К задаче о нелинейном распространении нормальных напряжений в струне Текст научной статьи по специальности «Физика»

173

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 11 (20), 2015 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Curves, AJ. 2001, http://arxiv.org/pdf/astro-ph/0104382v1. pdf

• Г. Голушко, Утомлённый свет и наблюдения сверхновых типа Ia, http://bourabai.ru/articles/snt.htm

• Н.А.

Жук, Новая стационарная модель вселенной. http://www.

vixri.ru/d/a_cosmo/Zhuk%20N.A.%20-%20Novaja%20

stacionarnaja%20moder%20Vselennoj.pdf

• E.J. Lerner, Evidence for a Non-Expanding Universe: Surface Brightness Data From HUDF, http:// arxiv.org/abs/astro-ph/0509611

http://www.bigbangneverhappened.org/lernerpaper4.pdf -E.J. Lerner cite

• В. И. Малышев, Ст. «Преломления показатель», Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988. http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_ physics/2124

• W.Nernst at all, The Radiation Temperature of the Universe, p.86 APEIRON Vol. 2 Nr. 3 July 1995, http://www. ifi.unicamp.br/~assis/Apeiron-V2-p79-84%281995%29.pdf

• P.Nugent, S. Perlmutter and all, K-corrections and Extinction Corrections for Type Ia Supernovae, arXiv:astro-ph/0205351 v1 21 May 2002.

• S. Perlmutter, G.Goldhaber, R.A.Knop, P. Nugent and all, Measurements of Omega and Lambda from 42 High-Redshift Supernovae, arXiv:astro-ph/9812133 v1 8 Dec 1998.

• К.А. Постнов, А.В. Засов, Курс общей

астрофизики, М.: Физический факультет МГУ, 2005, 192 с. ISBN 5-9900318-2-3 .

http://www.phys.msu.ru/upload/iblock/aae/2005-postnov-

zasov.pdf

• Н. Райт. Учебник космологии Неда Райта, Часть 2: Гомогенность и изотропия http://cosmologiya.narod.ru/ cosmo_02.htm

• Я.А. Смородинский, Ст. «Альберт Эйнштейн (Albert Einstein)”, БСЭ, 1969-1978. http://slovari.yandex. т/~книги/БСЭ/Эйнштейн%20Альберт

• VS. Troitskii, Experimental evidence against the Big Bang cosmology, Physics -Uspekhi 38 (6) 665 - 672 (1995) (рус. В. Троицкий, Экспериментальное свидетельство против космологии Большого Взрыва, Uspekhi Fizicheskikh Nauk 165 (6) 703 - 710 (1995))

• W.L. Freedman and B.F. Madore. The Hubble Constant. Annu. Rev. Astron. Astrophys. Vol. 48, 2010 arXiv:1004.1856v1 [astro-ph.CO]

• Sir Fred Hoyle, Geoffrey R. Burbidge, Jayant Vishnu Narlikar. A Different Approach to Cosmology: from a Static Universe through the Big Bang toward Reality. Cambridge University Press, 2000, p.357, ISBN 0 521 66223 0

• F. Zwicky, (October 1929), "On the Red Shift of Spectral Lines through Interstellar Space", http://adsabs. harvard.edu/abs/1929PNAS...15..773Z , Proceedings of the National Academy of Science 15: 773-779, http://www. pnas.org/cgi/reprint/15/10/773.pdf

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ

НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ.

Шарый Владимир Александрович

Кандидат физ.-мат.наук, доцент горного университета, г. Санкт-Петербург

Пайков Владимир Иванович

Кандидат физ.-мат.наук, доцент Донецкого Национального университета, г. Донецк

ВВЕДЕНИЕ:

В работе рассматривается нелинейное распространение скачка нормальных напряжений по возмущённой струне. Заметим, что случай, когда скачок распространяется по покоящейся струне, был исследован в [1]. В работе так же исследуется случай отражения скачка постоянной интенсивности от закреплённого конца струны, когда одна из точек струны движется вертикально с постоянной малой скоростью.

1- ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

При получении соотношений на скачке напряжений, распространяющемся по возмущённой струне, приведём сначала общую постановку задачи, а затем по мере надобности внесём в неё некоторые добавления.

