CC BY
117
УДК 539.4
О некоторых закономерностях скейлннга в пластичности, разрушении, турбулентности
О.Б. Наймарк
Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, 614013, Россия
Закономерности скейлинга в процессах деформирования и разрушения конденсированных сред (твердых тел и жидкостей) связываются с проявлениями специального типа критического поведения (структурно-скейлинговыми переходами), наблюдаемыми в ансамблях мезоскопических дефектов и обусловленными ими механизмами «структурной» релаксации. Учитывая неравновесность процессов пластичности, разрушения и турбулентности, закономерности скейлинга анализируются на основе установленных типов автомодельных промежуточно-асимптотических решений, описывающих коллективное поведение мезоскопических дефектов. Теоретические результаты сопоставляются с данными оригинальных экспериментов по динамическому, усталостному и ударно-волновому нагружению, подтвердившими роль установленных типов коллективных мод дефектов в проявлениях автомодельности в конденсированных средах в широком диапазоне интенсивности нагружения.
Ключевые слова: коллективные моды дефектов, метастабильные переходы, автомодельные промежуточно-асимптотические решения
Some regularities of scaling in plasticity, failure and turbulence
O.B. Naimark
Institute of Continuous Media Mechanics UrB RAS, Perm, 614013, Russia
Scaling regularities in the deformation and failure of condensed matter (solids and liquids) are associated with a special type of critical behavior (structural-scaling transitions) observed in ensembles of mesoscopic defects and defect-induced mechanisms of "structural" relaxation. Taking into account nonequilibrium features of plasticity, failure and turbulence, the scaling aspects are analyzed on the basis of self-similar intermediate-asymptotical solutions that describe the collective behavior of mesoscopic defects. Theoretical results are supported by original experiments on dynamic, fatigue and shock wave loading which confirm the role of the specified modes of defects in self-similar responses of condensed matter in a wide range of load intensities.
Keywords: collective modes of defects, metastable transitions, self-similar intermediate asymptotic solutions
1. Автомодельные решения при метастабильных переходах в неравновесных критических системах
Термин автомодельность (скейлинг) традиционно связывается с существованием подобия решений для различных моментов времени и математически соответствует инвариантным соотношениям, которые часто имеют природу асимптотических решений [1, 2]. Автомодельность, как правило, соответствует физическим закономерностям, отражающим существование определенного типа стабилизации при развитии нелинейного процесса, которая может наблюдаться для достаточно широкого класса условий. Характерным примером автомодельности является формирование уединенных волн (солитонов), распространяющихся со ско-
ростью, зависящей от амплитуды. В более широком смысле понятие скейлинга имеет отношение к существованию автомодельных решений или вырожденных задач, которые получаются, если безразмерные переменные процесса П стремятся к нулевым или бесконечным значениям. При этом если асимптотики и переменные (степенные одночлены) автомодельны, то имеют место следующие автомодельные нелинейные сценарии: функция Ф от переменных П при П ^ 0, ^ имеет конечный предел или таких пределов не существует, но в последнем случае имеют место степенные асимптотические представления. Рассмотренные случаи квалифицируются как автомодельные решения первого и второго рода соответственно [2].
© Наймарк О.Б., 2015
Автомодельные решения первого рода получаются, когда предельный переход от неавтомодельной (невырожденной) задачи к автомодельной (вырожденной) задаче является регулярным. Автомодельное решение второго рода получается в случае, когда вырождение исходной задачи нерегулярно, но имеет место так называемая неполная автомодельность по параметрам П. Особенностью автомодельных решений второго рода [1 ] является тот факт, что они не могут быть получены на основе анализа размерности, включая определение автомодельных переменных. При этом автомодельность связывается с нелинейной задачей на собственные значения и степенные показатели находятся в процессе решения задачи подобно собственным значениям для линейных уравнений. В [2] отмечается, что существует внутренняя связь между типами автомодельных решений, нелинейными задачами распространения с решениями типа f (х - и), автомодельными задачами с решениями вида (х^т) и методами определения параметра скорости и и степеней п, т.
