CC BY
15
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
45
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ВОДОЁМЕ
БЕСКОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ
Шарый Владимир Александрович
Кандидат физ.-мат.наук, доцент горного университета, г. Санкт-Петербург
Пайков Владимир Иванович
Кандидат физ. -мат. наук, доцент Донецкого Национального университета, г. Донецк
1- ВВЕДЕНИЕ:
Вопросом распространения сферической ударной волны занимался ряд исследователей [1], [2], [3], тогда как теоретические аспекты распространения цилиндрической ударной волны в воде мало изучены.
В данной работе в области медленного изменения искомых функций выстраивается линейное решение задачи, которое вблизи цилиндрической ударной волны сопрягается с нелинейным решением.
2- ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
Сделаем те же предположения, что и в статье [1], в частности, что адиабатическое движение описывается уравнением тета:
Р - Ро = B
Г_РЛ
\Ро J
-1
(2.1)
где p0, p и
Ро, Р
воды в покое и при движении; постоянная B 3045 атм;
n = 7,15
В
Р1
задаче
- Ро
есть
малый
параметр:
Bn
0 <£<< 1
ленное время
p * 500
воду идеальной жидкостью. Будем искать асимптотическое решение задачи, которое удовлетворяет следующим условиям:
t0 > 0
• в момент времени 0 имеем
— = e4(r)
a , (2.2) 0 < r < г r t0
1 , 1 - расстояние до фронта волны в момент 0 , а ^ ( ) - заданная функция.
• на ударной волне считаем выполненными следующие условия [2]:
Р - Р0
M = -
Bn
(2.3)
соответственно давление и плотность
где
M = —
a
n +1
n = a„ 1 +------M
(2.4)
n
здесь Р1 - давление во фронте ударной волны в опреде-
где “ - это скорость распространения ударной волны.
Р - Ро Р-Рр
t0 > 0
0 ; заметим, что даже при давлениях
атм, параметр е можно считать малым. Считаем
Отметим, что из (2.1) следует
Bn Р0
3- ЛИНЕЙНОЕ РЕШЕНИЕ.
Движение воды в области, ограниченной ударной волной, задается системой уравнений [1]
a = a0 (1 + а); a0, a
где 0 v 00 - скорости звука в воде,
соответственно в покое и в движении;
а( r, t ) = О (е); M ( r, t ) = О (е); а~
В области, удалённой от ударной волны, где част-
„ M (r, t) а(r, t)
ные производные функций , малы,
ищется решение системы (3.1), (3.2) в виде асимптотического разложения:
M(r, t,e) = eM1 (r, t )+e2M2 (r, t) +...
>2'y if it —i—
(3.4)
a(r, t,e) = ea1 (r, t )+е2а2 (r, t) +...
(3.3)
Подставляя асимптотическое разложение (3.3), (3.4) в систему уравнений (3.1) - (3.2), получаем:
Предполагаем в дальнейшем, что движение воды потенциально, то есть
46
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Используя (3.11) в (3.6) получим:
Ж, t)
(3.7)
w(r, t)
где т 4 ’ ' -потенциал скорости.
Записывая асимптотическое разложение функции
d ft 2
—= a
dt2 0
2
d_ft Д дфу дг2 r дг
Л
с учётом (3.3), имеем
ф(r, t, s) = sa^ (r, t) + s2aa^2 (r, t) +...
Из формулы (3.7) следует
dft
(3.12),
которое является известным уравнением потенциала скоростей цилиндрической волны в линейном приближении.
Общее решение (3.12) записывается с помощью интеграла от неизвестной функции источника с запаздываю-
R
(3.8)
f\t
щим временем
и имеет вид
R
Ml =.
Подставив значение получим
dr
(3.9)
1 из (3.9) в формулу (3.5),
°m
ft ( r, t ) = 2 {
fit -
a,
ds
0 J
R
0 (3.13).
Соотношение (3.13) представляет модификацию известного соотношения для потенциала цилиндрической
d_( dft + 2ol) = 0
dr ^ dt n -1J
<p( r, t)
волны [4]. Здесь
R = V s2 + r2
расстояние от произволь-
r,
(3.10)
„ , „ M (r, t)
ной фиксированной точки до источника лежа-
щего на оси симметрии цилиндрической волны, а s -рас-
Учитывая что потенциал ' 4 ' ' определён с точностью до постоянного слагаемого, зависящего от t из (3.10) находим:
dft 2а1
стояние от этого источника до точки пересечения этой
M ( r, t)
оси с перпендикуляром опущенным из см. рис. 1).
dt n -1
= 0
(3.11)
O
на ось(
Рис. 1
s
Верхний предел m в (3.13) представляет собой расстояние до максимально удалённого источника, от ко-
t > 0 м (r, t)
торого в момент времени 1 > w в точку v 7 пришло
.0 < r < a01
возмущение из этого источника ( 0 ). Диффе-
ренцируя (3.13) по r можно получить интегро-дифферен-
f(' - R1
циальное уравнение для функции источника ^ а°J с начальным условием
м1 (r, 'с ) = Ч (r) (3.14).
