Необходимые условия оптимальности особых управлений в задаче оптимального управления дискретно-непрерывной системой Текст научной статьи по специальности «Математика»

атематические проблемы управления

УДК 517.977.56

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ОСОБЫХ УПРАВЛЕНИЙ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНОЙ СИСТЕМОЙ1

P.O. Масталиев

Для задач, описываемых системой разностных и интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра, получено необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина. Исследован особый в смысле принципа максимума Понтрягина случай, для которого выведено общее необходимое условие оптимальности управлений.

Ключевые слова: разностные и интегро-дифференциальные уравнения типа Вольтерра, ступенчатая задача, необходимое условие, оптимальность, принцип максимума, особое управление.

ВВЕДЕНИЕ

Многие встречающиеся на практике процессы носят ступенчатый характер и встречаются в задачах управления химико-технологическими процессами [1, 2], автоматизированными производственными системами конвейерного типа [3, с. 28—37], в задачах оценки качества состояния воды в бассейне реки в зависимости от выбросов промышленными предприятиями загрязняющих веществ [4], примерами могут служить процессы роста растений [5, с. 88—96], динамика шагающего аппарата [6—8] и др.

Для моделирования систем, в которых протекают ступенчатые процессы, часто применяются интегральные уравнения или же их разностные аналоги (см., например, работы [6—12] и др.). В работах [13—18] изучены задачи оптимального управления, описываемые интегральными и разностными уравнениями типа Вольтерра, доказаны необходимые условия оптимальности, найдены условия управляемости и др.

Настоящая работа посвящена исследованию особых в смысле принципа максимума Понтря-гина управлений задач оптимального управления,

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда развития науки при Президенте Азербайджанской Республики (грант № Е1Р/аЛМ-2-2013-2(8)-25/06/1).

описываемых разностными и интегро-дифферен-циальными уравнениями типа Вольтерра.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим задачу о минимуме функционала Б(и, V) = ф«^) + фСК^) (1.1)

при ограничениях

г

+ 1) = Е Ж Т, х(т), и(т)),

т =

г е T1 = {*„, г0 + 1, г0 + 2, ..., гх - 1},

х(?0) = х0, (1.2)

г

У (0 = т, у(т), v(т))dт, г е Т2 = ?2],

У(гх) = сад).

Здесь г0, г2, х0 — заданы, причем разность г1 — ?0 — натуральное число; ф(х) и ф(х) — заданные, дважды непрерывно дифференцируемые скалярные функции; /(г, т, х, и), (¡(г, т, у, V)) — заданная п (т)-мер-ная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по х(у) до второго порядка включительно; С(х) — заданная, дважды непрерывно дифференцируемая т-мерная вектор-функция; и(г) — г-мерный вектор управляющих воздействий со значениями из

заданного непустого и ограниченного множества и; К г) — г-мерный кусочно-непрерывный на отрезке Т2 вектор управляющих воздействий со значениями из заданного непустого и ограниченного множества V, т. е.

и(г) е и с Яг, г е 7;,

КО е Vс Яг е 72.

(1.3)

Пару (и(г), у(г)) с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением, а соответствующий процесс (и(г), у(г), х(г), у(г)) — допустимым процессом.

Наша цель состоит в исследовании случая вырождения принципа максимума Понтрягина (особого случая [19]) в рассматриваемой задаче.

2. ФОРМУЛА ПРИРАЩЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА КРИТЕРИЯ КАЧЕСТВА

Считая (и0(г), у°(г), Х0(г), у0(г)) оптимальным процессом, обозначим через (и (г) = и0(г) + Ди(г) е и, V (г) = /(г) + Ду(г) е V, X (г) = х0(г) + Дх(г), у (г) =

= у0(г) + Ду(г)) произвольный допустимый процесс и запишем формулу для приращения функционала:

Д^(и°, V0) = и, V) - V0) =

= ф(X (г;)) - ф(х0(гх)) + ф(у (г^) - Ф(у0(г2)). (2.1)

Ясно, что приращение (Дх(г), Ду(г)) траектории

(х0(г), у0(г)) удовлетворяет системе отношений

'

Дх(г + 1) = X [/(г, т, X (т), и(т)) -

Т = 'о

-/(г, т, х0(т), и0(т))], г е 7;, (2.2) Дх(г0) = 0, (2.3)

'

Ду (г) = 1 [£(г, т, у(т), V (т)) - ¿кг, т, у0(т), v0(т))]dт,

'1

г е 72, (2.4)

Ду(г;) = с( X (г;)) - С(х0(гх)). (2.5)

Обозначим через (у(г), р(г)) пока неизвестную (и + т)-мерную вектор-функцию.