Автомодельные решения определяются с точностью до некоторой константы, которая для автомодельных решений первого рода находится из законов сохранения, а для автомодельных решений второго рода может быть найдена анализом эволюции неавтомодельного решения, поскольку законы сохранения принимают здесь не-интегрируемую форму и имеет место неполная автомодельность. Идеи, связанные с концепцией неполной ав-томодельности и автомодельных решений второго рода, использовались для решения ряда важных задач. Особое внимание привлекает анализ неполных автомодельнос-тей в теории турбулентности, где замкнутая математическая постановка задачи до сих пор отсутствует и решающее значение при оценке автомодельности принадлежит сопоставлению законов подобия с данными эксперимента. Проявления автомодельности играют также определяющую роль при развитии процессов пластичности и разрушения, сопровождающихся, как и в случае турбулентности, развитием множественных локализованных неустойчивостей различных масштабов, коррелированным поведением этих неустойчивостей, что математически является признаком вырождения исходной неавтомодельной задачи [3]. Важным физическим моментом математического описания и, соответственно, поиска автомодельных решений являются отражение в уравнениях физических механизмов, ответственных за развитие локализованной неустойчивости, и их многомасштабные взаимодействия, которые и определяют «подчинение» поведения системы автомодельным переменным и автомодельным решениям. Формирование локализованных неустойчивостей рассматривается как характерный признак критического поведения неравновесных систем и, по аналогии с критическими явлениями в термодинамических (близких к равновесию) системах, связывается с динамикой независимых пере-
менных, которая при вырождении исходной неавтомодельной задачи подчиняется спектру взаимодействующих коллективных мод, что сопровождается вырождением исходных (структурных) масштабов до масштабов макроскопической системы.
В настоящей работе обсуждается связь локализованных неустойчивостей, обусловленных коллективным поведением ансамблей мезодефектов, соответствующих им автомодельных решений, при пластическом деформировании и разрушении твердых тел, а также автомодельными закономерностями поведения жидкостей при больших числах Рейнольдса и ударно-волновых нагру-жениях. Эти явления связываются с установленным типом критических явлений в конденсированных средах с дефектами — структурно-скейлинговыми переходами [3]. Особенностью данных переходов является качественное изменение метастабильных реакций (неравновесных переходов) в нелинейной системе в терминах структурных переменных, характеризующих ансамбль дефектов (микросдвигов, микротрещин). Динамика неравновесных переходов при качественном изменении типов метастабильности сопровождается «подчинением» поведения неравновесной системы различным типам автомодельных промежуточно-асимптотических решений, с которыми связываются качественные различия в поведении конденсированных сред в широком диапазоне интенсивностей воздействий.
2. Структурно-скейлинговые переходы. Мета-стабильные состояния в средах с дефектами
2.1. Микроскопические и макроскопические переменные для ансамбля микротрещин и микросдвигов
Структурные переменные, ассоциированные с типичными мезоскопическими дефектами, микротрещинами и микросдвигами, были введены в [3] в соответствии с представлениями теории калибровочных полей как нарушение локальной симметрии полей дисторсии. Эти дефекты описываются симметричными тензора-мивида sik = sVк для случая микротрещин и sik = = l/(2s) (vilk +11 vк) для микросдвигов. Здесь V — единичный вектор нормали к основанию микротрещины или площадки сдвига; 1 — единичный вектор в направлении сдвига; ^ — объем микротрещины или интенсивность сдвига. Усреднение микроскопического тензора sik дает макроскопический тензор плотности микротрещин и микросдвигов р1к = п{ sik), который совпадает по смыслу с деформацией, обусловленной дефектами; п — концентрация дефектов.
