CC BY
45
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2006, том 49, №9
ФИЗИКА
УДК. 532.7+537.84
К.Комилов
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МАГНИТНЫХ
ЖИДКОСТЕЙ
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан С.Одинаевым 6.12.2006 г.)
Закономерности теплообмена в магнитных жидкостях (МЖ) впервые были исследованы в работе [1] в связи с тем, что они обладают сильными магнитными свойствами [2,3].
В технологических устройствах МЖ применяют в качестве теплоносителя. Из-за зависимости намагниченности от температуры на охлажденные и нагретые объемы жидкости действуют разные силы со стороны магнитного поля. При этом градиент напряженности магнитного поля играет роль, аналогичную полю тяжести в термогравитационной конвекции [2]. Другая особенность МЖ заключается в ее взаимодействии с полем, выражающаяся в изменении температуры при изменении напряженности магнитного поля. В результате этого в МЖ появляются внутренние источники и стоки тепла. Появляется возможность управлять процессами течения и теплообмена в МЖ при помощи магнитного поля [4].
Исследование процесса теплопроводности МЖ дает существенную информацию о том, что тепловое движение их частиц имеет как индивидуальный, так и коллективный характер. Исследованию процесса теплопроводности в МЖ посвящено большое количество работ [2-4]. Согласно [4], теплопроводность МЖ существенным образом зависит от концентрации ферромагнитных частиц. В работе [5] экспериментально показано, что концентрационная зависимость теплопроводности МЖ на основе керосина в области 0<ф8<0.15 имеет линейный характер. По данным работы [6], зависимость теплопроводности МЖ от температуры выше, чем та же зависимость у жидкости носителя. Если теплопроводность МЖ с концентрацией фя=0.1 при комнатной температуре приблизительно на 30% больше, чем у жидкости-носителя, то при Т=363 К эта разница составляет 17%. В работе [6] показано, что в слабоконцентрированных МЖ теплопроводность от магнитного поля не зависит. Для некоторых концентрированных (ф§=0.2) МЖ показано повышение теплопроводности в магнитном поле, параллельном тепловому потоку Эта зависимость от магнитного поля имеет линейный характер. Магнитное поле, направленное перпендикулярно тепловому потоку частиц, не влияет на теплопроводность МЖ. Уместно отметить, что экспериментально можно измерять только статическое значение коэффициента теплопроводности, при помощи которого невозможно учесть вклады релаксационных процессов, в частности процесс структурной релаксации, очень важный для МЖ. Поэтому предметом настоящего исследования является получение молекулярного выражения для динамического коэффициента теплопроводности при посто-
янном давлении, с учетом вкладов различных релаксационных процессов и при наличии неоднородного внешнего магнитного поля.
В случае малого отклонения состояния МЖ от равновесия и радиальной симметрии, а
также малой пространственной неоднородности компоненты вектора потока тепла Б01 ^ ,/ ,
входящие в уравнения обобщенной гидродинамики, согласно [7], микроскопически определяются выражением:
<7
Ф г ба1 -
■ат*Р
СІФ гаг ёг г
(1)
где </,/ -У ф,
V ^ ТП
кинетическая часть вектора потока тепла;
2 1
ра _ ра _ компоненты относительного импульса частиц МЖ; 3" с/,, I - средняя
~а
скорость частиц; J“ д17г^ = \—^—/2 хг,х2^ сф1сф2 - неравновесный бинарный поток час-1 т
тиц; х- д,р .
Как видно из выражения (1), для определения компоненты полного вектора потока тепла Ба необходимо знать уравнения для 5^ _ и ^ Уравнения для этих
величин, полученные в линейном приближении в работе [7] на основе обобщенного кинетического уравнения для одно - и двухчастичного функции распределения (ФР), имеют вид:
5 ик% дТ 5 кТ0 дкар _ 3/3
д! 2 т дд“ 2 т дд[
т
(2)
ац
ді
■ + (ОуІ2 дг,г,і +со2§^ дг,г,і = <2“ ■>
где (Ол
ЗА.