Умножая обе части соотношений (2.2) и (2.4) соответственно на у(г) и р(г) скалярно, затем соответственно суммируя и интегрируя полученные тождества по множествам 71 и Т2, получаем:

'1 -1 '1 -1 '1 -1 X у(г)Дх(г + 1) = X X у(т)/(т, г, X (г), и (г)) -

' = 'п ' = 'п Т = '

1р(г)Д у (г)^г = Цр(т)[£(т, г, у (г), V (г)) -

Ясно что,

¿(т, г, у0(г), v0(г))]dтdг.

'1 -1

X ^^(г + 1) =

' = 'о

' -1

(2.7)

= ^(г1 - l)Ax(г1) + X у(г - ^(г),

' = 'о

'2

|р(г)Д у (г)^г = '1

'2

= р^Ду^) - р^Ду^) - \р (г)Ду(г)^г.

'1

Отсюда с учетом выражения (2.5)

'2

|р(г)Д у (г)^г = р^Ду^) - р^ХС X (г^) -'1

'2

- с^))) - 1р (г)Ду(г)^г.

'

■ /(т, г, x0(г), и0(г))],

(2.6)

Принимая во внимания эти тождества, формула приращения (2.1) записывается в виде

Д^и0, V0) = Ф(X (г1)) - ф(x0(гl)) + ф(у(г2)) -

'1 -1

- ф(у0(г2)) + ^ - l)Дx(гl) + X у(г - l)Дx(г) -

' = 'о

'1 - 1 '1 - 1

- XX у(т)[/(т, г, X(г), и(г))-/(т, г, x0(г), и0(г))] +

' = 'о т = '

+ р^Ду^) - р^хсX(г1)) - с^))) -'2 '2 '2

- }р (г)Ду(г)Л - 11р(т)[^(т, г, у (г), V (г)) -

- ¿(т, г, у0(г), v0(г))]dтdг. (2.8)

Введем обозначения

'1 -1

Н(г, x(г), и(г), у(г)) = X у'(т)/(т, г, X, и),

Т = ' '2

М(г, у(г), кг), р(г)) = |р'(т)£(т, г, у, ^Л, '

ад = р '(г1 - 1)6^),

где «штрих» — знак транспонирования.

''

''

''

Тогда формула приращения (2.8) представляется в виде

А^(и°, V0) = ф( х (^)) — ф(х°(гх)) + ф( У (г2)) —

'1 -1

— фСу0^)) + ^ — 1)Ах(^) + Е у(г — 1)Ах(г) —

' = 'о

'1 -1

— Е [Н(г, X (г), и (г), у(г)) — Н(г, х0(г), и0(г), у(г))] +

' = 'о

+ р^Ау^) — (Л( х (г1)) — л^))) —

— }р (г)Ау(г)^г — }[М(г, у (г), V (г), р(г)) — '1 '1

— м(г, у0(г), v0(г), р(г))]Л.

Для простоты дальнейшего изложения введем обозначения:

Ан(х)/(г, Т, х0(т), и0(т)) = /(г, Т, х0(т), и(т)) — — /(г, Т, х0(т), и0(т)),

Ам(г)#(г, х0(г), и0(г), у(г)) = Н(г, х0(г), и(г), у(г)) —

Н(г, х0(г), и0(г), у(г)),

АноНх(г, х0(г), и0(г), у(г)) = нх(г, х0(г), и(г), у(г))

Нх(г, х0(г), и0(г), у(г)),

А^м(г, у0(г), v0(г), р(г)) = м(г, у0(г), ^г), р(г))

м(г, у0(г), v0(г), р(г)),

АоМД у0(г), v0(г), р(г)) = м/г, у0(г), ^г), р(г)) — — Му(г, у0(г), v0(г), р(г)).

