CC BY
9
2. Шевченко Ю. И. Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Калининград, 2009.
3. Шевченко Ю. И. Приемы Лаптева и Лумисте задания связности в главном расслоении// Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 37. Калининград, 2006. С. 179—187.
I. Beschastnyi
CONNECTIONS ON A BUNDLE, ASSOCIATED WITH DUAL PLANE DISTRIBUTION
In many-dimensional projective space a dual plane distribution is considered. A connection in a bundle associated with given distribution is introduced by Lumiste's way. It is proved, that the curvature object is a tensor, which contains four subtensors.
УДК 514.75
Н. В. Виноградова, О. В. Воротникова, М. В. Кретов
(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)
ОБ ОДНОМ КОМПЛЕКСЕ ЭЛЛИПСОИДОВ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В трехмерном аффинном пространстве продолжается исследование комплексов (трехпараметрических семейств) эллипсоидов. Получены геометрические свойства одного из подклассов рассматриваемого многообразия фигур.
Ключевые слова: эллипсоид, аффинное пространство, комплекс, многообразие, репер, система уравнений Пфаффа, фокальное многообразие, асимптотические линии, индикатриса вектора.
Исследование ведется в репере R = { A,e1,e2,e3}, который характеризуется следующим образом: A — центр эллипсоида q, векторы (i, j, k = 1, 2, 3) направлены по тройке сопряженных
диаметров эллипсоида, причем концы А' векторов в± лежат на эллипсоиде. При этом уравнение эллипсоида q имеет вид:
(X1)2 + (X2)2 + (X3)2 -1 = 0. (1)
В работе [1] исследованы комплексы К30, в которых на эллипсоиде имеются по крайней мере три фокальные точки Аг-, которые не лежат на одной прямой и на одной плоскости, проходящей через центр, и определяют три сопряженных направления, если прямая (АА1) описывает цилиндрическую поверхность. Система уравнений Пфаффа этого многообразия имеет вид:
а' = -а', аЦ = 0)1 = 0,а2 = аа2 + (За3,
а1 = (а2 + ую3,ю2 = Ла23 -а3, (2)
а23 = (ЛЬ - 1)а2 + Ьа3,
где за базисные формы взяты а1, а2 и а3.
Двумерное многообразие точек А, являющееся поверхностью, касательная плоскость которой в точке А проходит через фокальные точки А1 и А2, назовем поверхностью Ф.
В данной работе рассматриваются комплексы К301 , выделенные из многообразия К3, когда асимптотические линии на поверхности (А1) являются координатными и при движении точки А по поверхности Ф касательная на индикатрисе вектора е2 параллельна плоскости (А,е1, е2 ).
Обозначим асимптотические линии на поверхности (А1), ассоциированной с комплексом К31, символами у1 и у2, которые задаются соответственно следующими уравнениями: а2 = 0, а3 = 0.
Предложение 1. Комплексы К0 существуют и определяются с произволом одной функции одного аргумента.
Доказательство. В работе [1] найдены формулы:
- -ю е1,
ёе2 - (аю + вю )е1 - ю е2 + (ХЪ - 1)(Хю + ю )е3 ёе3 - (вю2 + ую3 )е1 + ((ХЪ - 1)а>2 + Ъю3 )е2 - ю3ё"3,
ёЛ1 - ю е2 + ю е3,
(3)
ёЛ2 - (ю1 + аю2 + вю3)е1 + Хю32е3, ёЛ3 - (ю1 + вю2 + ую3 )е1 + Ъ (Хю2 + ю3 )ё"2, используя которые, находим уравнение асимптотических линий на поверхности ассоциированной с комплексом К3 :
а(а2)2 + 2/а2а3 + у(а3)2 - 0. (4)
Из определения многообразия К0 следует, что
а - 0,у = 0. (5)
Тогда в системе дифференциальных уравнений (2) имеем
а'2 - /а3, а>'3 -/а2. (6)
Замыкая уравнения (6), получим
ё1п/- Ва3 +С +с2 - 2ЯЬа2, (7)
где В -1 - 2АЪ.
Из формулы (3) и определения комплекса К0 следует:
Я = 0. (8)
Тогда система дифференциальных уравнений Пфаффа исследуемого комплекса имеет вид:
- -С, - с3} - 0,а2 - /а3, а'3 - /За2, ^
сС - -а3,а23 - -а2 + Ъа3,ё1п/ - С +а2 +а3.
Чистое замыкание [2] системы уравнений (9) состоит из следующего уравнения:
ёЪЛа3 - 2Ъа2 Ла3 - 0. (10)
Система уравнений (9, 10) в инволюции и ее решение определяется с произволом одной функции одного аргумента.
Предложение 2. Комплекс К0 обладает следующими геометрическими свойствами:
1) прямая l = (А2,ё1) неподвижна;
2) при движении точки А1 вдоль асимптотической линии у2 прямая m = (А1,ё2) и координатная плоскость (А, ё1,ё2) неподвижны, а векторы ё1 и ё2 смещаются параллельно сами себе;
3) на поверхности (А1) направление а2 + а3 = 0 сопряжено направлению а2 - а3 = 0;
4) поверхность (А3) — цилиндрическая с образующей, параллельной прямой I, причем касательная к этой поверхности в точке А3 параллельна координатной плоскости (А, е1, е2);
5) точка Р = А2 - (ё1 неподвижна при движении точки А1 по асимптотической линии у1 при а1 = 0;
6) смещение точки А3 при переходе с одной образующей цилиндрической поверхности (А3) на другую происходит в направлении вектора ё2.
