CC BY
38
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
То м XVI 1985
№ 2
УДК 533.6.011.5 : 629.7.025.1
О ФОРМЕ ПОДВЕТРЕННОЙ СТОРОНЫ ВОЛНОЛЕТА
Г. И. Майкапар
Показано, что с помощью прямой или косой волн разрежения можно построить подветренную сторону волнолета и получить острую заднюю кромку. Подъемная сила и волновое сопротивление такого волнолета рассчитываются точно аналитически. Приведены формулы и таблицы, необходимые для расчета линии тока косой волны разрежения.
Формы гипотетических летательных аппаратов, образованные поверхностями тока двумерных течений газа с головными волнами (наветренная сторона) и поверхностями тока невозмущенного потока (подветренная сторона) рассматриваются во многих теоретических и экспериментальных работах. Такие формы, получившие название волноле-тов, отличаются плоским дном; предполагается, что дно будет занято реактивной струей, а при отсутствии ее в случае гиперзвуковых скоростей донное сопротивление не существенно. Существенно оно при меньших сверхзвуковых скоростях и, кроме того, в случае тонкого волнолета — крыла — тупая задняя кромка не удовлетворяет условию эффективного создания подъемной силы. Известна только одна работа [1], в которой для построения подветренной стороны летательного аппарата применены два осесимметричных течения разрежения, причем задняя кромка крыла может быть острой и появляется киль. Прямая волна разрежения Прандтля—Майера была применена для образования подветренной стороны волнолета со стреловидной передней кромкой и Ш-образным поперечным сечением [2]. Цель данной работы — показать, как двумерная волна разрежения Прандтля—Майера может быть широко применена для построения подветренной стороны волнолета. Если наветренная сторона волнолета образована поверхностью тока за косым скачком уплотнения, то таким способом получаются ромбовидные в плане крылья с острыми передними и задними кромками, подъемная сила и волновое сопротивление которых точно рассчитываются с помощью простых формул, а возможные вариации формы достаточно широки для удовлетворения требований размещения груза и балансировки.
Рассмотрим волнолет, наветренная сторона которого образована двумя плоскостями тока, идущими от прямолинейных передних кромок, расположенных на косом скачке уплотнения, а подветренная сторона, начиная от острия, образована плоскостями тока невозмущенного по-
тока (крыло Нонуейлера, рис. 1, 0 — угол наклона скачка, 6—угол отклонения потока за скачком).
Расположим ось прямой волны разрежения 00 Прандтля—Майера на передних кромках. Характеристическая плоскость невозмущенного потока, наклоненная к вектору его скорости на угол ао, пересечет ребро подветренной стороны волнолета в точке А. Начиная от линий ОА на боковых плоскостях подветренную сторону образуем в общем
Рис. 1
случае сначала коническими сегментами ОАВ поверхностей тока прямой волны разрежения, проходящими через отрезки плоских линий тока, а затем плоскостями тока ОВС. В зависимости от угла конического сегмента о)1—соо можно получить различные углы раствора острой задней кромки и длины кормовой части волнолета. Угол и равен
О) = ——1~ & ■ 2
(1)
где О — угол отклонения линии тока по отношению к оси хи связанной с волной разрежения, начинающейся при скорости потока, равной скорости звука, а — угол Маха.
Для расчета подъемной силы и волнового сопротивления, действующих на конические сегменты поверхностей, воспользуемся известными формулами для давления р и полярной координаты линии тока волны разрежения [3]:
т
р_
Ра
[
Ї+1
1
7+1
_г_________Г соя Ноїт-І
г0 [ сое (1 I
tg
вт ССд
(2)
(3)
где ро — полное давление, у — отношение теплоемкостей, I — расстояние от вершины волнолета до оси волны разрежения.
Для координат точки линии тока имеем
X = Г БІП (со — &0), у = Г СОБ (а) — $0)>
(4)
(5)
отсюда
_L j!± = ^ P sin (w — &0) + cos (со — d0),
Г а со ' i — 1
~F li ** l^fzrf tg ** cos (u) “ &o) - sin («> - 90).
