CC BY
14
УДК 518.517 Груздева Тат ьяна Владимировна,
к. ф.-м. н., доцент, с. н. с., ИДСТУ СО РАН, т. 941-232, e-mail: gruzdeva@icc.ru Климентова Ксения Борисовна, к. ф.-м. н., м. н. с., ИДСТУ СО РАН, т. 453-106, e-mail: Xenia.Klimentova@icc.ru
МЕТОД ОТСЕЧЕНИЙ ДЛЯ НЕРАВЕНСТВ КЛИК В ЗАДАЧЕ РАЗМЕЩЕНИЯ С ПРЕДПОЧТЕНИЯМИ КЛИЕНТОВ*
T. V. Gruzdeva, K.B. Klimentova
A CUTTING PLANE METHOD FOR CLIQUE INEQUALIES IN SIMPLE PLANT LOCATION PROBLEM WITH CLIENTS' PREFERENCES
Аннотация. Разработан метод отсечений на базе неравенств клик для поиска нижних оценок оптимального значения задачи размещения с предпочтениями клиентов. В основе метода отсечений лежит поиск максимальной взвешенной клики в графе, базирующийся на теории глобального поиска для задач с d. c. -ограничением. Проведенный вычислительный эксперимент на известных тестовых примерах подтвердил эффективность разработанного подхода с точки зрения улучшения нижней оценки.
Ключевые слова: задача размещения с предпочтениями клиентов; метод отсечений; неравенства клик; d. c.-ограничение; локальный поиск.
Abstract. A cutting plane method based on clique inequalities is developed for finding a lower bound of the optimal value for the Facility Location Problem with Clients' Preferences. The basic of the method is a method for fining maximal weighted clique in graph, which is grounded on a Global search theory for a problem with d. c. constraint. The carried out computational experiment with the known text instances approved the effectiveness for the proposed method in the view of lower bound improvement.
Keywords: the Facility Location problem with Clients' Preferences; a cutting plane method; clique inequalities; d. c. constraint; local search.
Введение
Задачу размещения, в которой предполагается, что клиенты выбирают предприятия обслуживания самостоятельно, руководствуясь своими целями, называют задачей размещения с предпочтениями клиентов (ЗРПК).
*
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ, проект 11-01-00270-а._
В такой задаче, помимо стандартных затрат на обслуживание клиентов, заданы предпочтения клиентов. Предполагается, что из каждой пары предприятий клиент может выбрать наиболее предпочтительное. Предпочтения клиентов обычно заданы в виде матрицы [1, 5] или отношений порядка на множестве предприятий для каждого клиента [12, 15].
Впервые такая задача размещения рассматривалась в [15]. Позже эти модели исследовались в работах [1, 2, 5, 6]. В частности, в [2, 5] установлена взаимосвязь ЗРПК с псевдобулевыми функциями.
Особый интерес представляют работы, посвященные вопросам численного решения ЗРПК. В [1] для поиска приближенного решения в задаче с фиксированным числом открываемых предприятий разработан генетический алгоритм. Для поиска точного решения в ЗРПК используются постановки в виде задач целочисленного линейного программирования (ЦЛП). Напомним, что оценки оптимального значения играют важную роль при разработке точных методов решения задач ЦЛП на базе схем ветвей и отсечений. Нижним оценкам оптимального значения в ЗРПК посвящены работы [1, 3, 4, 12, 16]. Так, в [12] рассмотрены известные и предложен ряд новых правильных неравенств для многогранника исследуемой задачи. С их помощью авторам удалось улучшить нижние оценки оптимального значения и повысить эффективность метода ветвей и границ. В [1, 16] предложена расширенная формулировка в терминах ЦЛП, основанная на взаимосвязи исследуемой ЗРПК с задачей о паре матриц. В работе [4] на основе анализа формулировки из [1, 16] построено новое семейство правильных неравенств, и доказано, что с его помощью можно
иркутским государственный университет путей сообщения
получить оценку, которая оказывается не хуже оценки, соответствующей целочисленной постановке задачи о паре матриц из [1, 16]. В [3] для семейства неравенств из [4] был разработан метод отсечений, который затем использовался в составе точного метода ветвей и отсечений. Проведенные вычислительные эксперименты показали, что с помощью предложенного семейства неравенств удалось уточнить не только оценку из [1, 16], но и нижнюю оценку, представленную в работе [12].
Кроме упомянутого выше семейства правильных неравенств в [4] была предложена нижняя оценка, которая строится на основании взаимосвязи ЗРПК с задачей упаковки множества, и доказано, что известные нижние оценки оптимального значения исследуемой задачи [1, 5, 6, 12, 16] оказываются по крайней мере не лучше этой нижней оценки. Однако вопрос численного поиска такой нижней оценки исследован не был.