Применяя формулу Тейлора, для приращения (2.8) после некоторых преобразований получим

А^и0, V0) = фх(х0(г1))Ах(г1)+ Ах(г1)фхх(х0(г1))Ах(г1) +

+ фуСЛг^Ау^) + 1 Ау'^фу/Лг^Ау^) + '1 -1

+ ^(г1 — 1)Ах(г1) + Е у(г — 1)Ах(г) —

— Е Аи Н(г, х0(г), и0(г), у(г) —

— Е нх(г, х0(г), и0(г), у(г))Ах(г) —

1

— 1 Е Ах'(г)Нхх(г, х0(г), и0(г), у(г))Ах(г) —

— Е Аи #х(г, х0(г), и0(г), у(г))Ах(г) + р^Ау^) —

лх(х0(г1))Ах(г1) — 1 Ах '(г^х0^)^)

'2

'2

— {р (г)Ау(г)^г — { а^ м(г, у0(г), v0(г), р(г))^г — '1

'2

— |Му(г, у0(г), v0(г), р(г))Ау(г)Л — '1

'2

— |а^ м (г, у0(г), v0(г), р(г))Ау(г)л —

1 '1 '2

Р/Л ,,0/

г, У

У

'1

'2

.О/л ..О/

'1 '2

— 2 |Ау(г)Муу(г, у0(г), v0(г), р(г))Ау(г)^г +

+ п(Аи, Аv). Здесь по определению

(2.9)

п(Аи, Аv) = 01(||Ах(г1)||2) + 02(1|Ау(г2)||2) — Оз(||Ах(г1)||2) —

'2

— Е °4(||Ах(г)||2) — |о5(||Ау(г)||2)^г — '

' = 'п

'1

' -1

— 1 Е Ах (г) Аи нхх(г, х0(г), и0(г), у(г))Ах(г) —

— 1 |Ау(г)а^Муу(г, у0(г), v0(г), р(г))Ау(г)Л, (2.10)

где величины ог(*), / = 1, 5 , определяются соответственно из разложений:

ф( х (г1)) — ф(х0(г1)) = фх(х0(г1))Ах(г1) + + 2 Ах '(г^Мг^Ах^) + оДЦАх^Ц2),

ф( У (г2)) — ф(у0(г2)) = фу(у0(г2))Ау(г2) + + 2 Ау '(г^/у^Ау^) + ^АМОН2),

л( х (г1)) — л(х0(г1)) = Лх(х0(г1))Ах(г1) +

+ 2 Ах '(г^Мг^Ах^) + Оз(||Ах(г1)||2),

Н(г, х (г), и (г), у(г)) — Н(г, х0(г), и (г), у(г)) = = нх(г, х0(г), и (г), у(г))Ах(г) +

+ 2Ах (г)Нхх(г, х0(г), и (г), у(г))Ах(г) + «4(||Ах(^1)||2),

м(г, у (г), V (г), р(г)) — м(г, у0(г), v0(г), р(г)) = = Му(г, у0(г), V (г), р(г))Ау(г) +

+ 2Ау (г)Муу(г, у0(г), V (г), р(г))Ау(г) + 05(||Ау(г)||2).

'1 -1

'1 -1

'1 -1

'1 -1

Если предположить, что вектор-функция (у(г), p(г)) — решение задачи

у(г - 1) = Н(г, x0(г), и0(г), у(г)),

^ - 1) = -ф*^) + N№1)), р (г) = Му(г, у0(г), v0(г), р(г)),

р(г2) = -фу(у0(г2)),

то формула приращения (2.9) примет вид:

Д^(и0, V0) = - X Дг Н(г, x0(г), и0(г), у(г)) +

' = 'о

+ 1 д^Мф^^^)) - д^г!))]^!) -

2 '1 -1

- 1 X Ax(г)Дcx(г, x0(г), и0(г), ^(г))дх(г) -

2' = 'о '1 -1

- X Дио Нхх(г, x0(г), и0(г), ^^(г) -

'='«

- 1Д^ М(г, у0(г), v0(г), р(г))Л +

+ ;-Ду(г2)фуу(у0(г2))Ду(г2) -'2 2

- 2 1 Ду(г)Муу(г, у0(г), v0(г), р(г))Ду(г)Л -2 '1 '2

- 1Д^Му(г, у0(г), v0(г), р(г))Ду(г)^г + '1

+ п(Ди, Дv).

