CC BY
32
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________2007, том 50, №5____________
ФИЗИКА
УДК 537.84:534.22
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан С.Одинаев, К.Комилов О ДИСПЕРСИИ СКОРОСТИ И ПОГЛОЩЕНИЯ СДВИГОВЫХ ВОЛН
В МАГНИТНЫХ ЖИДКОСТЯХ
Известно, что гидродинамические моды в жидкостях возникают как собственные колебания системы, описываемые линеаризованными гидродинамическими уравнениями [1].
Теоретически сдвиговые моды в жидкостях исследованы в ряде работ [2-5]. Однако в магнитных жидкостях (МЖ) распространение сдвиговых волн мало изучено. В работе [6] отмечено, что распространение звуковой волны в МЖ, находящейся в однородном магнитном
поле Н0, вызывает периодические изменения магнитной проницаемости ¡Л относительно её среднего значения ¡л. Если частота звука о соответствует адиабатическому режиму, тогда в МЖ возможно возбуждение волны по структуре, подобной электромагнитной, но распространяющейся со скоростью звука.
Целью настоящей работы является исследование зависимости скорости и поглощения сдвиговых колебаний от частоты под влиянием неоднородного магнитного поля с учетом вкладов различных релаксационных процессов.
Решение поставленной задачи требует определения системы уравнений обобщенной гидродинамики. На основе молекулярно-кинетической теории эти уравнения были получены в [7]. Фурье-образ линеаризованных уравнений обобщенной гидродинамики в случае независимых потоков имеет вид:
р(о, к ) + ¡р0каыа(о, к ) = 0, р0о2и(о, к ) + ¡к раар(о, к ) = 0,
где аа(о, к) = ¡К(о)(ки(о, к))5ар + 21Д{к/3иа(ю, к)} - тензор напряжения; р(о, к), и(о, к) -Фурье-компоненты флуктуации плотности и вектора смещения; К (о) и Л (о) - комплексные динамические модули объемной и сдвиговой упругости, определяемые выражениями:
К (о) = К (о) - (о) ; л (о) = л(о) - (о), (2)
где К (о) и л(о) - динамические модули объемной и сдвиговой упругости, а % (о) и % (о) - динамические коэффициенты объемной и сдвиговой вязкости, аналитические выражения которых приведены в [7]; о - частота процесса; р0 - равновесная плотность; к - волновой вектор.
Уравнения (1) с учетом выражения (2) представляют собой замкнутую систему уравнений позволяющих исследовать возбуждение коллективных колебаний в МЖ. Решая систе-
му уравнений (1) относительно Фурье-образа вектора смещения и (а, к), для сдвиговых мод получим следующее комплексное дисперсное соотношение:
а2 =— /й(а)к2, (3)
Ро
где к - волновое число.
Полагая в (3) а = а—¡у и решая это уравнение относительно а с учетом второго выражения (2) для спектра частот а и коэффициент затухания у сдвиговых мод, имеем:
а>2 = — ц(ф)к2 +—^г г]](т)к4,
Р 4Р (4)
у = -— ^(а)к 2.
2Ро
Из выражения (4) для скорости С (а) и коэффициента поглощения а (а) сдвиговых мод получим:
С (а) = ± М(а), 2ро
°2 (5)
а(а) V (а)
2РоСо
где С0 - адиабатическая скорость звука.
Анализируем асимптотическое поведение С (а) и а(а) в двух предельных случаях: в гидродинамическом режиме, когда ат << 1 (а ^ Ои к ^ 0 )
V(а) = ъ(0)—м®112,
ц(а) = Маъп, и, следовательно, из (5) будем иметь:
С (а) = — Маъп ^ О, 2Ро,
2
2(а) = аз(V.(0)—Маш) ^ о.
2РоСо
В пределе высоких частот, когда ат >> 1 (а^-да) ^(да) = — и , из (5) получим:
а
С (да) = т^ и, 2Ро
а(да) 1
а2 2рС3
ида.
В высокочастотном режиме С и а /о2 зависят только от высокочастотного сдвигового модуля упругости.
Для более детального анализа зависимостей С (о) и а/ со2 от приведенной частоты
*
о = (дТх под воздействием неоднородного магнитного поля, используя выражения (5), проведем численные расчеты. Согласно выражениям (5), скорость С (о) и коэффициент поглощения а(о) /о определяются посредством л(о) и % (о), которые зависят от потенциала межчастичных взаимодействий Ф(| г |) и радиальной функции распределения g(п,\ г \,Т), явный вид которых не задан.
Явный вид этих функций можно выбрать на основе конкретной модели МЖ. Согласно модели МЖ, предложенной в [8], потенциал межчастичных взаимодействий с учетом влияния внешнего магнитного поля выбираем в виде:
Ф(^ ) = фН +ф5 (4), (6)
^Н кТк(иН)
где Ф, =-------------- потенциальная энергия взаимодействий частицы J с внешним маг-
нитным полем Н ; и - единичный вектор смещения; вектор Н направлен параллельно векто-
^ , «о тН „
ру смещения и ; п =----------параметр Ланжевена; Ло - магнитная проницаемость вакуума;
кТ
к - постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура; т - величина магнитного момента частиц; г = Г — Г - вектор относительного смещения частиц ; и J ; Ф5 (г) = Ае\г~12 - г~б] -потенциал Леннард-Джонса; г =\ г |= г \ / а - безразмерное взаимное расстояние; а - диаметр частицы.
