Об автомодельном решении задачи Коши для уравнения фильтрации газа в осесимметричной пористой среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 148, кн. 4

Физико-математические пауки

2006

УДК 532.5.011

ОБ АВТОМОДЕЛЬНОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА В ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Л.Д. Эскип

Аннотация

Построено формальное в окрестности точки г = той сходящееся в окрестности точки г = 0 разложение автомодельной задачи Коши для уравнения Вуссинеска, описывающего фильтрацию газа в осесимметричпой пористой среде.

1. В случае осесимметричпой фильтрации газа в пористой среде давление газа удовлетворяет уравнению Буссинеска [1]:

Рг = 1 (Г(Р2)Г)Г (1-1)

(для удобства положили равным единице определяемый свойствами газа постоянный множитель в правой части уравнения (1.1)). В работе [2] Г.И. Баренблатт предложил численный алгоритм для построения решения уравнения (1.1). удовлетворяющего начальному условию

р(г, 0) = ег7 (1.2)

и граничному условию

Рг(0,*)=0, (1.3)

выражающему отсутствие притока газа на оси симметрии. Задача (1.1) (1.3) авто-модельиа. и ее решение представляется в виде

РМ)= (£), (1.4)

где £ = гЬ-в - автомодельная переменная,

7 п 1 +" ,,

(1'0)

так что 7 = а/в ■

В [2] показано, что единственное автомодельное решение задачи Баренблатта (1.1)—(1.3) существует при всех Ь > 0 лишь в случае

0 < 7 < 2. (1.6)

Ниже будем предполагать условие (1.6) выполненным. В настоящей работе в отличие от работы [2] строятся разложения решения задачи (1.1) (1.3) в окрестности границы г = 0и г = то. С этой целью будем существенно использовать методику, основанную на совместном использовании методов качественного анализа и теории

84

Л.Д. ЭСКИН

Рис. 1

нормальных форм обыкновенных дифференциальных уравнений и развитую нами в работе [3] для исследования асимптотических свойств решения известной задачи Полубариновой-Кочиной об опорожнении бассейна.

2. Подстановка (1.4) в уравнение (1.1) приводит к нелинейному уравнению вто-

+ = (2.1) для функции / в (1.4). Уравнение (2.1) с помощью подстановки

/ = е2ф(е), * = сф5 (2.2)

сводится к дифференциальному уравнению первого порядка [2]

а0 = Я/Р, (2.3)

Я = (8ф + 2а + в)т + 4фа - аф, Р = -2фа, т = 2ф + а. Из (2.2) находим

/= ет. (2.4)

(ф, а)

рождает в силу уравнения (2.2) одноиараметрическое семейство автомодельных

решений /(е) уравнения (2.1). Поскольку давление р(г, ¿) неотрицательно, то неот-

/ф

тельно, уравнение (2.3) следует рассматривать в полуплоскости ф > 0 плоскости (ф, а). Прямая т = 0 разбивает эту полуплоскость па два сектора: сектор I, в котором т > 0, и сектор II, в котором т < 0 (см. рис. 1). Интегральные кривые уравнения (2.3), принадлежащие сектору I, порождают с учетом соотношения (2.4) монотонно возрастающие по г автомодельные решения (1.4) уравнения (1.1), а интегральные кривые, принадлежащие сектору II, монотонно убывающие по г

немонотонные автомодельные решения. В полуплоскости ф > 0 уравнение (2.3)

имеет две конечные особые точки: седло-узел 0(0, 0) и седло ^(0, —в/2), и три бесконечные: А(0, го), В(0, —го) и бесконечную особую точку - седло-узел С в направлении с угловым коэффициентом к\ = —2. С помощью стандартных методов качественной теории дифференциальных уравнений [4] (исследование особых точек и ветвей изоклины нуля уравнения (2.3)) нетрудно показать, что существует однопараметрическое семейство Б (см. рис. 1) интегральных кривых уравнения (2.3), выходящих из особой точки О в сектор I в направлении с угловым коэффициентом к2 = — 1/в > к1. Семейство Б разбивается та два подсемейства Б1 и Б2. Интегральные кривые подсемейства Б1 горизонтально пересекают ветвь изоклины нуля в секторе I, затем - вертикально ось ф и уходят на го в особую точку А . Интегральные кривые подсемейства Б2 с ростом ф пересекают прямую т = 0,