(2.11)

3. СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ КРИТЕРИЯ КАЧЕСТВА И НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ОПТИМАЛЬНОСТИ

Если предположить, что множество

/(г, т, x0(т), и) = = {а: а = /(г, т, x0(т), и), и е и} (3.1)

выпукло, то специальное приращение допустимого управления и0(г) можно определить по формуле ДиЕ(г) = и(г; б) - и0(г), г е 71, где б е [0, 1] произвольное число, а и(г; б) е и, г е 71, такие допустимые управляющие функции, что

Ди(т; Е)/(г, т, X0(т), и0(т)) = = БД^Дг, т, x0(т), и0(т)). (3.2)

Здесь и(т) е и, т е 71, — произвольное допустимое управление, соответствующее допустимому управлению и(г; б).

Пусть Дг(г) = 0. Обозначим через (AxE(г), ДуЕ(г)) специальное приращение оптимальной траектории (x0(г), у0(г)), соответствующее специальному приращению управления (и0(г), v0(г)).

Из оценок, установленных в работах [15, с. 155-156; 20, с. 259-263; 21, с. 37-38] и других следует

Цд^г)!! < х;б, г е 71 и г1,

1|ДуЕ(г)|| < х2б, г е 72 и г2, (3.3)

где и Х2 — положительные постоянные. Поэтому из формулы (2.10) следует, что

п(Ди, 0) = о(б2). (3.4)

Из разложения соотношений (2.2)—(2.5) по формуле Тейлора следует

Лемма. Для специального приращения (Д^Хг), ДуЕ(г))

траектории (x0(г), у0(г)) справедливы оценки:

д^г) = Ба(г) + о(б; г), ДуДг) = БЬ(г) + о(б; г). ♦

(3.5)

Здесь а(г) и Ь(г) — соответственно решения уравнений:

а(г + 1) = X [/х(г, т, x0(т), и0(т))а(т) +

Т = 'о

+ ДЙ(Т} /(г, т, x0(т), и0(т))], '

ь (г) = 1 [¿у(г, т, у0(т), v0(т))b(т)

(3.6)

+

+

Д^(Т)¿(г, т, у0(т), v0(т))]dт, ь(г;) = с^Мг;)).

(3.7)

Принимая во внимание выражения (3.2)—(3.5) в формуле (2.11), приходим к разложению

д^и0, V0) = -б X Днс)Н(г, x0(г), и0(г), у(г)) +

'=',

+

- X а(г)Нхх(г, x0(г), и0(г), у(г))а(г) -

' = 'п

- 2 X ДИ(')Нх(г, x0(г), у0(г), у(г))а(г) +

'1 -1

'1 -1

2

Б

2

'1 - 1

'1 - 1

+ ь(?2)фуу(У(?2)ж?2) -

<2

- J b(OMyy(i, /(t), vo(t), p(t))b(t)dt

+ o(s2). (3.8)

Если же специальное приращение оптимального управления (uo(t), vo(t)) определить по формулам

Au(t) = 0, t е Tj,

Av5(t) = {V- V°(t е[9'е + 8), (3.9) 5 [о, t е т2/[е, е + 5),

где е е [tj, t2) — произвольная точка непрерывности управляющей функции vo(t), 5 > 0 — достаточно малое произвольное число такое, что е + 5 < t2, v е V — произвольной вектор, то из указанных выше оценок следует что,

Ax(t) = 0, ||AyE(t)|| < Z35, (3.10)

где L3 = const > 0.

