CC BY
33
76
УДК 514.75
М. В. Кретов
О ПОЛЯХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ, СВЯЗАННЫХ С КОМПЛЕКСОМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ НЕВЫРОЖДЕННЫХ ГИПЕРКВАДРИК
Определены внутренним образом связанные с комплексом (n-пара-метрическим семейством) центральных невырожденных гиперквадрик в n-мерном аффинном пространстве поля некоторых геометрических объектов и выяснен их геометрический смысл.
A field of some geometrical objects internally connected with a complex (n-parametrical family) of the central nondegenerate hyperquadrics in n-di-mensional affine space are defined and their geometrical sense is found out.
Ключевые слова: комплекс, гиперквадрика, гиперконус, многообразие, гиперэллипсоид, аффинное пространство, геометрический объект, уравнение Пфаффа, тензор.
Key words: complex, hyperquadric, hypercone, manifold, hyperellipsoid, affine space, geometrical object, Pfaff's equation, tensor.
Продолжается исследование n-параметрических семейств (комплексов) центральных невырожденных гиперквадрик Kn в n-мерном аффинном пространстве, представленных в [1].
Рассмотрим аффинное пространство An размерности n 3. Отнесем его к подвижному реперу R = {A, e1, ег ..., en}, состоящему из точки A и n линейно независимых векторов еа (а, р, ... = 1, 2, ..., n). Инфинитези-мальные перемещения репера R = {A, еа} определяются уравнениями
dA = гоаеа, ¿еа=^ер, (1)
причем гоа, гора удовлетворяют структурным уравнениям Картана
Dro1" = гор дш!, Do" = ro* дюа,
р ' р р У '
© М. В. Кретов, 2015
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2015. Вып. 10. С. 76 — 80.
выражающим условия полной интегрируемости системы (1).
Пусть G — фундаментальная группа пространства An над полем действительных чисел, q — центральная невырожденная гиперквадрика пространства An и С — ее центр. Центральная невырожденная гиперквадрика q пространства An является индуцирующей фигурой ранга N = СП+2 -1 индекса n [2]. Ее уравнение запишется в виде
яар Xх Хр + 2аа Xх-1 = 0, (2)
( а сГ ^
причем det(aap) * а аар= ара, det ар - * 0.
Обозначим R(q) множество всех гиперквадрик, аффинно эквивалентных гиперквадрике (2). Согласно работе [3] R(q) является однородным пространством, или пространством Клейна. Формы Пфаффа
Ааар = Vaap - 2аарауЮУ, ДОх = ^а - Охр1^ - ^р1^ (3)
суть структурные дифференциальные формы [4] многообразия R(q). Пусть центр С гиперквадрики q имеет координаты Сх. Тогда
аарС р+ аа= 0.
Обозначим буквами а приведенные миноры матрицы (ахр). Тогда
Сх = -ахрар, (4)
ах =-ахрСр .
Из формул (4) следует, что формы Пфаффа ДСа=УСа+юа — структурные дифференциальные формы центра гиперквадрики q.
Для построения репера R0 проведем частичную канонизацию репера R следующим образом: ах = 0.
Согласно лемме Н. М. Остиану [5] такая канонизация репера R возможна. Действительно, обозначим символом 5 дифференцирование по
вторичным параметрам, а символами яа, , Д аар, Д аа — значения форм юа, юх, Даар, Даа при фиксированных первичных параметрах (то есть при неподвижной гиперквадрике q). Тогда из формул (3) следует
Д ахр = 5ахр - аауЛр - аур< , Д ах = -аар^р ,
откуда легко выделить подсистему n уравнений, разрешимых относительно n вторичных форм.
Геометрически репер R0 характеризуется тем, что его вершина помещается в центр гиперквадрики q.
Уравнение гиперквадрики q и система дифференциальных уравнений комплекса Kn в репере R0 принимают соответственно вид
аар Xх Xр-1 = 0, (5)
Уаар =ЛаруЮУ.
77
78
Замкнутая система дифференциальных уравнений Пфаффа многообразия Кп запишется в виде
^йар = ^ару®7 , ^Лару ЛЮУ = 0. (6)
Предложение 1. Система (6) определяет комплекс Кп с произволом СП+1 функций п аргументов.
Г. Ф. Лаптев установил [4], что погруженное многообразие обладает в общем случае основным объектом (фундаментальным объектом наинизшего порядка, система дифференциальных уравнений которого алгебраически разрешима относительно всех вторичных форм). Надлежащее задание компонент один раз продолженного основного объекта определяет погруженное многообразие с точностью до констант.