Б1 Б2

ет интегральная кривая Ь, также принадлежащая семейству Б, для которой при ф ^ го справедлива асимптотика

а = —2ф + а/4 + 0(ф-1). (2.5)

Для всех интегральных кривых семейства Б (в том числе и для кривой Ь) справедлива асимптотика

а ~ к2ф при ф ^ +0. (2.6)

Б

дает двупараметрическое семейство решений (1.4) уравнения (1.1), для которых справедлива асимптотика

р(г,£) ~ СМГ пр не ^го, (2.7)

где с1 > 0 — произвольная константа. В силу условия (1.6) и соотношений (1.5) получаем, что а > 0, в > 0, так что при любом г > ^ щ)и £ ^ +0 имеем £ ^ го. В силу (2.7) решения уравнения (1.1), порожденные с помощью уравнений (2.2) Б

начальному условию (1.2), если положить с1 = св. Итак, решение задачи (1.1)—(1.3) будет порождаться в силу уравнений (1.4), (2.2) одной из интегральных кривых семейства Б. Для построения разложения этого решения в окрестности £ = го г = го Б

особой точки О, а для построения разложения в окрестности точки £ = 0 (г = 0)

БС к1 = —2

3. В этом пункте будет построено разложение решения задачи (1.1) (1.3) в г=го

У1 = ф, У2 = т = а + 2ф (3.1)

и заменим уравнение (2.3) эквивалентной динамической системой

У1т = А1У1 +4у2 — 2У1У2, У2т = — ау1 + А2У2 + 4у1у2 + 2у|, (3.2)

где А1 = 0, А2 = в- Система (3.2) - не каноническая, но приводится к каноническому виду

ж 1т = А1Ж1 + Ж1/1, /1 = 2(в-1Ж1 — Ж2),

Ж2т = А2Ж2 + Ж2/2, /2 = 2(272ж1ж-1 + (2 + 37)ж1 + Ж2) (3.3)

с помощью преобразования

У1 = XI, У2 = 7x1 + Х2. (3.4)

В результате преобразований (3.1), (3.4) особая точка ф = а = 0 уравнения (2.3) переходит в особую точку х1 = х2 =0 системы (3.3). Известно [5] , что система (3.3) с А1 = 0 и А2 = в приводится в окрестности особой точки х1 = х2 = 0 к нормальной форме

21т = ^1^1(^1), ¿2т = ¿2 (А2 + 02(21)), (3.5)

оо оо

01 = ^2 01(^,0)21, 02 = 02(Й,О)21 (3.6)

1=1 1=1

с помощью преобразования

Х1 = ¿1(1 + ЬД Х2 = ¿2(1 + ^2), (3.7)

Ь^)=£ д = (91,92), 91 >-1, 92 > 0,

Я

Ь^)=£ д = (91,92), 91 > 0, 92 >-1 (3.8)

Я

есть формальные степенные ряды от двух переменных, Zм = г^г^, если М =

= (¿, е), причем ряды ¿1Ь1, ¿2Ь2 не содержат линейных и свободных слагаемых, так что

Ь1(-1,0) = Ь2(0, — 1) = Ь1(-1,1) = Ь2(1, — 1) = 0- (3-9)

Коэффициенты степенных рядов (3.6), (3.8) определяются с помощью соотношений [5]

Ьг(д,0) = ° 0^,з) = 0 (« = 0), 0г(д,0) = С^о) + Cг((2()I0), (3-10)

Ыя = (в92) —1 (с$ + с,^) , г = 1, 2, 92 = 0,

ЬгЦ = (в92

где

„(1)

С((Я) = ЬгРдгк - (Р101Д + Р202й) ЬгР, (3-11)

Р+Д=Ч Р+Й=Ч

а с^, с22Я есть, соответственно, коэффициенты при Z Я в разложении функций

(1 + Ь1)/1(*1(1 + Ь1), ¿2(1 + Ь2)) = А + А, (3.12)

А = 2в—1(1 + Ь^^ь А = -2*2(1 + Ь1)(1 + Ь2),

(1 + + Ь1), ¿2(1 + Ь2)) = В + В + Вз, (3.13)

В = 472г2г2—1(1 + Ь1)2, В = 2(2 + 3у)*1(1 + Ь0(1 + Ь2), Вз = 2*2(1 + Ь2)2.

