}, при в Е У(Р и С ), г = 1,2, ...,р (индексы берутся по модулю р);

c) хорды цикла С, т. е. множества рёбер вида {у^у^}, 2 ^ \% — ]\ ^ р — 2;

й) множество вида {м^, ^¿+1,^^+3, ...,УгУг+(Р-2)}, г = 1,2,...,р (индексы

берутся по модулю р);

е) одноэлементные множества рёбер { у^в }, при в Е У(^ и С), г = 1,2, ..,р (индексы берутся по модулю р).

Доказательство. Случай а). Положим Нх — клика на вершинах {и,у1,у3,...,уз, ...,ур-2}, и Н2 = Нхи{з£}. Тогда НхАН2 = и (хр — хс)*хНг = = (хр — хс ) хН = [ р \.

Случай Ь). Нх — клика на вершинах {и,Уг,Уг+2,Уг+4, ...,Уг+(Р-3)} и Н2 — клика на вершинах {и, 8,Уг,Уг+2,Уг+4, ...,Уг+(р-3)}, г = 1, 2,...,р (индексы берутся по модулю р).

Случай с). Пусть имеется хорда у^у^, 2 ^ \г — ]\ ^ р — 2. Будем полагать, что г < ]. Кроме того, без ограничения общности положим г = 1. Построим клику Нх следующим образом. Если ] = 1(той2), то Нх — клика на множестве вершин {и,у2,у4,... ,ур-1}. Ясно, что в этом случае вершина у^ не принадлежит УНх. Если же ] = 0(то(12), то Нх — клика на множестве вершин {и,у2,у4,... ,Уз-2,Уз+х,... ,ур}. Вновь Vз Е УНх. Пусть Н2 = Нх и {у}. Ясно, что Нх и Н2 — М-графы, требуемые определением 1.

Случай б). Нх — клика на вершинах {и,Уг,Уг+1, ...,Уг+(Р-2)}, г = 1,2,...,р (индексы берутся по модулю р) и Н2 = Нх и {иу^,у^У1+х,У1У1+з,..., ьм+(р-2)}, и (хр — хс У хН = (хр — хс У хН = [р \.

Случай е). Нх — клика на вершинах {и,Уг+х,Уг+3,Уг+5, ...,Уг+(р-2)}, г = 1,2, ...,р (индексы берутся по модулю р) и Н2 = Нх и {г^}.

Утверждение доказано. ■

Пример 1. В качестве иллюстрации к доказательству утверждения 1 рассмотрим граф И и С с р = 7. Тогда:

Теорема 2. Неравенство (хр — хс)х ^ [Р\ порождает фасету многогранника М-графов.

• Уз

У1 У2

Рис. 1. (хр — хс)%-переключение вида а)

V

Рис. 2. (х* — х )%-переключение вида Ь)

У,

5

•У4

'7

»V.

У1 У2

Рис. 3. (ж^ — жс)%-переключение вида с)

V

5

I

V

4

и

V

7

Б

V

7

у5

Рис. 4. (хр — хс)Н-переключение вида ^

в

• •

Рис. 5. (хр — хс)Н-переключение вида е)

Доказательство. Используя обозначения из формулировки утверждения 1, покажем, что (хЕ — хс)Н-базисом может являться любой луч иь звезды Б. Зафиксируем луч иь\. Условие (г) выполняется. Для проверки условия (и) мы будем осуществлять переходы

[иУг] ^ [иУг] и ^ {иьг} и и Е2 ^ ... ^ {иьг} и Ех и Е2 и .. .Ег = Е

так, что на каждом переходе в каждое ребро е е Е3 получается из {иу{} и Ег и и Е2 и ... Е8-1 за один шаг с помощью (хр — хс)Н-переключений из утверждения 1. Эти переходы изобразим в виде таблицы, в левой колонке которой указано очередное множество Е3, а в правой — (хр — хс)Н-переключения, которому рёбра этого множества принадлежат (отметим, что в этой таблице важен порядок строк):

Е1 = ^ | в^/У (Б и С)} — (утв. 1 а); Е2 = {8ьг | в / V(Е и С)} — (утв. 1 е);

Е3 = {^г^з | 2 ^ |г — ]| ^ р — 2} — {vгvj} (утв. 1 с);

Е4 = {ей | 8 / V(Б и С)} — 8У3,..., 8Ур-2, зм} (утв. 1 Ь).