Целью данной работы является разработка метода отсечений для поиска нижней оценки, связанной с неравенствами клик, возникающими из взаимосвязи ЗРПК с задачей упаковки множества. При разработке метода отсечений используется разработанный в [7] алгоритм поиска максимальной взвешенной клики, который хорошо зарекомендовал себя при решении тестовых задач из известной библиотеки DIMACS [14]. В основе этого алгоритма лежит сведение задачи о максимальной взвешенной клике (ЗМВК) к задаче минимизации выпуклой квадратичной функции на каноническом симплексе с дополнительным невыпуклым ограничением [7]. Проведен вычислительный эксперимент на тестовых задачах из [12], подтвердивший эффективность разработанного метода отсечений с точки зрения улучшения нижней оценки.
1. Постановка задачи
Пусть заданы следующие множества и величины.
I = {1,___, т} — множество предприятий;
J = {1, _, п} — множество клиентов;
I = {I}, А - 0,г е I — затраты на открытие предприятия г;
С = {су }, с - 0, г е I, j е J — матрица производственно-транспортных затрат на обслуживание клиентов;
6 = {ёу К - 0г е ^ j е -
В задаче размещения с предпочтениями клиентов необходимо открыть некоторое подмножество предприятий, минимизируя суммарные затраты на обслуживание клиентов и открытие предприятий, учитывая при этом предпочтения клиентов.
Математическая модель ЗРПК может быть записана в виде задачи ЦЛП [1, 5, 15]. С этой целью введем бинарные переменные:
11, если открывается i-е предприятие,
У = ln
[0 в противном случае, 1, если j-й клиент обслуживается из
i-го предприятия, 0 в противном случае; Кроме того, определим следующие
xv =
множества: Bij = {k е 11 gkj < gi¡} - множество
у
' jJ
предприятий, которые лучше для клиента j, чем
А
предприятие г; Ж ={к е 11 gkj > gij } — это предприятия, которые хуже для клиента j, чем предприятие г, г е I, j е J.
Рассмотрим следующую задачу ЦЛП:
т1П г, (!)
j j
iel jeJ iel
yi xkj ^ 1, i e I, j e J,
keW..
Yxj=1, j e J,
(2) (3)
iel
матрица
предпочтений клиентов: если g ^ < g ^, то j -й
V V
клиент из открытых предприятий гь г'2 выберет предприятие г1.
0 < ху < уг < 1, г е I, j е J, (4)
ху, уг е {0,1}, г е I, j е J. (5)
Целевая функция (1) задает суммарные затраты поставщиков на обслуживание клиентов и открытие предприятий. Ограничения (3) и (4) являются стандартными для задач размещения. Равенства (3) обеспечивают обслуживание каждого клиента в точности одним предприятием. Неравенства (4) позволяют обслуживать клиентов только из открытых предприятий. Ключевым моментом здесь является появление ограничений (2). Эти ограничения гарантируют обслуживание клиентов из наиболее предпочтительных для них предприятий. Будем обозначать далее задачу (1)-(5) через (Р).
2. Правильные неравенства и нижние оценки
Важную роль при решении задач ЦЛП играет релаксация к задачам линейного программирования (ЛП). Отметим, что оптимальное значение линейной релаксации
А
определяет нижнюю оценку оптимального значения исходной целочисленной задачи (на минимум).
Известно [19], что во многих случаях для задачи ЦЛП можно предложить несколько эквивалентных формулировок. Качество формулировки принято оценивать разрывом целочисленности: gap =(Opt —LP)/Opt, где Opt — оптимальное значение исследуемой задачи ЦЛП, LP — значение линейной релаксации. Чем меньше величина gap, тем сильнее формулировка. Идеальным случаем является формулировка, в точности описывающая выпуклую оболочку допустимых целочисленных точек задачи. Однако ee построение с точки зрения сложности оказывается, как правило, эквивалентно решению исходной задачи. Во многих случаях получение такой формулировки на практике невыполнимо.
Существуют различные способы построения новых формулировок задачи ЦЛП. Одним из таких способов является конструирование правильных неравенств. Пусть U — множество
точек в Rn . Неравенство aTx< b называют
правильным для U, если aT x < b для всех x eU . Рассмотрим линейную релаксацию (1)-(4) задачи (P) и обозначим ее оптимальное значение через
LBi. Через P обозначим многогранник задачи (1)-(5), т. е. выпуклую оболочку целочисленных точек, удовлетворяющих ограничениям (2)-(5).