Поэтому из формулы (2.10) следует, что

n(0, Av) = o(52). (3.11)

В этом случае на основании леммы A8x(t) = 0, A5y(t) = 5b(t) + o(5; t). (3.12)

В дальнейшем нам понадобится утверждение [20, с. 26]:

0 + 5

J AM(t, yo(t), vo(t), p(t))dt =

0

= 5^^, /(е), vo(е), р(е)) + o(5). (3.13)

Принимая во внимания соотношения (3.9)— (3.13), в формуле (2.11) приходим к разложению

AS(0, Av) = -5A ме, /(е), vo(е), р(е)) +

+

52

- Jb(t)Myy(t, /(t), vo(t), p(t))b(t)dt -

2A м (е, /(е), vo(е), р(е)же)

+ o(52). (3.14)

Понтрягина [22]: вдоль оптимального процесса (uo(t), vo(t), xo(t), yo(t)) неравенства

Z A„(t)H(t, xo(t), uo(t), v°(t)) < 0,

t = tn

Из разложений (3.8) и (3.14) в силу произвольности е е [0; 1] и 8 следует принцип максимума

Агм(9, у°(9), v0(e), р0(9)) < 0 (3.15)

выполняются для всех и(г) е Ц, г е Т1, V е V, е е Т2.

Этот результат, как было отмечено в работе [22], представляет собой необходимое условие оптимальности первого порядка. Изучим случай вырождения этого условия.

Определение. Если соотношения

'1 -1

Е АН(')#(г, х0(г), и0(г), у(г)) = 0,

Агм(е, у0(е), /(е), р(е)) = 0 (3.16)

выполняются для всех и (г) е Ц, г е Т1, V е V, е е Т2,

то допустимое управление (и0(г), v0(г)) назовем особым в смысле принципа максимума Понтрягина управлением. ♦

Из определения ясно, что для особых управлений условие максимума Понтрягина (3.15) вырождаясь, теряет свое содержательное значение.

Таким образом, возникает необходимость в дальнейшем исследовании особых в смысле принципа максимума Понтрягина управлений.

С учетом условия (3.16) из разложения (3.8) следует неравенство

я^НфЖ^)) — Лх(х0(г))]а(г1) —

- Z a(t)Hx(t, xo(t), uo(t), v(t))a(t) -

t = tn

- 2 Z A„H(t, xo(t), uo(t), p(t))a(t) +

t =

+ ¿(^(/(^¿(^ -

t2

- jb(t)Myy(t, /(t), vo(t), p(t))b(t)dt > 0, (3.17)

а из разложения (3.14) — неравенство

t2

b^U (/(t^b^)- Jb(t)M (t,/(t), vo(t),p(t))b(t)dt-

— 2АгМу(е, у0(е), v0(e), р(е)же) > 0. (3.18)

Сформулируем полученный результат. Теорема 1. Если множество (3.1) выпукло, то для оптимальности особого в смысле принципа максимума Понтрягина управления (и0(г), v0(г)) в зада-

<i -1

<i -1

<i -1

2

че (1.1)—(1.3) необходимо, чтобы неравенства (3.17) и (3.18) выполнялись для всех и(г) е и, г е 7; и V е V, е е тг ♦

Неравенства (3.17) и (3.18) являются общим, но трудно проверяемым необходимым условием оптимальности особых управлений. С его помощью удается получить различные необходимые условия оптимальности особых управлений, непосредственно выраженные через параметры задачи (1.1)—(1.3).

Поскольку уравнения (3.6) и (3.7) — соответственно линейное неоднородное разностное и интегральное уравнения типа Вольтерра относительно а(г) и Ь(г), то их решения можно представить (см. например, работы [23—26]) в виде

' -1

а(г) = X

= 'о

' -1

X Я(г, т + 1) х

.Т = •

х Дф)Дт, 5, *°(5), и0(5))

(3.19)

''

ь(г) = 11О(г, т)дго^(т, 5, у0(5), +

'•

+ О(г, ^с^Мг;).

(3.20)

Здесь Я(г, т) и О(г, т) — матричные функции соответствующих размерностей, являющиеся решениями задач

Я(г + 1, 5) = X Я(г + 1, т + 1 )/х(т, 5, X0(5), и0(5)),

Т = •

5 < г,

Я (г + 1, г +1) = е; ,

Учитывая независимость допустимых управляющих функций и(г) и V(г), положим v(г) = V0(г), г е 72. Тогда представления (3.19) и (3.21) примут соответственно вид:

' -1

а(г) = X

• = 'п

' -1

X Я(г, т + 1) х

х Д/ 5, ДС0^), и0(5))

(3.22)

' -1 ' -1

ь(г) = X X О(г, г!^^^^, т + 1) х

• = 'п т = •

х Д^ /(т, 5, X0(s), и0(5)).

