О подклассах комплексов эллиптических цилиндров Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

Н. В. Виноградова, О. В. Воротникова, М. В. Кретов

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

О подклассах комплексов эллиптических цилиндров

Исследуются в трехмерном аффинном пространстве комплексы (трехпараметрические семейства) эллиптических цилиндров, у которых индикатриса первого координатного вектора описывает поверхность с касательной плоскостью, параллельной координатной плоскости (А, е1, е2). Геометрически охарактеризованы характеристическое и фокальное многообразия образующих элементов рассматриваемых комплексов. Получены геометрические свойства исследуемых многообразий.

Ключевые слова: комплекс, репер, цилиндр, аффинное пространство, конгруэнция, характеристическое многообразие, фокальное многообразие, индикатриса вектора.

В трехмерном аффинном пространстве продолжается исследование комплексов (трехпараметрических семейств) эллиптических цилиндров, изучение которых было начато ранее [1], в репере г = {А, ё}, ], к = 1,3, построенном в указанной работе.

Согласно статье [1] уравнение цилиндра д и система дифференциальных уравнений комплекса 23е соответственно имеют вид

^ = (х1)2 + (х2)2 -1 = 0; -ев1, ©3 = еХ11в1, со1 = ев1, со2 = А^в1 - ев2,

©23 = а>2 = ©3 = ©2 = с3 = о,

(1)

где

в1 = ©1, в2 = с2, в3 = с

»2.

Рассмотрим подклассы комплексов ¿3З, когда индикатриса вектора е1 описывает поверхность с касательной плоскостью, параллельной координатной плоскости (А, е1, е2).

Так как й^ = —зд1^ + в3ё*2 + £Лп01ё3 для комплексов XЗ3, то выделяемых подклассов комплексов ХЗ с вышеуказанным свойством индикатрисы вектора е1 будет два: первый при £ = 0, второй при Я11=0, которые обозначим символами ¿1 и

соответственно.

Системы уравнений Пфаффа для комплексов ¿1 и X 2 соответственно будут иметь вид

а>2 = А^в1, «1 = «3 = «2 = «2 = «33 = «2 = «3 =«1 = 0; (3)

ю2 = А12в1 — £в2, =—о1, «3 = в1, о1 = ав1,

«2 = «1 = «3 = «2 = «3 = 0. (4)

Анализируя системы дифференциальных уравнений (3) и (4) в соответствии с методикой, содержащейся в работе [2],

убеждаемся в том, что комплексы Х существуют и определяются с произволом одной функции одного аргумента, а комплексы ¿¿2 — с произволом одной функции двух аргументов.

Характеристическое многообразие [3] цилиндра д задается системой уравнений

Е = 0, Е = 0, Е = 0, (5)

где Е удовлетворяют уравнению — 2 йЕ = Еквк.

Для комплексов ¿1 система уравнений (5) имеет вид

х1 х3 + А12 х2 = 0, х2 х3 = 0, х1 х2 = 0, (6)

а для комплексов ¿¿2 эта система выглядит следующим образом:

—а( х1)2 + ах1 + х1 х3 + А12 х2 = 0, х 2( х3 — £) = 0, х1 х2 = 0. (7)

Из систем (6) и (7) вытекает следующая теорема.

Теорема 1. Характеристическое многообразие [3] цилиндра, описывающего комплекс 21, состоит из двух координатных осей (А, е1) и (А, е3), а описывающего комплекс 22 состоит из координатной оси (А, е3) и прямой, проходящей через точки (1, 0, 0) и (0, 0, - а).

Фокальное многообразие [3] цилиндра, описывающего комплексы и 22, задаются соответственно системами уравнений (6) и (7) с добавленном в каждой системе уравнений выражения (1).

Из определений фокальных многообразий цилиндра, описывающего исследуемые многообразия, следует

Теорема 2. Фокальное многообразие [3] цилиндра, описывающего комплекс 21, состоит из двух точек, являющихся концами векторов е1 и — е1, а описывающего комплекс 22 состоит из конца вектора е1 и конца вектора с координатами (-1, 0, -2а).