Замечание 1. Из (3.10) следует, что все отличные от нуля мономы Ь1QZЯ содержат множитель ¿2 как минимум в первой степени.

Это замечание полезно при вычислении вкладов слагаемых Ai, A2, Bi, B2, B3 в коэффициенты c(Q .

Прежде всего отметим, что с помощью соотношений (3.9). (3.11) и (3.12) индукцией по q нетрудно доказать, что hi(-i, q) =0 (q > 0). Ниже нам понадобятся коэффициенты

gi(i ,0) =2в-1, g2(i , 0) = 2(2 + 3y), gi(2 , 0) = 872e-i, (3.14)

hi(0 ,i) = -2e-i, hi(i ,i) = 16ав-3, h2(2 ,-i) = -472e-i- (3.15)

Докажем справедливость равенств (3.14), (3.15). С учетом соотношений (3.11) и (3.10) нетрудно получить, что c(1<,) 0) = 0, так что gi(q,0) = c(2q) 0) - Вычисляя

(2) q

вклады слагаемых Ai, A2 в c^q 0) - коэффициент при zq в степенном разложении

A1

2/в при q = 1 и нулю при q > 1, а вклад A2 равен (—2h2(q -i)). Отсюда получаем первое равенство в (3.14) и соотношение

gi(2,0) = —2h2(2,-i)- (3.16)

Далее, имеем g2(i,0) = c2^1 0) - коэффициент при zi в степенном разложе-

(2)

нии функции (3.13). Вклад Bi и B3 в c2(1 0) равен нулю, а в клад B2 равен 2(2 + З7), откуда следует справедливость второго равенства в (3.14). С помощью (3.11) и (3.9) без труда находим c2(2 -i) = 0> после чего из (3.10) получаем h2(2j-i) = — e-ic222 -i) > где c222 -i) _ коэффициент при z^z-1 в степенном разложении функции (3.13). Вклад Bi в c2^2 -i) Равен 472, а вклады B2 и B3 -нулю.

Итак, с учетом равенства (3.16) доказана справедливость последних соотношений в (3.14) и (3.15). С помощью соотношений (3.9), (3.11) получаем c1(0 i) = 0,

откуда hi(0, i) = ^-1c1^0 i) = 0- Вклад Ai в cf(0 i) равен нулю, в клад A2 с учетом —2

Осталось вычислить hi(i,i). Снова с учетом равенств (3.11), (3.14) и равенства (3.15) для hi(0,i) находим c1(1 i) = 8(1 + 2а)/в2, откуда

hi(i,i) = rVifi.i) +8(1 + 2а)в-2).

(2)

Из (3.12) получаем с учетом замечания 1, что вклад Ai в c1(1 i) равен

4e-ihi(0 i) = — 8/в2, вклад A2 в c(21 i) с учетом соотношений (3.9) равен нулю. В результате получаем второе соотношение в (3.15).

С учетом соотношений (3.6) и (3.14) система уравнений (3.5) принимает вид

zIT = 2e-iz2 ^ 1 + £ 2-iegi(fc+i,0)zfj ,

z2t = ^z2 ( 1 + в ig2(fc,0)zl

V fc=i

откуда

OO

z— i dz2 = 2-i e2z -2 [ 1 + Y^ Mfcz I ) dz ь (3.17)

l=

ЭС

88

Л.Д. ЭСКИН

М1 = \ (202(1,о)/?-1 - 51(2,о)!3) , (3.18)

остальные коэффициенты ^^и к > 2 нам не понадобятся. Интегрируя уравнение (3.17), получим