(3.23)

Если же положить и(г) = и0(г), г е 71, то из представлений (3.19) и (3.21)

а(г) = 0, г е 71,

''

Ь(г) = 11О(г, т)Дф>?(т, 5, у0(5), (3.24)

'1 •

Представления (3.22) и (3.23) позволяют убедиться в справедливости тождеств:

а^Нф«^^)) - Дх^Мг;) =

С '1 -1 X

V а = 'о

X Я(г, т + 1)Д„(а)/(т, а, x0(а), и°(а))1 1

.т = а у

х Ь^;)) - Дсс^^!))] х

С '1 -1 '1 -1 л

X X Я(г, т + 1)ДГ(в^./(т, в,x0(в), и0(в)) I, (3.25)

V в = 'о Т = в

4(г, 5) = 1О(г,т)£у(т, X0(5), V0(5))А,

IО (г, г) = £2

где и £2 — единичные матрицы соответствующих размерностей.

Далее, представление (3.20), с учетом представления (3.19) записывается в виде ''

Ь(г) = 110(г, т)Дф>?(т, 5, у0(5), +

'1 •

'1 - 1 '1 - 1

+ О(г, г^^^)) X X Я(гр т + 1) х

• = 'о т = •

X Дно/(т, 5, X», и0(5)). (3.21)

X а(г)Нхх(г, x0(г), и0(г), у(г))а(г) =

' = 'о '1 - 1 С ' - 1 ' - 1 = XX X Я(г, т + 1^/ а, x0(а), и0(а))

а = 'п т = а

'о V а = 'о

х # (г, x0(г), и0(г), у(г)) х

/' -1 ' -1

X X Я(г, т +1)ДН(в>/(т, в,x0(в), и0(в)) I, (3.26)

V в = 'о Т = в

и - 1

X ДН(')Ях(г, дсО), и(г), у(г))а(г) =

'='«

'1 -1' -1 '1 -1

= X X X ДН(')Дх(г, x0(г), и0(г), у(г)) х

' = 'о • = 'о т = •

X Я(г, т + 1)Дф)/(т, 5, x0(s), и0(5)), (3.27)

т = •

X

X

'1 -1

X

X

1 Ь(г)М (г, у0(г), v0(г), р(г))Ь(г)^г =

х Я(г, т + l)G(x0(гl))Q(г, г;)

л +

= 1

Г / и - 1 и - 1

X X Дн(а)/(т, а, x0(а), и0(а))

+ X X О^, г^^Д,)/(т, а, x0(а), v0(а)) х

а = 'л т = а

а = 'л т = а

х Я(г;, т +l)Gx(x0(гl))Q(г, г;)) \Муу(г, у0(г), v0(г), р(г)) х

С '1 -1 '1 -1

X X ДН(в)/(т, в, x0(в), и0(в)) X

х ф(у0(г)) X X О(г2, ^адг!)) х

в = 'о Т = в

X Дм(в)/(т, в, x0(в), v0(в)) > 0.

(3.30)

в ' в "(в) V в = 'о Т = в

х Я(г, т + l)G(x0(г1))Q(г, г;)

л, (3.28)

Далее, используя представление (3.24), получаем справедливость тождеств:

Ь(г2)фуу(у0(г2)Ь(г2) =

''

11 - -

Ь(г2)фуу(у0(г2)Ь(г2) = X X О(г2, г)^0^)) х = 11 А«^ а, У0(а), тМаЛфуу(у0(г)) х

а = 'о т = а ' а

X Д"(а)/(т, а, x0(а), v0(а))фyy(y0(г2)) х

..О/

(а,к -- - - ^» ча))(гуу\

'1 - 1 '1 - 1

х X X О^, г)^^)) х

в = 'о Т = в

X Д"(в)/(т, в, x0(в), v0(в)).

