CC BY
35
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2011, том 54, №3_____________
ФИЗИКА
УДК 537.84:534.22
Академик АН Республики Таджикистан С.Одинаев, К.Комилов, А.Зарипов
О КОЛЛЕКТИВНЫХ КОЛЕБАНИЯХ В МАГНИТНЫХ ЖИДКОСТЯХ
Таджикский национальный университет
Исследованы возбуждения коллективных колебаний в магнитных жидкостях. Определены спектры частот и коэффициенты затухания сдвиговых, продольных и тепловых мод. Анализировано их асимптотическое поведение, как при низких, так и при высоких частотах. Установлено, что результаты качественно соответствуют результатам, полученным на основе метода молекулярнокинетической теории.
Ключевые слова: магнитная жидкость - коллективные колебания - модуль упругости - спектр частот.
Благодаря согласованному движению системы большого числа взаимодействующих частиц в жидкостях возможны возбуждения коллективных колебаний. Исследование коллективных колебаний представляет интерес в связи с выяснением характера теплового движения частиц, структуры жидкостей, а также для интерпретации экспериментов по рассеянию нейтронов. В [1,2] вариационным методом получены выражения для спектра высокочастотных коллективных колебаний в простых жидкостях. В [3] изучен спектр высокочастотных колебаний в простых жидкостях на основе кинетического уравнения с учетом пространственной корреляции плотности и потока частиц.
В [4] исследовано спектральное распределение рассеяния света в простых жидкостях на основе линеаризованных уравнений гидродинамики. Применительно к магнитным жидкостям (МЖ) проблема возбуждения коллективных колебаний изучена недостаточно. Поэтому целью настоящей работы явилось исследование возбуждения коллективных колебаний в МЖ и определение их спектра. В качестве исходных уравнений используем линеаризованные уравнения обобщенной гидродинамики, полученные в [5]:
Адрес для корреспонденции: Комилов Косим. 734025, Република Таджикистан, Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
(1)
І і ~
Здесь р0, Т и р , Т - равновесная и возмущенная плотность и температура МЖ, 5 - вектор средней скорости частиц, Є- внутренняя энергия, Р - давление, Р? (д, Ї) - тензор плотности потока импульса частиц, Sa(д, Ґ) - вектор плотности потока тепла.
Введя вектор смещения и = и (д, Ґ) , который связан с вектором скорости соотношением
3 = du / &, и совершая в системе уравнений (1) Фурье-преобразование по времени, имеем:
р (а) + р длуи (а) = 0,
2 _ . 5Рар (а) п
-РоР и(а) + р =° (2)
-іарСТ (а) -іаТ\ — <М\и(а) +---------------= 0,
0 4 ^д Т )р дд?
где С - теплоемкость при постоянном объеме. Величина
о^/ N \дТ'(а)
Sa(а) = -А(а) —о (3)
дд?
есть Фурье-образ вектора потока тепла, в котором А(о) - комплексный коэффициент теплопроводности. Фурье-образ тензора плотности потока импульса частиц определяется выражением
Рар (а) = Р' (а)5ар - 2¡л(а) | - Кг (а)$ыи5ар, (4)
( дРЛ (дР Л
где Р'(о) = ------ р (р) + 1----- Т'(о) - Фурье-образ возмущения давления, а //(р) и
[др)т удТ )р
Кг (р) = К (р) — К комплексные сдвиговый и релаксационный объемный модули упругости, К (р)
- комплексный объемный модуль упругости, К =
( дР Л
Т (дР
др)т РС \дт
--- I - адиабатический объем-
ный модуль упругости.
Учитывая выражения (3) и (4) в (2), затем проведя Фурье-преобразование по координатам в систему уравнений (2), имеем:
р (а) - ір ки (а) = 0,
-а2и(а) + іЦк р (а) + іВ2к.Т1 (а) + Д, (а)к 2и(а) + £)А (а)к (ки(а)) = 0, (5)
-іаТ' (а, к) + аВ/(ки(а)) + Д (а)к 2Т' (а) = 0,
где
к -
волновой
вектор, к =\к |,
1 ( дР Л
др
р0
1 ( дР'
Т (дР
\др )т
1 ~ 1 —Л (а) = Д (а), — р0 р0
1
л (а) + К г (р)
= А4 (а),
1
рС
А ’ р 1дТ )р А ’ рС 1дТ )р А -Ар) = Др).