¿2 = С2zd ^ 1 + + £ ехр-З2/^)], (3.19)

где С2 > 0 - произвольно, 3 = в2М1/2; коэффициенты V и к > 2, нам не понадобятся. С учетом соотношений (3.14) найдем:

3 =1 + 4а - 2а2. (3.20)

Из (3.19) следует, что ¿2 экспонещиально убывает при ¿1 ^ +0, и ниже мы будем вычислять ф и а лишь с учетом слагаемых порядка О^) . Из (3.8), (3.19) находим

ф = Х1 = ¿1 + Ь^д^^ + Ь^д^^ + О (¿^ехр-З2/^)]) . (3.21)

Коэффициенты Ь1(0,1^ Ь1(1,1) определены в (3.15).

С учетом (3.1), (3.4), (3.7) и соотношений (3.15) для Ь^д) и Ь2(2,—1) после ряда преобразований будем иметь

а = Х2 — в—1Х1 =

= -в—1ЧВ(¿1) [1 - С2вгd—1 ехрЬв2/^)] (1 + С*1 + О (¿2))] , (3.22) где через В(¿1) обозначен формальный степенной ряд

о

ВЫ = 1 + /(¿1), / = £ /***, / = -вЬ2(*+1,—1), (3.23)

1=1

С = V + 2в—2 + вЬ2(2,—1) = V + 2в—2(1 - 2а2).

Уравнения (3.21), (3.22) задают в параметрической форме (¿1 - параметр) интегральные кривые семейства Б, причем каждой кривой семейства Б отвечает определенное значение константы с2 > 0 (с2 - параметр семейства Б). С помощью равенств (3.17) и (3.19) без труда найдем

3,г2 = \ с2г(-202 (1 + (ал + Ф1 + 0(г{)) ехр[-/32/(2г1)] 3,ги (3.24)

после чего из (3.21) в результате ряда преобразований, используя соотношение (3.24), получим

Зф = {1 + С2гd—1 ехр-З2/^)] [2—1в2Ь1(0,1) +

+ (Ь1(0,1)(1 + 2—1(М1 + v)в2) + 2—1в2^(1,1)^1 + ©(¿2)] } ¿¿1. (3.25)

После подстановки в правую часть равенства (3.25) выражений (3.15) для Ь1(0,1), Ь 1(1, 1) окончательно найдем

Зф = {1 - 1 ехр-З2/^)] х

х [в + (2в—1 + (М1 + v)в - 87)31 + О(з?)] } Зз1. (3.26)

С учетом соотношений (3.22) и (3.26) второе уравнение (2.2) принимает вид £—1 3£ = -в^В(¿1))—1 {1 - С2zdехрЬв2/^)^

х [2в—1 + (М1 + v)в - 87 + ОЫ] } ¿¿1. (3.27)

С помощью соотношений (3.23) (последнее равенство) и (3.14) равенство (3.27) нетрудно представить в виде

£—1 3£ = -в^В(¿1)) —1 [1 - 2в—1^ехр[-в^^^^ + О^))] ¿¿1. (3.28)

Положив

оо

(В(¿1))—1 = 1 + од = 1 + £ (-1)/1 = 1 + £ 0^ (3.29)

1=1 1=1 01 /1 , . . . , /1 пение (3.28). найдем

с—1= ¿1—вД^) [1 + 2с2(в2/2)^Г(-3, в2^) + О(Г(-3 - 1, в2^)] , (3.30) Д(я) = ехр | -в / ¿—^(я) 3Л = 1 + ^ г1 (3.31)

V 0 у 1=1

г1

полиномами от /1,..., / , с1 > 0 - вторая произвольная постоянная, а Г(х, у) -неполная Г-функция [6, с. 954]. Используя асимптотику функции Г(х, у) при у — — то [6, с. 956], перепишем равенство (3.30) в виде

с—1= ¿—^Д(*1) [1 + 4с2в—2(1 + О^))*^1 ехр[-в^¿О]] , ¿1 - +0. (3.32) Из (3.32) находим

