О фокусировке характеристик в нелинейной волне напряжений, распространяющейся по упругой струне Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

О ФОКУСИРОВКЕ ХАРАКТЕРИСТИК В НЕЛИНЕЙНОЙ ВОЛНЕ НАПРЯЖЕНИЙ, РАСПРОСТРАНЯЮЩЕЙСЯ ПО УПРУГОЙ СТРУНЕ.

Шарый Владимир Александрович

Кандидат физ.-мат.наук, доцент горного университета, г. Санкт-Петербург

Пайков Владимир Иванович

Кандидат физ. -мат. наук, доцент Донецкого Национального университета, г. Донецк

Аннотация:

В работе рассматривается асимптотическое решение задачи о нелинейном распространении волны напряжения в упругой струне, когда одна из её точек перемещается по заданному закону с нулевой начальной скоростью. Показано, что в полученном решении в некоторый момент времени происходит фокусировка характеристик нелинейных уравнений волны с последующим возникновением скачка напряжений. Исследуется асимптотика возникающего скачка на больших расстояниях от места возникновения. Заметим, что случай, когда начальная скорость инициирующей волну отлична от нуля, был рассмотрен в [1].

Abstract: In this paper we consider the asymptotic solution of the problem of nonlinear propagation of a stress wave in an elastic string, when one of its points moves according to a given law with zero initial velocity. It is shown that in the solution obtained at a certain moment of time, the characteristics of the nonlinear wave equations are focused with the subsequent occurrence of a tension jump. The asymptotic behavior of the resulting shock at large distances from the place of origin is investigated. We note that the case when the initial velocity of the initiating wave is different from zero was considered in [1].

Ключевые слова: Скачок напряжений в струне. Фокусировка характеристик. Затухание скачка напряжений.

Keywords: Stress jump in the string. Focusing characteristics. Attenuation of the tension jump.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДА ЧИ: Пусть в некоторый момент времени, который мы примем за начальный, одна из точек струны А , совпадающая при ^ = 0 с началом координатной

оси ОХ (см. рис.), перемещается перпендикулярно оси ОХ по заданному закону.

Будем рассматривать моменты времени движения волн в струне до тех пор, пока возмущения не достигнут одного из закреплённых концов струны. Вертикальная скорость движения точки А задаётся соотношением

Т

V ( 0, t) = 4s ■

a

(1.1)

Здесь s - малый параметр задачи 0 < е С 1.

a

. Для моментов времени t > t0 на

интервале [t0, к ■ t0 ] точка A движется с постоянной скоростью V(0, to), к > 1, к = O(1), to = O(1). В (1.1)

а - скорость распространения возмущений в покоящейся струне. В исследуемой задаче предполагается, что напряжение в струне р (X, 1) нелинейным образом зависит от скорости деформации е (X, 1) и даётся соотношением, полученным в [2]:

Р - В{('+ еУ -'] (1.2),

здесь константы В и п характеризуют упру-

Вт,

ность вещества струны. Очевидно, что для малых деформаций соотношение (1.2) даёт известный закон Гука р — р •«о • е. Как показано в [2], функция деформации е (X, 1) даётся соотношением:

гие свойства вещества, а0 —

где р - плот-

1 ( ди V

е (X, 1) —— • — I , где и (X, 1 ) - величина у ' 2 4 7

сме-

ним. Как показано в [2], скорость нелинейного распространения возмущений в струне даётся соотношением:

п—1

2 (1.3).

а (X, 1) — «-(1 + е)

2. ЛИНЕЙНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДА ЧИ.

В [2] показано, что нелинейное распространение волн в струне описывается нелинейным волновым уравнением:

д2и 2 (л Чп—1 82и —- — а0-(1 + е) —^ 1Ч

812 ^ ' 8*2 (21).

