CC BY
6
УДК 514.75
Н.Н. Иванищева
(Калининградский государственный университет)
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА В МНОГООБРАЗИЕ ГИПЕРКВАДРИК ЦЕНТРОПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
В [1] рассматривается дифференцируемое отображение проективного пространства в многообразие гиперквадрик другого проективного пространства. В данной статье изучается дифференцируемое отображение f: Pm^R(Q) проективного пространства Рm в многообразие R(Q) центро-проективного пространства P^. Введены понятия инфлексионной и слабо
инфлексионной кривой l: R^R(Q) в элементе Qo, сформулированы необходимое и достаточное условие слабой инфлексионности кривой в элементе Qo, а также необходимое условие инфлексионности. Определены характеристические и слабо характеристические прямые, характеристические и слабо характеристические направления отображения f.
1. Дифференциальные уравнения отображения. Рассмотрим п-мерное проективное пространство Рп. Отнесем его к подвижному реперу {Л0,Л1,...,Лп}.
Деривационные формулы репера имеют вид: dЛa= Ар (а,...= 0,п) , причем
формы Пфаффа ^ удовлетворяют уравнениям Картана В*^ = юаЛюр (=0).
Уравнение гиперквадрики Qn-1 пространства Рп имеет вид: аархахр=0 , причем аар= ара, det(аар)=const.
Зафиксировав вершину Ао, получим центропроективное пространство РП, в
котором юО =0 (1,...= 1,п).
Возьмем другое проективное пространство Рт . Отнесем его к подвижному
к
реперу {Б0,Б1,...,Бт). Деривационные формулы репера имеют вид:
(I,... = 0,т), причем формы Пфаффа Ок удовлетворяют структурным уравнениям Картана БО^ = О^ ЛО^ (ОI = 0).
Рассмотрим дифференцируемое отображение проективного пространства Рт в многообразие гиперквадрик R(Q) проективного пространства РП. Обозначим его £ Рт^ЩО). Система дифференциальных уравнений отображения £ имеет вид:
где
Va^j - a(i®j) = AijIQI (а1=ао1), Vai - ю° = ЛnQ1, (1)
def def
Vaij = daij - ak(^k) + 2aij<B0, Vai = dai - акюк + 2ajю0;
а круглые скобки означают циклирование. Дважды продолжая систему дифференциальных уравнений (1) отображения f , получим
УАЩ -Л(1|1| =ЛЩк^К, (2)
УЛ 1]1К + Лу(1 РК) - Л(1|1К| ©°) = Л 1]1КЬР ;
УЛ п = ЛЖРК, УЛ ж + Л 1аПК) = ЛпыРь . (3)
Из уравнений (2),(3) следует, что системы величин
Г1 = {ау,а1,Л1Д,Лц}, Г2 = {Г1,ЛцпкЛпк}
являются фундаментальными объектами отображения f первого и второго порядка соответственно.
Произведем следующую канонизацию: ^=0. Геометрически это означает, что вершины ^ репера помещены на поляру точки Аo относительно гиперквадрики f(Bo). C учетом канонизации дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f состоит из уравнений (3) и следующих:
Уац = Л^Р1, = АЦП1, УЛщ = Л^^ - Л^Лл)кРк,
УЛщк = Л1ДкьрЬ - Л(1|:КЛл)ьрЬ - Л1л(1РК)-2. Отображения ф1? ф2, ф3. Соответствующая точке ВеРш гиперквадрика Q индуцирует следующие фигуры в пространстве Р^: 1) гиперплоскость л, являющуюся полярой центра Аo относительно гиперквадрики Q; 2) квадратичный элемент q=Qnя; 3) гиперконус второго порядка К с вершиной Аo , образующие которого инцидентны элементу q.
Пусть П^^-л; Отображение индуцирует
дифференцируемые отображения ф1=П1 о £ ф2=П2 о f, ф3=П3 о f. Для гиперквадрики Q
(а0 +Уa1J)x1xJ - 2ю°х1х° + (х0)2 = 0.