о

¿1 = (с—1£) —11(с—1£)—1/в [1 + 4с2в—35(1 + О(£—1/в))х 1=0

X (С—1 £) —(^+1)/в ехр (-в2(с—1£)1/в/2) ], £ - то, 5 = ехр(11в2/2),

после чего с помощью соотношений (1.4), (2.2), (3.21) и соотношения (3.15) для Ь1(0,1) получаем следующее представление для двупараметрического семейства (с1, С2 - параметры семейства) автомодельных решений уравнения (1.1), порож-Б

fc=Q

1 - 2c2e-1^(cr1erd/e (1 + O(£_1/e)) exp(-e2(cr2e)1/e/2)] , (З.ЗЗ)

где lQ = 1, l1 = 4y2 , а остальные коэффициенты выражаются с помощью соотношений (3.23), (3.29), (3.31) через коэффициенты h2(s,_1^ s = 2, 3,..., k + 1, для вычисления которых ниже укажем рекуррентные соотношения. При r > 0 и t ^ +0 имеем £ ^ то, и из (3.33) находим

lim p(r, t) = c1/erY, r > 0.

t^+Q 1

Следовательно, чтобы решение (3.33) удовлетворяло начальному условию (1.2), достаточно положить в (3.33) С! = св, после чего (3.33) дает представление однопа-раметрического семейства с параметром с2 решений уравнения (1.1), удовлетворяющих начальному условию (1.2). Значение параметра с2 определяется граничным

С

Замечание 2. Для коэффициентов Л.2(т-1), т > 3, через которые выражаются коэффициенты Д, дк , гк и 1к рядов (3.23), (3.29), (3.31) и (3.33), с помощью соотношений (3.10) (3.13) нетрудно получить рекуррентные соотношения

(ш-2 \

в^2(8,-1)^2(т-81-1) + (т - 1)й2(ш-1,-1) I , (3.34)

т

^2(т,-1) =

(т-2 \

в^2(8,-1)^2(т-8,-1) + (т - 1)^2(ш-1,-1) + ^2(т/2,-1) ) > (3-35)

если т четно, причем Л.2(2-1) = — 472/в , Л.2(0-1) = ^2(1-1) = 0.

Из рекуррентных соотношений (3.34), (3.35) следует, что при 7 = 0 будем иметь ^2(21+1,-1) > 0 , ^2(21,-1) < 0 , I =1, 2, . . .

В случае 7 = 0 имеем ^2(2 -1) = 0, а в силу замечания 2 в этом случае получаем '12(т,-1) = 0 при всех т. В результате для степенного ряда в (3.33) получаем

Е1к(с-1е)-к/в = 1.

А=1

4. Выше было показано, что решение задачи (1.1) (1.3) порождается одной из интегральных кривых семейства Б. В этом пункте мы построим асимптотическое разложение этой кривой при ф ^ то (в окрестности особой точки С уравнения (2.3) в направлении с угловым коэффициентом = —2), что позволит получить асимптотическое разложение решения задачи (1.1)—(1.3) при г ^ +0. С этой целью с помощью преобразования Пуанкаре [4]

Ф = У-1, * =(У2 — 2)у-1 (4.1)

преобразуем уравнение (2.3) в динамическую систему

У 1т = —4У1 + 2У1У2, У2т = — ау1 + вУ1У2 +4^. (4.2)

С

0(0,0) системы (4.2). Система (4.2) - не каноническая, но преобразуется в каноническую систему

Х1т = —4x1 + 2-1ах2 + 2x1^2, Х2т = рх1 + дх1х2 + 4x2 (4-3)

с помощью преобразования

у1 = х1, у2 = 4-1ах1 + х2, р = а(1 + 2а)/8, д = 2-1(1+4а), (4.4)

которое преобразует особую точку 0(0,0) системы (4.2) в особую точку 0(0,0) системы (4.3) в фазовой плоскости (xi, x2). Решение системы (4.3) будем искать в виде степенных рядов

оо оо

xi = u gfcMk, Х2 = u2 bfcMk, u = exp(-4т). (4-5)

fc=i fc=i

При т ^ то имеем u ^ +0. Система (4.3) инвариантна относительно сдвига по т,

u

не уменьшая общности, будем полагать ао = 1.