Проекции конического сегмента на плоскости xz, yz представляют собой треугольники, поэтому составляющие действующей на него силы равны
— т + 1
V = — -L tg Л i pdx = — Ц? Pq tg Л (^-V-1 (cos X
z Ш0 Z VY + 1/
(!>j Г Г---
X Г [к sin JJ. Sin (со — fl-0) -|- COS JXCOS (со — &0) 1 d<D, (6)
“i _t_ 7+^
X = -yigAj pdy = fig A (-?-.)1-1 (соз^Гх
2 ui0 2 \7 -t- 1/
XJ[ j/" sin I1 cos (CO — 90) — cos sin (со — ft0) j d со, (7)
“о ^
Л — угол раствора передней части волнолета в плане, интегралы (6), (7) легко вычисляются аналитически.
Таким образом, действительно получено несущее ромбовидное в плане крыло с острыми кромками, для которого взаимно независимые области возмущения ограничены твердой поверхностью и опирающимся на передние кромки плоским скачком уплотнения и начальной характеристической плоскостью, а также идущими от задней кромки волной разрежения (в наветренной части течения) и хвостовой ударной волной (в подветренной части течения). Для реализации такого обтекания задняя кромка должна .быть сверхзвуковой по отношению к наветренному течению.
Кормовую часть можно обрезать и получить на части крыла
плоское дно.
Для построения кормовой части волнолета можно воспользоваться любым течением разрежения, в котором на твердую поверхность не попадают отраженные характеристики, но задняя кромка уже не будет прямой. В таких течениях разрежения линии тока подобны и зависимость г (а) такая же, как и для волны Прандтля—Майера. В частно-
сти, можно воспользоваться решением вариационной задачи для плоского контура:
Х2 Хц х2
X = j" pdy = min, Y=—j* pdx = const, F =
X\ XJ Xi
которое легко получить, приняв во внимание, что давление
Р=Р(У'), У' = £-
Экстремальный контур у(х) должен удовлетворять уравнению Эйлера
У'[^(У + Х) + 2^] = ,,
где р — множители Лагранжа.
j ydx == const,
Решение получается в параметрическом виде
dp
dp
[X де = (и + Х) —=/> + Clt + и = у'.
Когда объем не задан, ц = 0, экстремалью является прямая. Можно надеяться, что кормовая часть, образованная линиями тока, соответствующими этому решению, будет также экстремалью для волнолета.
Прямая волна разрежения может быть применена для образования кормовой части волнолетов и других форм, имеющих поверхности, образованые линиями тока невозмущенного потока. Характерным для такого способа ее применения является отсутствие ребер на твердой поверхности. Если на двух подветренных плоскостях волнолета имеются ребра, острую заднюю кромку можно получить с помощью поверхностей тока двух косых волн разрежения. Под косой волной разрежения подразумевается волна разрежения от ребра, образующего со скоростью невозмущенного потока угол А (рис. 2), в которой изменяется только составляющая скорости невозмущенного потока ш0=УзтЛ. Поверхность тока, начинающаяся с прямой ОА, расположенной на начальной характеристической плоскости |(©о) и образующей угол е с расположенной в этой же плоскости нормалью к ребру, будет представлять собой конический сегмент, который при заданном угле поворота потока в волне ■Оч—■б'о перейдет в плоскость. Координаты направляющей конической поверхности находятся с помощью (4), (5) и уравнений линии тока:
где ■» = a* cos у- — окружная составляющая скорости, а* =
л
Рис. 2
dz rd <»
V cos Л v
М0 =------число Маха невозмущенного
ап
!о
потока.
ш
а*
с (ц) = у6 Г Г С08-“ [X + — соэ-V + —1 +
'г/ Л сое?[X ]/бсо8= (л[ 4 8
н—— т/"- 1п ——.
16 ' 2 ) — БШ И
Для функции £((л) составлена таблица, являющаяся дополнением к таблицам для расчета прямой волны разрежения [4].