Щ^) имеет вид: - ©Ох1 + х° = 0. Так как в нашем репере выполняется условие - ©° = Л ПР1, то точка Вo+dBo тогда и только тогда лежит в подпространстве
Л 1:Х: = 0, когда для П^) выполняется -©° =0, т.е. когда П^) совпадает с П1^°), имеющей уравнение х° =0. Отсюда вытекает
Предложение. (ш-п)-плоскость Л 1:Х: = 0 является касательным в точке Вo подпространством к поверхности уровня отображения ф1.
Конусы ф3(В) и ф3(Вo) в нашем репере задаются соответственно уравнениями:
(а° +Уа1)х1х'' = 0, а°х^ = 0. Рассуждая, как в случае ф1 , получаем
Предложение. (ш- ^^——) - плокость LK: А ¡X1 = 0 является касательным
подпространством к многообразию уровня отображения ф3. 38
3. Отображение Z. Пусть в центропроективном пространстве РП фиксирована невырожденная гиперквадрика Q0 : а-х^-1 + (хО)2 =0. Полярой центра А0
(х1 =0, х°^0) является гиперплоскость П0: х0=0. В пространстве РП возникает
структура расширенного центроаффинного пространства с центром А0 и несоб-
00 ственной гиперплоскостью П , которая связана с гиперквадрикой Q .
Рассмотрим произвольную невырожденную гиперквадрику Q:
а^х^ + 2аххххО + (хО )2 = 0. (4)
Построим соответствующую ей гиперквадрику Z(Q)
а^х^ + (хО)2 = 0. (5)
Путем параллельного переноса совместим центр гиперквадрики Q с центром А0. Полученная гиперквадрика принадлежит пучку гиперквадрик Qц:
а^х^ +ц(хО)2 = 0
Рассмотрим пучок гиперплоскостей, базисными гиперплоскостями которого являются поляра х0=0 гиперквадрики Q0 и поляра гиперквадрики Q относительно центра А0 , определяемая уравнением:
^х1 + (хО)2 = 0. (6)
Инцидентная центру А0 гиперплоскость тсс указанного пучка задается уравнением:
а- х1 = 0. (7)
Среди всех квадратичных элементов тсс п Qц с центром А0, лежащих в гиперквадриках Qц , единственным, лежащим в Z(Q), как следует из уравнений (7); (4); (5), является квадратичный элемент тсс п Q. Таким образом, Z(Q) (5) можно определить как гиперквадрику пучка Qц, содержащую элемент тсс п Q. Следовательно, определили в многообразии гиперквадрик Я^) (при заданной гиперквадрике Q0) отображение Z:Q^Z(Q), где Q и Z(Q) задаются соответственно формулами (4) и (5).
Как видно из уравнений (4); (5); (6), гиперквадрика Q(4) полностью определяется гиперквадрикой Z(Q) и полярой тс^) и, с другой стороны, сама их определяет. Поэтому задание пары тс^)) и гиперквадрики Q эквивалентно друг другу.
4. Инфлексионные кривые. Элементом Q0 будем называть гиперквадрику Q0, определяемую уравнением:
аОх^ + (хО)2 = 0.
Определение. Кривой в многообразии гиперквадрик Я^) центропроектив-ного пространства РП называется отображение /:Я^-Я^), /(0)=Qo. Разложение в ряд Тейлора отображения имеет вид:
1 , 1 о
а^1) = а0 + Л^ + ^М/ + < 3 >, ^(1) = Л^ + ^М^2 + < 3 >.
Определение. Кривая /^^ЩО) называется слабо инфлексионной кривой в элементе Qo , если выполняются следующие условия:
Му = kЛiJ; Mi = хА (8)
Теорема. Кривая /:Я^Я(0) является слабо инфлексионной в элементе О тогда и только тогда, когда фокальные многообразия [2] первого и второго порядков кривой совпадают в элементе О.