2.2. Статистическая автомодельность распределения дефектов
Исследование распределения микротрещин и микросдвигов по размерам в деформированных материалах
обнаружило черты статистической автомодельности в пространственных распределениях этих дефектов на различных масштабных уровнях [4]. Статистическая ав-томодельность отражает вид функции распределения данных дефектов, имеющей универсальное представление в некоторых безразмерных (автомодельных) координатах. Это свойство ансамбля позволило упростить сложную многочастичную статистическую проблему при описании поведения ансамбля дефектов и установить природу скейлинга, обеспечивающего статистическую автомодельность. Статистическая автомодель-ность, проявляющаяся в универсальности функции распределений дефектов, означает возможность введения двух характерных пространственных масштабов для среды с дефектами: расстояние между дефектам Ь8С = = (п)-1/3 и размер дефекта /8С. Отношение этих двух масштабов, в свою очередь, позволяет ввести структурную переменную 5 ~(Ь8С/ /8С)3, обеспечивающую наблюдаемую в эксперименте статистическую автомодельность. Вид данной переменной был установлен независимо в [3] на основе статистико-термодинамичес-кого описания ансамблей микросдвигов (микротрещин), где было показано, что в зависимости от величины параметра структурного скейлинга 5 наблюдаются качественные изменения коллективного поведения ансамбля дефектов, описываемые тензором плотности дефектов Рк. На рис. 1 представлены типичные зависимости компоненты р = р22 тензора рк для случая одноосного растяжения образца для различных интервалов 5 и соответствующий им вид свободной энергии Г. Изменения коллективного поведения ансамбля дефектов проявляются в виде спектра нелинейных реакций материалов на рост дефектов (с учетом коллективной ориентационной моды) с выраженной метастабильно-стью для установленных областей параметра структурного скейлинга 5 (5 > 5* - 1.3, 5С < 5 < 5*, 5 < 5С - 1), где 5С и 5* — некоторые критические значения параметра структурного скейлинга. Было установлено также, что указанные интервалы 5 соответствуют квазихрупкой (5< 5С -1), пластической (5С < 5 < 5*) и нано-кристаллической (5>5* -1.3) реакциям материалов на рост дефектов. Эта особенность коллективного поведе-
ния позволила ввести в рассмотрение специальный тип критического поведения сплошных сред с дефектами — структурно-скейлинговые переходы [3].
2.3. Метастабшъные состояния в средах с дефектами
Статистическое описание позволило предложить феноменологию твердого тела с дефектами, основанную на представлении неравновесной свободной энергии Г, отражающем качественное изменение нелинейного поведения ансамбля дефектов для соответствующих значений параметра структурного скейлинга 5 (рис. 1, б). Феноменологическое представление части свободной энергии, обусловленной ростом дефектов в поле внешних напряжений а , дается шестым порядком разложения, подобного хорошо известному разложению Гинзбурга-Ландау [5]:
*=-1 ^
2
5
2
Рак
-1 вр4+1 с
4 ак 6
1 5.
6
Рак
- £>акРгк + /Рак)2. (1)
Точки бифуркации 5*, 5С играют роль, аналогичную характеристическим температурам в теории фазовых переходов Ландау. Этот факт имеет существенное значение при обобщении термодинамических соотношений применительно к поведению систем, далеких о равновесия [6, 7]. Применительно к мезоскопическим системам роль «термализующего» фактора, наряду с температурой, могут играть параметры скейлинга, отражающие взаимодействие в ансамбле мезоскопических дефектов. Градиентный член в (1) описывает эффекты нелокальности в ансамбле дефектов; А, В, С, В и % — феноменологические параметры. Кинетическое уравнение для тензора плотности дефектов следует из эволюционного неравенства 5*/5t = (5*/5р) (ф/dt) < 0 [3]:
Фк = dt
-Г
А
1 —
5
Рак -вр\к +
+ с
1
р!к
-Па^
гдРж
* дх /
/
где Г — кинетический коэффициент.
д
дх/
\\
; )
Данное уравнение имеет различные групповые свойства в соответствующих диапазонах параметра структурного скейлинга 5, определяемые видом нелинейности неравновесного потенциала Р, включая тип метастабильности. При 5^5* происходит вырождение решений, характерных для параболического уравнения с нелинейным источником, и последнее трансформируется в волновое решение автосолитонного типа р ) = р (х - V) для бистабильного потенциала. Этот переход сопровождается резким изменением коллективной ориентационной моды дефектов и расходимостью внутреннего масштаба по регулярному сценарию. Амплитуда волны, ее ширина и скорость волнового фронта определяются параметрами метастабильного перехода
(3)
1 , 4 ( у 01/2 р = - ра[1 - С г1)], I =— 2± ,
2 , 2 Ра I А V = %А(Ра - рт)/2С2,
где ра - рт — скачок величины р в ходе метастабиль-ного перехода (рис. 1, а). Формирование пространственно локализованных волновых структур, фронты которых соответствуют «ориентационному переходу» в ансамблях дефектов, позволяет связать кинетику формирования этих структур с механизмами пластической релаксации (локализацией пластической деформации).
