CC BY
13
УДК 519.852 DOI: 10.25513/2222-8772.2018.4.35-45
ЭВРИСТИКИ ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ 1-ПАРАШЮТОВ В ЗАДАЧЕ АППРОКСИМАЦИИ ГРАФА
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия
Аннотация. Задача аппроксимации графа заключается в нахождении в полном рёберно-взвешенном графе семейства попарно вершинно-непересекающихся клик минимального веса. В общем случае задача является NP-трудной. В работе (см. [1]) был предложен класс неравенств, опорных к многограннику данной задачи. Найдены условия, при которых построенные неравенства являются фасетными. При использовании этих неравенств в алгоритмах отсечений становится актульной задача идентификации (Separation problem). В работе (см. [2]) было показано, что задача идентификации предложенных неравенств NP-трудна. В настоящей работе для идентификации отсечений разработана процедура локального поиска. Для анализа эффективности предлагаемых методов проведён вычислительный эксперимент.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 18-07-00599)
Ключевые слова: задача идентификации, полиэдр, фасета, аппроксимация графа.
Введение
Впервые задача аппроксимации графа была сформулирована Харари в 1955 году. В 60-70-х годах прошлого столетия в ряде работ были найдены нетривиальные классы графов, на которых задача является полиномиально разрешимой. В 1986 г. Криванек и Моравек рассмотрели задачу аппроксимации графа как частный случай задачи кластеризации деревьев и доказали, что она является ЖР-трудной. Систематическое изучение задачи аппроксимации графа началось в прошлом десятилетии, когда задача была переоткрыта под разными именами (Correlation clustering, Cluster editing) различными группами авторов. В частности была установлена ЖР-трудность различных её вариантов и для их решения предложены первые приближенные алгоритмы с гарантированной оценкой точности. Лучший из известных на сегодняшний день приближенный алгоритм для задачи аппроксимации графа гарантировано находит решение не более чем в 2.5 раза хуже оптимального.
Введём следующие обозначения и понятия. Для любого графа D с Кп через VD и ED будем обозначать множества его вершин и рёбер соответственно. Для
И.В. Уразова
к.ф.-м.н., доцент, e-mail: [email protected]
ребра е Е Е будем также использовать запись иь, где и и V — вершины из V, инцидентные ребру е. Для О С Кп и и Е V через 8в(и) обозначим множество рёбер графа И, инцидентных вершине и. Если О = Кп, то в этой записи индекс О будем опускать. Каждое множество рёбер К С Е индуцирует в Кп некоторый подграф Т, в котором ЕТ = Я и УТ — множество вершин, инцидентных рёбрам из Я. Там, где не возникает двусмысленности, граф, индуцированный множеством рёбер Я, будем обозначать через Я. Для подграфов В,Е и Кп положим
В и ^ = ЕВ и ЕЕ, В П ^ = ЕВ П ЕЕ.
Пусть Кга = (V, Е) — полный неориентированный граф без петель и кратных рёбер. Остовный подграф Н С Кга называется М-графом, если каждая его компонента связности является кликой или одновершинным графом. Множество всех М-графов в Кга обозначим через у(У).
Пусть С С Кга — некоторый априори заданный остовный подграф. Задача аппроксимации графа С заключается в нахождении М-графа Н, минимизирующего на множестве ^(У) функционал
рс(Н) = и Н| - П Н|.
Иными словами, требуется найти такое множество попарно непересекающихся клик на V, которое как можно меньше (в рёберном смысле) отличается от графа С.
В работе рассматривается полиэдральная постановка задачи аппроксимации графа. Полиэдральный подход к решению экстремальных комбинаторных задач заключается в сопоставлении задаче специального многогранника, заданного как выпуклая оболочка векторов инциденций допустимых решений, и, как следствие, использование аппарата выпуклого анализа и целочисленного программирования. Особое место на этом пути занимает задача описания многогранника в виде множества решений системы линейных уравнений и неравенств. При наличии полного линейного описания многогранника экстремальная комбинаторная задача сводится к задаче линейного программирования (возможно с экспоненциальным числом ограничений), что нередко позволяет получить эффективные алгоритмы её решения.
