CC BY
4
А.И. Долгарев
3. Фисунов П.А. Центропроективные связности в расслоениях нормалей первого рода на неголономной гиперполосе. Чебоксары, 1998. Деп. в ВИНИТИ РАН - № 627-В98.
4. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. об-ва. 1953. Т.2. С. 275—382.
5. Чакмазян А.В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Vm в Pn // Проблемы
геометрии / ВИНИТИ. М., 1978. Т.10. С. 55—74.
6. Столяров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. 1975. Т. 7. С. 117—151.
7. Попов Ю.И. Инвариантные подпространства, ассоциированные с H(M(A)) -распределением проективного пространства. I. Калининград, 1984. Деп. в ВИНИТИ. № 4481—84.
N. Eliseeva
NORMAL CONNECTIONS, INDUCED IN A BUNDLE OF NORMALS OF THE 1-ST KIND ON Л-SUB BUNDLE OF H(n)-DISTRIBUTION
Twenty four normal connections are constructed on equipped in sens of Norden-Cartan L-subbundle in a bundle of its normals of the 1-st kind. The coincidence conditions of some connections are indicated.
УДК 514.75
М.В. Кретов
53
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
(Российский государственный университет им. Иммануила Канта)
О ГЛАВНЫХ ТОЧКАХ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ, АССОЦИИРОВАННЫХ С КОМПЛЕКСОМ ГИПЕРКВАДРИК
Продолжается изучение дифференцируемых отображений п-мерного аффинного пространства в пространство центральных невырожденных гиперквадрик, образами которого являются п-параметрические семейства гиперквадрик. Вводится понятие аналога главных точек точечных отображений. Этому аналогу дана геометрическая характеристика.
Рассмотрим аффинное пространство А размерности
п > 3 . Отнесём его к подвижному реперу Я = |л,еа}, состоящему из точки Л и п линейно независимых векторов е а (а, р,... = 1п).
Центральная невырожденная гиперквадрика q пространства Ап является индуцирующей фигурой ранга N = С+2 -1 индекса п [1]. Её уравнение запишется в виде:
а ар Ха хр + 2а а X а-1 = 0,
причём
^ (ааРЬ 0 , аар = а ра .
Будем рассматривать комплексы (п-параметрические семейства) К гиперквадрик д в частично канонизированном
репере Я, который построен при ад = 0 . Возможность построения такого репера следует из леммы Н.М. Остиану [2].
А.И. Долгарев
Геометрически репер Я0 характеризуется тем, что Л — центр гиперквадрики q.
Рассмотрим пространство Я^), образующим элементом которого является гиперквадрика q п -мерного аффинного пространства Ап . Структурными формами пространства Я^) являются формы У а ар, юа [3; 4].
Исследуем локальное дифференцируемое отображение: £ :С е Л ^ q е Я(я), где С — центр гиперквадрики д , отнесённой к реперу Я 0 . Система дифференциальных уравнений отображения £ совпадает с системой дифференциальных уравнений комплекса Кп : Уаар = Ларуюу.
В работе [3] показано, что геометрический объект Г2 = {а ар, Лару, Лару8} является фундаментЭЛьным объектом второго порядка отображения £ .
Пусть гиперквадрика q0 е Я^) с центром С0 задаётся 0
уравнением а ар ха хр-1 = 0 , а гиперквадрика q е R(q) — уравнением аарХахр + 2ааха— 1 = 0 . Рассмотрим гиперквадрику д , которая определяется следующим уравнением: аархахр— 1 = 0 . Геометрическая характеристика гиперквадрики д дана в работе [3].
Рассмотрим отображения:
) = 7 о £ : С е Ап ^ д е Я (q),
): С е Ап ^ л е Я (л),
Ф2 (q0): С е Ап ^ Пе Я (л),
где е Я(q) ^ д е Я(q) , Я(л) — пространство гипер-
плоскостей аффинного пространства Л , л — поляра точки
55
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
С0 относительно гиперквадрики q, П — поляра точки С относительно гиперквадрики П .