Остаётся построить ребра множества ЕБиЕС. Мы будем строить их в последовательности ь1 ь2,иь2,ь2ь3,иь3,... ,ьр-1ьр,иьр,ьрь1, используя п. б) из утверждения 1. Первые четыре ребра в этой последовательности образуют множества Е5,

Еб, Е7 и Е%:

Е5 = {^2} — {иУ1,У1У2,У1У4,... ,У1Ур-2} (утв. 1 й);

Еб = {иь2} — {иУ2,У1У2,У2Ур-1,У2Ур-3,... ,У2У4} (утв. 1 й);

Е7 = {v2vз} — {иУ2, У2Уз,У2Ь5,..., У2Ур-1} (утв 1 й);

Е8 = {иь3} — {иьз,У2Уз,УзУр,УзУр-2,... ,УзУ5} (утв. 1 й);

и так далее. Пары множеств Е5, Е6 и Е7, Е8 строятся с помощью одинакового приёма, который применяется далее для построения всех рёбер. Нетрудно заметить, что в итоге мы получим все рёбра множества Е.

Теорема доказана. ■

Заключение

Основным результатом статьи является использование техники переключений, с помощью которой доказывается фасетность опорных неравенств к комбинаторным многогранникам. Аналогичные результаты, подтверждающие эффективность предлагаемой техники, можно найти в работах [7] и [2]. Полное теоретическое обоснование техники ЬН-базисов содержится в [7].

Литература

1. Grotschel M., Padberg M.W. Polyhedral computations. The Travelling Salesman Problem / Ed. by E.L. Lawler etc. 1985.

2. Симанчёв Р.Ю., Уразова И.В. О гранях многогранника задачи аппроксимации графа // Дискрет. анализ и исследование операций. 2015. № 22(2). С. 86-101.

3. Simanchev R.Yu., Urazova I.V. On the Facets of Combinatorial Polytopes // DOOR-2016. LNCS, Springer, Heidelberg. 2016. No. 9869. P. 233-243 c.

4. Grotschel M., Wakabayashi Y. Facets of the clique partitioning polytope // Mathematical Programming. 1980. No. 47. P. 367-387.

5. Grotschel M., Wakabayashi Y. A cutting plane algorithm for a clustering problem // Mathematical Programming, (Series B). 1989. No. 45. P. 59-96.

6. Симанчёв Р.Ю. О неравенствах, порождающих фасеты комбинаторных многогранников // Дискретный анализ и исследование операций. 2017. № 24(4). С. 95-110.

7. Симанчев Р.Ю. О ранговых неравенствах, порождающих фасеты многогранника связных fc-факторов // Дискретный анализ и исследование операций. 1996. Т. 3. С. 84-110.

ßft-BASES FOR A SOME CLASS OF FACET OF A CLIQUE PARTITIONING

POLYTOPE

R.Yu. Simanchev

Ph.D. (Phys.-Math.), Associate Professor, e-mail: osiman@rambler.ru

P.V. Solov'eva Master Student, e-mail: polinochka.chervonnykh@mail.ru

Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia

Abstract. Let Kn = (V., E) be a complete undirected n-vertex graph without loops and multiple edges. A spanning subgraph H с Kn is called an M-graph if each of its connected components (possibly one-vertex) is a clique. We denote the family of all M-graphs in Kn by Н. This family is the set of feasible solutions of the clique partitioning problem, consisting in finding in the complete edge-weighted graph of an M-graph of minimal weight [2-4]. In the mentioned papers, the polyhedral properties [1] of this problem are considered. The classes of inequalities that generate the faces of the problem polytope are constructed, on the basis of which algorithms for branches and cuts are developed. In this paper, using the technique proposed in [7], we prove the facetness of inequalities of a special class with respect to the clique partitioning polytope.

The work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project 18-07-00599).

Keywords: polytope, facet, the clique partitioning problem.

Дата поступления в редакцию: 20.11.2018