Для упрощения дальнейших расчетов, уравнения (5) запишем в проекциях на оси декартовой системы координат. Направив волновой вектор к параллельно оси ОХ, то есть имея к (кх = к, 0,0)
, получим:
р’р) + гр ких (р) = 0, [—р2 + ф3 (р) + Д р))к 2]их (р) + ¡Дкр'(р) + ¡ДкТ1 р) = 0,
[—р2 + Д р)к 2]иу р) = 0, (6)
[—р2 + Д (р)к 2]иг (р) = 0, рД2 ких + [—¡р + Д (р)к 2]Т '(р) = 0.
Для определения спектров коллективных колебаний из коэффициентов уравнения (6) составим определитель и приравняем его нулю. Аналитически вычисляя определитель, получим следую-
щее дисперсионное уравнение:
(—р2 + Д к 2){[—р2фг + Д )к 2(—1р + Д к2)]+рДк 2(—1р + Д к2)—¡рДДк2} = 0.
Из дисперсионного уравнения (7) для сдвиговых волн имеем:
р = Д к2 = р—1// (р)к2.
(7)
(8)
Выражение (8) есть дисперсионное соотношение сдвиговых (поперечных) упругих колебаний. Полагая в (8) Ю = Ю — ¡у , для спектра частот сдвиговых мод получим:
1
(
1
У
Р =—Лр)к + —Ъ(а)
р0 I 2р0
а коэффициент затухания сдвиговых мод определяется выражением
1
(9)
У, =Л,(р)к 2, 2р0
(10)
где /(р) - динамический сдвиговый модуль упругости, а % р) - динамический коэффициент сдвиговой вязкости МЖ.
Рассмотрим асимптотическое поведение полученных выражений, как при низких, так и при высоких частотах.
В гидродинамическом режиме, когда р ^ 0, согласно [5], /р) ^Ырзп, %(р — %(0) ^Ир12 , поэтому из (9) и (10) получим:
р =
(р—?Ы)2к‘, у, = (2р„)-' (%(0) + р^-И)к2.
Следовательно, в этом предельном случае р стремится к нулю пропорционально к4, а коэффициент затухания у ~ к2.
В предельном случае, когда р , согласно [5], % р) ~ р1 ^ 0, а /р) ^ /, следовательно, выражения (9) и (10) имеют следующую асимптотику:
рр =ръ/к2, у, = 0 .
МЖ:
Из уравнения (7) также имеем следующее дисперсионное соотношение для продольных мод в
(¡р) — (¡р)2 Д к2 + ¡р[ф3 + Д )к2 + рДк2 + ДДк2]—[рр\Д + (Д + Д )Д ]к4 = 0. (11)
После проведения определенных, хотя и громоздких, математических вычислений и обозначая ¡р = у, дисперсионное соотношение (11) можно привести к виду:
у3 — Ак2 у2 + (Ак2 + А к4) у+4 к4 = 0
(12)
где
А = —
Ро
4 / Л / Л ^(р)
-%(р) + %у(р) + —7~ 3
, А = и, + — Ро
4/(р) + Кг (р) + ^(р
А =
р) + %(р)
(лр)+г(р)),
А = —
(Ар)+гр))
рС
(дР Л 1 (4
+_ /(р)+кр)
Чдр )т р0 >)
, и2 =
(дРЛ т (дРл2
др)т + р0СV 1дТ )р ’
%(р) , Л(р)- коэффициенты объемной вязкости и теплопроводности, К(р) , ^(р)- модули релаксационной объемной и термической упругости, соответственно.
Выражение (12) представляет собой кубическое уравнение относительно функции у . Решение этого уравнения позволяет исследовать возможность возбуждения различных коллективных мод в магнитных жидкостях. Для решения этого уравнения воспользуемся методом, описанным в [4] и введем функцию
у = ак+Ък2,
(13)
где I = 1, 2, 3 соответствуют корням кубического уравнения, а. И Ъ. — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.
Учитывая функцию (13), в уравнении (12) определим значения коэффициентов а. И Ъ.:
а = -а = А2, а3 = 0, Ь = Ь = (1/ 2) (а+(Л / А)), ь3 = -А4 / А.
Подставляя найденные значения коэффициентов а. И Ь. из (14) в (13), получим:
У1 = іА!'-к+1 (А,+(А,/А)) кг,
у 22 = -іА22к + — ( А1 + ( А4/ А2)) к,
2
Здесь
Уз =-( Аа/ А2)к2.
А4 — а4 + іА4 , а А4 = -
Л(а)
рС
(дР Л 1 (4 '
__ + _ л(р) + Кх(р)
V р) т р0 V )
(14)
(15)
а-=-
р0аС\
1 4
( дР Л
т- +—I- Л(р)+Кг(р)
1Ф)т р0 \3 )
Далее, полагая ю = ю^ - іу^ , из первого равенства (15) для спектра частот и коэффициента затухания продольных колебаний получим:
А 1
о = А/2к+-^ к2, у = -1 ^ 2А 2
Г АЛ
А + А-
1 А
V А
к2.
