CC BY
7
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
УДК 514.75
М. В. Кретов
(Российский государственный университет им. И. Канта)
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ, АССОЦИИРОВАННЫХ С КОМПЛЕКСОМ ГИПЕРКВАДРИК
Вводится понятие характеристических направлений дифференцируемых отображений, ассоциированных с комплексом («-параметрическим семейством) центральных невырожденных гиперквадрик в аффинном пространстве по аналогии с соответствующими направлениями точечных отображений. При помощи понятий геометрического касания кривых второго порядка и инфлексионной кривой дана геометрическая характеристика введенным направлениям.
Исследуется локальное дифференцируемое отображение /: С е Ап ^ q е Я(д), где С — центр гиперквадрики д , отнесённой к реперу Д0, построенному в работе [1], Я(д) — пространство гиперквадрик д п -мерного аффинного пространства Ап . Система дифференциальных уравнений отображения / совпадает с системой дифференциальных уравнений комплекса К« : Уаар =Ааруа7 (а,в,... = 1,П).
Известно [2], что геометрический объект г=а ав, Лаpy, Лаву5} является фундаментЭЛьным объектом второго порядка отображения / .
Пусть V — многообразие в Ап, содержащее точку С . Обозначим [V] конус, состоящий из прямых связки {С}, кото-
54
М. В. Кретов
рые имеют с многообразием V не менее двух общих точек или касаются его в точке C ; далее, пусть a = f, у, <, <р2, где f, у, <, <2 — отображения, рассмотренные в работе [2], Ja — индикатриса [1] отображения a .
Определение. Конус ха = ] называется a -характеристическим конусом, а определяемые им направления — a -характеристическими направлениями.
Пусть L : R1 ^ An — кривая в An и L(o) = C . Зададим кривую Ь системой дифференциальных уравнений
coа=Лаdt, (1)
где t е R1. Продолжая систему (1), получим:
УЛа = М а dt, (2)
УМа = Nаdt. (3)
В координатной форме отображения Ь, у , < и <2 имеют соответственно вид:
X а = Ла t +1М а t2 + (3, (4)
о 1
аар= а в + Л аруХ г + - Л ару5Х 5 + (3), (5)
аа =-аав Xв -ЛаруХвХ(3), (6)
На = а в X в+Л вуХ вХ (3), (7)
где символ означает совокупность членов порядка малости р > I относительно приращений координат точки области определения. Отображение f будет задаваться уравнениями (5) и (6).
Уравнения касательных к отображениям у , < и <2 дроб-нолинейных отображений Ку(Рм), Кф[(^м) и Кф2 (з^) имеют соответственно вид:
55
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
о КйХ^ (8)
а= аав+ 1 _р Х м , (8)
п
х в
Х (9)
1 _ ацх
л
ма=^авХ—, (10)
а 1 _ БМХЛ
где тензоры Рц, Qм и Бм определяют гиперплоскости Н(р^), Ни Н(£я), задаваемые соответственно уравнениями: РаХа _ 1 = 0, QMXM _ 1 = 0 и 1 = 0.
Уравнения касательных к отображению / дробнолиней-ных отображений Ку (Р'и) имеют вид (8), (9) при Рм= Qм , т. е. при совпадении гиперплоскостей Н(рл) и Н.
Теорема 1. Направление, определяемое в точке С кривой Ь, будет а -характеристическим тогда и только тогда, когда кривые а о Ь и Ка рЛ)о Ь имеют в элементе а(С) геометрическое касание второго порядка [3].
Доказательство. Проведём доказательство для отображения у , так как для отображений у , р1 и р2 оно аналогично. Для кривых Ь, заданных уравнением (4), определяющих / -характеристическое направление, из уравнений алгебраического многообразия 3^ [1]
К—у5Х5 _ 2АаруХУ = 0, (11)
Л-а/ЗуХ —Х"аа— Х —= 0 (12)
получаем:
Аа—Г5АГЛ5= 2А—,Агт, (13)
А—уА—Ау = "а а—А—т . (14)
56
М. В. Кретов
Кривые / ° Ь и Ку (р,)° Ь представляются, соответственно, в виде:
0 1 I \
аар= аар + КаргЫ1 + ^1^5^ + М7Крг) *2 + (3Ь (15)
0 1/ \
аа = - аав Лв( - 2 (ааМ в + 2ЛаргЛвЛ7) *2 + (3 , (16)
0 1 I \
аар= ааР + ЛаруЛ * + ^ \ЛаруМ ' + 2Лару Р5Л Л5) *2 + (3), (17)
0 10/ \ аа=-ааРЛр1 --аавМв + 2ЛвРуЛу)*2 + (3). (18)
Эти кривые имеют касание второго порядка при условиях
ЛаР55ЛЛ5 = 2(р5Х5 - к)ЛаРуЛ, (19)
Лару Лв Л = (ру Лу - к У а ав , (20)
которые при к = Р5Л5 - т принимают соответственно вид (13)
и (14). Теорема доказана.
Теорема показывает, что введённые здесь а -характеристические направления играют для отображения а такую же роль, какую в теории точечных отображений [4] играют характеристические направления.
Другим свойством введённых направлений, которое указывает на аналогию с теорией точечных отображений, является следующее. Можно показать, что / -характеристическим прямым при отображении / соответствуют одномерные многообразия гиперквадрик, у которых характеристические многообразия рангов 1 и 2 [5] совпадают.
Понятие характеристических направлений связано с понятием инфлексионной точки кривой [4]. Кривую, имеющую инфлексионную точку, будем называть кривой, инфлексион-ной в этой точке. При построении теории отображений пространств фигур, отличных от точки исходного пространства, возникает необходимость обобщить последнее понятие для
57
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
пространств рассматриваемых фигур. В работе [6] даётся вариант такого обобщения для пространства гиперквадрик.