Рассмотрим скачок напряжений,

распространяющийся по возмущённой струне, не уточняя природы возникновения этого скачка. Приведём вначале некоторые элементы постановки задач и результаты, полученные в [1], [2], которые нам потребуются ниже. При исследовании нелинейного распространения волн в струне в [2] была предложена нелинейная форма закона Гуку:

p = B[(1 + e) -1]

_ l — t0 j j

где e = - деформации, а l0 и l начальная и конечная

длина произвольного участка струны, b , n - некоторые положительные константы. Очевидно, что для малых деформаций формула (1.1) даёт закон Гука:

p = Р-О? •e

„ (1.2) 2 B•n D

где p - плотность струны, a0 =-, здесь B • n равно J

модуль Юнга. Р

В соответствии с [2] функция деформаций в струне e (x, t) даётся соотношением:

e = I fdU Y

21 dx

где u (x, t) -отклонение точек струны от положения равновесия.

Рассматривается случай, когда gx , dX = O РЕ), где S

малый параметр 0<еП ь В [2] получено нелинейное

волновое уравнение колебания струны

д и 2 /. \n-1 д и

—г- = а0 (1 + e) —-

dt2 °V ’ dx2 ,

которое решается асимптотическими методами. При построении асимптотического решения (1.4) это уравнение заменяется эквивалентной ему системой уравнений:

(1.1)

174

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 11 (20), 2015 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

(1.5) ди

где м=v, v (xt) вертикальные точки струны, v = _.

В [2] построено асимптотическое решение сист&ы (1.5)

путём замены M и -JTe асимптотическими разложениями.

M (x, t,s) = VS - M1 (x,t) +s2M2 (x,t) +...

_________ (16) 3

-,j2e (x, t,s) =\[sel (x, t) + s2e2 (x, t) +...

1- СООТНОШЕНИЕ НА СКАЧКЕ, РАСПРОСТРА-

НЯЮЩЕМСЯ ПО ВОЗМУЩЁННОЙ СТРУНЕ.

Для получения условий на скачке запишем законы сохранения массы и изменения кинетической энергии некоторого малого участка струны в движущейся системе координат, связанной со скачком распространяющемся по струне со скоростью n=7 (см. рис 1). Пусть в произвольный момент ^ > q скачок находится в точке A .

Запишем упомянутые выше законы на бесконечно малом промежутке времени [t, t + At], At > q . Отметим, что каждая точка струны участвует в двух движениях: первое -горизонтальное со скоростью -n , второе вертикальное параллельно оси ои, причём точки струны, лежащие справа от скачка „м> t, движутся с заданной скоростью v (x, t) > q , а точки струны, лежащие слева от скачка A , движутся с неизвестными нам скоростями v (x, t )> q. Обозначим через C точку, лежащую справа от скачка A , которая в момент t + At пересечёт скачок, в этот момент времени участок струны AC перейдёт с правой стороны скачка на левую и, деформируясь, займёт положение участка струны AC . Очевидно, что массы обоих участков должны быть равны. Найдём векторное перемещение CA точки с: сД = (Щ+da .

Ясно, что модуль вектора сA равен -Jn2 +v1 ■At Аналогичным образом находим ijc\ = .N+7 At, учитывая вышесказанное, получаем формулу закона сохранения массы произвольного участка струны, в которой обе части сокращены на At:

p-ayl N2 + v2 = pa^ N2 + Vj2

(2.1),

где a и a площади поперечных сечений струны до скачка и после скачка - соответственно.

Очевидно, что при деформациях растяжения имеем a =aQ (1 - e(1)), a = aQ (1 - e), где aQ площадь поперечного сечения покоящейся струны, а e(1), e - деформации струны определяемые по (1.3), причём eW(x,t) заданная функция деформаций струны, лежащей справа от скачка.