Подстановка рядов (4.5) в систему (4.3) приводит к рекуррентным соотношениям для коэффициентов ak, bk:

-4 kak = ^a ^ asam + 2 £ asbm, к> 1,

s+m=k -1 s+m=k-2

(4.6)

- 4(k + 2)bfc = p £ asam + g £ asbm + 4 £ bsbm, k > 0,

s+m=k s+m=k-1 s+m=k-2

aj = bj = 0 при i < 0. Соотношения (4.6) позволяют последовательно вычислять коэффициенты ak, bk.

Будем иметь ао = 1, ai = —a/8, bo = —p/8 , bi = 96-1p(2a+g). На вычислении остальных коэффициентов ak, bk, k > 2 не останавливаемся. Из (4.1) и первого равенства (4.5) получим

м = ф-1^ 1 + £ vfcф-^ , (4.7)

где vi = —ai = a/8, остальные коэффициенты также вычисляются с помощью метода неопределенных коэффициентов после подстановки ряда (4.7) в ряд (4.5) для xi (коэффицие нты vk являются полиномами от коэф фициентов ai, a2,...,ak).

С помощью вторых соотношений в (4.1), (4.4), (4.5) и (4.7) найдем

^

а = —2ф + 4-ia + x2x-i = —2ф + 4-ia + £ 4ф-й. (4.8)

fc=i

Коэффициенты d^ в равенстве (4.8) определены однозначно и вычисляются с помощью соотношений (4.5), (4.7), причем di = bo = —p/8, на вычислении остальных коэффициентов не останавливаемся.

Сравнивая равенство (4.8) с равенством (2.5), получаем, что (4.8) дает асимптотическое разложение при ф ^ то интегральной кривой L, принадлежащей семейству S и разделяющей его подсемейства Si и S2. Интегральной кр ивой L отвечает определенное численное значение c2 = c20 параметра c2 семейства S, которое может быть найдено лишь в численном эксперименте. Подставляя равенство (4.8) во второе уравнение (2.2) и интегрируя полученное уравнение, найдем

c3-ie = ф-1/2£ , (4.9)

fc=0

где коэффициенты sk выражаются через коэффициенты dj, иричем s0 = 1, s1 = = a/16, s2 = (a2 — a)/512. Из (4.9) получаем

Ф = (c3-1£)mfc (c3-1^ 2k , (4.10)

fc=0

где шо = 1, Ш! = а/8 и так далее, с3 > 0 - произвольная постоянная. После подстановки (4.10) в первое равенство в (2.2) получим, что порожденное интегральной кривой Ь (4.8) уравнения (2.3) решение /(£) уравнения (2.1) представляется в окрестности точки £ = 0 в виде ряда

/(£) = Шк (с^О2к , (4.11)

к=0

а решение р(г, ¿) уравнения (1.1), определенное равенством (1.4), - в виде ряда

рМ) = с3*а£ Шк (с-1^2к , (4.12)

к=1

Поскольку при ф ^ то имеем, что ад ~ а/4, а £ ^ 0, то из (2.4) следует равенство /^(0) = 0. Следовательно, решение (4.12) уравнения (1.1) при любом сз > 0 удовлетворяет условию (1.3).

Итак, решение р(г, ¿) начально-краевой задачи (1.1)—(1.3) порождается в силу

Ь

го решения справедливы в окрестности £ = то представление (3.33), в котором следует лишь положить с! = с^, С2 = С20, и представление (4.12) в окрестности £=0

сз

метрами с и 7 и те зависящей от с постоянной с2о- Действительно, из (4.11)

сз2 = /(0) /(0)

значениями с > 0, 7, удовлетворяющим условию (1.6), и постоянной с2о-

Однако при заданных с и 7 численное значение сз, как и численное значение с2о, можно найти лишь с помощью численного эксперимента.

