CC BY
6
Б.А. Андреев
УДК 514.75
Б.А. Андреев
(Калининградский государственный университет)
О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОМ ОТОБРАЖЕНИИ ТОЧЕЧНОГО ПРОСТРАНСТВА В МНОГООБРАЗИЕ ГИПЕРКВАДРИК
Изучается локальное дифференцируемое отображение точечного проективно-аффинного пространства Pn в специальное многообразие гиперквадрик другого точечного пространства. Найдены и геометрически охарактеризованы возникающие во 2-й дифференциальной окрестности инвариантные геометрические образы, в том числе обобщающие введенные ранее автором для точечных отображений главные точки. Доказаны 9 предложений, в которых изучаются свойства этих образов, в частности связь между главными прямыми отображения и фокальными многообразиями одномерных многообразий гиперквадрик.
Пусть Рп и Рт - проективно-аффинные [1, с. 483] пространства, отнесенные соответственно к подвижным реперам Я=(Л, Бт} и г={а, е^, деривационные формулы которых имеют вид:
ал = ПтБ1,аБт =ОКБк,аа = ю'е1,ае1 (1,... = 1п; 1,...=1т), (1)
где формы Пфаффа подчиняются известным уравнениям структуры.
Рассмотрим в Рт многообразие QN всех центральных невырожденных гиперквадрик с общим центром С. Поместив начало а репера г в С, получим для произвольного элемента qe QN
Р = а^х' -1 = 0 (ац = аД аег [а^О
(2) (3)
17
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
и структурные формы Уа^ = da1J - а1(.ю' - а^ю'. Таким образом,
для ранга N [2] гиперквадрики qеQN имеем: К=1ш(ш +1).
Положим n=N и рассмотрим локально определенное дифференцируемое отображение ф: Р е Рп ^ q е QN, считая при этом га^ф=п в каждой точке определения отображения. Помещая начало А репера Я в точку Реф"1^), получаем дифференциальные уравнения отображения ф в виде:
Уац=Л щ О \ (4)
Продолжив систему (4) два раза, получим:
УЛ ц1 = Л и Ок, УЛ цЖ = ЛцЖЬОь, (5)
где дифференциальный оператор У действует по формуле
УТк = dтк - тк ю' - ТК ОТ + тк + Тт ок. (6)
Для каждой точки Р фундаментальным объектом Г2 = {Лр, Л -ж} определяется инвариантное алгебраическое
многообразие 1фСРп
Фи-Л^Х^ - 2Л^Х1 = 0, (7)
которое является обобщением введенной автором [3] индикатрисы I точечного отображения Г: Рш ^ Рп. Там же дается ее геометрическая характеристика; о последней см., напр., [4]. Имеем: Ре является алгебраическим многообразием порядка 2п точек, одна из которых - точка Р.
Пусть Пп-1 - несобственная гиперплоскость пространства Рп, а QN - множество всех гиперповерхностей 2-го порядка вида (2). Очевидно имеем: dim QN =№ Обозначим символом QN"1 множество QN \QN.
18
Б.А. Андреев
Как и в случае точечных отображений рассмотрим связку К(Р;[) касательных в точке Р к ф дробно-линейных отображений:
а*: = а1: +---к, (8)
1 1: 1 - РКХК
где а*: - координаты гиперквадрики q*е QN . Пусть I - параметризованная прямая вида X1 = Л1', содержащая точку Р, т.е. отображение I: 1еЯ ^ /(1;)еРп, 1(0)=Р.
Определение 1. Прямая I называется К(Р1)-главной, если отображения ф о I и К(Р1) о I имеют в Р касание 2-го порядка (ср. [5, с. 71]).
Из разложения в ряды Тейлора отображений ф о I и К(Р1) о I
получаем следующее условие того, что прямая I является К(Р;[)-главной:
ЛI Л1 ЛК = 2Л Црк л1 Лк. (9)
Из формул (2.7) [6] и (9) вытекает
Предложение 1. Если прямая I является К(Р1)-главной, то фокальные многообразия первого и второго порядков параметризованного многообразия Г о I совпадают.
При помощи понятия К(Р1)-главных прямых можно получить геометрическую характеристику индикатрисы 1ф. Обозначим символом [1ф] множество прямых вида [РМ], где Ме 1ф\{Р}. Из (7) и (9) следует
Предложение 2. Множество [1ф] состоит из К(Р1)-главных прямых.
Пусть X1 - координаты точки М^Р, лежащей на К(Р1)-глав-ной прямой. Легко показать, что условие К(Р^(М)е1ф имеет вид:
РкХК = 1. (10)
Определение 2. Точка Ме Рп называется главной точкой отображения ф (относительно Р), если: 1) существует каса-
19
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
тельное к ф в Р дробно-линейное К(Рт), такое, что прямая [РМ] является для него главной, и 2) K(PJ)(М)eQN-l, причем
СеК(РтХМ).
Непосредственным подсчетом устанавливается, что условие (10) для точки М={Ьт} К(Рт)-главной прямой приводит к равенству
Л ^х^ = 0 (11)
для ее образа при отображении К(Рт). Но кривая 2-го порядка
(11) удовлетворяет условию 2) определения 2. Отсюда вытекает
Предложение 3. Множество Тф\{Р} является множеством главных точек отображения ф.