Получим закон изменения кинетической энергии участка струны C A за бесконечно малый промежуток времени At. Изменение кинетической энергии участка струны CA при переходе его в AC даётся соотношением p-a-4Nr+7-At I у _ vl j. Полученная величина должна равняться

работе сил ap-VNw ■ At-a-pp -N7vi ■ At. Учитывая

(2.1), закон изменения кинетической энергии на скачке принимает вид:

Р 2 ( v2 - Д ) = (a p-ap p ) ,

Уч!и;п)1вая асимптотические разложения (1.6), (1.7), из (2.1), (2.2) получаем искомые соотношения на скачке:

Mf = e,2 -(e,(1))2 + (M«)2,

(2.3)

(2.4),

где V2 =s -aQ ■(мД

j.))2. В случаях, рассмотренных в работах [1] и [2], параметры M к, M и возмущённой струны перед скачком A связаны соотношением мД = Д*, тогда соотношение (2.3) принимает вид м = e . Если в дополнение к этому e(1) = Q , то есть струна перед скачком покоится, то находим полученные в [2] соотношения: M1 = ^ N = a (1 + V e j

M2 11 2 4 2

, здесь e =-д.

Соотношение (2.4) напоминает известное соотношение на слабых ударных волнах газовой динамики

I , n +1

N — an I 1 +---e -

n - 3

.(1)

(2.5),

где л __ , а V - скорость частиц перед фронтом,

параллельная N . Отметим, что в (2.4) по сравнению (2.5) отсутствует слагаемое V, так как в струне частицы не имеют составляющей скорости, параллельной N .

Соотношение (2.5) получается из известного соотношения на ударных волнах произвольной интенсивности [3]

N = V + \P-Pt Р \Р-Р Р1 '

Если в (2.5) ударная волна распространяется вслед за другой ударной волной, на фронте которой параметры имеют значение e и V, то, как известно, Mi = e(1), где

м

-v. Тогда соотношения (2.5) принимают вид

N = a h+ n-+1(e + el1’) j

a

175

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 11 (20), 2015 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

(2.6).

Очевидно, что (2.4) и (2.6) имеют одну и ту же структуру. Используя соотношения: (1.2), (1.3) и геометрический смысл частной производной p=e, можно показать, что

, Я e(1)

Р = — = в—

p1 e(1) а2

(2.7),

где а и р углы наклона касательных к оси Ox на струне до скачка и после скачка (см. рис. 1).

1- ОТРАЖЕНИЕ СКАЧКА ПОСТОЯННОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ ОТ ЗАКРЕПЛЁННОГО КОНЦА СТРУНЫ. Рассмотрим задачу о возмущённом движении

закреплённой струны, когда средняя её точка F в момент о совпадающая с началом координат O движущаяся вертикально вверх с заданной постоянной скоростью v1 > 0

(3.1).

Рассматриваемая задача является частным случаем задачи, изученной в [1], в которой точка F движется по произвольному закону с ненулевой начальной скоростью.

В [1] показано, что в начальный момент времени t = 0 в струне возникает скачок напряжений, который с переменной скоростью N1 > 0 распространяется по струне:

N1 = a0 + П—1 (ef1) sj

(3.2)

На этом скачке выполняется соотношение:

Mj(1) = e^

(3.3).

Это соотношение выполняется также во всей возмущённой области.

Очевидно, что в рассматриваемом случае, когда скорость движения точки F постоянна, все точки возмущённой струны в каждый момент времени t > 0 будут иметь одну и ту же скорость V1, что ниже будет подтверждено формулой явного решения рассматриваемой задачи для u (x, t).

Из (3.1) следует, что Mj(1) = 1, а тогда на основании (3.3) будет ej(1) = 1.

Как следует из (1.3), в этом случае имеем: ди = -4ё' нашем случае формула (3.2) принимает вир;:

Аг I , п-1

N. = а 11 +--s

(3.4).

Нетрудно видеть, что уравнение (1.4) имеет очевидное решение:

u = 4ё-N • t— 4s-x (3.5),

где N1 даётся соотношением (3.4). Решение (3.5) удовлетворяет граничному условию (3.1), при этом каждая точка струны в этом решении движется с постоянной скоростью V, а правый конец области возмущённого движения струны, где ха совпадает со скачком, абсцисса которого xA на основании (3.5) равна N1.

