О подклассах дифференцируемого отображения, порожденного комплексами гиперквадрик Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

М. В. Кретов

(Российский государственный университет им. И. Канта, Калининград)

О ПОДКЛАССАХ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОГО ОТОБРАЖЕНИЯ,

ПОРОЖДЕННОГО КОМПЛЕКСАМИ ГИПЕРКВАДРИК

В многомерном аффинном пространстве рассматриваются подклассы дифференцируемого отображения, порожденного комплексами центральных невырожденных гиперквадрик. Показано, что такие комплексы существуют. Найдены геометрические свойства конуса главных прямых, характеристических направлений и индикатрис исследуемых отображений.

Ключевые слова: комплекс, гиперквадрика, отображение, аффинное пространство, репер, ранг отображения, тензор, симметрирование, индикатриса, характеристическое направление, главная прямая, гиперплоскость, фундаментальный объект, характеристическое многообразие, гомотетия.

В настоящей работе продолжается [2] изучение геометрии порожденного комплексами Кп центральных невырожденных гиперквадрик q отображения

/: С е Ап ^ q е Я(4), (1)

где Я — пространство центральных невырожденных гиперквадрик q, а С — центр гиперквадрики q. Рассматриваются некоторые подклассы отображения / в частично канонизированном репере Я0 [2], который геометрически характеризуется тем, что его вершина А совмещена с центром гиперквадрики q.

Проводимые в работе рассмотрения носят локальный характер. Все встречающиеся в ней функции предполагают-

М В. Кретов

ся аналитическими. Кроме того, если не оговорено противное, предполагается, что рассматриваемые отображения имеют максимальный возможный ранг [5] в каждой точке области определения. Методика исследования основана на применении инвариантного теоретико-группового метода Г. Ф. Лаптева [3].

В репере Я0 система дифференциальных уравнений отображения / имеет вид:

^аар=ЛарГ^ , а, Р, - = 1П (2)

Замыкая систему (2), получим

УЛ«РГА®г= 0. (3)

Разрешая уравнения по лемме Картана, находим:

^ЛаРг=ЛаРу8®5, (4)

причем

ЛаРу8 =ЛарЗг. (5)

Пусть фиксированная гиперквадрика q0 е Я(д) с центром С0 задается уравнением

а арХаХР- 1 = 0, (6)

а гиперквадрика q е Я^) — уравнением

ОарХаХР+ 2ааХа- 1 = 0. (7)

Пусть Та — некоторый тензор. Рассмотрим случай, когда при отображении / для компонент Лар88 фундаментального объекта второго порядка комплекса Кп имеет место:

ЛаРу8= 2ЛаР(гТ3), (8)

где круглые скобки обозначают симметрирование. Отображение / обладающее в точке С0 указанным свойством, будем

называть отображением /1. В этом случае система уравнений, определяющая индикатрису 3у [2, с. 21], имеет вид:

2АаруХ?(Т8Х5 -1) = 0. (9)

Индикатриса состоит из точки С0 и гиперплоскости Иу(Та), определяемой уравнением:

ТаХа -1 = 0. (10)

Из определения у-характеристических направлений [1,

с. 13] следует, что любое направление в точке С0 в случае отображения /г является у -характеристическим.

Теорема 1. Конус Ку(0) -главных прямых [2, с. 15] в случае отображения /1 вырождается в гиперплоскость, параллельную гиперплоскости Иу(Та), инцидентную точке N.

Доказательство. В случае отображения уравнения конуса Ку (0) -главных прямых принимают следующий вид:

Аа/}/Х%Х3 = 0. (11)

Так как ранг отображения у равен Й2+1, то уравнения

КргХг= 0 (12)

имеют только тривиальное решение, поэтому система (11) эквивалентна следующему уравнению:

ТаХа= 0, (13)

откуда непосредственно следует утверждение теоремы:

Теорема 2. Любое (р-характеристическое направление [2,

с. 23] в случае отображения является / -характеристическим направлением [2, с. 23].

М. В. Кретов

Доказательство. Система уравнений индикатрисы J/ [2,

с. 21] отображения / в рассматриваемом случае имеет вид:

ТаХа -1 = 0,

о (14)

ЛаргХРХг - аарХР = 0.

Тогда утверждение теоремы следует из определения /характеристических и (-характеристических направлений.

Рассмотрим случай, когда при отображении / для компонент ЛаРГ фундаментального объекта первого порядка комплекса Кп выполняется условие:

ЛаРг=Ла(Рг). (15)

Отображение / обладающее в точке Й0 указанным свойством, будем называть отображением /2. В рассматриваемом случае справедлива следующая

Теорема 3. Характеристическое многообразие [4] гиперквадрики q0, ассоциированной с комплексом Кп, совпадает с образом индикатрисы Jр отображения р при гомотетии с

центром в точке N° и коэффициентом, равном двум.

Доказательство. Известно (см. [4]), что характеристическое многообразие гиперквадрики q0, ассоциированной с комплексом Кп, является инвариантным и задается следующей системой уравнений:

ЛаРгХРХГ- 2ааРХР = 0. (16)

Система уравнений индикатрисы Jр отображения р в рассматриваемом случае имеет вид:

ЛРааХРХг- ааРХР = 0. (17)

Тогда при гомотетии с центром в точке N и коэффициентом, равном двум, индикатриса Jр отображения р переходит в характеристическое многообразие гиперквадрики q0.

Список литературы

1. Андреев Б.А. О дифференциальной геометрии соответствий между точечными пространствами и некоторыми пространствами пар фигур // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 3. Калининград, 1973. С. 6—19.

2. Кретов М. В. Дифференцируемые отображения, ассоциированные с комплексами центральных невырожденных гиперквадрик в аффинном пространстве. Калининград, 1981. Деп. в ВИНИТИ АН СССР, № 3003-81.

3. Лаптев Г. В. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. об-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.

4. Малаховский В. С., Махоркин В.В. Дифференциальная геометрия многообразий гиперквадрик в п-мерном проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 6. Калининград, 1974. С. 113—133.

5. Рыжков В. В. Характеристические направления точечного отображения Pm в Pn // Тр. геом. семинара. Ин-т науч. информ. АН СССР. М., 1971. Т. 3. С. 235—242.

M. Kretov

ON SUBCLASSES OF THE DIFFERENTIABLE MAPPING GENERATED BY COMPLEXES OF HYPERQUADRICS

In multidimensional affine space, subclasses of the differenti-able mapping generated by complexes of central nondegenerate hyperquadrics are considered. It is shown, that such complexes exist. Geometrical properties of a cone of the main straight lines, characteristic directions and indicatrix of the researched mappings are found.