Для многогранника P известен ряд правильных неравенств. Они порождают различные формулировки, отличающиеся числом ограничений и, как следствие, разрывом целочисленности. В частности, в работе [12] были предложены следующие семейства правильных неравенств.
1) Пусть js e J и i e I. Неравенства
< 1 (6)
CsQ, ji,..., js): £ xj + £ £
js) : £ xkj1 ■ £ £ xkjt + yi
keW.. t=2 t-1
2) Неравенства, доминирующие (4). Пусть r, p e J и i e I. Если Bip с Bir, то неравенство
(7)
xir < xip
является правильными для многогранника Р, кроме того, оно доминирует неравенство хгг < уг. В случае, когда Вг = Вр, неравенство (7) выполняется как равенство:
хгт = Хр • (8)
Обозначим через ЬВ2 нижнюю оценку,
представленную в работе [12], т.е. оптимальное значение в задаче ЛП (1), (з), (4), (7), (8) с предложенным в [12] подмножеством неравенств (6). Известно, что ЬВХ < ЬВ2 .
В работе [4] было предложено еще одно семейство правильных неравенств для многогранника Р : ^ хгг + ^ хгр < 1, I е Ьу-, г е I, г, р е 3, г ф р, (9)
Щгг
HW.
'lr
кеЖ )
^ ч=\ -Ч
являются правильными для многогранника Р . Данные неравенства порождают экспоненциальное число дополнительных ограничений. Некоторые из них могут доминировать другие. Потому целесообразно использовать только часть этих неравенств, в частности, предлагается [12] выбирать такие элементы /,..../л е./ . /е/, для которых множества Щ-, / = попарно не пересека-
ются.
где Ь] = {1 е{1,...,т-1}| А] <0}, а
А
А1 = шт{0;с у - с]}, I = 1,..., т -1, (^...¿т):
< < . < ^г ] , ] е 3 .
1 2J т-1
Построение этого семейства основано на анализе целочисленной формулировки, предложенной в [1, 16]. Такая целочисленная формулировка возникает из взаимосвязи ЗРПК и задачи о паре матриц.
Обозначим через ЬВз нижнюю оценку, получаемую при решении линейной релаксации улучшенной формулировки из [12] с добавленными в нее неравенствами (9), т. е. оптимальное значение задачи ЛП (1), (з), (4), (7), (8), (9) с предложенным в [12] подмножеством неравенств (6).
3. Взаимосвязь с задачей упаковки множества и неравенства клик
Нетрудно заметить, что часть неравенств в исходной формулировке (Р) исследуемой ЗРПК, а также некоторые известные из работы [12] правильные неравенства и новое семейство правильных неравенств (9) из работы [4] имеют сходную структуру с ограничениями задачи упаковки множества, а именно {<А, ¿)< 1 [8, 19].
Рассмотрим многогранное множество, определяемое следующей группой правильных неравенств для многогранника Р :
Уг +Е X] < 1, г е I, ] е 3, (10)
ке]¥..
Д
У
иркутским государственный университет путей сообщения
2Ху < 1, у е .1,
(11)
ге1
2 Хкг + 2 Хкр + Уг < 1, г е I, ^ Р е J, (12)
кеШ. кеШ. оВ
гг гр гг
2 Хгг + 2 Хр < 1,1 е 4, г е I, г, р е J, г * р.(13)
геШ.г ШШ. г
г1г г1г
Напомним, что ограничения (10) участвуют в исходной формулировке (Р), правильные неравенства (12) предложены в [12], а ограничения (13) - семейство правильных неравенств из [4]. Неравенства (11) представляют собой
ослабленные ограничения (3) (2хУ =1, У е J)
исходной задачи (Р).
Далее будем обозначать многогранник, описанный системой неравенств (10)-(13), через , а матрицу ограничений левой части системы (10)-(13) через Б. Нетрудно видеть, что все неравенства этой системы имеют структуру ограничений задачи упаковки множества: ¿)< 1 . Следовательно, можно рассмотреть задачу упаковки множества специального вида, непрерывная область которой описывается неравенствами . Обозначим через
многогранник этой задачи упаковки множества:
А
Рж = сопо{0,1 }тп+т).
Важно заметить, что в многограннике Б
'ж
ограничения-равенства 2,Ху =1, У е J задачи
1е1
(Р) имеют форму неравенств, а неравенства Ху < у г, г е I, у е J не рассматриваются.
Следовательно, множество бинарных векторов (х,у) е 088 о {0,1}™п+™ будет содержать в себе все допустимые точки задачи (Р) , т. е. точки, удовлетворяющие ограничениям (2)-(5).
