Структура нецелочисленных вершин релаксации многогранника к-факторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 1998. Вып. 1, с.20-26.

УДК 519.1

СТРУКТУРА НЕЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ВЕРШИН РЕЛАКСАЦИИ МНОГОГРАННИКА К-ФАКТОРОВ

Р.Ю.Симанчёв

In this paper the graph structure of the A;-factor polytope vertices is described.

1. Введение

В ряде алгоритмов комбинаторной оптимизации широко используется информация о полиэдральной структуре выпуклых оболочек допустимых решений рассматриваемых задач. Широкий класс образуют экстремальные задачи в следующей постановке. Пусть Е - конечное множество; с : Е —У R - аддитивный функционал на Е] У С 2е - некоторое семейство подмножеств множества Е. Требуется найти такой Е[* £ У, что с(Н*) > с(Н) для любого Е[ £ У. Полиэдральный подход к анализу и решению такой задачи заключается в сопоставлении ей специального (0,1)-многогранника и исследовании полиэдральной и комбинаторной структуры последнего (см., наир., [1] ). Множеству Е сопоставим евклидово пространство RE, имея ввиду взаимнооднозначное соответствие между Е и множеством координатных осей пространства RE, после чего для любого F £ 2е определим его вектор инциденций хЕ £ RE как вектор-столбец с компонентами хЕ = 1 при е £ F, хЕ = 0 при е ^ F. Таким образом, мы получаем взаимнооднозначное соответствие между 2е и множеством вершин единичного куба в RE. Теперь положим

Р(У) = conv{хн £ Re | Е[ £ У}.

В силу аддитивности, функционал с : Е —>■ R естественным образом ассоциируется с линейным функционалом /с : RE —У R, причем c(F) = /с(хЕ) для любого FEE.

Как уже говорилось, полиэдральная структура многогранника Р(@) играет существенную роль при разработке алгоритмов решения задачи. Например, полное или частичное линейное описание многогранника Р(позволяет применять для решения задачи аппарат линейного и целочисленного линейного

0 1998 Р.Ю. Симанчёв

E-mail: siman@univer.omsk.su

Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.

21

программирования [1]; диаметр Р(А) может служить оценкой числа итераций «наилучшей» симплексной процедуры; классы смежных вершин весьма полезны при разработке алгоритмов локальной оптимизации. На этом этапе существенную роль начинает играть удачный выбор релаксационного множества для многогранника Р(А)} то есть такого многогранного множества М(А) (имеющего, в определенном смысле, «более простую» структуру, чем Р(А))} что Р($з) С М(А). Если при этом М(А) = {ж £ RE \ Ах < 6}, где А — (га х |£'|)-матрица и Ь — га-вектор, то М(А) мы будем называть полиэдральной релаксацией многогранника Р(А). В отличие от Р(А)} множество М(А) может иметь нецелочисленные или иные «лишние» (в смысле описанной выше экстремальной задачи) вершины. Структура последних играет важную роль при генерировании отсекающих плоскостей и при решении задачи их идентификации (см., например, [2, 3].

В настоящей работе описана графовая структура вершин полиэдральной релаксации многогранника ^-факторов полного графа.

Вам понадобятся следующие понятия и обозначения.

Выпуклым многогранником (или просто многогранником) в пространстве Rd называется выпуклая оболочка конечного множества точек этого пространства. Мы определим полиэдр в й-мерном вещественном пространстве как множество решений конечной системы линейных уравнений и неравенств относительно d переменных, если оно ограничено. Согласно теореме Вейля-Минковского, для всякого выпуклого многогранника Р сушествует такой полиэдр F, что Р = F. Верно и обратное: всякий полиэдр является многогранником. Гранью многогранника Р называется множество {ж £ Р \ а1 ж = а0}, где атх < а0 - опорное к Р неравенство. Грань называется р-гранъю, если ее размерность равна р, 0-грани называются вершинами. Ясно, что если Р - полиэдр, то ж £ Р является вершиной тогда и только тогда, когда ранг подматрицы ограничений, обращаемых точкой ж в равенство, равен d.

Вусть Кп = (У, Е) - полный неориентированный граф без петель и кратных ребер с множествами вершин V и ребер Е} \ V \= п. Для всякого G £ Кп через VG и EG обозначим соответственно множества вершин и ребер графа G. Ври этом для ребра е £ Е будем также использовать запись гаг, понимая га, га £ У как пару инцидентных ребру е вершин. Для УСУ положим

Eg{W) ее Eeg(W) = {гага £ EG | га, га £ W},

5g{W) ее Seg(W) = {гага £ EG \ и £ W, га £ W}.