Множество Р С ЯЕ называется многогранником, если оно является выпуклой оболочкой конечного числа точек. Линейное неравенство атх ^ а0 (а,х Е ЯЕ,а = 0,а0 Е Я, "Т" — знак транспонирования) называется правильным к многограннику Р, оно не нарушается ни одной из точек могогранника. Правильное неравенство называется опорным к многограннику Р, если оно выполняется для любой точки из Р и существует, по крайней мере, одна точка из Р, обращающая его в равенство. Всякое опорное к Р неравенство порождает множество {х Е Р^х = а0|, которое называется гранью многогранника Р. Максимальные по включению грани многогранника называются фасетами. Ясно, что фасетой является та и только та грань, размерность которой на 1 меньше размерности самого многогранника. Опорное неравенство, порождающее фасету, назовём, соответственно, фасетным.
Полиэдром в КЕ называется множество решений конечной системы линейных уравнений и неравенств с переменными хе, е Е Е, если оно ограничено. Согласно теореме Вейля-Минковского, для всякого многогранника существует совпадающий с ним в теоретико-множественном смысле полиэдр, и наоборот.
В [1,4] было показано, что (0,1)-вектор х Е ЯЕ является вектором инци-денций М-графа, если и только если он удовлетворяет системе
+ ^ит + ^'о'ш ^ 1 ^и'ш + ^ 1 (3)
где и,у,т Е V — всевозможные тройки попарно различных вершин,
хи,€ ^ 0, для всех иу Е Е. (4)
Полиэдр, определяемый системой (3)-(4), обозначим через Мп. Таким образом, Рп с Мп, причём включение именно строгое (в [1] приведены примеры нецелочисленных вершин полиэдра Мп) и каждая целочисленная вершина Мп является вектором инциденций некоторого М-графа. Следуя работе [3], ограничения вида (3) будем называть треугольниками.
В [1] был введён и изучен новый класс опорных к Рп неравенств. Пусть и = {и1,и2,..., ик} и Ш = {у1,у2,..., ур] — непустые подмножества множества V, и П Ш = 0, к ^ 1, р ^ 2. Через = 1, 2,... ,к, обозначим звезду в Кп с центром в вершине щ и лучами и^у^= 1, 2,... ,р (см. рис. 1).
Рис. 1. Звезда в Кп с центром в вершине и^ и лучами щю^= 1,2, ...,р
к
Через Кр обозначим клику на множестве вершин Ш. Положим Т = и Тг.
г=1
Граф Т и Кр называется ^-парашютом (см. рис. 2). С этим графом свяжем неравенство
к2 + к
х(ЕТ) - х(ЕКр) ^ .
T
K
U
p
Рис. 2. ^-парашют
В [1] было доказано, что такое неравенство, индуцированное ^-парашютом Т и Кр, является опорным к многограннику Рп тогда и только тогда, когда р ^ к, а фасетным — тогда и только тогда, когда к = 1. В этой связи особый интерес для нас будут представлять именно 1-парашюты (см. рис. 3).
Kr
T
Рис. 3. 1-парашют
В [3,4] был предложен класс опорных неравенств (2-дольных), отличающихся от fc-парашютов тем, что на множестве U = {u\,u2,... ,uu} строится клика К2 (см. рис. 4). Класс 2-дольных неравенств состоит из неравенств вида
х(ЕТ) - х(ЕКр U ЕК2) ^ min(p, к).
Кроме того, нетрудно заметить, что пересечением класса 2-дольных неравенств и класса fc-парашютов является класс 1-парашютов.
Для заданного 1-парашюта Т U Кр вершину графа Кп, образующую множество U, будем иногда называть парашютистом, а клику Кр — куполом 1-парашюта.
При разработке процедур отсечения, использующих опорные неравенства как отсекающие плоскости, на передний план выходит задача идентификации (separation problem), которая заключается в следующем. Даны некоторый класс L неравенств, опорных к многограннику Р, и точка х Е RE. Требуется найти
Т
и
к
р
Рис. 4. 2-дольное неравенство
в классе Ь неравенство, строго отделяющее точку х от многогранника Р, либо доказать, что в Ь такого неравенства нет. В 1982 году в работах Кагр 1^.М. и РараШшИгш С.Н. было показано, что при МР = со — МР для полиэдра общего вида (не обязательно целочисленного) и класса неравенств, определяющих все фасеты выпуклой оболочки его целочисленных точек, не существует полиномиального алгоритма решения задачи идентификации. В связи с этим целесообразно рассматривать задачу идентификации применительно к конкретным классам неравенств относительно конкретных задач. Например, идентификация кликовых фасет для многогранника симметричной задачи коммивояжёра полиномиально разрешима, а идентификация гребневых неравенств и неравенств деревьев клик для той же задачи ЫР-трудна (см. также [2,7]).