С учетом этой информации несложно показать следующее важное включение, связывающее многогранник ЗРПК и многогранник построенной задачи упаковки множества специального вида:
Р ^ Рж. (14)
Другими словами, построенная задача упаковки множества с многогранником является специальной релаксацией для ЗРПК. Этот факт позволяет использовать известные результаты о правильных неравенствах для многогранника задачи упаковки множества при
построении новых нижних оценок оптимального значения ЗРПК (см., например, [10, 11, 13, 17, 21]). Действительно, в силу включения (14) любые правильные неравенства для многогранника будут также правильным для многогранника Р .
В частности, в работе [4] было предложено рассмотреть неравенства клик, которые конструируются для многогранника на
основании взаимосвязи задачи упаковки множества и задачи поиска независимого множества на графе, который строится по следующему правилу.
Каждой переменной (Х, у) ставится
в соответствие вершина графа. Обозначим через
А А
К={1,...,тп+ т} , |V\=Ы множество таких
вершин. Вершины и и V соединяются ребром в том и только в том случае, если столбцы ^ и ^ матрицы Б не ортогональны: (и, V) е Е ,)ф 0, и, V е V.
Известно (см., например, [19]), что задача упаковки множества эквивалентна задаче поиска независимого множества вершин максимального веса в графе 0(у, Е). Для многогранника последней известно большое количество семейств правильных неравенств [8, 10, 11, 17, 19, 21]. Одними из самых эффективных на практике являются неравенства клик. Напомним, что подмножество вершин графа называется кликой, если каждая пара вершин из этого подмножества является смежной, т.е. соединена ребром в графе. Клика называется локально максимальной, если она не содержится в клике большей размерности.
Пусть К с V - это подмножество вершин графа 0(у, Е), образующих клику, 2и, и еV -переменные, поставленные в соответствие вершинам графа в задаче поиска независимого множества. Неравенство клики
2
кеК
ч < 1
является правильным для многогранника такой задачи, а следовательно, и для многогранника задачи упаковки множества [8, 19].
Обозначим через К множество всех клик в графе G, построенном выше для специальной релаксации ЗРПК к задаче упаковки множества. Рассмотрим семейство правильных неравенств для многогранника Р^, определяемых этими кликами:
~ (15)
2 (х, у) к < 1, К, е К,
кеК
которые, согласно включению (14), будут правильными и для многогранника ЗРПК.
Построим новую постановку ЗРПК с целевой функцией (1), ограничениями (3)-(5), (7), (8), а также неравенствами клик (15). Обозначим через ЬВ4 нижнюю оценку, получаемую при решении линейной релаксации такой задачи ЦЛП.
В работе [4] была изучена взаимосвязь неравенств клик и неравенств (6), предложенных в [12]. В результате проведенных исследований в том числе было установлено, что ЬВз < ЬВ4.
Однако вопрос о численном поиске нижней оценки ЬВ4 ранее не исследовался. Разработке метода отсечений для семейства неравенств клик, а также его численному тестированию посвящены следующие разделы.
4. Метод отсечений для неравенств клик На практике неравенств клик в семействе (15) может оказаться чрезвычайно много (в общем случае экспоненциальное число), причем некоторые из них могут быть неактивны на оптимальном решении соответствующей непрерывной задачи и, следовательно, бесполезны для получения нижней оценки. Это приводит к неоправданному увеличению количества ограничений в формулировке. Для преодоления чрезмерного разрастания формулировки задачи используется метод отсечений. Опишем кратко основную идею этого метода [19, 20]. Пусть задано некоторое семейство С правильных для X неравенств, где X — это множество допустимых точек некоторой задачи ЦЛП. Идея метода отсечений заключается в том, чтобы не добавлять сразу все правильные неравенства семейства С в формулировку, а включать их последовательно по мере необходимости. С этой целью сначала рассматривается линейная релаксация на исходном множестве X и находится ее решение. Затем в задачу добавляются только те неравенства из семейства С , которые нарушаются полученным решением линейной релаксации. И далее вновь находится решение непрерывной задачи уже на новом допустимом множестве. Этот процесс продолжается, пока решение релаксиро-ванной задачи не будет удовлетворять всем неравенствам рассматриваемого семейства.
При реализации метода отсечений для неравенств клик на каждом шаге этого метода возникает необходимость поиска невыполненных неравенств клик. Для решения такой задачи целесообразно использовать эффективный метод поиска взвешенных клик в графе.