Из определения отображения ф следует, что для него существует обратное отображение ф-1: q е Q ^ Р е Р1Ч. Из (4) получаем его дифференциальные уравнения
= У^Уа^, (12)
причем
утч= у*, Л1]Кутч=8К, Л1]TVTpq =15^15^, (13)
где скобки означают циклирование. Из (4) и (12) вытекает
= -У^У^Л pqTK 0К. (14)
Предложение 4. Функции
Т = УЬчЛ цЖ (15)
задают в Рт локально-аффинную связность.
Доказательство. Пусть 9т = 0т и 9К =^К + ГхОЬ. Из (5), (14) следует
Бет =ет лет + еР ле^ БеК =еК лет + ^Р^ еР лeQ,
где = 0, RpQK = 0, что доказывает предложение. 20
Б.А. Андреев
Для введенной связности Г выполняются соотношения
Л и =1Л 1:т, (16)
которые, как вытекает из (5.2) [5], показывают, что связность Г является обобщением связности Врэнчану [5; 7] точечного соответствия для отображения ф.
Рассмотрим дробно-линейное отображение КсеК(РД которое характеризуется соотношением
1 def 1 т
Р =-1-- Гт1. (17)
п +1 п + 1
Оно является аналогом введенной Э. Чехом [8] для точечного соответствия так называемой локальной коллинеации, поэтому и в нашем случае будем называть отображение Кс отображением Чеха.
Пусть ф1: Рп^^ - линейное отображение, касательное к ф в точке Р. Тогда композиции
Г = ф- о ф, ж(Р1)= ф-1 о К(1 (18)
являются отображениями Рп^Рп. Легко показать, что ж(Р1) составляют связку касательных к Г в Р коллинеаций, причем локальная коллинеация Чеха Жс определяется соотношениями (17), т. е. локальная коллинеация Чеха Жс отображения Г соответствует локальному отображению Чеха Кс отображения ф. Вопрос о характеристике локальной коллинеации Чеха был рассмотрен ранее (см., напр., [4]). Имеем
Предложение 5. Локальная коллинеация Чеха Жс характеризуется условием: точка Р является стационарной точкой якобиана отображения (ж(Р1))-1 о Г при ж(Р1)=жс.
Из (18) получаем: (ж(Р0)-1 о Г = (К(Р1))-1 о ф1 о ф-1 о ф = = (К(Р-())-1 о ф. Тогда из предыдущего предложения вытекает
Предложение 6. Локальное отображение Чеха Кс характеризуется условием: точка Р является стационарной точкой якобиана отображения К-1 о ф.
21
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Легко показать, что система (7), определяющая многообразие Тф, эквивалентна системе
Г^Х^ - 2ХЬ = 0. (19)
Объектом Г2 для каждой точки Р определяется инцидентная ей гиперквадрика QccPn:
Гт (ГТТКХТХК - 2Хт) = 0, (20)
которую будем называть гиперквадрикой Чеха отображения ф. Заметим, что Qc содержит все главные точки и точку Р. Кроме Qc отображение Кс определяет для каждой точки Р гиперплоскость Пс:
ГТХТ = п +1. (21)
Назовем ее гиперплоскостью Чеха отображения ф. Из определения отображения ф1 и формул (8), (15), (17), (21) получаем ее геометрическую характеристику:
Предложение 7. Гиперплоскость Чеха Пс отображения ф является прообразом несобственной гиперплоскости Пп-1 пространства Рп при отображении ф-1 о Кс.
Предложение 8. Касательная гиперплоскость в точке Р к гиперквадрике Чеха Qc параллельна гиперплоскости Чеха Пс. Ее уравнение имеет вид: ГТХТ = 0.
Рассмотрим связку гиперквадрик вида
ат(Г-ГКХТХК - 2Хт) = 0. (22)
Предложение 9. Единственной гиперквадрикой в связке (22), касательная к которой в точке Р параллельна гиперплоскости Чеха Пс отображения ф, является гиперквадрика Чеха Qc.
Последнее предложение полностью геометрически характеризует гиперквадрику Qc.
Список литературы
1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., 1979.
22
Б.А. Андреев
2. Малаховский В.С. Дифференциальная геометрия многообразий фигур и пар фигур в однородном пространстве // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1969. Т. 2. С. 179 - 206.
3. Андреев Б.А. К геометрии дифференцируемого отображения
f: Pm—^ Pn (m>n) // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1987. Вып. 18. С. 5 - 9.
4. Андреев Б.А. Гиперквадрика Чеха точечного соответствия // Там же, 2002. Вып. 33. С. 5 - 7.
5. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Геометрия. 1963. Итоги науки / ВИНИТИ. М., 1965. С. 65 - 107.
6. Малаховский В.С., Махоркин В.В. Дифференциальная геометрия многообразий гиперквадрик в n-мерном проективном пространстве // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1974. Т. 6. С. 113 - 133.
7. Vranceanu G. Sul tensore associato ad una corrispondenza fra spazi proettivi // Boll. Unione mat. ital. 1957. Vol. 12. №4. P. 489 - 506.
8. Чех Э. Проективная дифференциальная геометрия соответствий между пространствами // Чехосл. мат. журн. 1952. №1. С. 91 -107.
B. Andreev
ON DIFFERENTIABLE MAPPING OF POINT SPACE INTO MANIFOLD OF HYPERQUADRICS
The local differentiable mapping of point projective-affine space Pn into special manifold of hyperquadrics of other point space is studied. Invariant geometrical images are found and interpreted geometrically; one of them generalizes the notion of principal points, which were defined by the author earlier for point mappings. 9 propositions are proved about properties of this images, in particular it is the connection between principal lines of mapping and focal manifolds of one-dimensional manifolds of hyperquadrics.
23