Очевидно, что поскольку число попарно различных троек вершин в Кп полиномиально по п, задача идентификации треугольников полиномиально разрешима. В [3] для поиска 2-дольного неравенства, отсекающего заданную точку, использовалась эвристическая процедура, поскольку сложностной статус задачи идентификации 2-дольных неравенств на тот момент был неизвестен. В 2001 году была показана ЖР-трудность задачи идентификации для этого класса. Однако важно иметь в виду следующее. Поскольку многогранник Рп целиком лежит в единичном кубе пространства КЕ, то отсекаемую точку можно полагать лежащей в единичном кубе. Это несколько усиливает постановку задачи идентификации. Возможно ещё большее усиление. Поиск неравенства, отсекающего текущий нецелочисленный оптимум, начинается, как правило, с класса неравенств с полиномиально разрешимой задачей идентификации. Поэтому постановка задачи идентификации для класса 2-дольных неравенств может быть усилена до следующей: найдётся ли 2-дольное неравенство, отсекающее точку, удовлетворяющую всем треугольникам? В [2] дано новое строгое доказательство этого факта для класса 1-парашютов и, как следствие, 2-дольных неравенств и ^-парашютов.
1. Идентификация 1-парашютов
Сформулируем задачу идентификации 1-парашютов относительно многогранника М-графов. При заданной точке х е КЕ, 0 ^ х ^ 1, среди всех 1-парашютов Т и Кр графа Кп требуется найти такой, для которого 1>2 хе — ^2 хе > 1. Эта задача может быть формализована в виде задачи
е£ЕТ
е£ЕК„
целочисленного линейного программирования. Определим булевы переменные: хи е {0,1}, и е V, — выбор парашютиста; уи е {0,1}, и е V, — выбор вершин купола; ги,и е {0,1}, и,у е V, — выбор рёбер купола; Ьа-о е {0,1}, и,у е V, — выбор рёбер между парашютистом и куполом. Требуется максимизировать функцию
^ ( ^ У ■^и'О ^и'О ^ ^ %и'О )
2
(5)
при условиях:
^и'О ^ Уи + Уо — 1, и,ь е V; (6)
^и'О ^ У и, ^ Уо , и,ь е V; (7)
^ Хи + Уа — 1, и,ь е V; (8)
^ Хи, Ъиу ^ Уо , и,ь е V; (9)
Хи + Уи ^ 1, и е V; (10)
^ ^ Хи 1 ) (11)
иеУ
х^Уи^иъ,ьа,0 е {0,1},и,ь е V.
(12) (13)
Ограничения (6), (7) определяют рёбра внутри купола и фактически гарантируют равенство ху/и = уиуи. Ограничения (8), (9) определяют рёбра между куполом и парашютистом и гарантируют равенство = хиуъ. Ограничения (10) запрещают пересечение парашютиста с куполом. Ограничение (11) требует выбора ровно одного парашютиста. Ограничение (12) гарантирует непустой купол. В действительности для решения задачи идентификации достаточно проверить на совместность систему, образованную ограничениями (6)-(13) и неравенством ^2 хи-юЬиъ — ^2 х-и-о> 1, что в целом не облегчает задачу.
и'о^У
и/и^У
Как уже говорилось, задачу идентификации целесообразно рассматривать применительно к конкретным классам неравенств относительно конкретных задач. При такой стратегии, помимо точных процедур решения, часто используются эвристики (см., например, [3]). Так как задача идентификации 1-парашютов ЫР-трудна, мы разработали эвристическую процедуру для её решения.