Напомним, что через 0(У, Е) в п. 4 был обозначен специальный граф, построенный на
основе взаимосвязи ЗРПК с задачей упаковки множества с множеством вершин V = {1,...^},
А
где N=т + тп, и множеством ребер Е = {(и, V) | и < V, и, V еV} . Пусть на каждой итерации метода отсечений вершинам и еV графа G сопоставлены веса wu > 0, определяемые
А
соответствующими компонентами ги =( х, у)и
текущего решения линейной релаксации.
Таким образом, на каждой итерации метода отсечений необходимо найти взвешенные клики
К8 е К в графе G с весами Ж(К )= ^ wk >1,
кеК
s
(поскольку интерес представляют только неравенства, невыполненные на текущем решении линейной релаксации). Нетрудно видеть, что если клика К содержится в клике К большей размерности, то неравенство, соответствующее клике К , будет доминировать неравенство,
порожденное кликой К [18]. Следовательно, на практике целесообразно на шагах метода отсечений поставить задачу поиска локально максимальных взвешенных клик таких, что Ж (К) > 1.
Для решения этой задачи в настоящей работе применен подход, который использует сведение задачи о максимальной взвешенной клике (ЗМВК) к непрерывной невыпуклой задаче оптимизации [7].
Для описания предлагаемого подхода введем характеристический вектор д(К, w) взвешенной клики с компонентами
q(K, w)u ="
W„
апёе и е K,
W(K)' ' (16)
0 ä i' öi oeäi i i пёо^аа
и рассмотрим следующую непрерывную задачу:
N 1
h(z) = ^-zU ^ min, z е S
i wu
u=1 u
F(z) = (z, Bz) < 0, где S = jz > 0\^и = lj, B(G, w) = {buv}( nxn ) задана следующим образом:
(MC (W))
матрица
b,„, =
——i——, апёе и ф v, (u, v) g E; UWu u Wv ( ) (17)
0
ä i' öi oe äi i i пёо^аа.
иркутским государственный университет путей сообщения
Доказано [7], что любое глобальное решение
*
7 задачи (МС(Ш)) позволяет определить соответствующую максимальную взвешенную клику К* по правилу: К* = {и е V: хи > 0}.
Нетрудно видеть, что задача (МС(Ш)) не может быть отнесена к выпуклым задачам, поскольку матрица В не является знакоопределенной. Однако хорошо известно, что любая матрица может быть представлена в виде разности двух положительно определенных матриц, например следующим образом:
B = Л, B = ^ - B, ааа Л =
=&
аи
+ s =-— +
2 w,,
I —+s,
1 .2 w„
(r, p) € E, F(z(r, p))< F(z'),
(18)
где аи - степень вершины и в дополнительном графе G, а s >0. Тогда задача (MC(W)) оказывается задачей с d. c.-ограничением, где F(z) = <р(z) - у/(z), ср(z) = (z,B^), y/(z) = (z, B2z), и для ее решения применима стратегия глобального поиска [9].
На базе этой стратегии в [7] разработан алгоритм глобального поиска для ЗМВК, который был протестирован на задачах из библиотеки DIMACS [14] и показал высокую работоспособность при решении задач большой размерности (N > 800) [7]. Поэтому данный подход применен для поиска взвешенных клик на итерациях разрабатываемого метода отсечений.
Одним из основных этапов алгоритма глобального поиска, разработанного в [7], является локальный поиск. Специальный метод локального поиска для задачи (MC(W)) [7] принимает во внимание дискретную природу ЗМВК, свойства матрицы B и определенную простоту допустимого множества S и служит для нахождения локально максимальных взвешенных клик.
C-процедура
Шаг 0. Выбрать
z0 е S, положить t := 0. Шаг 1. Построить множество
supp(z') = {и | zU > 0} .
Шаг 2. Если supp(z') является кликой, т. е.
F(z') = 0, то положить z := z' и идти на шаг 5.
Шаг 3. Выбрать две вершины r и p из supp(z') такие, что
где z(r, p) = z' + z'p (er - ep ).
Шаг 4. Положить z'+1 := z(r, p), ' :=' +1 и вернуться на шаг 1.
Шаг 5. Найти локально максимальную клику
K ^ supp(z') . Положить W := Iwk.
кеК
Шаг 6. Построить характеристический вектор q(K,w) по формуле (16). STOP: z = q(K,w) -локальный минимум в задаче (MC (W)).
Напомним, что при реализации метода отсечений для неравенств клик необходимо найти локально максимальные взвешенные клики, такие что W(К) > 1. Для этих целей может быть адаптирован алгоритм глобального поиска из [7], который преобразуется в следующую процедуру.
Пусть Q - множество клик со свойством W (К) > 1.