Степенью относительно G (или EG) произвольной вершины га £ У назовем величину dG(u) = dEG(u) =| SG(u) \. Если G = Кп, то в обозначениях Eg(W), dG{W) и dG(u) символ VGV будем опускать. Всякое R С Е индуцирует некоторый подграф Г, у которого ЕТ = R и УГ - множество вершин из У, инцидентных ребрам множества R. В этой связи, там, где не возникает двусмысленности, граф, индуцированный множеством ребер i?, будем просто обозначать через R. Для пары графов G, F С Кп под G U F будем понимать такой граф Н, что VH = VGUV F ж EH = EGU EF, а под GC\F - граф, индуцированный множеством ребер EGOEF. В наконец, простым циклом назовем

22

Р.Ю. Симанчёв. Структура нецелочисленных вершин...

такой связный подграф С С Кп, что dc(u) = 2 для всех и £ VС. При этом простой цикл будем также задавать либо последовательным списком вершин, либо последовательным списком ребер.

Для х £ Re и R С Е определим линейную форму

х(R) = хе. eeR

2. Полиэдральная релаксация

На протяжении всей статьи Кп = (У, Е) - полный неориентированный п-вершинный граф без петель и кратных ребер. Выберем такое натуральное к, что I < к < п — I ж кп - четно. Под к-фактором графа Кп будем понимать остовный однородный степени к подграф. Обозначим через (3^ п - множество всех ^-факторов, а через /Зк,п ~ множество всех связных ^-факторов графа Кп. Заметим, что, например, (32,п ~ множество гамильтоновых циклов, а /Дф - множество совершенных паросочетаний полного графа. Сопоставим множеству Е евклидово пространство RE, а каждому F С Кп - его вектор инциденций хЕ = хЕЕ £ Re так, как это описано выше. Пусть

Рцп = conv{xH £ RE I я £ /%J,

Pk,n = COnv{XH £ RE I E[ £ /3fcj)7,}

- многогранники ^-факторов и связных Уфакторов соответственно.

С графом Кп свяжем его вершинно-реберную матрицу инциденций А. Структура матрицы А такова: строки соответствуют элементам множества V, а столбцы - элементам множества С, и при этом в клетке (и, е) стоит 1, если вершина и инцидентна ребру е, и - 0 в противном случае. Легко заметить, что А состоит из всевозможных столбцов с двумя единицами и (п — 2) нулями. Матрицу инциденций произвольного F С Кп обозначим через A(F). Она, очевидно, является подматрицей матрицы А, образованной пересечением строк VF и столбцов EF.

Положим

Мк,п = {ж £ Re | Ах = к} 0 < х < 1},

где к - вектор-столбец с п компонентами, равными £;, 0 и 1 аналогично. В терминах Кп система, определяющая может быть записана в виде

x(S(uj) = к, и £ V, (2-1)

О < же < 1, е £ Е. (2.2)

Нетрудно заметить, что вектор инциденций любого ^-фактора удовлетворяет системе (2.1) — (2.2). Следовательно, множество M/,jn можно рассматривать как полиэдральную релаксацию многогранников Р£п и Рк,п- В [4] показано, что система уравнений (2.1) определяет аффинную оболочку многогранников Р^п и Рк,п- Так как Мк}П есть подмножество единичного куба в RE, то vertPk)n С vertP£n С vertMk,n■

Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.

23

Следующий пример показывает, что Mkjfl имеет нецелочисленные вершины. Пример. Пусть п = 6, к = 2 и, соответственно, У = {1,. . ., 6}, Е = {ij, где г,} = 1,. . . , 6}. Определим в К6 два подграфа: С = (У, {12, 13, 23, 45, 46, 56}) и Т = (У, {16, 24, 35}). Рассмотрим точку ж £ с координатами хij = } при ij £ ЕС, жгд = 1 при ij £ ЕТ, жгд = 0 в остальных случаях. Покажем, что ж £ vertM2j&■

Действительно, легко проверяется, что ж £ М2)6. Точка ж обращает в равенство следующие ограничения из (2.1) — (2.2)

ж(й(г)) = 2 при i = 1, 2,... 6, (2-3)

Xij = 1 при щ £ ЕТ, жj-j = 0 при ij £ Е \ (ЕТ U ЕС). (2-4)