Итак, рассматривается следующая задача. Дана точка х е Мп \ Рп. В графе Кп нужно найти такой 1-парашют ТииКр, где Кр, р ^ 3, — клика на множестве
вершин {VI, ь2,... ,ур] и Ти — звезда с центром в вершине и Е {у1,у2, ... ,ур} и лучами иь^, ] = 1, 2,... ,р, что выполняется неравенство
х(ЕТи) — х(ЕКр) > 1.
Полагая величины хе весами рёбер е Е Е, а величину х(ЕТи) — х(ЕКр) — весом 1-парашюта Ти и Кр, мы можем сформулировать рассматриваемую задачу идентификации как задачу поиска в полном рёберно-взвешенном графе 1-парашюта с весом больше 1.
Всякий 1-парашют Ти и Кр является кликой порядка р + 1. В связи с этим, зафиксировав какое-либо множество вершин, мы можем простым перебором найти на этом множестве самый тяжёлый 1-парашют. Формально эта процедура выглядит так.
Процедура 7(Ш). Эта процедура просматривает 1-парашюты на фиксиро-
ванном множестве вершин Ш = {и1,и2,..., щ} С V, I > 3. Положим 7(Ш) = 0, Т и К — графы с пустыми множествами вершин и рёбер.
Шаг г (г = 1, 2,... ,1). Пусть Т.\ — звезда с центром в вершине щ и лучами щиз, ] = 1,. . . ,г — 1,г + 1,.. .1, и К^ - клика на вершинах и1,..., иг-1,иг+1,.. .щ. Если х(ЕТ1) — х(ЕКг) > 7(Ш), то полагаем ^(Ш) := х(ЕТ1) — х(ЕК1), Т = % и К = Кг. Иначе оставляем всё неизменным. Переходим на шаг (г + 1).
Если в результате этой процедуры получим ^(Ш) > 1, то Т и К — искомый 1-парашют на множестве вершин Ш. В процедуре 7(Ш) не обязательно просматривать все вершины и1,и2,...,щ. Можно остановиться сразу, как только 7(Ш) > 1. Однако если размерность задачи относительно невелика, то просмотр лучше довести до конца, так как величину х(ЕТ) — х(ЕК) > 7 можно в определённом смысле считать «глубиной» отсечения.
Вообще говоря, в результате применения процедуры 7 к конкретному множеству Ш может получиться 7(Ш) ^ 1. В этой связи имеет смысл перейти к другому Ш и повторить процедуру. Мы рассматриваем три способа перехода к новому множеству вершин.
1) Множество получается из Ш удалением одной вершины и Е Ш, то есть Ш' С Ш и = | — 1. Такой переход будем обозначать Ш' = <р1(Ш,и).
2) Множество Ш' получается из Ш добавлением одной вершины и' Е ^, то есть Ш С Ш' и = | + 1. Такой переход будем обозначать Ш' = р2(Ш,и').
3) Множество получается из Ш удалением одной вершины и Е Ш и добавлением одной вершины и' Е ^, то есть = | и ^ и Ш'1 — ^ П П I = 2. Для обозначения такого перехода будем использовать запись W, = <рз(Щи,и').
К случайно выбранному множеству Ш применяется каждый из указанных способов в рандомизированном режиме. А именно переход <р1 осуществляется последовательным просмотром вершин множества Ш, вершина и Е Ш выбирается с вероятностью р1, запоминается такое Ш1, что 7^^ = шах^^]^^,^))^ Е Ш}; переход — просмотр множества V \ Ш, вершина и' выбирается с вероятностью р2, запоминается такое Ш2, что 7(^2) = шах{7(^2(Ш,и')),и' Е ^}; переход заключается в просмотре множества Ш х (V \ Ш), пара (и, и') выбирается с вероятностью р3, запоминается
для которого 7(Ш3) = шах{7(р2(Ш,и,и')),и Е Ш,и' Е ^}. В качестве нового множества вершин Ш' выбирается то из множеств Ш1, Ш2 и на котором значение функции 7(Ш) наибольшее.
Описанная процедура является одной итерацией эвристики, используемой нами для решения задачи идентификации 1-парашютов. Обозначим через ^(Ш) множество вершин, которое получается из множества Ш в результате этой итерации. При построении отсекающих 1-парашютов итерации продолжаются то тех пор, пока не прекратится заметный рост функции 7. На рисунках 4 и 5 показан пример работы описанной процедуры для задач с п = 100.