Пусть Xа — координаты центра С гиперквадрики д . Тогда согласно работе [5] уравнения отображений у, ф и ф2 имеют, соответственно, вид:
о 1
аар = ааР + ЛаРуХ^+ ^ ЛаРу8М8+ (3) , (1)
о
а а=- а аР Хр-Лару ХрХу + (з), (2)
о
На= ааР ХР+ЛаруХРХУ+<3) , (3)
где символ (к) означает совокупность членов порядка малости р > к относительно приращений координат точки области определения.
Уравнения касательных к отображениям у , ф1 и ф2 дробнолинейных отображений Ку(Ра) , Кф (Пц) и К имеют, соответственно, вид [6]:
0 Лар^ ,,,
аар= аар+ — , (4) 0
а, (5) а 1 -ПХ^
о
= _а«рХ^, (6)
а 1 - , ( )
где тензоры Ра, П и ^ определяют гиперплоскости Н(Ра), Н(Па) и Н(8а), задаваемые, соответственно, уравнениями: РаХа -1 = 0 , ПаХа -1 = 0 и 8аХа -1 = 0 . Геометрическая ха-
А.И. Долгарев
рактеристика гиперплоскостей H(Pа), H(gа) и H(Sа) дана в работе [3].
Уравнения касательных к отображению f , определяемому уравнениями (1) и (2), дробнолинейных отображений Kf (Ра) имеют вид (4), (5) при д^ = Рц , т. е. при совпадении гиперплоскостей н(ра) и н(да).
Для рассмотрения главных точек дифференцируемых отображений а , где а = у , ф1, ф2 и £ , необходимы понятия Ка (Ра) — главных прямых, введённых в работе [7].
Зададим кривую Ь системой дифференциальных уравнений
юа=Ла&, (7)
где 1 е Я . Продолжая систему (7), получим УЛа = Ма& , УМа = . Координатное представление отображения Ь имеет вид:
Ха=Ла 1 + ^Ма12 + (3). (8)
Определение 1. Прямая Л называется К (Р) -главной, если для всех касательных к ней в точке С0 кривых вида (8) кривые Ъ = а о Ь и Ъ* = Ка (Ра) о Ь имеют аналитическое касание второго порядка [8].
К¥(Ра) ^-тамы^ КфДда) —главные и К^(8а) —главные
направления принадлежат, соответственно, инвариантному конусу:
(ЛаРу8— 2ЛаРу Р8)ЛуЛ8= 0, (9)
ЛаРу—а ар ду!ЛрЛу= 0 , (10)
57
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
о Л
Лару- ааР 8у^ЛУ = 0 . (11)
К (р ) -главные направления принадлежат инвариантному конусу, определяемому уравнениями (9) и (10) при совпадении гиперплоскостей н(Ра ) и ).
Пусть Лп - расширенное аффинное пространство, получаемое из Л присоединением точек несобственной гиперплоскости л0 .
Определение 2. Точка Л е Л называется £ - главной
точкой относительно точки С0, если существует касательное дробнолинейное отображение К (Р) такое, что:
1)прямая [с°,Л] является К(Р) - главной; 2)гиперплоскость н(р) , определяющая отображение К (Р) , инцидентна точке Л.
Аналогично определяются у - главные, ф[ - главные и ф2 - главные точки относительно точки С0. Если ясно, относительно какой точки С0 точка Л является главной, указание на точку С0 будем опускать. Множество а - главных точек будем обозначать символом .
Теорема 1. На каждой К (Р) _ главной прямой существует единственная а - главная точка.
Доказательство. Существование а - главной точки непосредственно следует из определения 2. Докажем единственность. Доказательство проведём для отображения £ , так как для отображений у , ф1 и ф2 оно проводится аналогично.
Пусть точка Л =Л+Хаеа определяет направление, главное
для К (Ра) и К (РРа). Тогда ]
имеем
ЛаВу5Х''Х = 2Р5ЛаВуХУХ = 2Р5ЛаВуХУХ5 , (12)
А.И. Долгарев
0 , 0 Лару ХрХу = Ру а ар ХрХу = Ру а ар ХрХу. (13)
Необходимым и достаточным условием того, чтобы точка А была £ —главной, является её принадлежность гиперплоскости, задаваемой уравнением РаХа — 1 = 0 . Рассмотрим на прямой [с0,А] £ —главную точку В с координатами ХХа , принадлежащую гиперплоскости с уравнением Ра Ха — 1 = 0 и конусам
(12) и (13). Тогда имеет место равенство А, = 1, т. е. В = А . Теорема доказана.
