CC BY
29
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2006, том 49, №10-12_____________________________
ФИЗИКА
УДК 532.7+532.133+534. 8.142
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан С.Одинаев, Д.Акдодов
К СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛОВЫХ ВОЛН В РАСТВОРАХ ЭЛЕКТРОЛИТОВ
Известно, что частотная дисперсия скорости С(р) и коэффициента поглощения а(р) продольных волн в жидкостях и растворах определяется посредством динамических модулей упругости и соответствующих им динамических коэффициентов переноса, т.е. они содержат вклады не только вязкоупругих свойств, но и других диссипативных процессов, и в первую очередь теплопроводящих. Если отсутствует теплообмен между разными участками среды, то процесс распространения звука является адиабатным. Это значит, что изменяются не только давление и плотность, но и температура жидкости. Амплитуды изменения этих параметров определяются на основе решения уравнения обобщенной гидродинамики. В то же время эти уравнения описывают собственные колебания системы, т.е. гидродинамические моды.
Сдвиговые и продольные акустические моды в жидкостях при низких и высоких частотах теоретически исследованы в работах [1-3]. Однако тепловые моды как экспериментально, так и теоретически мало изучены. Несмотря на обилие экспериментальных данных по измерению стационарного коэффициента теплопроводности [4], не имеется еще комплексных теплофизических исследований термоупругих свойств жидкостей, позволяющих делать вывод о влиянии коллективных и индивидуальных мод теплового движения в процесс переноса тепла. За исключением отдельных результатов по машинному моделированию, не имеется данных по экспериментальному исследованию динамических термоупругих свойств жидкостей и растворов в широком интервале изменения частоты внешнего воздействия. Последние позволяли бы судить о характере релаксационных процессов, а также об их вкладе в скорости и коэффициенты поглощения продольных волн в жидкостях и их растворах.
В [4,5] показано, что имеется тесная корреляция коэффициента теплопроводности Я со скоростью звука С . Наблюдается почти прямая пропорциональность между коэффициен-
Я г Я
том температуропроводности------ и скоростью звука С , а также между отношением — и
СР • р С
изобарической объемной теплоемкостью р • Ср. В [6] для выявления взаимосвязи теплофизических характеристик жидкостей и анализа найденных закономерностей о природе процессов переноса тепла, проведены исследования и сопоставление поведения Я и р • СР для органических жидкостей различных структур. Определена корреляция коэффициента теплопроводности Я со скоростью звука С , а также делается вывод о заметном вкладе коллективных мод в процесс переноса тепла в жидкостях. На основе этиой корреляции и результатов
измерения Я вблизи точки плавления делается предположение, что механизм переноса тепла в жидкостях имеет много общего с переносом тепла в твердых телах, т.е. указывается на возможность переноса Дебаевской континуальной схемы к описанию теплопроводности жидкостей.
Согласно [2], в высокочастотном режиме жидкость ведет себя как изотропное твердое тело, в котором возможны два набора продольных возбуждений, и в отсутствие вязкости возбуждения определяется только флуктуациями энергии (температуры) и ее производной. В работе [7] показано, что существует критическая частота термических флуктуаций, выше которой перенос тепла носит волновой характер, а не диффузионной. Это явление имеет место в некоторых диэлектрических твердых телах и твердых растворах [8,9]. Аналогом скорости распространения этих волн в конденсированных средах является скорость второго звука в жидком Не-11, которая подробно изучена в [10]. Аналогичное исследование высокочастотной скорости распространения тепловых волн в классических жидкостях проведено в [11]. Согласно [12], при наличии теплопроводности в жидкостях могут существовать волны двух различных видов, с разными скоростями и коэффициентами поглощения. Природу этих волн можно выяснить, рассматривая совместные приближенные решения акустических уравнений и уравнение теплопроводности. В первом приближении можно получить параметры, характеризующие обычную звуковую волну плотности, для которой учет теплопроводности привел бы к появлению добавочного поглощения, а также дисперсии при высоких частотах. При нулевом приближении (полагая Ср « Ск ) можно получить, что в такой среде адиабатное изменение объема не вызывает изменения температуры, и обратно изменение температуры не
вызывает теплового расширения, т.е. а- « 0. В этом случае акустические уравне-
ния и уравнение теплопроводности оказываются независимыми и их можно решать отдельно друг от друга, т.е. случай независимых потоков. Тогда акустические уравнения дают изотермическую волну плотности, затухающую только за счет вязкости. Решение уравнения теплопроводности представляет собой температурную волну. Из вышеизложенного следует, что, по аналогии с классическими жидкостями, важны исследования распространения тепловых волн в растворах электролитов на основе единой микроскопической теории, которая является целью настоящей работы.