(3.29)

Учитывая тождества (3.25)—(3.29), из выражения (3.17) получим неравенство

'1

и -1

X

V а = 'о

' -1

X Я(г, т + 1)Д"(а^./(т, а, X», и0(а))

х [фxx(x0(гl)) - Дх^г;))] х

'1 - 1 '1 - 1

X X Я(г, т + 1)ДКв/(т, в, x0(в), и0(в)) | -

V в = 'о Т = в

'-1

'-1 '-1

' = 'п

- X X X Я(г, т + 1)Д"(а^./(т, а, x0(а), и0(а))

V а = 'о т = а

х Нх(г, x0(г), и0(г), у(г)) х

С' -1 ' -1

X X Я(г, т + 1)ДИ(в^./(т, в, x0(в), и0(в)) I -

V в = 'о Т = в

'1 - 1 ' - 1 '1 - 1

и(')Нх(' " /Л " 0

- 2 XXX Д"(')Нх(г, XV), и0(г), у(г)) х

' = 'о • = 'о т = •

х Я(г, т + 1)Д . )/(т, 5, X0(s), и0(5))

'

- 1

а = 'п т = а

А"(аУ

X X Д"(а)/(т, а, x0(а), и0(а)) х

х Я(г;, т +l)Gx(x0(гl))Q(г, г;)) \мгг,у0(г), v0(г),р(г)) х

С '1 -1 '1 -1

X X Д„(в)/(т, в, x0(в), и0(в)) X

V в = 'о Т = в

''

X 1К(в)£(т, в, у0(в), Лв))^, т)^в^т, (3.31)

'1 в

1 Ь(г)М(г, у0(г), v0(г), р(г))Ь(г)Л = '1

_ . '

= 1 1 К(а)£(т, а,у0(а), /(а)МафМ(г,у(г), р(г)) х

X 11д^(в)Я(т, в, у0(в), v0(в))Q(г, т)фЛ

'1 в

л, (3.32)

Д^м(е, у0(е), v0(е), р(е))ь(е) =

в в

= 1 Км/е, у0(е), v0(е), р(е))О(е, т) х

'а

X Дг(а)я(т, а, у (а), V (а))^а^т. (3.33)

Принимая во внимание тождества (3.31)—(3.33), из неравенства (3.18) получаем, что вдоль оптимального особого в смысле принципа максимума

Понтрягина управления (и 0(г), /(г))

'2 '2

1 К^т, а, у0(а), V0(а))^, т^а^Су0(г)) х

'2 '2

х 1 К^т, в, у0(в), V0(в))О(г, т)фЛ -

'1 в

'2 ' '

- 11 Ка)£(т, а, у0(а), /(а))оафМ(г,у(г), г(/),р(г)) х

''а

''

х 11д^(в)^(т, в, у0(в), V0(в))О(г, т)^в^т^г -

'1 в

'1 - 1 '1 - 1

х

'1 - 1 '1 - 1

_ '1 а

X

X

X

X

'а

- / '1 -1 '1 -1

X

0 0

— 21 |АуМу(е, у0(е), v0(e), р(еше, т) х

'1 а

X А^т, а, у0(а), /(а))^ > 0. (3.34) Таким образом, доказана

Теорема 2. Если множество (3.1) выпукло, то для оптимальности особого в смысле принципа максимума Понтрягина управления (и0(г), v0(г)) в задаче (1. 1)—(1.3) необходимо, чтобы неравенства (3.30) и (3.34) выполнялись для всех и(г) е Ц, г е Т1 и V е V,

е е Т2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Посредством модификации метода приращений для задач оптимального управления, описываемых разностными и интегро-дифференциаль-ными уравнениями типа Вольтерра, получено необходимые условие оптимальности первого порядка в форме принципа максимума Понтрягина. Исследован случай вырождения необходимого условия оптимальности первого порядка и получены необходимые условия оптимальности второго порядка.

Полученные условия оптимальности носят оригинальный характер и являются аналогами результатов, полученных для задач управления, описываемых дифференциальными и разностными уравнениями. Они могут найти приложения в различных областях современной теории оптимального управления.

Результаты работы могут быть полезны при дальнейшей разработке теории необходимых условий оптимальности для задач управления, описываемых уравнениями Вольтерра.

ЛИТЕРАТУРА

1. Островский Г.М., Волин Ю.М. Моделирование сложных химико-технологических схем. — М.: Химия, 1975. — 311 с.

2. Агафонова И.А., Гулин Л.Л., Расина И.В. Математическое моделирование и оптимизация процесса метилирования дина-триевой соли сульфаминоантиприна / Деп. в ВИНИТИ, 10.11.1978, № 3457. — 19 с.