м СО г М 0> £ М <0 С М О) С
1,10 25,96 0,438 2,35 100,35 3,955 3.60 133,96 15,407 4,85 153,58 53,526
1,15 31,97 0.594 2,40 102,13 4,195 3.65 134,95 16,241 4,90 154.19 56,094
1,20 37,12 0,708 2,45 103,86 4,428 3,70 135.92 17,112 4,95 154,79 58,776
1,25 41,70 0,811 2,50 105,54 4,683 3,75 136,86 18.019 5,00 155,38 61,575
1,30 45,89 0,915 2.55 107,19 4,953 3,80 137,78 18,970 5,05 155,97 64,534
1,35 49,77 1,017 2,60 108,80 5,238 3,85 138,69 19,974 5,10 156,53 67,516
1,40 53,41 1,144 2,65 110,36 5,536 3.90 139,58 21,028 5,15 157,09 70,673
1,45 56,84 1,225 2,70 111,88 5,851 3,95 140,45 22,131 5,20 157,64 73,952
1,50 60,10 1,331 2,75 113.37 6,183 4,00 141,31 23,294 5,25 158,19 77,431
1,55 63,20 1.440 2.80 114,83 6,535 4,05 142,14 24,496 5,30 158,72 80,974
1,60 66,18 1,552 2,85 116,24 6,902 4,10 142,96 25,761 5,35 159,25 84,507
1,65 69,03 1,669 2,90 117,62 7,288 4,15 143,77 27,101 5,40 159,76 88,536
1,70 71,78 1,789 2,95 118,97 7,697 4,20 144,56 ‘28,496 5,45 160,27 95.565
1,75 74,42 1,914 3,00 120,29 8,127 4,25 145,33 29,942 5,50 160.77 96,738
1.80 76,98 2.044 3,05 121,57 8,578 4,30 146,09 31,466 5,55 161,26 101,06
1,85 79,44 2,180 3,10 122,83 9,055 4,35 146,84 33,074 5,60 161,74 105,53
1,90 81,83 2,325 3,15 124,06 9,557 4,40 147,57 34,738 5.65 162,22 110,24
1,95 84,14 2,454 3,20 125,26 10,084 4,45 148,28 36,459 5,70 162,70 115,21
2,00 86,38 2,625 3,25 126,44 10,642 4,50 148,99 38,297 5,75 163,15 120,25
2,05 88,55 2,795 3,30 127,58 11,223 4.55 149,68 40,195 5,80 163,61 125,43
2,10 90,66 2,959 3,35 128,70 11,836 4,60 150,36 42,188 5,85 164.06 130,87
2,15 92.71 3,139 3,40 129.81 12,488 4,65 151,03 44,274 5,90 164,50 136,52
2.20 94.69 3,327 3,45 130,88 13,165 4,70 151,69 46.459 5,95 164,93 142.39
2,25 96,63 3,526 3,50 131.93 13,876 4.75 152,33 48,756 6,00 165,36 148,45
2,30 98,51 3,734 3,55 132,96 14,628 4,80 152,96 51,068
Так как окончательно для координат линии тока полу-
чаем:
X Г сое Но!6 . / а Ч
— = ----------- 8111 (ш — »о),
г0 [_ «« и ]
У Г сов^б
---=------------- сов (со-
Го Ь сое м- J у
г *«• . I Кб сое Л совб (Х0 [С ([X) — С (но)
------- — Х& £ п ,/ »
г о У в1п2 А -(- 5М“
(9)
Система координат хуг связана с осью косой волны разрежения. В системе координат х'у'г', связанной с вектором скорости V (рис. 2), исключая г0, получим уравнения конической поверхности в параметрическом виде (параметр и)
X
х’
cos (<» -- v0)
sin Л sin (ш — %о) + cos A cos6 н
tgs
cos6 но
г'
х'
Уб cosA [С(н) -СЫ11 ’ |/ sin2 Л + С М—2 J
sin A cos6 и |.. £____^ cos .4 ^ ~ ^ 1 — cos A sin (о> — 90)
________________Icos6 но___________V sin2 А + 5М~2_________________________________________
sin A sin (и — $0) + cos A cose н { Є--------------------[- cos ^ ^ ^
cos6 Но sin2 А + 5М 2 /
(10)
(И)
Пусть подветренная плоскость волнолета составляет угол ф с плоскостью симметрии (см. рис. 1), тогда продольная и, вертикальная v и поперечная w составляющие скорости за волной разрежения будут
u=V cos2 Л -f wt cos (0t — Ь0) sin Л,
V —— COS Л COS <f> [Wq — Wx COS ($! — »o)] — wl s*n (^l — ®o) sin ?I W = COS Л Sin «Р [w0 — Wt COS (&! — »0)1 — Wj Sin (&, — &o) C°S T;
здесь Wi — модуль нормальной к ребру составляющей скорости за косой волной разрежения.