В качестве исходного принимаем уравнения обобщенной гидродинамики растворов электролитов, полученные в [13]. Эти уравнения имеют такой же вид, как и макроскопические законы сохранения массы, импульса и энергии. Однако входящие в них тензор потока импульса Ра^(^, ^) и вектор потока тепла £а ^) определяются микроскопически с по-
мощью одно- и двухчастичной функций распределения, а также других молекулярных пара-
метров растворов электролитов. Приводим последнее уравнение системы (2), которая является законом сохранения энергии:
рС, + г
8
Г8РпЛ
V8Tо Ур
м+8Шй - о
8да
(1)
где
5а (д, г) +
4 ь
и
ф ж1 -
гаг
,ь
ГЦь (я, -,
(2)
г 8г
- поток тепла, р -плотность раствора, Сг -теплоемкость при постоянном объеме, Т о , Т (я г)
равновесная и неравновесная температура, Р0 -равновесное давление, 3(я, г) -средняя ско
рость структурных единиц раствора.
Ограничимся приближением независимых потоков, тогда
(8К Л (8К Л (8р^
V8Т0 Уро
8ро
V У0 у Т„
Ч8Т0 у р„
О = 0.
Рт
В этом приближении уравнения (1) будет имеет вид:
рС,
8Т (д, г) 85 а (д, г)
■ +
- 0.
(3)
8г 8да
Уравнение (3) есть уравнение Фурье для теплопроводности. Поток тепла зависит от градиента температуры
5а (д, г) - -Я
8Т (д, г)
8да
(4)
где Я - коэффициент теплопроводности.
Совершая Фурье-преобразование по времени и координатам в уравнениях (2)-(4), получим:
/ -*■ -*■
- ¡рр0СуТ (р, к) + ¡ка5а(р, к) - 0, (5)
- ка ~ -
5 а (р, к)-—2(р)Т 1(р к), р
где Z(р) - Z(р) - ¡рЯ(р), к -волновое число, 2(р) -динамический термический модуль упругости, Я(р) -динамический коэффициент теплопроводности. Явные микроскопические выражения для 2(р) и Я(р), которые описывают термоупругие свойства растворов электролитов в широком интервале изменения термодинамических параметров и частот, получены в [14,15]. Там же получено асимптотическое поведение 2(р) и Я(р) как при низких, так и при
высоких частотах, которое выражается посредством потенциальном энергии взаимодеиствия между структурными единицами раствора Ф аЬ (г) и равновесной радиальной функцией распределения (г), а также вкладами трансляционных и структурных релаксационных процессов.
I —*■
Решая совместно уравнения системы (5) относительно Т (о, к), для спектра частот тепловых мод можно получить:
о2 = ^—~(о)к2. (6)
рСу
Полагая о = о — ¡у и Z(о) = Z(о) — ¡оЛ(о), в (6), для спектра частот о и затухания у тепловых мод в общем виде имеем:
1 -7,^2 , Я2(0)
Г
1
со2 = ^— I (о)к2 к4
рСу ( ) Vс2
у = —1— Л(о)к2.
У 2рСу ( )
Выражения (7), описывают спектры частот и затухания тепловых мод растворов электролитов в широком диапазоне частот. Рассмотрим случай низких и высоких частот.
В гидродинамическом режиме, когда от« 1 (о ^ 0 и к ^ 0), Z (о) = о32 Л и
Л(о) = Л — о1'2Л , тогда, согласно (7), получим
о =
рС,
у
к4 ^ 0,
(8)
У = Лк2,
2рСу ’
где Л - статический коэффициент теплопроводности. Явный вид Л и Л приведены в [14]. Следовательно, в гидродинамическом режиме имеется только затухание тепловых мод пропорциональное квадрату волнового числа к .