Доказательство.
1) Имеем
ё1 = -а1е1,
dё2 =(а3е1 -а2е2 -а3е3, (11)
dё3 = (а2ё1 + (-а2 + Ьа3)ё2 -а3 ё3.
Пусть М1 = А2 + Х1ё1 — текущая точка прямой I = (А2,ё1). Тогда
М = (dХ1 - (1 - Х1 )а1 + (а2)ё1. (12)
2) Пусть М2 = А1 + Х2ё2 и М3 = А + Х1ё1 + Х2ё2 — текущие точки соответственно прямой т = (А1,ё2) и координатной плоскости (А,ё1, ё2). Тогда из формул (3) получаем:
dM2 = (Х2а3ё1 + (dХ2 + (1 - Х2)а2)ё2 + (1 -Х2 )а3ё3,
dM3 = (dХ1 + (1 -Х1 )а1 +(Х2о2 )ё1 + + (dХ2 + (1 -Х2)а2)ё2 + (1 - Х2 )а3ё3.
При движении точки А1 вдоль асимптотической линии у2 формулы (13) принимают вид:
dM2 = (dХ2 + (1 - Х2)а2)ё2,
dM3 = (йХ1 + (1 - X V1 + вХ 2ю2)ё +
+ (йХ2 + (1 - X 2)ю2)ё2,
откуда следует неподвижность прямой т и координатной плоскости (А,ё1,ё2) при движении точки А1 вдоль асимптотической линии у 2.
Из формул (3) непосредственно вытекает, что в многообразии К0 векторы ё1 и ё2 смещаются параллельно сами себе.
3) Из определения комплекса К301 следует, что асимптотические линии поверхности (А1) задаются уравнением:
а2 а3 = 0. (15)
Последнее уравнение равносильно следующему:
(а2 +а3)2 - (а2-а3)2 = 0, (16)
откуда ясно, что направление а2 +а3 = 0 сопряжено направлению а2 - а3 = 0.
4) Имеем
йА3 = (а1 +(а2)ё1 + Ьа3ё2. (17)
Уравнение асимптотических линий поверхности (А2) принимает вид:
(а3)2 = 0. (18)
Из формул (17) и (18) следует, что поверхность (Л3) — цилиндрическая с образующей, параллельной прямой I, а касательная к этой поверхности в точке Л3 параллельна координатной плоскости (А, е1, е2).
5) Из формул (3) и (9) получаем
ёР - (а1 - /а2 )е1, (19)
откуда и следует соответствующее утверждение предложения.
6) Последнее утверждение предложения непосредственно следует из формулы (17).
Предложение 3. Фокальное многообразие [3] эллипсоида
д, ассоциированного с комплексом К°, состоит только из трех точек Л1, Л2 и Л3.
Доказательство. Фокальное многообразие эллипсоида д,
ассоциированного с комплексом К°, задается следующей системой уравнений:
(X1)2 - X1 - 0,
(X2)2 - X2 - вХ1X3 + X2X3 - 0,
^ (20) (X3)2 - X3 - вX1X2 + (1 - Ъ)X2X3 - 0,
(X1)2 + (X2)2 + (X3)2 -1 - 0.
Системе уравнений (20) удовлетворяют только координаты точек Л1, Л2 и Л3, причем последняя точка является двукратной [4] фокальной точкой.
Список литературы
1. Кретов М. В. О комплексах центральных квадрик в аффинном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 11. Калининград, 1980. С. 51—60.
2. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1978.
3. Малаховский В. С., Махоркин В. В. Дифференциальная геометрия многообразий гиперквадрик в п-мерном проективном простран-
стве // Тр. геометрич. семинара / ВИНИТИ АН СССР. М., 1974. Т. 6. С. 113—133.
4. Малаховский В. С. Индуцировано оснащенные многообразия фигур в однородном пространстве // Там же. С. 319—334.
N. Vinogradova, O. Vorotnikova, M. Kretov ABOUT ONE COMPLEX OF ELLIPSOIDS IN AFFINE SPACE
In three-dimensional affine space research of complexes (three-parametric families) of ellipsoids proceeds. Geometrical properties of one of subclasses of considered diversity of figures are obtained.
УДК 514.75
С. Ю. Волкова
(Балтийский военно-морской институт им. Ф. Ф. Ушакова, г. Калининград)
НОРМАЛИЗАЦИЯ НОРДЕНА — ТИМОФЕЕВА РЕГУЛЯРНОЙ ГИПЕРПОЛОСЫ 8Ит ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
Дано задание гиперполосы Шт в репере 1-го порядка, и доказана теорема существования [1]. Для гиперполосы 8Ит внутренним образом присоединены: а) в дифференциальной окрестности 2-го порядка ее нормализация в смысле Нордена — Тимофеева; б) в дифференциальной окрестности 3-го порядка однопарамет-рический пучок ее оснащений в смысле Э. Картана.
Ключевые слова: регулярная гиперполоса, нормализация, фокальное многообразие, линейная поляра, квазитензор, оснащение.
1. Схема использования индексов такова:
J, К,Ь = 1,п; 3,К,Ь = 0,п; р^^ = 1,г; а,Ь,с = г + 1,т;