со0 — т0
кт« „=Ч-ь = -д
т Р<72 ’ 2 2
ховского; 0" ду,г^ =юу12 ду,г^ ;
дг°
дга дга
1п^-° г
(3)
- оператор Смолу-
~та . . 2кТ0 2 о, гагр д д\п^ г
7“ дх,г,і =------—п £ (г)---------------------
21 р г дг дт
0 - л ґдт і л
2кТ:,
Р
°-п2§° г
біп^-0 г дТ
дТ( 1)
■М8 УЯ
дц_г_
дТ
Ур
дТ 1
Здесь: к- постоянная Больцмана; п - числовая плотность; /? - коэффициент трения частиц; Г0 и Т4^=Т^^ - равновесная и неравновесная температуры соответственно;
g0 ^ - радиальная ФР, описывающая равновесную структуру МЖ. Определения Ки,> (/,1 и других параметров, входящих в (2) и (3), приведены в [8].
Компоненты вектора потока тепла 8й 4/], / __ состоят из двух частей, первая из которых обусловлена переносом кинетической энергии, а вторая - взаимодействием частиц МЖ. Релаксация Sk в*1 , X ^ является трансляционной. Вторая часть потока тепла определяется посредством и содержит вклады как от структурной, так и от и трансляционной ре-
лаксации. Общее решение уравнения (3) имеет вид [8]:
I I
J2 <71з7%7 =1^1# Г,Г1,Х~Х1 <71,7% 7 <^г1 >
где
в г,гх,Х-Хх -
2 гк
(2л)
г \ 1/2 '
я
« ехр
СО г, X — X,
V 0 1 /
4<о0 Х-Хг
-ехр
г + п
4<о0 Х-Хг
(4)
ехр[-«1 Х-Хх ].
Как показано в [8], трансляционная релаксация является более быстрым процессом по сравнению со структурной релаксацией.
Для учета в £/,, / вклада только процесса перестройки структуры МЖ, в потенци-
альной части необходимо решение уравнения (3) усреднить по времени трансляционной релаксации. В этом случае кинетическая часть потока тепла описывается трансляционной, а потенциальная часть только структурной релаксацией. В результате получим сглаженное фундаментальное решение уравнения (3) в виде:
в г,г1,Х-Х1
2(щУ1
2 я
( \ 3/2 '
я
« ехр
со2 t — tl J
г —г,
4 со2 Х-Хх
-ехр
г + г.
(5)
Подставляем решения уравнений (2) и (3) с учетом (4) в (1). Затем, совершая Фурье-преобразование по времени, получим следующее комплексное выражение для полного потока тепла
со,к =ю1ка1 а Т а,к , где 2 со =2 со — тХ со - комплексный термический модуль упругости, мнимая часть Я со которого представляет собой динамический коэффициент теплопроводности МЖ. Выражение для Л(р ^ имеет следующий вид:
2
2
г —К
3
Я со =— р 2
\т)
Т0Т2
л 2 2 2
4л п а
\ + (а> т2)2 3
■ |ф2 (/')/'2б//' (г,/,, ^у)Д (/• )/|3б//|
о о
\®\ г\ ’0>)
+
|ф, (/')/'2б//' (г,/,, <у) Д (/,)/, V/,
О
00
+
4 л2п2аъ /і{
9(3
(6)
% 00
эг
/ | б// ,,
/р
где
Ф1{г) = Ъ
ч 1 гіф
Ф(г)--г — 3 аг
; Ф2(г) = Ф(г)-г—г,г^со = А(со) 11(со)сов^-
СІГ
-К(<г>) йІП е £/((у) сов ср2 - У(со) вІП Ср2 Є
II (со) =
/ 2 2 •у СО — СО^ +6^ 1/2 і іг 1 л, 1 £ 1
; V со =
2 2
1/2
^1,2
Ї7 « г + ^ ; у/12 со =
г 2 V-
\®2 J
и <0£+О
л 2кТ<>
А к = 0
Р
V .
V /р
А31п^-° ^ ^
V ЗГ ,
V /р
Ф(г) - общий межмолекулярный потенциал взаимодействия частиц МЖ, р - массовая плотность, со - частота процесса.