Основным объектом многообразия Кп является фундаментальный объект Г1 = (яар, Лару}. Продолжая систему (6) дважды, получим:
^ру = ЛаруХ, УЛару5 Л Ю5 = 0, УЛ^ = Лару^,
где коэффициенты Лару8, Лару8е согласно лемме Картана [6] симметричны по соответствующим индексам.
Компоненты фундаментальных объектов комплекса Кп удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
^Яар = Лару = ®у , ^Лару = Лару5®5, ^ру5 = Лару5Е®8 . (7)
Рассмотрим систему величин Ьа = аруЛруа. Применяя формулы (7) и учитывая, что аар ару = §а, получим УЬа = Ьар®р.
Из этой системы дифференциальных уравнений следует
Предложение 2. Система величин (Ьа} образует геометрический объект, присоединенный к центроаффинной группе.
Замечание. Объект (Ьа} является линейным однородным [7].
Введем величины Ьа = аарЬр. Непосредственным дифференцированием можно установить, что УЬа = Ьр1®15, откуда следует
Предложение 3. Система величин (Ьа} образует геометрический объект, называемый контрвариантным вектором [7].
мошью дифференцирования получаем: УЬару = Ьару8ю8, значит, имеет место
Предложение 4. Система величин (Ьару} образует трижды ковариант-ный симметрический тензор [7].
Объект (Ьа} задает инвариантную диаметральную гиперплоскость Ьп_1 = ЬаXа = 0 гиперквадрики ц, заданной уравнением (5). Если гиперквадрика ц является гиперэллипсоидом, то центр С смежного [8] к (5) гиперэллипсоида ц, заданного уравнением
Рассмотрим теперь систему величин Ьару = -(Лару+Лруа+Луар). С по-
а.
X а Xр- 2аарюа Xр-1 = 0,
ар ар
где аар = йаар + аар - аа5юу - аурюа = 0 тогда и только тогда лежит в гиперплоскости Ьп-1, когда относительный объем тел, ограниченных этими гиперэллипсоидами, равен единице.
гиперквадрики q. Если же m Ф 0, то m =
, где Mi — одна из точек
Контрвариантный вектор {b } определяет инвариантную точку B, лежащую на диаметре гиперквадрики q, сопряженном инвариантной гиперплоскости Ln-1 относительно q.
Пусть M(ma) — произвольная инвариантная точка пространства An. Величину m = a»pm»mp назовем асимптотическим инвариантом точки M. Условие m = 0 означает, что диаметр AM является асимптотикой [7]
( AM AM,
ч 1 .
пересечения диаметра AM с образующим элемента комплекса Kn.
Обозначим a = det(a»p ), a = det(a»p ), где a»p — коэффициенты уравнения смежной гиперквадрики q .
Соотношение — = 1 + m AM — характеристическое условие совпадения точки M с инвариантной точкой B.
Трижды ковариантный симметрический тензор {bapY} задает инвариантный гиперконус третьего порядка
bapy X » Хр X *= 0 (8)
с вершиной в центре гиперквадрики q. Действительно, уравнения асимптотических гиперконусов гиперквадрик q и q имеют вид
aap X » Xp= 0, (9)
( aap+Aapy )X »X p= 0. (10)
Общая точка M0 инвариантных гиперконусов (8) и (9) всегда лежит на гиперконусе (10), если смещение центра происходит по общей образующей AM0.
Список литературы
1. Кретов М. В. Дифференцируемые многообразия, ассоциированные с комплексами центральных невырожденных гиперквадрик в аффинном пространстве. Калининградский государственный университет, Калининград, 1981. Рукопись деп. в ВИНИТИ 22 июня 1981 г., № 3003-81 Деп.
2. Малаховский В. С. Дифференциальная геометрия многообразий фигур и пар фигур в однородном пространстве / / Тр. геометрического семинара ВИНИТИ АН СССР. М., 1969. С. 179—206.
3. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М., 1966.
4. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Московского математического общества. М., 1953. Т. 2. С. 275 — 382.
5. Остиану Н. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RPR). 1962. Vol. 7, № 2. C. 231-240.
6. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера. М., 1963.
7. Лумисте Ю. Г. Проективные связности в канонических расслоениях многообразий плоскостей // Матем. сб. М., 1973. Т. 91, № 2. С. 211—233.
79
Об авторе
Михаил Васильевич Кретов — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград. E-mail: kretov1@mail.ru
About the author
Dr Michail Kretov - Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: kretov1@mail.ru
80