Определение. Кривая /^^ЩО) называется инфлексионной в элементе Qo, если в условиях (8) выполняется к = х.
Теорема. Если кривая /:Я^Я@) является инфлексионной в элементе О, то фокальные многообразия первого и второго порядков кривой совпадают в элементе О .
5. Характеристические направления. Рассмотрим случай, когда где
N - размерность многообразия гиперквадрик R(Q) центропроективного пространства . Фундаментальный объект второго порядка Г2 определяет для любой точки В0 два алгебраических многообразия:
Лц1КХ1Хк - 2Лц1Х1Х° =0; (9)
Л11КХ:ХК - 2Л 11Х1Х° =0. (10)
Многообразия (9) и (10) назовем соответственно 11-индикатрисой и 12-индикатрисой.
Пусть V - многообразие в Рш , содержащее точку В0. Обозначим символом [V] конус, состоящий из прямых связки {В0}, которые имеют с многообразием V менее двух общих точек.
Обозначим х =[11]п[Щ , Х=[!1п12].
Определение. Конус ~ называется слабо характеристическим, а конус х -характеристическим конусом отображения £ определяемые конусами х их направления называются соответственно слабо характеристическими и характеристическими направлениями отображения £
Предложение. Объект Л1 задает слабо характеристическое направление в том и только том случае, когда выполняются условия:
Л1л1кЛ1Лк - 2ц1Л1л1Л1 = 0; Л11кЛ1Лк - 2ц2Л11Л1 = 0. (11)
Предложение. Объект Л1 задает характеристическое направление в том и только том случае, когда выполняются условия (11) и
Рассмотрим кривую L:R^Pш, L(0)=B0, для которой разложение в ряд Тейлора имеет вид:
I1 =Л11+1/2М112+<3>. (12)
Кривая (12) задает в точке В0 направление, определяемое объектом Л1, и является инфлексионной [3] в точке В0, если М = кЛ1.
Теорема. Чтобы направление, определяемое в точке Bo инфлексионной в ней кривой L:R^Pm, было (слабо) характеристическим, необходимо и достаточно, чтобы кривая f о L: R^R(Q) была (слабо) инфлексионной в элементе f о L(0).
Список литературы
1. Иванищева Н.Н. Дифференцируемое отображение проективного пространства Рт в многообразие гиперквадрик пространства Рп // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. №30. С. 27 - 29.
2. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Алгебра. Топология. Геометрия. 1970 / ВИНИТИ. М., 1971. С. 153 - 174.
3. Малаховский В.С., Махоркин В.В. Дифференциальная геометрия многообразия гиперквадрик в n-мерном проективном пространстве // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1974. Т. 6. С. 113 - 133.
N. Ivanischeva
DIFFERENTIABLE MAPPING OF THE PROJECTIVE SPACE INTO HYPERQUADRICS MANIFOLD OF THE CENTREPROJECTIVE SPACE
УДК 514.76
В.А. Игошин, Е.К. Китаева
(Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского)
МАКСИМАЛЬНО ПОДВИЖНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ КВАЗИГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОТОКИ НЕНУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
На базе метода пульверизационного моделирования [1; 2] и результатов [3] получен ряд теорем, касающихся размерностей алгебр Ли аффинных движений квадратичных квазигеодезических потоков.
Пусть М - (п-1)-мерное многообразие, £ = (М,:Г) - квазигеодезический поток (КП) на М, имеющий следующее координатное выражение:
а2х7^2 = Г / ,
где ^ j =1,..., п-1. КП ^ (М,£) называется [4; 5] квадратичным или потоком второй степени (по скорости - первым производным dx/dt), если правые части Г его координатного уравнения являются полиномами второй степени по dx1 / dt:
их Нхк их
г = -Г1. к (х8,^—— - 2В1 (х8,^— - А1 (х8,0, ^ 7 dt dt л ' dt 4 '