Выражение (6) определяет коэффициент теплопроводности МЖ в широком диапазоне частот. Частотная зависимость /I ^ определяется частотной зависимостью функции Г, г,в) . Эта зависимость имеет очень сложный характер.
Рассмотрим предельные случаи. Допустим, что со <озх, т.е. ограничиваемся областью частот со ниже частоты трансляционной релаксации а>1. Тогда вкладом экспоненциального члена в Ох^гх,со , обусловленным трансляционной релаксацией, можно пренебречь по сравнению с членом, описывающим структурную релаксацию, поэтому будем иметь
в1(г,г1,со) = -
1/2
4л гг.
-[ віп^ -СОБ^ е п - БІПср2 -СОЪ(р2 Є ‘Рг
(7)
тт тг ш 1/2 1/2
и со =У со = со 12 ',<Р\2=У\2 = г + г\ •
1,2 г 1,2 2 ' Т'1
Выражение (6) с учетом (7) определяет динамический коэффициент теплопроводности МЖ, потенциальная часть которого обусловлена процессом структурной релаксации.
При низких частотах, когда со —>■ 0 , Я4р^ имеет следующую низкочастотную асимптотику
0
0
я4рУя = а1;
1/2
(8)
где
Л — 4/Т _2_3_3/2
Л, —------------У1 (7 Т0
1 3 2
+
ЛжпV>0 ^3/2 2/3
М г r2fi?r rx r2drx + |ф2 г r2fi?r р42 rx r^drx
о о
tI'2Ms |V//| г /'2б//' |
Г г
о о
дТ
3 5
л = — р 2
2тгкТа 2 3
V2+- '
Kmj
зр
-п а
% (г) ST
Ур
г ~dr— *
■'Эг
5 In g0(г)
3T
g 0(г)г 2dr\
Здесь А - есть статический коэффициент теплопроводности. Выражение (8) показывает, что при низких частотах динамический коэффициент теплопроводности 1 (р ^ стремится к статическому значению Я по закону со112.
В пределе высоких частот (р —> оо^ из выражения (6) получим следующую высокочастотную асимптотику
z„-\p
'кЛ2
\т)
T
-L г\
(9)
Как видно из выражения (9), коэффициент теплопроводности при высоких частотах уменьшается по более медленному закону со1, чем согласно общей релаксационной теории
,-2
Для сравнения полученных результатов с экспериментальными данными необходимо провести численные расчеты.
Таджикский государственный национальный университет
Поступило 06.12.2006 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Neuringer J.L., Rozensveig R.E. - Phys. Fluids, 1964, т.7, №12, с. 1927-1932.
2. Фертман В.Е - Теплофизика высоких температур, 1979, т.17, №1, с.196-206.
3. Фертман В.Е - Инженерно-физический журнал, 1987, т.53, №3, с.502-511.
4. Берковский Б.М, Медведов В.Ф, Краков М.С. Магнитные жидкости. - М.: Химия, 1989, 356 с.
5. Жук И.П., Ларин А.С., Фертман В.Е - Материалы VI Всесоюзн. конф. по теплофизическим свойствам веществ. Минск: ИТМОАН БССР, 1987, с.111-112.
6. Кронкалс Г.Е, Майоров М.М, Фертман В.Е. - Магнитная гидродинамика, 1984, т. 37, № 2, с. 38-42.
7. Одинаев С., Комилов К., Зарифов А. - Журнал физической химии, 2006, т.80, №5, с.864-871.
о
р
8. Одинаев С., Aдхамов A.A. Молекулярная теория структурной релаксации и явлений переноса в жидкостях. - Душанбе: Дониш, 1998, 230 с.
^.Комилов
НАЗАРИЯИ МОЛЕКУЛЯРИИ ГАРМИГУЗАРОНИИ МОЕЪ^ОИ МАГНИТЙ
Даp макола хосияти гаpмигyзаpонии моеъх,ои магнитй мавpиди тадкик Kapop ёфта, коэффисенти гapмигyзapoнй мyaйян кapдa шyдaaст.
K.Komilov
THE MOLECULAR THEORY OF HEAT CONDUCTIVITY OF MAGNETIC
LIQUIDS
In clause it is investigated thermal properties of magnetic liquids. It is found factor of heat conductivity.
