CC BY
8
УДК 514.75
М. В. Кретов
(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, ПОРОЖДЕННОЕ КОМПЛЕКСАМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРОВ
В трехмерном аффинном пространстве рассматривается дифференцируемое отображение, порожденное комплексами эллиптических цилиндров со специальными свойствами ассоциированных образов. Геометрически охарактеризованы индикатриса и главное направление исследуемого отображения.
Ключевые слова: комплекс, отображение, аффинное пространство, индикатриса, главное направление.
В трехмерном аффинном пространстве А3 рассмотрим дифференцируемое отображение
/:С ^ д е 2Е3,
где С — центр луча прямолинейной конгруэнции Z2 осей цилиндра, д — эллиптический цилиндр (образующий элемент
комплекса Хе3, рассмотренного в работе [1]).
Исследование отображения / будем проводить в репере г = {А, ё.]}, I, ], к = 1, 3, где А — центр луча прямолинейной конгруэнции Z2 осей цилиндра; ё1, ё2 лежат в касательной плоскости к поверхности центров и сопряжены между собой; концы А1 (I, У, К = 1,2) векторов ё1 принадлежат эллипсу — сечению цилиндра касательной плоскостью 5; вектор ё3 направлен по оси цилиндра, конец А3 которого совпадает с фокусом луча прямолинейной конгруэнции Z2. Уравнение цилиндра д запишется в виде
М В. Кретов
(x1)2 + (x2)2 -1 = 0. (1)
В репере r система дифференциальных уравнений отображения f согласно работам [1—3] имеет вид:
со'1 =-ев1, 0)3 = еЛ11в1, со1 =ев1, со2 = Л^в1 -ев2,
®2 = ®2 = ®3 =о2 =03 = 0, (2)
где в1 = о'3, в2 = ю23, в3 = of.
Согласно работе [4] отображение f существует и определяется с произволом двух функций одной переменной.
Пусть Xa — координаты точки C. Тогда согласно работе [5] уравнения отображения f имеют вид:
a11 = 1 + 2еХ1 + 3е2(X1 )2 -eXX3 +{3),
Ü13 = аз1 =-е( X1)2 +{3), atj = 0, если i и j не равны 1 и 3. (3)
а1 =-Х1 - 2е(X1)2 +{3), а2 =-X2 - 2е(X1)2 +{3), а3 = 0,
где символ (3) означает совокупность членов порядка малости p > 3 относительно приращений координат точки области определения.
Обозначим через М точку с координатами ——, 0 и 3——.
2е 2е
Теорема 1. Индикатриса I- отображения / состоит из координатной плоскости (Л,ё2,ё3) и прямой, проходящей через точкуМ, параллельно другой координатной плоскости (Л,ё1, ё2).
Доказательство. Согласно работе [2] уравнения индикатрисы I-- отображения / имеют вид:
X1 (2ЕХ1 +1) = 0,
(4)
X1 (3 (е -1) X1 - X3 - 2) = 0.
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Из системы (4) следуют два варианта отношений X1 = 0 и
1 3 — if
X1 =__—, X3 =-, откуда вытекает утверждение дока-
2f' 2f
зываемой теоремы.
Теорема 2. Конус Kf (О)-главных направлений отображения f совпадает с координатной прямой ( A, e2 ).
Доказательство. По методике, изложенной в работе [5], находим уравнения Kf (0)-главных направлений отображения f Эти уравнения имеют вид:
Л1 ((3е — 2) Л1 — Л3 ) = 0, ( Л1 )2 = 0, (5)
откуда следует Л = 0 и Л3 = 0, что и подтверждает наше предложение.
Список литературы
1. Кретов М. В. Комплексы эллиптических цилиндров // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 36. Калининград, 2005. С. 54—59.
2. Кретов М. В. Дифференцируемые отображения, ассоциированные с многообразиями гиперквадрик // Международная конференция по геометрии и приложениям. Смолян, 1986. С. 23.
3. Кретов М. В. О подклассах дифференцируемого отображения, порожденного комплексами гиперквадрик // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 41. Калининград, 2010. С. 70—74.
4. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Калининград. 1978.
5. Кретов М. В. О главных точках дифференцируемых отображений, ассоциированных с комплексами гиперквадрик // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 37. Калининград, 2006. С. 51—58.
M. Kretov
THE DIFFERENTIABLE MAPPING GENERATED BY COMPLEXES OF ELLIPTICAL CYLINDERS
In three-dimensional affine space the differentiable mapping generated by complexes of elliptical cylinders with special properties of associated images is considered. The indicatrix and a principal direction of researched mapping are geometrically described.