Г 0 1
Объектом ^аар, Ла(3у, Ла(3у8 > второго порядка отображения
ару' ару8
/ определяются для каждой точки С0 алгебраические мно-С ае£ ае£ 1ф = = , задаваемые, соответ-
гообразия I у и I ф ственно, уравнениями:
к Х Х _ 2 Л
ару8 ару
ЛаВу5ХуХ5— 2ЛаВуХу= 0 , (14)
Лару ХрХу— а ар Хр= 0. (15)
Их пересечение определяет алгебраическое многообразие I . Инвариантное алгебраическое многообразие 1а будем называть индикатрисой отображения а . Заметим, что системы уравнений, определяющие индикатрисы I и I , имеют нетривиальные решения только в специальных случаях, а индикатриса 1ф в общем случае состоит из 2П точек.
Пусть множество К состоит из точки С0 . Имеет место следующая
59
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Теорема 2. Множество a -главных точек состоит из точек индикатрисы J, не принадлежащих множеству К , т.е. Ya= Ja\ К.
Доказательство следует из уравнений (12—15) и уравнений гиперплоскостей H(Pa ), H(Q ) и H(Sa ).
Следствие. J =^иК.
Это следствие даёт геометрическую характеристику индикатрисы J отображения a .
Рассмотрим множество Ja . В однородных координатах множество Jf п л0 задаётся системой уравнений:
Лару8 XY X8 = 0 , Лару Xp XY = 0 , X0 = 0 . ар'8 0 0 ар' 0 0 0
Аналогичным образом можно записать системы уравнений, задающие множества Jfnu° и п л0.
Рассмотрим конус Ka, образующими которого являются прямые связки |с°}, а направляющей — многообразие Ja п л0.
Теорема 3. Множество направлений, определяемых в точке C0 конусом Ka, совпадает с конусом Ka (0) - главных направлений.
Список литературы
1. Малаховский В.С. Дифференциальная геометрия многообразий фигур и пар фигур в однородном пространстве // Тр. геометр. семинара / ВИНИТИ./ М., 1969. Т. 2. С.179—206.
2. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RPR). 1962. Т. 7, № 2. С. 231—240.
3. Кретов М.В. Дифференцируемые отображения, ассоцииро-
ванные с комплексами центральных невырожденных гиперквадрик в
аффинном пространстве / ВИНИТИ./ М., 1981.
А.И. Долгарев
4. Кретов М.В. Об асимптотических направлениях комплексов гиперквадрик в аффинном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1983. Вып. 14. С. 36—40.
5. Андреев Б.А. О дифференцируемом соответствии между точечным пространством и многообразием Q) гиперквадрик аффинного пространства // Там же. 1978. Вып. 9. С.11—19.
6. Кретов М.В. Дифференцируемые отображения, ассоциированные с многообразиями гиперквадрик // Международная конференция по геометрии и приложениям. Смолян, 1986. С. 23.
7. Кретов М.В. О главных прямых дифференцируемых отображений, ассоциированных с многообразиями гиперквадрик // Международная научная конференция, приуроченная к 200-летию со дня рождения Карла Густава Якоби и 750-летию со дня основания г. Калининграда (Кёнигсберга). Калининград, 2005. С. 28—31.
8. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между двумя пространствами // Итоги науки «Геомет-рия-63», / ВИНИТИ./ М., 1965. С. 65—107.
M. Kretov
ABOUT THE MAIN POINTS OF DIFFERENTIATED DISPLAYS ASSOCIATED WITH THE COMPLEX OF HYPERQUADRICS.
Studying of differentiated displays of affme n -space in space central non-degenerate hyperquadrics which images are n -parametrical families hyperquadrics proceeds. The concept of analogue of the main points of dot displays is entered. The geometrical characteristic is given to this analogue.
УДК 514.75
Т.Ю. Максакова
(Российский государственный университет им. Иммануила Канта)
ДВОЙСТВЕННЫЙ ОБРАЗ ^-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
61