(16)
Проанализируем асимптотическое поведение выражений (16). При высоких частотах, когда р да, имеем А ^ 0, А. ^ 0 , А! ^ 0, тогда получим:
1 + р-и-
V
- Лр) + Кгр) +
V 3 СV )
В предельном случае р ^ 0 , то есть в гидродинамическом режиме, из (16) для спектра частот продольных мод получим выражение
р = и к+ак512,
где а = -
3
2р0
- л(0)+К (0)+^
1-
3и 2
дР
Vдр )т )
и1 2 , а для коэффициента затухания продоль-
ных колебаний имеем следующее выражение:
у = ак2 + а2к5/2,
где a =
і
2р0
4-п, (0)+ч,(0)т
і
2р0
4 M (0)+H (0)Л(0)
ыЦ2 , у = Cp / Cv
Ср - изобарическая теплоемкость. Выражения для статических коэффициентов вязкости % (0),
% (0) и теплопроводности Л(0), а также М(0), Н(0) и Л(0) приведены в [5, 6].
Теперь, исследуем возможность возбуждения тепловых колебаний в магнитных жидкостях. Полагая уъ = и (р = р — 1уТ, из последнего выражения (15) получим:
Ап А'
о = —к2, у = А.
т А Ут А
(17)
Рассмотрим асимптотическое поведение выражения (17). При высоких частотах, когда СО^да, имеем:
®т = ~W~ 2 > Ут ^ 0 •
р0сР
При низких частотах, когда о ^ 0 , согласно [6], Л(о) — Л0 = О2Л, поэтому из (17) полу-
чим:
О =
Z (0)
\Р0<СР)
к4, у =
А>
р0сР
к2 +
Л2 {0) (р£Р f
к4.
Следовательно, в гидродинамическом режиме спектр частот тепловых мод в МЖ затухает по
закону ~ к4 , а их коэффициент затухания ~ к2 .
В заключение отметим, что полученные дисперсионные соотношения, выражения для спектра частот и коэффициентов затухания коллективных колебаний в магнитных жидкостях находятся в соответствии с выражениями, которые ранее были получены методом молекулярно-кинетической теории [7-9].
Поступило 19.01.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Zwanzig R. - Phys. Rev., 1967, v. 156, №1, p. 190-195.
2. Nossal R. - Phys. Rev., 1968, v. 166, №1, p. 81-88.
3. Адхамов А.А., Одинаев С. - ДАН ТаджССР, 1975, т. 28, №6, с. 20-23.
4. Mountain R.D. - Rev. Mod. Phys., 1966, v. 38, №1, p. 205-214.
5. Одинаев С., Комилов К., Зарифов А. - ЖФХ, 2006, т. 80, № 5, с. 864-871.
6. Комилов К. - ДАН РТ, 2006, т. 49, № 9, с. 813-818.
7. Одинаев С., Комилов К. - ДАН РТ, 2007, т. 50, №5, с. 420-424.
8. Одинаев С., Комилов К., Зарипов А. - ДАН РТ, 2008, т.51, №2, с. 107-112.
9. Одинаев С., Комилов К. - УФЖ, 2009, т. 54, №3, с. 256-259.
і
2
С.Одинаев, ^.Комилов, А.Зарипов
ОИД БА ЛАППИШХ,ОИ КОЛЛЕКТИВОНА ДАР МОЕЪ^ОИ МАГНИТЙ
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола имконияти ангезиши лаппишх,ои коллективона дар моеъх,ои магнитй маври-ди тадкик карор ёфтааст. Спектри басомадхо ва зарибхои хомушшавии лаппишхои лагзиш, тулй ва хароратй муайян карда шудаанд. Рафтори асимптотикии онхо чй дар басомадхои паст ва чй дар басомадхои баланд тахлил гардидаанд.
Калима^ои калиди: моеъи магнитй - лаппишуои коллективона - модули чандирй - спектри басомад^о.
S.Odinaev, K.Komilov, A.Zaripov ABOUT COLLECTIVE OSCILLATIONS IN MAGNETIC LIQUIDS
Tajik National University
Excitation of collective oscillations in magnetic liquids are investigated. The spectra of frequencies and coefficients of attenuation of shear, longitudinal and thermal mode are determinedis. Them asymptotical behavior, both at low, and at high frequencies investigated.
Key words: magnetic liquid - collective oscillations - the module of elasticity - spectrum offrequencies.