Алгоритм поиска невыполненных неравенств клик
Шаг 0. Положить Q := 0, ' :=0. Начиная из точки
z° C -процедурой получить точку z0 локального минимума задачи (MC (W)).
Шаг 1. Положить /3t :=у(zl), pt := h(z') . Построить аппроксимацию
At = {au = \e" | W(au) = pt, и = 1,...,N}.
Шаг 2. Для каждого и = 1,.,N найти ~и -решение линеаризованной задачи
<z,Л)-{У^(аи),z)i min, z е S, h(z) < pt. Шаг 3. Начиная с точки ~и е S для каждого и = 1,.,N, получить C -процедурой точку zu локального минимума задачи (MC (W)). Шаг 4. Для каждого и = 1,.,N, вычислить вес Wu = I wv. Если Wu >1, то клику supp(zu )
vesupp(zu )
добавить во множество Q .
Шаг 5. Среди всех zu, и = 1,.,N, выбрать точку
zv:
h(zv )= min h(zu ),
1<u < N
Шаг 6. Если h(zv )< h(z'), то положить
z'+1 := zv, t := t +1 и идти на шаг 1.
Шаг 7. Если h(zv) > h(zx), то STOP: клики множества Q порождают невыполненные неравенства клик.
Далее запишем общую схему метода отсечений, основанного на представленном
и
алгоритме поиска невыполненных неравенств клик.
Метод отсечений для неравенств клик
Шаг 0. Решить задачу линейного
программирования (1)-(4). Пусть (x, y) =
-z — ее
оценкой
LB,
полученной с помощью разработанного ранее нового семейства правильных неравенств (9) [3, 4]. Для сравнения нижних оценок оптимального значения ЗРПК, представленных в данной работе, были использованы тестовые примеры из работы [12], которые можно разбить на 3 блока: задачи размерности т = 50, п = 50 (общее число переменных в этих примерах равно 2550); во
решение.
Шаг 1. Построить граф G(V, E) для задачи упаковки множества, в котором каждой вершине u eV сопоставлен вес wu = zu . Шаг 2. Алгоритмом поиска невыполненных неравенств клик построить множество Q
локально максимальных клик Ks со свойством W (Ks )>1.
Шаг 3. Если Q = 0, то STOP:
LB 4= ££cjxj + £fiyi — искомая нижняя
ieI jeJ iel
оценка опримального значения ЗРПК.
Шаг 4. С помощью локально максимальных клик
множества Q сформировать неравенства вида (15)
и добавить их в формулировку ЗРПК.
Шаг 5. Решить задачу (1)-(4) с подмножеством
неравенств (15) и перейти на шаг 1.
Тестирование метода отсечений для неравенств клик и сравнение нижних оценок представлено в следующем разделе.
6. Вычислительный эксперимент Была реализована программа,
осуществляющая поиск нижней оценки LB4 , связанной с неравенствами клик, с помощью разработанного в разделе CPC метода отсечений. Для решения задач линейного программирования, возникающих на шагах метода отсечений, использовался пакет FICO Xpress Optimization Suite [22]. Для решения вспомогательных задач квадратичного программирования в алгоритме поиска невыполненных неравенств клик использовался пакет IBM ILOG CPLEX [18].
Проводилось сравнение нижней оценки LB4 , полученной с помощью неравенств клик, с нижней оценкой LB2 из работы [12] и нижней
втором блоке задачи размерности m = 50,n = 75 (общее число переменных 3800); и, наконец, в третьем — m = 75, n = 100 (общее число переменных 7575).
Результаты сравнения нижних оценок для первого блока задач представлены в табл. 1 . Здесь и далее в таблицах использовались следующие обозначения: Name — название тестового примера в соответствии с [12], gap — разрыв целочислен-ности для нижней оценки, полученной с помощью решения линейной релаксации исходной задачи ( P ) без добавления в формулировку каких-либо правильных неравенств, gap [12] и gap [3] — разрывы целочисленности из работ [12] и [3] соответственно и gapnew — разрыв целочисленности, полученный с помощью разработанного метода отсечений для неравенств клик.
Таблица 1 Нижние оценки для задач с 50 предприятиями и 50 клиентами
Name gup gap[12] gap [3] g^new
132-1 10,27 8,66 1,95 0
132-2 14,44 11,82 4,49 1,3
132-3 11,97 10,10 3,55 0
132-4 6,80 6,07 1,61 0
133-1 9,52 8,47 0,28 0
133-2 6,15 5,25 0,47 0
133-3 12,61 11,73 2,97 0
133-4 7,60 6,30 1,64 0,61
134-1 12,12 7,79 1,99 0
134-2 7,12 5,43 0,00 0
134-3 12,66 12,23 4,30 1,61
134-4 13,25 11,84 5,58 3,14
По результатам, представленным в табл. 1, можно сделать вывод, что для 8 из 12 примеров первого блока полученная на основе неравенств клик нижняя оценка совпала с оптимальным значением (gapnew =0). В оставшихся четырех примерах в среднем в 2,7 раза удалось сократить разрыв целочисленности по сравнению с результатами из работы [3].