На основании [2] уравнение (2.1) эквивалентно системе уравнений:

8М , Чп—1 842-е п ■ + а0 • (1 + е)--:-— 0

8 1 81

8x

■ + ап

8М 8x

— 0

(2.2)

(2.3)

щения точки струны с абсциссой X в момент времени 1 от положения равновесия. В момент времени к • 10 точка А останавливается, возникающая при этом в этой точке центрированная волна разряжения в некоторый момент времени > 0 догонит

возникший в точке фокусировки характеристик скачок напряжений и начнёт взаимодействовать с

, ~ V

здесь М — —. В области, удалённой от

ап

фронта волны, где частные производные системы

(2.2), (2.3) имеют порядок О , в [2] построено

линейное решение в виде асимптотических разложений:

М(X,(,е) — 4е-М (X, 1 ) + £2 • М2 (X,1) +...

__3

^2• е(X, 1,^) —у[ё• е(X,г) + £2 • е2(X,г) +...

(2.4)

(2.5).

Как показано в [2], в рассматриваемой области Му — е, а функция Мх (X, 1) удовлетворяет волновому уравнению:

8 2М,

— а~---

« ~ (2.6).

812 0 8x2 Решение (2.6), удовлетворяющее граничному условию (1.1), имеет вид:

М —.

1

X

г —

л

а,

о у

(2.7).

3. ФОКУСИРОВКА ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНОГО РЕШЕНИЯ.

В области, примыкающей к характеристике

X — а • 1, где производные от искомых функций имеют порядок О(1), при построении нелинейного решения будем следовать алгоритму, предложенному в [1], [2]. Введём новые переменные б, 1 по формулам

а • 1—X, г—б=о (1), г—о (1)

В рассматриваемой области будем искать решение системы (2.2), (2.3) в виде асимптотических разложений:

М(X,М (б,г)+..., М(б,г)—о(1)

=4ё-е(8,х')+..., е(8,0 =0(1)

(3.3).

Используя (3.2), (3.3) в (2.2), (2.3) так же, как и в [1], [2], приходим к системе уравнений:

М = е1

дЫл п-1

• а0 • М2

дЫл

= 0

а

4

М (8, х ') = С2

а

М = е

л

8 п -1 , ,2

— +--М2 • х

а 4 1

V ао 4 у

(3.8).

М = е

х -

X

Л

а

л/Е

(3.9).

Приравнивание (3.9) и (2.7) даёт:

Е

X -

X

Л

а

ТЕ

X--

V

а,

0 у

(3.10).

Е ( 5 ) =

хп

(3.11).

М = . -•

1 +

п -1

• М2

X

• X--

ап

(3.12).

Путём элементарных преобразований из (3.12) находим М2:

(3.4)

М2 =-

^Л • X X

5Х' 4 "0 ~ 58 " (3.5).

Отметим, что соотношение, идентичное (3.4), имеет также место в области применимости линейного решения. Уравнение (3.5) имеет два интеграла:

8 п-1 , ,2 , „

— +--М2 • х = с

^ п-1 л

1---х •Е

V 4 х

х • а х0 а0

(3.13).

"0 у

Продолжая преобразования, приведём (3.13) к виду:

1 +

п -1

• М2 е =

х - х'

(3.6)

•(х - х*)

а

(3.14).

Здесь (X*, х *) координаты точки С , давае-

(3.7).

Соотношение (3.7) показывает, что М1 постоянно вдоль характеристик (3.6) уравнения (3.5). Из (3.6), (3.7) находим общее решение (3.5), содержащее произвольную функцию Е

мые соотношениями:

х* =

4 • хп

X*=а • х *

Произвольная функция Е определяется из сращивания нелинейного решения (3.8) с линейным (2.7) по методу Ван-Дайка (см. [3]) приравниванием главных частей линейного и нелинейного решений, записанных в одних и тех же переменных при фиксированных значениях этих переменных и Е ^ 0. Главная часть линейного решения (2.7) совпадает с этим решением, а главная часть нелинейного решения М1 (3.8), записанная в переменных X, х, имеет вид:

(п-1)е' ° (315).

Соотношение (3.14) говорит о том, что все характеристики нелинейного решения проходят через

точку С (X*, х *).

4. ЗА ТУХАНИЕ СКА ЧКА НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ.