Вычислим ранг этой подсистемы. Ее матрицу обозначим через D. Матрица D квадратная порядка 15. Раскрывая ее определитель по строкам, содержащим по одной единице, то есть по строкам, соответствующим ограничениям (2.4), получим, что | det D | = | detA((7) |= 4. Таким образом, D - квадратная невырожденная матрица и, следовательно, ж £ vertM2j&■

3. Структура нецелочисленных вершин полиэдра MkiH

Пусть ж £ Мк.щ. С точкой ж свяжем следующие подграфы:

Сх - граф дробности точки ж - индуцирован множеством ребер ЕСх = {е £ Е | 0 < же < 1};

Тх - граф единиц точки ж - индуцирован множеством ребер ЕТ% = {е £ Е \

Же = 1}.

Лемма 3.1. Если ж - нецелочисленная вершина полиэдра Mkjfl, mo ое граф дробности Сх есть объединение простых вершинно-непересекающихся нечетных циклов.

Доказательство. Доказательство леммы разобьем на четыре части. Мы покажем, что 1) | ЕСх |< п; 2) dcw(u) > 2 для всех и £ VСу, 3) | ЕСх | = | УСД | и 4) граф Сх не содержит четных циклов.

Так как ж - вершина, то она обращает в равенство ограничения некоторой квадратной невырожденной подсистемы системы (2.1) — (2.2):

ж(й(и)) = к при и £ V', (3-1)

же = 1 при е £ Е', же = 0 при е £ Е", (3-2)

| V | + | Е' | + | Е" |= п2~п. Так как | V |< п, то ограничений (3.2) в

2

этой подсистеме будет не менее, чем п ~п — п. Каждое из них означает целочи-сленность соответствующей компоненты. Значит, нецелочисленных компонент может быть не более, чем п. 1) доказано.

24

Р.Ю. Симанчёв. Структура нецелочисленных вершин...

2) По условию, Сх ф- 0. Предположим, что б?с_(и/) = 1 для некоторой и' £ VCx- Рассмотрим ограничение х(8(и1)) = к, входящее в (3.1). Из предположения следует, что для любого е £ 8{и') \ {е'}, где {е'} = 8{и') П ЕСх, справедливо же £ {0,1}. Но тогда х(8(и')) = же/ + х(8(и1) \ {е'}) - нецелочисленно, то есть точка х не удовлетворяет условию х(8(и1)) = к и, следовательно, не лежит в Мк.а. Противоречие.

3) Заметим, что | V |>| ЕСх |. Действительно, в подсистеме (3.2) нет уравнений, соответствующих ребрам множества ЕСх- Если раскрыть определитель системы (3.1) — (3.2) по строкам, соответствующим уравнениям (3.2), то получится определитель порядка | V |, который, разумеется, не равен нулю. При этом ни один из столбцов, соответствующих ребрам ЕСх, не будет вычеркнут. Следовательно, | V |>| ЕСх \.

Пусть Е = E\(E'U Е"). Тогда подматрица А' матрицы системы (3.1) — (3.2), образованная строками коэффициентов уравнений (3.1) и столбцами, соответствующими множеству Е, является квадратной невырожденной матрицей, ибо получена путем раскрытия определителя системы (3.1) — (3.2) по строкам Е' U Е". Ясно, что ЕСх С Е. Пусть W = V П VCМатрицу А' можно схематично изобразить так, как показано на рисунке:

W

V'\W

ЕСф Е \ EGA

А4 3-2

СО а4

Так как среди вершин множества V \ W нет инцидентных ребрам из ЕСх, то подматрица А3 состоит целиком из нулей. Предположим, что | ЕСх |>| VСх |. Тогда | ЕСх |>| W | и, следовательно, | V \ W |>| Е \ ЕСх |, то есть в подматрице А4 строк больше, чем столбцов. Значит, среди строк матрицы А4 имеются линейно зависимые. Последнее, в силу того, что А3 нулевая, означает, что А' содержит линейно зависимые строки, что противоречит ее невырожденности. Таким образом,

I ЕСх |<| W |<| VCx | • (3.3)

Так как б?с_ > 2 для всех и £ VCx, то | ЕСх | = | VCx \-

И наконец, 4). Из 3) и (3.3) следует, что матрица А4 является вершиннореберной матрицей инциденций графа Сх, причем - квадратной. Так как А3

Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.

