CC BY
10
Н. А. Елисеева
3) Н(П)-распределение представляет собой (n - r) -параметрическое семейство тангенциально вырожденных гиперполос Н1т+r-1 •
Список литературы
1. Елисеева Н.• А• Поля плоскостей, параллельные в нормальных связностях Н(П)-распределения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2011. Вып. 42. С. 41—47.
2. Столяров А• В• Двойственная теория оснащенных многообразий: монография. 2-е изд. Чебоксары, 1994.
3. Столяров А• В• Двойственные нормальные связности на регулярной неголономной гиперполосе // Изв. НАНИ ЧР (физ.-мат. науки). 1996. № 6. С. 9—14.
4. Елисеева Н.• А• Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей второго рода на Л-подрасслоении Н(П)-распределения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2008. Вып. 39. С. 63—66.
N. Eliseeva
Investigation of the plane fields parallel in normal connections of H(n)-distribution
This article develops some ideas of [1]. Plane fields parallel in normal connections, induced in a bundle of normals of the 1st and 2nd kind on Л-subbundle of H^-distribution are considered.
УДК 514.75
М. В. Кретов
(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)
Комплексы конусов
В трехмерном эквиаффинном пространстве исследуются комплексы Т3 (трехпараметрические семейства) конусов, вершины которых описывают двумерные мно-
гообразия. Получены геометрические свойства одного из подклассов рассматриваемого многообразия фигур.
Ключевые слова: конус, аффинное пространство, комплекс, многообразие, репер, система управлений Пфаффа, характеристическое многообразие, фокальное многообразие, индикатриса вектора, конгруэнция.
Отнесем комплекс Т3 конусов к реперу Я = {А, е1, ~ё2, ё*3}, который характеризуется следующим образом: А — вершина конуса, векторы е1 и е2 лежат в касательной плоскости в вершине конуса и сопряжены между собой, вектор ё*3 направлен по оси образующего элемента, концы р1 и р2 соответственно векторов е + е3 и ё"2 + е3 лежат на конусе. При этом уравнение конуса ц согласно [1] будет иметь вид
(X1)2 + (X2)2 - (х3)2 = 0. (1)
Принимая формы в1 = с1, в2 = со2, в3 = а>\ + со2 за независимые первичные, запишем систему уравнений Пфаффа комплекса Т3 в виде
с = А1квк, с +с = Ав, с +с3 = А3вк, с = Авк, (2)
где г, к,...=1, 2, 3 (по 7 не суммировать!).
Согласно выбору канонического репера
С = 0. (3)
Замыкая уравнение (3) и применяя лемму Картана в соответствии с работой [2], получаем
С3 = Л11в1 + А12в2, с3 = Л12в1 + Л22в2. (4)
Определение 1. Комплексом Г3 конусов назовем комплекс Т3 конусов, если индикатриса векторов е1 будет описывать поверхность с касательной плоскостью, параллельной координатной плоскости (А, е1, е2).
Теорема 1. Существуют три подкласса комплексов Т с произволом четырех функций трех аргументов и один подкласс комплексов Т с произволом двух функций трех аргументов.
Для доказательства теоремы обозначим первые три подкласса комплексов Т символами Т^, четвертый подкласс — символом Ти. Системы уравнений Пфаффа комплексов Т^ и Т34 соответственно будут иметь вид
о] = лв, ®3 = л3квк, о32 = а231^1 + л^в2, О23 = л22в:
о3 = ®12 = ®13 = 0;
о] = лквк, о = 43к0к -Лв, о32 = Лв, о23 =^22^2 о3 = Лв, ®3 =о2 = 0;
О = л]к&к, О = л3квк - \2в2, О = (л3, - Л^в2, о = Л_2д2, а>\ = Л201 + Л22в2, о3 =О = 0; о] = лв, о = л?квк-Лв1 -Л,в2,
&С = Л^в1 + Ле - Лв--(Л1 Л;22 + Лг - Лг)в2
Л1
ОС = Лгв^ +--(Л1Л22 + Л2 - Л2Л21 )в2,
Л1
(5)
(6) (7)
(8)
о3 = Л1е1 + Л2е2, о3 = о12 = о,
где в1 = о1, в2 = о2, в3 = а>\, по \ не суммировать!
Теорема доказывается по методике, изложенной в учебном пособии [2].
Выделим из комплексов Тц комплекс Т^ из следующих геометрических соображений:
Определение 2. Комплексом Т3\ конусов назовем комплекс Т311, для которого точки р1 и р2 принадлежат характеристическому и фокальному многообразию конуса [3], индикатриса
векторов е2 описывает поверхность с касательной, параллельной координатной плоскости (А, е1, ё"3), а индикатриса векторов е3 описывает поверхность с касательной, параллельной координатной плоскости (А, ё[, ё"2). Из определения комплекса 731 следует А2 = А2 = А2 = А3 = А3 = А3 = 0 А1 =-А3 А2 = А3 (9)
21 22 23 "^31 ^2 ' 13 13' 23 "^33' \ >
поэтому система уравнений Пфаффа для рассматриваемого многообразия примет вид
о1 = Ав, «3 = -о\-в, «32 = -в2, (10)
323233
о = о2 = о3 = о1 = о1 = о2 = 0,
где в1 =о1, в2 =о2, в3 =ю\.
Исследуя систему уравнений (10) согласно [2], убеждаемся в том, что комплексы 73'1 конусов существуют и определяются с произволом одной функции трех аргументов. Для комплексов 73'1 доказаны три теоремы. Теорема 2. Характеристическому многообразию конуса [3], описывающего комплекс 71311, принадлежат две прямые: координатная прямая (А, е3) и прямая, параллельная координатной прямой (А, е2), проходящая через конец вектора ё*3. Доказательство следует из системы уравнений А111(х1)2 - (А111 +1)х1 х3 + х1 = 0, А112(х1)2 - А112х1 х3 - х2х3 + х2 = 0, (11)
А*! 3( х) + х х А13 х х — 0.
Теорема 3. Вершина конуса, точки р1 и р2 принадлежат фокальному многообразию конуса [3], описывающего комплекс 73'1 .
Доказательство следует из системы уравнений (11) и уравнения (1).
Теорема 4. Комплексы 71311 конусов обладают следующими геометрическими свойствами:
1) вершина конуса описывает конгруэнцию (двупарамет-рическое семейство) плоскостей, параллельных координатной плоскости (A, ëj, e2) ;
2) индикатриса вектора ~ё2 описывает линию с касательной, параллельной координатной прямой (A, e1) ;
3) индикатрисы векторов e1 и e3 описывают комплексы линий с касательными, параллельными координатной прямой
(A, e) ;
4) концы векторов текущие точки координатных прямых (A, e) и (A, e2) описывают комплексы плоскостей, параллельных координатной плоскости (A, ei, e2) ;
5) координатная плоскость (A, ei, e2) неподвижна.
Доказательство следует из системы уравнений Пфаффа
(10), деривационных формул репера R и правил дифференцирования.
Список литературы
1. КомиссарукА. М. Аффинная геометрия. Минск, 1977.
2. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1978.
3. Малаховский В. С., Махоркин В. В. Дифференциальная геометрия многообразий гиперквадрик в n-мерном проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1974. Вып. 6. С. 113—133.
M. Kretov Complexes of cones
In three-dimensional equiaffine space complexes (three-parameter family) cones are investigated. The geometrical properties of one of subclasses for considered variety of figures are obtained.