6.00 4.00
2.00
0.00 -2.00
-4.00
-6.00
-8.00
-10.00
Рис. 5. Число вершин в клике 1-парашюта \УК\ = 15, итераций 100, ) = 5
0.00 -5.00 -10.00
-15.00 -20.00 -25.00 -30.00
-35.00 -40.00 -45.00
Рис. 6. Число вершин в клике 1-парашюта \УК\ = 30, итераций 100, ) = —14
В следующем параграфе показаны результаты вычислительного эксперимента, цель которого заключалась в проверке эффективности предложенной процедуры решения задачи идентификации для 1-парашютов. Следует отметить, что анализ результатов вычислительного эксперимента существенно осложняется отсутствием на сегодняшний день тестовых задач.
2. Вычислительный эксперимент
Алгоритм локального поиска 1-парашюта был реализован на языке Java и запускался на компьютере Intel Pentium (2,4 GHz). Сам эксперимент проводился по трём направлениям и был организован следующим образом. На первом этапе исследуется эвристика для построения 1-парашютов при одинаковых значениях параметров р1, р2 и р3. Время было фиксированным и составляло 10 мин. Оценивалось значение целевой функции, полученное на заданных параметрах за 10 мин. Целью этого этапа было выделить, при каких параметрах рост значений целевой функции будет быстрее. В эксперименте рассматривались задачи размерности от 20 до 100, всего было по 10 задач на каждую размерность. Ниже представлен фрагмент таблицы 1 с результатами эксперимента. В первом столбце указано имя файла с решаемой задачей, в последнем — количество рёбер аппроксимируемого графа, в остальных столбцах стоят значения целевой функции, полученные за 10 мин при заданной вероятности.
Таблица 1. Результаты первого эксперимента
Pi = P2 = P'i
Задача 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 EG
f 1 - 40 216.64 216.84 216.89 218.49 218.23 385
f 2 - 40 223.81 225.28 223.54 222.70 225.35 394
f 3 - 40 227.33 225.82 225.86 228.16 226.55 400
f 4 - 40 217.30 218.20 218.27 219.05 219.42 379
f 5 - 40 227.38 225.50 225.14 225.78 227.38 400
f 1 - 50 185.78 180.30 178.89 179.01 190.46 313
f 2 - 50 177.15 175.05 174.32 177.01 177.19 306
Из таблицы 1 видно, что при выбранной вероятности 0.6 — 0.75 рост значения целевой функции за фиксированное время происходит быстрее. Часто найденных с помощью локального поиска неравенств 1-парашютов оказывается очень много, и добавление их всех в качестве отсечений может привести к быстрому росту размерности задачи и, как следствие, к увеличению времени на каждой итерации.
Целью данного эксперимента было выяснить, сколько лучше добавить найденных 1-парашютов, чтобы рост значений функции происходил быстрее. Вероятности были взяты одинаковыми и равными, а именно р\ = р2 = р3 = 0.6. Из всех найденных 1-парашютов выбирались неравенства с наибольшим значением 1атх — 1|. Здесь х — решение задачи ЛП, полученное на очередной итерации,
атх ^ 1 — неравенство 1-парашюта, найденное с помощью эвристики. Время работы программы было фиксированным и составляло 10 минут. На каждой итерации добавлялись найденные неравенства 1-парашютов в количестве 1, п/10, п/5 и п/2, где п — это число вершин исходного графа С. В эксперименте рассматривались задачи размерности от 20 до 100, всего было по 10 задач на каждую размерность. Ниже представлен фрагмент таблицы 2 с результатами эксперимента.