Ввиду непреодолимых технических трудностей построения решения вышеупомянутого уравнения, заменим соотношение (3.13) его главной частью в области перекрытия линейного и нелинейного решений, даваемой соотношением
8 = O (1)
где .
Очевидно что
Г 2 Л 2
sm =4a« 1 - r ■■
s8 = r-a«‘, (3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
Учитывая (3.18) интеграл в (3.13) принимает форму
Используя (3.15) в (3.16), получим Sm = V-2 s8r + O (s), На основании этого соотношения
f (t - R ] = f (t“ V O (s)
ds
JS
о уs +r и с учётом (3.17) приводит к главной части уравнения (3.13):
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
47
, ч F (r - а0t)
Ъ(r.I) = v г ’
л/r
где произвольная функция
F ( r - ао1)
f - Г
уравнения
д12
5r2
Ъ ( r,1)
ао Ъ
Общее решение (3.20) имеет вид:
F ( r - а010 ) = x/r (C + J q ( r) dr)
C
(3.20).
(3.21),
C( r )
(3.23).
Так же как и в [3] разлагая ряд Тейлора в окрестности фронта
С(r -ао 1 + ао I0)
r = а01
можно пока-
0 (s)
зать, что второй член в (3.23) имеет порядок
Учитывая это разложение, главная часть (3.23) в области определяемой (3.15) принимает вид
Г
M ( r, t ) = Г-•v/r
M
(3.24).
2а1
Оценим величину разности функций линейного решения. Вычитая (3.6) из (3.5) получим
d ( w 2а
M -
1 и n -1
dt
а0М1
V
n-1
Используя в полученном соотношении (3.24) находим что в области определяемой (3.15)
(3.19),
является
2а
M, - а = 0 1 n-1
г
1
4r.
Vs*' y (3.26).
(3.26) означает, что в области перекрытия линей-
видоизменённой формой функции источника V “° - . Заметим что (3.19) является точным решением
52 (Jr Ъ )_ 2 52 (Jr Ъ)
r = О
которое отличается от
полученного выше линейного уравнения (3.12) для
с принятой
(3.27).
4r2
членом .
Для нахождения неизвестной функции
F ( r - а01)
4 ’ в (3.19) продифференцируем это соотноше-
ние по r и учитывая в полученном соотношении начальное условие (3.14). приходим к обыкновенному диффе-
F ( r - ай t0)
ренциальному уравнению для v 7:
F'- F = 4rq
2r
ного и нелинейного решений для степенью точности имеем
, . 2а
1 n-1
4- Нелинейное решение
В области определяемой (3.15) где производные от
искомых функций имнют порядок 0 (1) будем искать решение системы (3.1) (3.2) в виде асимптотических разложений
M(r, t,s) = sFl (S,t) +...
а(r, t,s) = sax (S, t) +...
(4.1) .
(4.2) .
Используя (4.1), (4.2) в (3.1), (3.2) с учётом (3.15), также как и в [3], обычная процедура малого параметра даёт
где произвольная постоянная вычисляется из условия
, - F (0 ) = 0
на фронте акустической волны
Обозначив полученное решение (с учётом началь-
для произвольной функции
ного условия) через F в (3.19), находим
F(r - а0 t) = Г(r - а0 t + а0 t0 ) (3 22)
Используя это соотношение в (3.19) для функции Mx (r, t)
, находим
M1 (r, i )=F ~ Fir3
Уравнение (4.4) получено с учётом выбора в (4.3) произ-
g (t) g (t ) = 0
вольной функции , .
Этот выбор обеспечивает совпадение (4.3) с аналогичным условием для линейного решения (3.27).
Уравнение (4.4) имеет два интеграла
M^Jal = С, r - a0t Г1 + (n + 1)sM 1= C2
v L v ’ J и следова-
тельно (4.4) имеет общее решение
M^/a0I = ф(г - Of t1 + (n + 1)sM1 ]) (45)
(4.5),
где ф произвольная функция. Произвольную функцию ф определим из условия сращивания линейного и нелинейного решений по по методу Вандайка [5] В соответствии с этим методом внутренние решения (4.5), записан-
( , ), при фиксированных
ные во внешних переменных
s —— 0
значениях этих переменных и s приводит к его
главной части.