Для задач второго блока (табл. 2) удалось существенно сократить разрыв целочисленности из работы [3] — в среднем в 1,6 раза.
Для примеров третьего блока (табл. 3) также удалось во всех задачах улучшить нижнюю оценку.
Д
иркутским государственный университет путей сообщения
Таблица 2 Нижние оценки для задач с 50 предприятиями и 75 клиентами
Name gap gap12] gap [3] gaPnew
a75-50-1 27,67 24,47 16,47 12,69
a75-50-2 27,22 23,71 16,38 12,76
a75-50-3 27,14 23,66 16,08 12,75
a75-50-4 24,29 21,75 14,53 11,36
b75-50-1 28,11 24,49 13,73 8,66
b75-50-2 31,06 27,15 17,73 12,09
b75-50-3 28,22 24,36 14,58 8,39
b75-50-4 27,28 22,67 12,01 6,78
c75-50-1 31,85 26,83 14,75 9,12
c75-50-2 29,04 25,18 12,99 7,22
c75-50-3 28,47 22,29 11,19 4,95
c75-50-4 30,47 26,63 16,05 10,23
Таблица 3 Нижние оценки для задач с 75 предприятиями и 100 клиентами
Name gaP gap[12] gap [3] gaPnew
a100-75-1 21,27 18,96 11,99 10,55
a100-75-2 27,19 25,20 18,77 16,83
a100-75-3 25,97 24,16 17,71 15,48
a100-75-4 24,57 22,27 15,98 14,79
b100-75-1 31,80 28,51 21,64 20,55
b100-75-2 33,08 30,48 23,29 21,74
b100-75-3 34,47 30,97 23,76 22,41
b100-75-4 28,56 27,07 19,18 17,72
c100-75-1 32,15 27,95 20,52 18,82
c100-75-2 31,49 28,35 20,14 17,87
c100-75-3 32,30 28,92 20,78 18,25
c100-75-4 32,36 29,41 21,16 19,11
Таким образом, на основании проведенного вычислительного эксперимента можно сделать вывод об эффективности разработанного метода отсечений с точки зрения улучшения нижней оценки оптимального значения ЗРПК. Неравенства клик, сконструированные на основе взаимосвязи ЗРПК с задачей упаковки множества, будучи добавленными в линейную релаксацию задачи, позволяют существенно сократить разрыв целочисленности в примерах небольшой размерности, а в 2/3 задач с 50 предприятиями и 50 клиентами - найти решение ЗРПК.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Алексеева Е.В. Генетический локальный поиск для задачи о р -медиане с предпочтениями клиентов / Е.В. Алексеева, Ю.А. Кочетов // Дискретный анализ и исследование операций. 2007. Т. 14, № 1. С. 3-31.
2. Береснев В.Л. Дискретные задачи размещения и полиномы от булевых переменных / В.Л. Береснев. - Новосибирск: Изд-во Института математики, 2005.
3. Васильев И.Л. Метод ветвей и отсечений для задачи размещения с предпочтениями клиентов / И.Л. Васильев, К.Б. Климентова // Дискретный анализ и исследование операций. 2009. Т. 16, № 2. С. 21-41.
4. Васильев И.Л. Новые нижние оценки для задачи размещения с предпочтениями клиентов / И.Л. Васильев, К.Б. Климентова, Ю.А. Кочетов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2009. Т. 4, № 6. С. 1055-1066.
5. Горбачевская Л.Е. Полиномиально разрешимые и пр-трудные двухуровневые задачи стандартизации: дис. ... канд. физ.-мат.наук / Л.Е. Горбачевская. Новосибирск, 1998.
6. Горбачевская Л.Е. Двухуровневая задача стандартизации с условием единственности оптимального потребительского выбора / Л.Е. Горбачевская, В.Т. Дементьев // Дискретный анализ и исследование операций. 1999. Т. 6, №2. C. 3-11.
7. Груздева Т.В. Решение задачи о клике сведением к задаче с d.c. ограничением / Т.В. Груздева // Дискретный анализ и исследование операций. 2008. Т. 15, № 6. С. 20-33.