В момент времени t, = i, где ; > 0 абсцисса закреплённого правого конца струны, падающий скачок отразится от точки Х1 в виде скачка, скорость которого обозначим через N . Этот скачок распространяется влево по возмущённой струне со скоростью N = a0 - (1 + И •s), где ц = о (1) заранее неизвестно. Для получения закона сохранения массы струны на отраженном скачке выберем на участке af точку С1 (см. рис. 2), через которую отраженный скачок пройдёт в момент времени t + At.

В этот момент времени точка С, двигаясь вертикально вверх со скоростью v1, перейдёт с левой стороны скачка на правую и займёт положение точки С . Таким образом, весь участок струны AQ переместится с левой стороны отраженного скачка на правую и займёт положение участка струны AC . Обозначим через а > 0, в > 0 углы, составляемые участками AC1 и AC с осью Ox соответственно. Выше было установлено, что а = JS. Для нахождения угла р вычислим длину отрезка CD, где d -проекция точки С на ось Ox, двумя способами. С одной стороны, CD = N -At - tan в , с другой стороны, с точностью до малых о Iff2 ], CD = N-tana-At + v1 - At. Приравнивая эти значения CD, получаем, что с точностью до малых орj:

Запишем закон сохранения массы струны на отраженном скачке для участка струны ас1 , который на интервале времени [t1; tl + At] перейдёт на правую сторону скачка и займёт положение АС . Очевидно, что формула закона сохранения массы для этих участков имеет вид:

р - u^N2 + а2р2 =

(3.7). 2

С точностью до малых о s из (3.7) получаем:

р2 = 2e — 2е1 +s

(3.8).

Так как на фронте падающего скачка N будет 2е^ = 4S

176

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 11 (20), 2015 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

(см. (1.3)), то очевидно имеем:

Рг = 2е

(3.9) .

Из (2.7), (3.6) и (3.9) следует, что на отраженном скачке будет:

Р = 4 Р1

(3.10) .

При нахождении скорости N отраженного от точки закрепления скачка будем использовать полученное выше соотношение (2.2), в котором слагаемое в левой части 1 v1 следует заменить на у°°2 -в, получим:

р- 2 (а2 -в2 - Vi2 )=(ст- р -ст,- р, )

’ (3.11)

Последняя величина представляет собой потенциальную энергию деформации участка единичной длины на отраженной покоящейся части AC. Значение N получается из системы соотношений (3.7) и (3.11) и имеет вид:

N = а0 [1+^4Г (e + eW)),

(3.12),

В этом соотношении, в соответствии с вышесказанным,

e = 1 в2 = 2a2 = 4e(1)

2

Найдём абсциссу d точки движения отраженного скачка, расположенного в точке С1. Для d имеет место очевидное соотношение:

d = x - N f t —— |

^ N1 ' (3.13).

Учитывая (3.12) и (3.4), из (3.13) окончательно имеем:

d = x 'I 2+

1 +

5' ( n-1)-

-t

Как следует из вышесказанного, в отличие от газовой динамики, где давление на отраженной от стенки слабой ударной волне увеличивается в два раза по сравнение с падающей, в случае отражения скачка напряжений в струне от закреплённого конца (при малых деформациях) увеличивается в четыре раза. Это объясняется тем, что при малых деформациях напряжения в струне пропорциональны деформациям струны, которые в свою очередь пропорциональны квадратам углов участков струны с невозмущённой струной. В нашем случае в точке закрепления струны угол отраженного участка в два раза больше соответствующего угла участка струны до отражения, что и приводит к четырёхкратному увеличению напряжения на отраженном участке.

Список литературы:

1. Мансаре Б., Себельдин А.М., Шарый В.А. «Асимптотика распространения скачка нормальных напряжений в струне» Евразийский союз учёных (ЕСУ); 2015 №3(12) Часть7 147149

2. Шарый В.А., Себельдин А.М. «Исследование нелинейного распространения волн в струне асимптотическими методами» Евразийский союз учёных (ЕСУ); 2014 №9

Часть3 11-13

3. Станюкович К.П. «Неустановившиеся движения сплошной среды» Наука, 1971, 854 стр.