Ь

в силу равенства (2.4) следует, что решение р(г, ¿) задачи (1.1)—(1.3) монотонно возрастает по независимой переменной г. Действительно, в силу (4.8) она при

ф ^ то уходит в бесконечность в направлении с угловым коэффициентом к2,

ф

кривая семейства Б, принадлежит и при ф ^ 1. Интегральные кривые уравнения (2.3) могут пересекать прямую ад = 0, переходя из сектора I в сектор II, лишь в направлении с угловым коэффициентом кз = —2 + (2а)-1 < Ад, причем ветвь изоклины нуля в секторе II они пересекать не могут (см. рис. 1). Поэтому после пересечения кривой семейства Б прямой ад = 0 в некоторой точке ф = фо, а = —2ф0 эта кривая переходит го сектора I в сектор II и остается там при всех ф > фо.

Кривая Ь, принадлежащая сектору I при ф ^ 1, должна принадлежать сектору I ф

£=0

этого, очевидно, достаточно доказать, что ряды (4.5) сходятся в некоторой окрестности точки и = 0.

Обозначим А = тах{2,р, д} (отметим, что в силу справедливости оценки д > > а/2 следует справедливость оценки А > а/2). Имеем: |ао| < А, |а1| < А, |Ьо| < А. Пусть уже доказано, что

К1 < Ая, |ЬЯ| < Ая+1, в = 1,...,к — 1. (4.13)

Тогда из первого соотношения (4.6) находим с учетом оценки 2-1а < А:

4кК| <А А4+г А4+г+1 =(2к — 1)Ак.

\4+г=й-1 4+г=й-2 )

Следовательно, |ak | < Ak. Оценка |as| < As доказана для всех s > 1. Используя эту оценку и предположение (4ЛЗ) для |bs|, из второго соотношения (4.6) получим

4(k + 2)|6fc| <A[ £ + £ Ai+r+1j + 4A—1 £ Ai+r+3 =

\i+r=fc i+r=fc—1 J i+r=fc—2

= (k + 1)Ak+1 + kAfc+1 + 4A—1(k - 1)Ak+1 < (4k - 1)Ak+1

(мы воспользовались оценкой A > 2), так что |bk| < Afc+1. Справедливость оценки |bs| < As+1 доказана для всех s > 0.

Из полученных для as, bs оценок следует сходимость рядов (4.5) при |u| < 1/A. Отсюда следует сходимость рядов (4.7)-(4.9) в некоторой окрестности точки ф = то, следовательно, и ряда (4.12) в некоторой окрестности точки £ = то.

Замечание 3. Так как влияние граничного условия (1.3) сказывается лишь на выборе значения с20 параметра c2 в (3.33) и, следовательно, не сказывается на степенной части этого разложения, то это означает, что на больших расстояниях от оси симметрии (г ^ 1) граничное условие (1.3) оказывает влияние лишь на экспоненциально убывающую часть давления p(r, t), что вполне естественно с физической точки зрения. Точно также это влияние экспоненциально мало и на малых временах t ^ 1 вне малой окрестности оси.

Summary

L.D. Eskin. About t.lie self-similar solution ofCaucliy problem for the gas filtration equation in porous medium with axial symmetry.

A formal expansion of the self-similar solution of Caucliy problem for Boussinesq equation describing gas filtration in an axial symmetry porous medium of r ^ то and a convergent expansion in the neighborhood of the r = 0 are constructed.

Литература

1. Бареибла/т/т Г.И., Еитов В.М., Рыжик В.М. Теория пестациопарпой фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972. 288 с.

2. Баре.иблатт Г.И. Об автомодельных решениях задачи Коши для нелинейного параболического уравнения пестациопарпой фильтрации газа в пористой среде // ПММ. 1956. Т. 20, Вып. 6. С. 761 763.

3. Эскип Л.Д. К задаче П. Я. Полубариповой-Кочипой об опорожнении бассейна // Изв. вузов. Математика. 2004. 9. С. 73 84.

4. Баутмн Н.Н., Леотпооич Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем па плоскости. М.: Наука, 1990. 488 с.

5. Б'рюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 256 с.

6. Градштейи И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М : ГИФМЛ, 1962. 1100 с.

Поступила в редакцию 11.09.06

Эскин Лев Давидович кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры прикладной математики Казанского государственного университета.