Обозначая через А, — концы векторов , М, — текущие точки координатных осей (А, ei), М3+, — текущие точки координатных плоскостей (А, е1, е2), (А, %1, %3) и (А, е2, е3) соответственно, для комплексов получаем

йА = А12в1 е2, йё1 = в%, йё2 = 0, й%3 = в% + в%, йА1 = (А12в1 + в3) %3, йА2 = А12в1е2,

йА3 = в1%1 + (А12в1 + в2) %2, йМ 1 = йх\ + (А12в1 + х1в3)ё2, йМ 2 = (А12в1 + йх2) %2, йМ 3 = х 3в1%1 + (А12в1 + х 3в2)е2 + йх 3%3, йМ4 = йх1 ■ е1 + (йх2 + х1в3 + А12в1) %2,

(8)

ЙМ 5 = (Йх1 + х 3в1)е1 + (А12в1 + х1въ + х 3в2)е2 + Йх 3е3, йм 6 = хъв\ + (йх2 + А12в1 + х 3в2) е2 + йх 3е3. Для комплексов ¿2 формулы (8) будут иметь вид

ЙА = авхе1 + (А12в1 — зв2) ё2, Йе1 = —ав% + въё2 + 0%,

1_ 2_

йе2 = 0, Йе3 =0 е1 +0 е2,

ЙА1 = (А1201 — зв2 + в3) е2 + в1^, ЙА2 =ав1е1 + (А12в1 — зв2) е2, ЙА3 = (а + 1)в1е1 + (А12в1 — зв2 + в2) е2, (9)

йм 1 = (Йх1 + ав1 — ах1в1)е1 + (А12в1 — зв2 + х1в3)ё2 + х1в1е3, йМ2 = ав1е1 + (Йх2 + А12в1 — зв2) е2, йм 3 = (ав1 + х3в1)е1 + (А12в1 — зв2 + х 3в2)е2 + йх3е3, йм 4 = (Йх1 + ав1 — ах1в1)е1 + (Йх2 + А12в1 — зв2 +

+ х1в3)е2 + х1в1е3, йм5 = (Йх1 + ав1 — ах1в1 + х3в1) е1 + (А12в1 — зв2 + + х1в3 + х 3в2) е2 + (йх3 + х1в1) е3, йМ 6 = (ав1 + х3в1) е1 + (Йх2 + А12в1 — зв2 + х3в2) е2 + Йх3е3.

Анализируя и дифференцируя формулы (8) и (9), получаем теоремы.

Теорема 3. Комплексы 2Х обладают следующими геометрическими свойствами:

1) индикатриса вектора е2, координатная прямая (А, е2) и координатная плоскость (А, е1, е2) неподвижны;

2) индикатриса вектора и центр луча прямолинейной конгруэнции осей цилиндра описывают однопараметрические семейства линий с касательными, параллельными вектору е2;

3) индикатриса вектора ё3, точки координатных прямых (А, ё1) и (А, ё3) описывают конгруэнции плоскостей, параллельных координатной плоскости (А, ё1, ё2).

Теорема 4. Комплексы 22 обладают следующими геометрическими свойствами:

1) индикатриса вектора ё2 неподвижна;

2) центр луча прямолинейной конгруэнции осей цилиндра, индикатриса вектора ё3, точки координатных прямых (А, ё2) и

(А, ё3) описывают конгруэнции цилиндрических поверхностей с

образующими, параллельными вектору ё2;

3) точки координатной прямой (А, ё1) описывают комплексы цилиндрических поверхностей с образующими, параллельными вектору ё2.

Список литературы

1. Кретов М. В. Комплексы эллиптических цилиндров // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2005. Вып. 36. С. 54—59.

2. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1978.

3. Малаховский В. С., Махоркин В. В. Дифференциальная геометрия многообразий гиперквадрик в «-мерном проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1974. Вып. 6. С. 113—133.

N. Vinogradova, O. Vorotnikova, M. Kretov About subclasses of complexes of elliptical cylinders

In three-dimensional affine space research of complexes (three-parametric families) of elliptical cylinders at which the indicatrix of the first coordinate vector describes a surface with the tangent plane parallel

coordinate plane of (A, ei, e2) proceeds. Characteristic and focal varieties of forming elements for considered complexes are geometrically described. Geometrical properties of researched varieties are obtained.