8. Емеличев В.А. Многогранники, графы, оптимизация / В.А. Емеличев, М.М. Ковалев, М.К. Кравцов. - М: Наука, 1981. 344 с.
9. Стрекаловский А.С. Минимизирующие последовательности в задачах с d.c. ограничениями / А.С. Стрекаловский // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2005. Т. 45, № 3. C. 435-447.
10.Avella P. A computational study of a cutting plane algorithm for university course timetabling author / P. Avella, I. Vasil'ev // Journal of Scheduling. 2005. V. 8, N 6. P. 497-514.
11. Borndorfer R. Set packing relaxations of some integer programs / R. Borndorfer, R. Weismantel // Mathematical Programming. 2000. V. 88. P. 425-450.
12. Cánovas L. A strengthened formulation for the simple plant location problem with order / L. Cánovas, S. García, M. Labbé, A. Marín // Operations Research Letters. 2007. V. 35, N 2. P. 141-150.
13. Cánovas L. On the facets of the simple plant location packing polytope / L. Cánovas, S. García, M. Landete, A. Marín // Discrete Applied Mathematics. 2002. V. 124, N 1-3. P. 27-53.
14. DIMACS - Discrete Mathematics and Computer Science. URL: ftp: //dimacs.rutgers.edu/pub/challeng e/graph/benchmarks
15.Hanjoul P. A facility location problem with clients' preference orderings / P. Hanjoul, D. Peeters // Regional Science and Urban Economics. 1987. V. 17. P. 451-473.
16.Hansen P., Lower bounds for the uncapacitated facility location problem with user preferences / P. Hansen, Y. Kochetov, N. Mladenovi c'. Les Charies du GERAD G-2004-24, 2004.
17. Hoffman K. Solving airline crew scheduling problems by branch-and-cut / K. Hoffman, M. Padberg // Management Science. 1993. V. 39, N 6. P. 657-682.
18. IBM ILOG CPLEX. URL: http://www-01. ibm.com/software/integration/optimization/cplex
19.Nemhauser G.L. Integer and Combinatorial Optimization. / G.L. Nemhauser, L.A. Wolsey. -New-York: A Wiley-Interscience Publication, 1999.
20. Pochet Y. Production Planning by Mixed Integer Programming / Y. Pochet, L.A. Wolsey. - New-York: Springer, 2006.
21.Waterer H. Savelsbergh M.W.P. The relation of time indexed formulations of single machine scheduling problems to the node packing problem / H. Waterer, E.L. Johnson, P. Nobili // Mathematical Programming. 2002. V. 93. P. 477-494.
22. Fair Isaac Corporation: Xpress Optimization Suite. URL:http://www.fico.com/
УДК 620.17 Лапшин Владимир Леонардович,
д. т. н., профессор, заведующий кафедрой сопротивления материалов и строительной механики Иркутского государственного технического университета,
тел. 40-54-25, E-mail: lapshin@istu.irk.ru Глухов Александр Владимирович, соискатель Иркутского государственного технического университета.
тел. 40-54-25, E-mail: lapshin@istu.irk.ru
ИССЛЕДОВАНИЕ ОСТАТОЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ УДАРНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
УПРУГО-ВЯЗКО-ПЛАСТИЧНОЙ МЕХАНОРЕОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
V.L. Lapshin, A. V. Gluhov
THE RESEARCH OF RESIDUAL DEFORMATIONS OF SHOCK INTERACTION PROCESS ELASTIC-VISCOUS-PLASTIC MECHANOREOLOGICAL MODEL
Аннотация. Приводится математическое описание механореологической модели процесса ударного взаимодействия сферического тела с поверхностью, анализируется влияние упруго-пластических параметров модели на величину остаточных деформаций и высоту отскока модели. Приводится алгоритм расчета, на основе которого в результате компьютерного эксперимента получены уравнения регрессии, описывающие влияние рассматриваемых факторов на исследуемые параметры процесса ударного взаимодействия модели.
Ключевые слова: удар, сферическое тело, контактное взаимодействие тел, механореологи-ческая модель.
Abstract. The mathematical description of me-chanoreological model ofprocess of a shock interaction of a spherical body with a surface is resulted, the influence of elastic - plastic parameters of a model on size of residual deformations and size springback of model is analyzed. The algorithm of analysis is resulted. As a result of computer experiment the regression equations are derived. They describe influence of the considered factors on researched parameters of process of shock interaction of model.
Keywords: shock, spherical body, contact interaction of the solids, mechanoreological model.
При моделировании ударных процессов во многих случаях необходимо учитывать потери энергии, возникающие при взаимодействии тел.