Поперечная составляющая скорости за волной обращается в нуль при условии [5]
щ
Г£>1
— COS (&! — »о)
ctg?
_________________ (12)
Sin (<ot — $0) COS Л
Зависимость ctg<p/cosA от угла поворота —Фо и числа М0 =
= MsinA представлена на рис. 3. Положительным значениям ctg ф/cosA соответствуют углы ф, Л, находящиеся в одной и той же (первой или второй) четвертях, отрицательным — углы ф, Л, находящиеся в разных четвертях.
При д—Оо<'©1—Оо поперечная скорость ы<0 для ^ ф/сов Л>0 и ш>0 для с1дф/созА<0; конический сегмент соответственно расширяет или сужает область, в которой расположено ребро.
Для плоской части поверхности тока имеем
сое — »„)
х' — X
1 ---- Л + сое (»! — »0) tg А
Ух~ У
вш (&1 — 90)
С1 ’ совА [ — ctg А + сое ($1 — 80) tg а] 1®1 1
(13)
координаты .шнии пересечения плоскостей тока за ребром и за границей конического сегмента получаются из (13) при х' = у' — г' = 0.
Ма-^; ф=-гг
Рис. 5
Если линия ОА является линией пересечения начальных характеристических плоскостей двух симметричных относительно вертикальной' плоскости волн разрежения, то угол е равен
(1-f cos2 A) sin2 (<р— ф) 4-sin2 A (sin2 ф — sin2 w) , . д .
6 = arcsin •А-л:-----------' , ■ - ' = , tg Ф = cos Л tgo0.
2sin (tp — ф) Y cos2 A sin2 (<p — ф) + sin2 A sin2 ф
Угол наклона линии пересечения к скорости V равен
sin ф tg А
S = arctg
sin (tf —ф )
В случае ш>0 поверхности тока для косых волн разрежения можно интерпретировать как наличие киля, линия пересечения начальных характеристических плоскостей соответствует передней кромке киля. На киль действует тяга, у корневого сечения его нет скачков уплотнения, поэтому не должно быть и связанного с ними отрыва потока. В качестве примеров на рис. 4и5 показаны сечения х^сог^ килей для
углов Л=-|- и сечения для различных х' подобны, на рисунках
кружками отмечены точки перехода конического сегмента в плоскость.
Изложенное показывает возможность применения волн разрежения для образования подветренных поверхностей волнолетов и получения разнообразных форм их. Заметим в заключение, что если течение около цилиндрического корпуса летательного аппарата близко к однородному, то метод образования несущих поверхностей с помощью поверхностей тока плоских течений можно распространить и на этот случай, начиная поверхности тока за скачком уплотнения и начальной характеристической плоскостью с линий пересечения их с цилиндром. Волнолеты с острыми задними кромками можно получить, воспользовавшись для образования наветренной стороны двумя плоскими скачками уплотнения (перевернутое ’\V-o6pa3Hoe поперечное сечение), а для подветренной стороны — либо течением за прямой волной разрежения, начинающимся от передних кромок ^поверхность Флауера [2]), либо поверхностью тока прямой волны разрежения, идущей от поперечного ребра на плоской передней части поверхности тока невозмущенного потока.
ЛИТЕРАТУРА
1. J о n е s J. G., М о о г е К. С., Pike J., Roe P. L. A method for designing lifting configurations for high supersonic speeds. (Ing. Arch. Bd. XXXVII, 1968.
2. Кюхеман Д. Аэродинамическое проектирование самолетов. — М.: Машиностроение, 1983.
3. 3 а у е р Р. Введение в газовую динамику. — М.: Гостехиздат,
1947.
4. Equations, tables, and charts for compressible flow. — NACA Rep.
1135.
5. Майкапар Г. И., П я т н о в а А. И. Выбор основных параметров крыла с Л-образным поперечным сечением.—Ученые записки ЦАГИ, 1984, т. XV, № 2.
Рукопись поступила 23/XII 1983 г.