25

нулевая, то матрица А' - полураспавшаяся и det А' = det Ai ■ det А4 ф 0. Следовательно, det Ai ф 0. Так как - набор непересекающихся циклов, то перестановкой строк и столбцов матрица А\ может быть приведена к клеточнодиагональному виду, причем каждая клетка является вершинно-реберной матрицей инциденций некоторого цикла из СД. Значит, det А\ = det Ап ■ det А12 ■ ...det Ait, где Ац, i = l,...,t, - те самые клетки. Легко показать, что если простой цикл четен, то определитель его матрицы равен нулю.

Лемма доказана. ■

Лемма 3.2. Если ж - нецелочисленная вершина полиэдра Mk,n, пго же = | для всех е £ ЕС%.

Доказательство. Действительно, пусть С - какой-либо цикл графа СД. Положим С = {el5 е2,. . ., еД, ег- = щщ+4, i = l,...,t — 1, et = U\Ut. Так как xet ф 0, то xet + жег+1 = 1- Предположим, что же1 = |+£, 0<£<|. Тогда хе2 = | — £,. . . ,Xe2l-! = \ + £, xe2i = \ ~ £,• • • ,xet = \ + £, (так как t - нечетно). Отсюда же1 + Tet = 1 + 2£ > 1, чего быть не может, ибо это означает, что дсфиф >2. ■

Лемма 3.3. Пусть набор С простых вершинно-непересекающихся нечетных циклов и граф Т С Кп таковы, что ЕТ П ЕС = 0, бт(и) = к — 1 при и dVC и с1т(и) = к при и (jl VС. Тогда точка ж £ RE с координатами

f 2’ е ^

же = < 1, е £ ЕТ,

( 0, е£ E\(ECUET),

является вершиной полиэдра Mk,n-

Доказательство. Очевидно, что ж £ Mk,n- Точка ж обращает в равенство следующие ограничения системы (2.1) — (2.2):

ж(й(и)) = к, и £ У,

же = 1 при е £ ЕТ, хе = 0 при е £ Е \ (ЕС U ЕТ), (3-4)

Вычислим ранг этой подсистемы. Всякое уравнение ж(й(и)) = к при и ^ VС

является линейной комбинацией уравнений (3.4), поэтому эти уравнения можно отбросить. Таким образом, нужно вычислить ранг системы

x(S(u)) = к, и £ VC,

хе = 1 при е £ ЕТ, хе = 0 при е £ Е \ (ЕС U ЕТ),

Заметим, что так как | VC | = | ЕС |, то эта система квадратная (ибо | VC \

+ | ЕТ | -\-п2фп — (| ЕС | + | ЕТ |) = ra2~ra). Раскрывая определитель этой системы по строкам, соответствующим уравнениям (3.4), мы получим, что он равен определителю вершинно-реберной матрицы инциденций набора циклов С, который не равен нулю, в силу нечетности циклов. Лемма доказана. ■

26

Р.Ю. Симанчёв. Структура нецелочисленных вершин...

Ясно, что в условиях леммы 3.3 граф С является графом дробности точки х, а граф Т - ее графом единиц. Кроме того, так как число вершин нечетной степени во всяком графе четно, то при четном к непременно | VC | четно. Это следует из того, что VC = {u £ VT \ dj{u) = к — 1}. Если же к нечетно, то | V \ VC | = | {и £ VT | о1т(и) = к} | - четно и, так как при этом п обязательно четно, вновь имеем четность величины | VC \.

Результаты этого параграфа сформулируем в виде теоремы.

Теорема . Точка х £ является вершиной полиэдра тогда и

только тогда, когда она целочисленна, либо ее граф дробности С% и граф единиц Тх удовлетворяют условиям:

1) Сх есть объединение четного числа простых вершинно-непересекающихся нечетных циклов, причем для любого е £ ECfi имеет место хе = |;

2) d,Tw(u) = к — 1 для всех и £ Vи с1тж(и) = к для всех и £ V \ VCx-

Литература

1. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования: В 2-х т.

М.: Мир, 1991.

2. Padberg M.W., Rinaldi G. Facet identification for the symmetric travelling salesman problem // Math, Programming. 1990. N 47. P.219-257.

3. Дергунова T.B., Симанчёв Р.Ю. Задача о связном к-факторе: идентификация фасет и алгоритм отсечения // Фунд. и прикл. матем. Омск, ОмГУ, 1994. С.71-80.

4. Симанчев Р.Ю. О ранговых неравенствах, порождающих фасеты многогранника связных k-факторов // Дискретный анализ и исследование операций. 1996. Т.З. N 3. С.84-110.