В сферически-симметричном случае, согласно [9], радиальную функцию распределения выбираем в следующем виде:
g(г,пТ) = у (г, р*)ехр\—Ф(г)], (7)
к!
* Ж з Ж рЫоС
где р =— па =---------0— - приведенная плотность; N - число Авогадро; М - молярная
6 6 М
масса; у (г, р*) - бинарная функция распределения двух плотностей.
В качестве контактного значения у (г, р*) принимаем выражение, полученное Карнаханом-Старлингом :
(2 — Р)
2(1 — РУ
При проведении численных расчетов используем МЖ, приготовленную на основе керосина и твердых частиц магнетита Ре304. Значения плотности р, концентрации ф при Т = 298 К заимствованы из [10]. Результаты численных расчетов зависимости скорости С (о) сдвиговых волн от приведенной частоты в диапазоне со = сотх = 107 ^10~2 (то есть если тх= 1012 с, тогда о = 105 + 1010 Гц) при р = 1340 кг/м3, ф = 0.12 и следующих значениях
| УИ |= 102 А/м2 и 103 А/м2 представлены на рис. 1. На рис. 2 приведены результаты числен-
ных расчетов коэффициента поглощения сдвиговых волн а /о2 от приведенной частоты в диапазоне со* =а>тх= 107 -^10 (о= 105 ^ 1012 Гц) при р = 1340 кг/м3, <р = 0.12 и следующих
значениях | УИ |= 102 А/м2 и 103 А/м2.
Рис. 1. Зависимость С (о) от приведенной частоты при:
1 - | УИ |= 102 А/м2;
2 - | УИ |= 103 А/м2.
Рис. 2. Зависимость а/о? от приведенной частоты при:
1 - | УЯ |= 102 А/м2;
2 - | УЯ |= 103 А/м2.
Согласно рис. 1, скорость сдвиговых волн при низких приведенных частотах растет нелинейно, а при высоких - стремится к постоянному значению. Из рис. 2 видно, что при низких частотах коэффициент поглощения сдвиговых волн уменьшается и при высоких частотах очень медленно стремится к нулю по закону о-1.
Таким образом, проведенные численные расчеты дисперсии скорости C(}) и коэффициента поглощения а! } сдвиговых волн с учетом вкладов различных релаксационных процессов показывают удовлетворительное их соответствие имеющимся теоретическим данным о классических жидкостях [1], что подтверждает правильность полученных результатов и доказывает существенную роль учета процесса структурной релаксации в МЖ.
Таджикский государственный Поступило 24.08.2007 г.
национальный университет
ЛИТЕРАТУРА
1. Одинаев С., Адхамов А.А. Молекулярная теория структурной релаксации и явлений переноса в жидкостях. - Душанбе: Дониш, 1998, 230 с.
2. Zwanzig R. - Phys. Rev., 1967, v. 156, № 1, p. 190-195.
3. Nossal R. - Phys. Rev., 1968, v. 166, № 1, p. 81-88.
4. Chihara J. - Prog. Theor. Phys., 1969, v. 41, № 2, p. 285-295.
5. Адхамов А.А., Одинаев С. - ДАН ТаджССР, 1975, т. 28, № 6, с. 20-23.
6. Соколов В.В. - Изв. АН СССР, 1987, т. 51, № 6, с. 1057-1061.
7. Одинаев С., Комилов К., Зарифов А. - Журн. физ. химии, 2006, т. 80, № 5. с. 864 - 871.
8. Ilg P., Kroger M., Hess S. - Phys. Rev., 2005, E71, p. 051201.
9. Юхновский И.Р., Головко М.Ф. Статистическая теория классических равновесных систем. - Киев: Наукова думка, 1980, 372 с.
10. Берковский Б.М., Медведев В.Ф., Краков М.С. Магнитные жидкости. - М.: Химия, 1989, 240 с.
С.Одинаев, К.Комилов ОИД БА ДИСПЕРСИЯИ СУРЪАТ ВА ФУРУБУРДИ МАВ^ОИ ЛАГЖЗИШ
ДАР МОЕЪ^ОИ МАГНИТЙ
Дар асоси назарияи молекулй-кинетикй дисперсияи суръат ва коэффитсиенти фурубурди мавчхои лагжзиш хангоми таъсири майдони магнитии гайриякчинса тахдид карда шудааст.
S.Odinaev, K.Komilov
ABOUT A DISPERSION OF VELOCITY AND ABSORPTION OF SHIFT WAVES IN
MAGNETIC LIQUIDS
In work on the basis of the molecular-kinetic theory it is investigated a dispersion of velocity and coefficient of absorption of shift waves in magnetic liquids, under influence of a non-uniform magnetic field.