Ф
r - a()t
4r ,
(4.6),
(3.25),
где полная производная вычисляется вдоль характеристик
dr
— = -аЛ dt 0
где на основании (3.15) s—0 . Приравнивая главные
части линейного и нелинейного решений, даваемых соответственно (3.24) и (4.6) получаем
ФМ = Г(*+ал) (47).
На основании (4.7) нелинейное решение (4.5) принимает вид
M^la0t=С(r-o1 D1+(n+1 )sM1 ]+o0|0) (48)
в
48
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
После того как произведено сращивание функций
( r, t)
v 7 линейного и нелинейного решений, сращивание дают*
Щ ( r, t)
C =
yjl + sk (n +1)
этих решений происходит автоматиче- соотношение для функции 1 на фронте ударной волны:
kC
Mi =-------1 =
функций ски.
5- Затухание цилиндрической волны в воде:
Исследуем поведение фронта цилиндрической
С
ударной волны для случая, когда функция ь в формуле (4.8) задаётся соотношением
С( S ) = ks
. Используя (5.5) в (5.2) получаем
0 t0
где k > 0 заданная константа. Находя в этом случае из(4.8), получим
(5.1),
M
Mi = -
k ( r - a0t + a0t0)
1^0 t
1 + sk (n + i)
d(r - a0t)_ n +1
dt
= sa
0
4
-M,
M
Заменяя в (5.3) 1 из соотношения (5.2) получим
d (r - a0t) sk (n +1)( r - a0t + a0t0)
dt
4\Jt(d
1 + sk (n +1) —
r = aJ + C 1 + sk
(n+1 $
a0 t0
Постоянная интегрирования в
C в(5.5)
начального условия: при
t = L
r = r
rf
имеем
f где f ко-
1 + sk (n +1)1
(5.6).
M
Заменяя в (5.6) значение ^v 1 по формуле (2.3) для
давления на фронте ударной волны p находим:
skB n C
P = P0 +-
a^f0t)ji+Ek(n+V^k
Запишем дифференциальное уравнение фронта движения ударной волны в виде [3]:
(5.7).
Исследуем поведение давления P на фронте ударной волны в (5.7) для больших значений r. Заметим прежде всего, что для этих значений r , как следует из
(5.2). (5.5) будет: Г ^ а° ^, и тогда из (5.7), получаем:
з
(5.3)
(5.4)
Интегрируя (5.4) находим траекторию фронта ударной волны
(5.5)
находится из
ордината фронта волны в момент t tci. Вычисления
Р0р0+Сг> (58)
Соотношение (5.8) представляет собой известный закон затухания цилиндрической ударной волны Ландау,
Г
где положительная константа ^ получается из константы
C
умножением и делением на комбинации положительных параметров входящих в задачу.
Список литературы
1. Гриб А.А., Медведева Н.С. «Затухание ударной волны в воде» Вестник ленинградского университета; 1964 №19
2. Коул Р.»Подводные взрывы»: Пер. с англ. /
Р.Коул. М.: Иностранная литература, 1950. -542 с
3. Шарый В. А. Пайков В. И. «К задаче о распространении сферической ударной волны в воде.
4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — Издание 5-е. — 2006. — Т. VI. Гидродинамика. — 736 с.;
5. Ван Дайк М. //Методы возмущений в механике жидкости. пер. с англ. В. А. Смирнова; под ред. А.А.Никольского М.: Мир. 1967. 310 с.
r
a
a
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ДЛЯ АНАЛИЗА ТЕПЛООБМЕННЫХ
ПРОЦЕССОВ ПРИ ЭЛЕКТРОКОНВЕКЦИИ
Борисов Евгений Сергеевич
Аспирант, ФБГОУВПО Ставропольский ГАУ Шаталов Николай Андреевич
Техник-технолог, АО «Электроавтоматика»
АННОТАЦИЯ
Произведено моделирование электрического поля в программе FEMMс целью анализа теплообменных процессов при электроконвекции. Результаты моделирования поля позволили определить локальные параметры электрического поля электродной системы весьма важные для анализа особенностей формирования электроконвективного течения и определения коэффициента теплоотдачи.
ABSTRACT
Electric field modeling was produced in FEMM program to analyze heat exchange processes at electroconvection. Results of modeling allowed to determine that local parameters of the electric field of the electrode system are very important to analyze the characteristics of the formation of electroconvective flow and to determine the coefficient of heat transfer.