3. Кулебякин А.А. Управление системами и процессами в машиностроении: уч. пособие. — Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2008. — 129 с.

4. Лемперт А.А., Урбанович Д.Е. Оптимизация сбросов загрязняющих веществ в бассейне реки при экологических ограничениях // География и природные ресурсы. Спец. выпуск. — 2004. — С. 212—215.

5. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. — М.: Высшая школа, 1995. — 301 с.

6. Белецкий В.В. Динамика двуногой ходьбы // Известия АН СССР. Механика твердого тела. — 1975. — № 3. — С. 3—14.

7. Гурман В.И., Орлов А.Г. Достаточные условия оптимальности сложных процессов // Автоматика и телемеханика. — 1978. — № 4.

8. Гурман В.И., Орлов А.Г. Сложные процессы двуногой ходьбы / Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша. — 1979. — № 95.

9. Арсенашвили А.И., Тадумадзе Т.А. Необходимые условия оптимальности для управляемых систем с переменной структурой и непрерывными условиями преемственности // Тр. ИПМ им. И.Н. Векуа Тбилисского гос. ун-та. — 1998. — Т. 27. — С. 35—48.

10. Исмайлов Р.Р., Мансимов К.Б. Об условиях оптимальности в одной ступенчатой задаче управления // Журнал выч. мат. и мат. физики. — 2006. — № 10. — С. 1758—1770.

11. Батурин В.А., Лемперт A.A. Многоэтапные процессы и методы улучшения в задачах оптимального управления // Вычислительные технологии. — 2003. — Т. 8. — С. 103—108.

12. Гурман В.И. К теории оптимальных дискретных процессов // Автоматика и телемеханика. — 1973. — № 6.

13. Монастырский М.А. Оптимальное управление системами, описываемыми интегральными уравнениями Вольтерра // Автоматика и телемеханика. — 1975. — № 1. — С. 29—36.

14. Мансимов К.Б., Абдуллаев A.A. Исследование особых управлений в одной задаче управления двумерными интегральными уравнениями типа Вольтерра // Автоматика и вычислительная техника. — 2006. — № 4. — С. 72—81.

15. Абдуллаев A.A., Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности в процессах, описываемых системой интегральных уравнений типа Вольтерра. — Баку: Элм, 2013. — 224 с.

16. Абдуллаев A.A. Об одной задаче управления, описываемой системой интегральных уравнений типа Вольтерра // Известия АН Азербайджана. Сер. физ.-техн. и мат наук. — 1995. — № 5—6. — С. 46—49.

17. Mansimov K.B., Mastaliyev R.O. Necessary first and second order optimality conditions in problems of control described by a system of Volterra difference equations // Journal Automatic Control and Computer Sciences. — 2008. — Vol. 42, N 2. — P. 71—76.

18. Масталиев Р.О. Об одной ступенчатой задаче оптимального управления дискретными системами // Вестник Бакинского ун-та. Сер. физ.-мат. наук. — 2010. — № 1. — С. 33—39.

19. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. — М.: Наука, 1973. — 256 с.

20. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. — Минск: Наука и техника, 1974. — 274 с.

21. Мансимов К.Б. Дискретные системы. — Баку: Изд-во БГУ, 2002. — 114 с.

22. Масталиев Р.О. Об одной ступенчатой задаче оптимального управления с дискретно-непрерывной системой // Известия АН Азербайджана. Сер. физ.-техн. и мат. наук. — 2014. — № 1. — С. 64—69.

23. Колмановский В.Б. Об асимптотических свойствах решений некоторых нелинейных систем Вольтерра // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 4. — С. 42—51.

24. Колмановский В.Б. Об асимптотической эквивалентности решений некоторых разностных уравнений // Автоматика и телемеханика. — 2001. — № 4. — С. 47—55.

25. Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. — М.: Изд-во МГУ, 1989. — 550 с.

26. Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра // Итоги науки и техники. Сер. Математический анализ. — 1977. — Т. 15. — С. 131—198.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

В.Н. Афанасьевым.

Масталиев Рашад Огтай оглы — д-р философии по математике,

ст. науч. сотрудник, Институт систем управления

им. акад. А. Гусейнова НАН Азербайджана, г. Баку,

® (994) 012-510-93-72, И [email protected].