Таблица 2. Результаты второго эксперимента
Я =1 п/10 п/5 п/2
Задача / ах — 1 I ах — 1 I ах — 1 I ЕС
/1 — 40 210.00 2.50 216.30 2.50 217.53 2.68 222.38 385
/ 2 — 40 221.07 2.50 227.50 2.50 228.45 2.21 234.69 394
/ 3 — 40 221.75 2.50 225.81 2.50 230.39 2.00 234.15 400
/ 4 — 40 211.06 2.50 217.27 2.50 220.41 2.19 225.44 379
/ 5 — 40 218.92 2.50 220.00 2.50 229.15 2.24 232.18 400
/1 — 50 174.93 3.89 173.99 4.88 175.42 2.50 177.04 313
/ 2 — 50 171.49 4.62 172.98 4.50 172.24 4.00 173.56 306
/ 3 — 50 180.50 3.50 178.70 2.50 181.25 3.50 183.58 325
/ 4 — 50 173.84 4.58 175.96 3.47 177.81 4.79 177.72 312
Из таблицы 2 видно, что если на каждой итерации добавлять п/2 найденных 1-парашютов, то за заданное время рост значений функции происходил быстрее.
Последний эксперимент повторяет предыдущий за исключением одного шага. Вместо значения 1атх —1| рассматривалась величина в, = |а . Результаты представлены в таблице 3.
Таблица 3. Результаты третьего эксперимента
Я =1 п/10 п/5 п/2
Задача / й I й I й I ЕС
/1 — 40 214.27 0.30 222.32 0.30 225.04 0.40 231.78 385
/ 2 — 40 225.68 0.30 229.33 0.29 240.59 0.5 244.23 394
/ 3 — 40 225.25 0.36 232.12 0.21 236.52 0.15 241.29 400
/ 4 — 40 216.18 0.32 224.61 0.26 230.36 0.21 234.73 379
/ 5 — 40 222.00 0.32 229.82 0.27 234.86 0.14 240.82 400
/1 — 50 182.18 0.45 186.14 0.37 185.23 0.43 186.43 313
Из таблицы 3 видно, что если выбирать найденные 1-парашюты по значению ^ = |а ¡а-11 при параметрах р1 = р2 = р3 = 0.6 и п/2, то значения целевой функции выше, чем при 1атх — 1|.
Заключение
В заключении автор выражает благодарность Р.Ю. Симанчеву и Ю.А. Ко-четову за ценные идеи и замечания в работе над данной статьёй.
ЛИТЕРАТУРА
1. Симанчев Р.Ю., Уразова И.В. О гранях многогранника задачи аппроксимации графов // Дискрет. анализ и исследование операций 2015. № 22(2). С. 86-101.
2. Simanchev R.Yu., Urazova I.V. Separation Problem for k-parashutes // Proc. DOOR
2016. Vladivostok, Russia, September 19-23. CEUR-WS. 2016. No. 1623. P. 109114. URL: http://ceur-ws.org/Vol-1623/paperco16.pdf (дата обращения: 10.11.2018).
3. Grotschel M., Wakabayashi Y. A cutting plane algorithm for a clustering problem // Mathematical Programming, (Series B). 1989. No. 45. P. 59-96.
4. Grotschel M., Wakabayashi Y. Facets of the clique partitioning polytope // Mathematical Programming. 1990. No. 47. P. 367-387.
5. Simanchev R.Yu., Urazova I.V. Cutting Planes Algorithm for the Connected k-factor Problem Using the Facet Inequalities. Petrovac, Montenegro, October 2-7. CEUR-WS.
2017. URL: http://ceur-ws.org/Vol-1987/paper74.pdf (дата обращения: 10.11.2018).
6. Schrijver A. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency. Springer. 2003. Vol. A.
7. Симанчёв Р.Ю. О неравенствах, порождающих фасеты комбинаторных многогранников // Дискретный анализ и исследование операций. 2017. № 24(4). С. 95-110.
HEURISTICS FOR THE SEPARATION PROBLEM OF 1-PARACHUTES IN THE GRAPH APPROXIMATION PROBLEM
I.V. Urazova
Ph.D. (Phys.-Math.), Associate Professor, e-mail: [email protected] Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Abstract. In work (see [1]) a class of inequalities supporting to the polyhedron of the given problem was proposed. Conditions are found under which the constructed inequalities are faceted. When these inequalities are used in cutting algorithms, the Separation problem becomes an actual problem. In the paper (see [2]) it was shown that the problem of identifying the proposed inequalities is NP-hard. In this paper, a local search procedure has been developed to identify clipping. To analysis the effectiveness of the proposed methods, a computer experiment was carried out. This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project 18-07-00599)
Keywords: separation problem, plyhedra, facet, approximation problem.
Дата поступления в редакцию: 20.11.2018