В высокочастотном пределе, когда от» 1 (о^-да), Z (о) = ^ и
Z
Л(о ^ да)----— ^ 0, следовательно, согласно (7), имеем:
о
о2 =— І^к2, рСу у = —^—к2 ^ 0, 2рСу о
где Z^ - высокочастотный модуль термической упругости, явный вид которого приведен в [15]. Согласно (8) и (9), в гидродинамическом режиме затухание тепловых мод зависит от коэффициента теплопроводности, а в высокочастотном режиме спектр частот этих мод зависит только от высокочастотного модуля термоупругости. При этом заметим, что в рамках нашего приближения Ср « CF и коэффициент при к2 в первом уравнении системы (9), определяют квадрат высокочастотной скорости распространения тепловых волн в растворах электролитов
2
С2 =рг = (pCp)-1 Zв . к
Выражения, входящие в систему (7), дают зависимость частоты ®и затухания у тепловых мод от волнового числа к и носят сложный характер. Для наиболее наглядного представления этой зависимости, а также анализа высокочастотной скорости распространения тепловых волн следует провести численные расчеты и полученные результаты сопоставить с существующими литературными данными. Для этого потребуется выбор модели раствора с заданными потенциальной энергией взаимодействия между структурными единицами раствора Ф аЪ (r) и равновесной радиальной функцией распределения gab (r), которая является предметом будущих исследований.
Таджикский государственный Поступило 17.12.2006 г.
национальный университет
ЛИТЕРАТУРА
1. Zwanzig R.-Phys. Rev., 1967, v. 156, № 1, pp. 190-195.
2. Nossal R. -Phys. Rev., 1968, v. 166, №1, pp. 81-88.
3. Chihara J.-Prog. theor. phys., 1969, v. 41, №2, pp. 285-295.
4. Филлипов Л.П. Исследование теплопроводности жидкостей. М. : Изд. МГУ, 1970, 240 с.
5. Абас-заде А.К., Мамедов И.А., Аббасов К., Пулатов Д. К. - Теплофизич. свойства вещества. М.: Наука, 1970, с. 196-200.
6. Филлипов Л.П., Лаушикина Л.А. -Журн. физ. химии, 1984, 58, № 5, с. 1068-1082.
7. Chester M. - Phys. Rev., 1963, v. 131, №5, pp. 2013-2015.
8. Rogers S.J. - Phys. Rev. B., 1971, v. 3, №4, pp. 1440-1445.
9. Jaswal S.S., Hardy R.I. - Phys. Rev. B., 1972, v. 5, №2, pp. 753-759.
10. Халатников И.М. Теория сверхтекучести. М.: Наука, 1971, 320 с.
11. Адхамов А.А., Одинаев С., Абдурасулов А. - Укр. физ. журн.,1989, т.34, № 12, с. 1836-1840.
12. Михайлов И.Г., Соловьев В.А., Сырников Ю.П. Основы молекулярной акустики. М.: Наука, 1964, 514 с.
13. Одинаев С., Додарбеков А. - ДАН РТ, 1999, т.42, №9, с.68-73.
14. Одинаев С., Акдодов Д.М., Шарифов Н.Ш. - Укр. физ. журн., 2007, т.52, №1, с. 22-29;
15. Одинаев С., Акдодов Д.М. - ДАН РТ, 2006, т.49, №1, с.28-34.
С.Одинаев, Д.Авдодов ОИД БА НАЗАРИЯИ СТАТИСТИКИИ ПА^НШАВИИ МАВ^ОИ ХДРОРАТИ ДАР МА^ЛУЛ^ОИ ЭЛЕКТРОЛИТЙ
Спектри басомад ва хомушшавии лапишхои хоси хароратии махлулхои электролитй дар фосилаи васеъи басомадхо хосил карда шудааст. Рафтори ин бузургихоро дар басомадхои паст ва баланд тахдид шудаанд. Нишон дода шудааст, ки дар басомадхои паст фурубарии лапишхои хоси харораты аз коэффисиенти гармигузаронй ва дар басомадхои баланд бошад, спектри басомади лапишхои хоси хароратй фадат ба модули хароратии баландбасомад вобаста аст.
S.Odinaev, D.Akdodov TO THE STATISTICAL THEORY OF DISTRIBUTION THERMAL WAVES IN ELECTROLYTE SOLUTIONS
The expressions in description of a frequencies spectrum if thermal mode of electrolytes in a wide range of frequencies ware received. Also, the cases of low an high frequencies are considered. There was shown, that in a hydrodynamic mode attenuation of thermal modes depends on coefficient conductivity, but on a high - frequency mode the frequencies of this mode, depends only on the high - frequency module thermoelasticity.