Определение. Кривая Ь в пространстве Я(д) называется инфлексионной в фиксированной гиперквадрике, если характеристические многообразия второго и первого рангов [5] кривой Ь для этой гиперквадрики совпадают.
Найдём аналитические условия, характеризующие инфлек-сионные кривые в ) . Кривая Ь : Я ^ Я(с[) задаётся системой уравнений:
Лаа=Лав, УааР=ЛаРв, (21)
где в = &, I е Л1, Ааа = -аарЮв .
Продолжая систему (21) два раза, получим:
ЛЛа= Мав, УЛар= Мавв , (22)
ДМа= Мав, УМав= Мавв, (23)
где ЛЛа ^Ла +Лав®в , ЛМа = УМ,а + М,^ .
Характеристическое многообразие ранга один кривой Ь
[5] задаётся следующей системой уравнений:
ЛавХ аХ в+ 2ЛаХ а= 0. (24)
Система, состоящая из уравнений (24) и системы уравнений
МавХ аХ в+ 2МаХ а= 0, (25)
задаёт характеристическое многообразие ранга два кривой Ь .
Для инфлексионности кривой Ь необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
Мав= кЛав, Ма = кЛа . (26)
Условия (26) являются аналогом условий инфлексионно-сти кривой в Рп и Ап [3].
58
М. В. Кретов
Степенной ряд для кривой Ь : t е Я ^ С е Aп в репере Я0 имеет вид (4).
Для кривой Ь : t е Я1 ^ д е Я(д) соответствующий ряд записывается в следующем виде:
0 ■ 1 2
а а— = а а—в + Аа— + -М а— 2 + (3) , (27)
aа=Ааt + 2 ма2 + {3). (28)
Так как в рассматриваемом случае существуют приведённые миноры аа—, то
( 0\а— 1 аа— = I а | + А— +1Ма—t2 + (3), (29)
2
где
(0\аУ( 0Л—5 Аа—=_\а\ I а 1 АГ5, (30)
\ / :
' 0 Л^у 0Л—5 ( 0 \аУ ( 0Л—5( 0
Ма—=_\а 1 [ а 1 МГ5+ 2\а \ 1а 1 1а \ А^. (31)
Из формул (26), (28) и (29) следует, что
Аа=_ а а— Ав , (32)
Ма = _М в + 2АуАву)°а а— . (33)
Последние соотношения дают возможность получить необходимые и достаточные условия инфлексионности кривой
Ь в следующей форме:
Ма= кАа _ 2А—Аа— , (34)
М а— = кАа—. (35)
59
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Теорема 2. Направление, определяемое в точке С инфлек-сионной в ней кривой Ь : Л1 ^ Ап, будет /-характеристическим в том и только том случае, если кривая Ь = / ° Ь : Я1 ^ Я(д) является кривой, инфлексионной в элементе /(С).
Доказательство. Пусть кривые Ь и Ь задаются соответственно уравнениями (4) и (27), (28). Тогда из уравнений (5) и (6) получаем:
Лав = ЛавуЛ , Мав = Лаву5ЛЛ + ЛавуМ* , (36)
Ла = - "аав Лв, Ма = - °аавМв - ЛавуЛвЛ . (37)
Если прямая, определяемая тензором Ла, лежит на /-характеристическом конусе X/, то имеем:
Лару5ЛЛ5 = 2ЛавгЛт, (38)
Лав7 Лв Л = а ав Лвт . (39)
В работе [7] профессором В. В. Рыжковым доказано, что для инфлексионности кривой Ь необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
Ма = тЛа . (40)
Тогда условия (34), (35) или (26) инфлексионности кривой Ь = / ° Ь выполняются в том и только том случае, если справедливы соотношения (38) и (39). Теорема доказана.
Из этой теоремы также следует, что понятие /-характеристических направлений является обобщением понятия характеристических направлений точечных отображений в смысле В. В. Рыжкова [4] для отображения /: Ап ^ Я(д) .
Аналогичные построения можно провести для отображений у, р и р2.
60
М. В. Кретов
Список литературы
1. Кретов М. В. О главных точках дифференцируемых отображений, ассоциированных с комплексом гиперквадрик // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2006. Вып. 37. С. 51— 58.
2. Кретов М. В. Дифференцируемые отображения, ассоциированные с комплексами центральных невырожденных гиперквадрик в аффинном пространстве / ВИНИТИ. М., 1981.
3. Рыжков В. В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Итоги науки. Геометрия 63 / ВИНИТИ. М., 1965. С. 65—107.
4. Рыжков В. В. Характеристические направления точечного отображения Pm в Pn // Тр. геом. теминара / ВИНИТИ. М., 1971. С. 235—242.
5. Малаховский В. С., Махоркин В. В. Дифференциальная геометрия многообразий гиперквадрик в n -мерном проективном пространстве // Тр. геометр. семинара / ВИНИТИ. М., 1974. С. 113—134.
6. Андреев Б. А. Характеристические направления соответствия между точечным пространством и пространством пары (p, q) // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1975. Вып. 6. С. 5—18.
7. Рыжков В. В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1970 / ВИНИТИ. М., 1971. С. 153—174.
M. Kretov
THE CHARACTERISTIC DIRECTIONS OF THE DIFFERENTIATED DISPLAYS,
ASSOCIATED WITH COMPLEX OF HYPERQUADRICS
The concept of characteristic directions of the differentiated displays associated with a complex ( n -parametrical family) of central non-degenerate hyperquadrics in affine space by analogy to corresponding directions of dot displays is entered. By means of concepts of a geometrical contact of curves of the second order and inflexional curve gives the geometrical characteristic to the entered directions.
61