В результате фокусировки характеристик нелинейного решения в точке С образуется скачок напряжений в струне, на фронте которого выполняются соотношения, полученные в [1]:

М1 = е1

N = а0| 1 +

п -1

• М2

(4.1)

(4.2)

здесь N - скорость распространения скачка напряжений. Поскольку на интервале [хо, к • хо ] точка А движется с постоянной скоростью V (0, х0), то в области ААСОАг будет

М = е = 1 . В следствие этого образовавшийся в точке С скачок движется с постоянной скоростью:

,г , .. п-1

N = а 1 +--е

(4.3).

В соответствии с постановкой задачи, приведённой в параграфе первом, в момент времени

Из (3.10) получаем значение произвольной функции Е (5) :

х — к • хг.

точка

А

внезапно останавливается, заняв

Используя (3.11) в (3.8), находим значение нелинейного решения в переменных X, х :

положение точки А . Головная характеристика образовавшейся в точке А центрированной волны разрежения в момент времени ^ > х *

догонит скачок напряжений СО, который начнёт искривляться по мере уменьшения напряжения на нём. Момент времени ^ находится из условия:

а„

1 + —-^ ]•( 1 — к• 10) — X* +а0 •[ 1 + —-• s !•(! — 1 *)

(4.4).

Элементарные вычисления дают значение : ^ — 1 * (2 ^к — 1) (4.5).

Перейдём к построению вышеупомянутой центрированной волны разряжения, которая примыкает к области постоянных значений параметров

А1АСОА1 через характеристику Ар . Так как все характеристики этой центрированной волны проходят через одну и ту же точку А , то уравнения её движения получаются из системы (3.6), (3.7). Находя значения произвольной постоянной С из условия прохождения всех характеристик волны через точку А , уравнение движения центрированной волны можно привести к виду:

П—1 М2 ^ — а0 (1 — к • 10 ) 4 • 1 •s а(1—к• 10) (46).

Для построения дифференциального уравнения движения затухающего скачка напряжений используем соотношение (4.6) в (4.2):

& (X — а • 1) X — а (1 — к • 10 )

& 2 • а (1 — к • 10)

(4.7).

Используя соотношение (4.8) в (4.6), получим изменения величины М2 вдоль скачка:

_ s ^ ^ к • ¿0 ттл; (411).

9

Р- а0

Умножая обе части (4.11) на —-—, приведём

2

соотношение (4.11) к виду:

Р —

р- V2 (0,101 — к• 1, 2 • ^ 1 — к • 10

(4.12).

Из (4.8) следует, что при больших значениях 1 будет X □ а ' ~ ^' ) •

Используя это обстоятельство, из (4.12) находим закон затухания скачка напряжений в струне в виде:

рП

1 -Р-v2 (0,10 а0 (11 — к • 10 )

(4.13).

Интегрирование уравнения (4.7) даёт закон движения фронта скачка:

X — а (1 — к • 10 ) + С - л] 1 — к •

1 — к •

-о V ' ^з V1 10 (4.8).

Произвольная постоянная С находится из начального условия:

1 — г1, x — а1+1 •^•(^— к• 10)(49).

Элементарные вычисления дают значение по-

стоянной

С :

п - п —1 I--

Сз — а0- ^/гl— к -10

• I. • ;

4

(4.10).

Соотношение (4.13) аналогично известному закону затухания Ландау плоских ударных волн в сжимаемых сплошных средах.

Список литературы:

1. Мансаре Баба, Себельдин Анатолий Михайлович, Шарый Владимир Александрович «Асимптотика распространения скачка нормальных напряжений в струне» Евразийский союз учёных (ЕСУ); 2015 г. №3-7, Часть12, стр. 147-149.

2. Шарый Владимир Александрович, Себель-дин Анатолий Михайлович, Мансаре Баба «Исследование нелинейного распространения волн в струне асимптотическими методами» Евразийский союз учёных (ЕСУ); 2014 г. № IX, стр. 11-13.

3. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости: монография . М. , 1967. - 310 с.