CC BY
11
УДК 514.75
Н. В. Виноградова, О. В. Воротникова, М. В. Кретов
(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)
О подклассах комплексов эллиптических параболоидов
В трехмерном аффинном пространстве продолжается исследование комплексов (трехпараметрических семейств) эллиптических параболоидов. Получены геометрические свойства двух подклассов рассматриваемого многообразия фигур.
Ключевые слова: эллиптический параболоид, аффинное пространство, комплекс, многообразие, репер, система уравнений Пфаффа, индикатриса, характеристическое многообразие, фокальное многообразие, конгруэнция, деривационные формулы.
Продолжаем исследовать комплекс П3 эллиптических параболоидов, отнесенный к реперу Я = {Л,ё1} , 1, _), к, ...= 1, 2, 3, который геометрически охарактеризован в работе [1].
Уравнение эллиптического параболоида д в репере Я имеет вид
(х1)2 + (х2)2 - (х3)2 = 0. (1)
В работе [1] исследовано многообразие П3, выделенное из комплексов П3, когда индикатрисы векторов ё1 описывают линии с касательными, параллельными вектору е1, а конец р 1 вектора е + ез принадлежит характеристическому многообразию образующего элемента [2].
В настоящей работе проведем исследование многообразия П1, выделенное из комплексов П 3 по другим геометрическим соображениям.
Определение 1. Комплексом П ]3 эллиптических параболоидов назовем комплекс П3, для которого индикатрисы векторов ё1 и ё2 описывают линии с касательными, параллельными вектору , а индикатриса вектора ¥3 описывает линию с касательной, параллельной вектору ё1.
Согласно определению 1 система уравнений Пфаффа комплекса П3 примет вид
о2 = Л^вк,о2} = Б213в3,
3 13 13 2 3 о = о1 = о1 = о2 = о2 = о3 = о3 = 0.
Комплексы П3 существуют с произволом одной функции трех аргументов [3].
В работе [1] через р2обозначен конец вектора е2 +¥3 . Обозначим через Р3 точку с координатами
- Л2П /(Л2П )2,-1/ л22 , (Л2П )2 (Б213Л221 /(Л2п )3+ЛЛ23 /(Л2П )2 ) / Л2П.
Теорема 1. Характеристическое многообразие [2] эллиптического параболоида, описывающего комплекс П]3 , состоит из двух объектов: координатной прямой (Л,в3) и точки Р3.
Доказательство. Характеристическое многообразие эллиптического параболоида д, являющегося образующим элементом комплекса П3, задается следующей системой урав-
нений:
х1 + Л2п(х2)2 = 0,х2 + Л2п(х2)2 = 0, х1х3 + Б213х1х2 + Л223( х2 )2 = 0,
откуда следует утверждение теоремы.
Следствие. Вершина эллиптического параболоида принадлежит фокальному многообразию [2] образующего элемента
комплекса П^.
Теорема 2. Комплексы П3 обладают следующими геометрическими свойствами:
1) концы А1 и А3 координатных векторов ё1 и ё3 соответственно, точки координатной прямой (А,ё1) описывают конгруэнции плоскостей, параллельных координатной плоскости (Л,ёрё2);
2) конец А2 координатного вектора ё2, точки координатной прямой (Л,ё2) описывают комплексы плоскостей, параллельных координатной плоскости (Л,ё1,ё2);
3) координатная плоскость (Л,ё1,ё2) неподвижна.
Доказательство. Обозначим через М текущие точки соответственно координатных прямых ( А,ё1), а через М3+, — текущие точки соответственно координатных плоскостей (Л,ё1,ё2) , (Л,ё1,ёз) и (Л,ё2,ёз). Из системы уравнений (2) и деривационных формул репера Я следует, что
с1А1 =в1ё1 + (в2 + Б213)ё2,
ёА2 = в% + (в2 + Л2к)ё2,
ёА1 = (1 + в3 )ё1 +в2ё2,
ёМ1 = (ёх1 + в1 )ё1 + (в2 + В213х1 )ё2,
ёМ2 = в1ё1 + (ёх2 +в2 + х2А2квк )ё2,
ёМ3 = (в1 + х3в3 )ё1 +в2ё2 + ёх3ё3, (4)
ёМ4 = (ёх1 + в1 )ё1 + (ёх2 +в2 + В213х1 + х2А22квк )ё2,
ёМ5 = (ёх1 +61 + х3 в3 )¥1 + (в2 + Б213х1 )е2 + ёх3¥3, сМ6 = (в1 + х3в3 )¥1 + (ёх2 +в2 + х2Л2квк )¥2 + ёх3¥3.
Продифференцировав равенства (4), убеждаемся в справедливости теоремы.
Выделим из комплексов 31 эллиптических параболоидов подкласс П1.
Определение 2. Комплексом П3 эллиптических параболоидов назовем комплекс П]3 , если точка р2 будет принадлежать характеристическому многообразию его образующего элемента.
Из определения комплекса П^ следует, что его система
уравнений Пфаффа имеет вид
(5)
о О = - Л'пв2,®! = Б213в3,
3 1 3 1 3 2 3 с = с 1 = с 1 = с 2 = с 2 = с 3 = с 3 = 0.
Комплексы П^ существуют с произволом двух функций одного аргумента.
Обозначим через р4 и р5 точки с координатами соответственно (0,-1/Л222,0) и (0,-1/Л12,1/(Л222)2) .
Теорема 3. Характеристическое многообразие [2] эллиптического параболоида, описывающего комплекс П]3 , состоит из двух параллельных прямых: координатной прямой (Л,¥3) и параллельной ей прямой, проходящей через точку р4.
Доказательство теоремы следует из системы уравнений
х1 = 0,х2( Л222х2 +1) = 0,х1(х3 + Б213х2 ) = 0. (6)
Теорема 4. Фокальное многообразие [2] эллиптического параболоида, описывающего комплекс П]3 , состоит из двух точек: вершины параболоида и точки p5.
Доказательство теоремы следует из уравнения (1) и системы уравнений (6).
Теорема 5. Комплексы П]3 обладают дополнительно к свойствам, сформулированным в теореме 2, следующим геометрическим свойством: конец A2 координатного вектора e2, точки координатной прямой (A,e2) описывают конгруэнции плоскостей, параллельных координатной плоскости (AJjJ2).
Доказательство следует из системы равенств (4) и правил дифференцирования с учетом определения 2.
Список литературы
1. Виноградова Н. В., Кретов М. В. Комплексы эллиптических параболоидов // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2010. Вып. 41. С. 35—38.
2. Малаховский В. С., Махоркин В. В. Дифференциальная геометрия многообразий гиперквадрик в n-мерном проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1974. Вып. 6. С. 113—133.
3. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1978.
N. Vinogradova, O. Vorotnikova, M. Kretov About subclasses of complexes of elliptic paraboloids
In three-dimensional affine space research of complexes of elliptic paraboloids proceeds. Geometrical properties of two subclasses of considered variety of figures are obtained.