Переход через точку бифуркации 5С сопровождается очередным изменением групповых свойств уравнения (3), что приводит к появлению пространственно-временны х структур качественно-нового типа, описывающих «взрывное» накопление дефектов (так называемые режимы с обострением [8, 9]) при г ^ гс на спектре пространственных масштабов = кЬс, к = 1,2,..., К. Для данного типа уравнений, как показано в [9], развитая стадия кинетики р > рс при г ^ гс описывается автомодельным решением
р(х, г) = ф(г)f (О, с = —, ф(г) = Фо
Ьс
1
т
(4)
где т > 0, Ф 0 > 0 — параметры, определяемые показателями нелинейности потенциала (1); Ьс и гс — параметры скейлинга. Функция f (£) может быть определена в ходе решения нелинейной задачи на собственные
значения [8]. «Подчинение» кинетики роста дефектов режиму с обострением соответствует сценариям авто-модельности второго рода с вырождением масштабов, сформированных коллективными автосолитонными модами, но уже в нерегулярном (асимптотическом) режиме. Формирование структур обострения обеспечивает наиболее эффективный канал диссипации, который может быть связан в сплошной среде с зарождением очагов макроскопического разрушения (трещин) в твердых телах или областей интенсивной диссипации при турбулентном течении жидкостей (диссипативный интервал).
3. Универсальность пластических волновых фронтов
Формирование коллективных мод дефектов и их связь с установленными типами автомодельных решений явились в [10] теоретической основой для объяснения устойчивости пластических волновых фронтов. Первые прямые измерения высокого разрешения волнового профиля были проведены в [11] для алюминия с применением лазерной доплеровской интерферометрии, когда наблюдалось резкое увеличение скорости деформации с увеличением амплитуды напряжений. Прямое экспериментальное исследование релаксационной природы пластического фронта и его устойчивости было проведено в [12] при измерении ударной вязкости. Устойчивость установившегося пластического фронта является другим важным признаком распространения волновых фронтов напряжений [13]. Это проявляется в виде универсальности установившегося волнового пластического фронта. Установившийся профиль распространяется без изменения формы, что является следствием устойчивого баланса между конкурирующими процессами: нелинейной связи между напряжением и деформацией и диссипативными (вязкостными) свойствами среды [14]. Исследования, проведенные в [15-18], показали, что распространение пластического фронта волны имеет автомодельный характер и установлена степенная зависимость вида е ~ Ао'^тр между скоростью деформирования и амплитудой напряжений (рис. 2).
Рис. 2. Профили пластических фронтов в алюминии [3]: а — зависимость скорости свободной поверхности при различных амплитудах давлений: 0.95 (1), 2.1 (2), 3.8 (3), 9 ГПа (4); б — зависимость амплитуды напряжений от скорости деформирования
Рис. 3. Множественные метастабнльные переходы при формировании автосолитонных мод
Экспериментальные данные о переходах в дислокационных субструктурах при пластической деформации и результаты статистического описания коллективного поведения ансамблей дефектов позволили связать механизмы пластического течения с эволюцией структуры, рассматривая последнюю как структурные переходы, сопровождающиеся формированием многомасштабных коллективных мод дефектов автосолитонной природы [19-21]. В [17, 20] показано, что степенная универсальность установившихся профилей пластического волнового фронта для различных амплитуд ударного импульса связана с проявлениями автомодельности первого рода при формировании автосолитонных коллективных мод в ансамбле микросдвигов и подчинения механизмов структурной релаксации и пластического течения динамике этих мод.
Данные о статистической автомодельности распределения дефектов на различных стадиях деформирования позволяют связать текущие значения параметра структурного скейлинга с трансформацией автосоли-тонных мод дефектов при «переборе» последовательности метастабильных состояний. Кинетика параметра структурного скейлинга определяет кинетику метаста-бильных переходов (рис. 3, траектория АВВН) и кинетику упрочнения материала в зависимости от характерного времени нагружения (скорости деформации). Уменьшение 5 при увеличении плотности микросдвигов (рис. 3, а, траектория ВН) и увеличение скачка Ра - Рт в области метастабильности (рис. 1, а) обеспечивают устойчивую автосолитонную реакцию при увеличении амплитуды напряжений, сопровождающуюся ростом скорости фронта автосолитонной волны и уменьшением ее ширины.
В сочетании с последовательной трансформацией автосолитонных мод при увеличении амплитуды импульса кинетика «распада» метастабильных состояний является, по-видимому, основной причиной универсальности зависимости скорости деформации от амплитуды напряжений 8 - Аа4тр, установленной для широкого класса материалов в области 8 > 105 с-1. Степен-
ная универсальность пластического волнового фронта в области 8 > 105 с-1 может рассматриваться как аналог «резонансного» режима на спектре «собственных форм» нелинейной задачи — автосолитонных мод, являющихся автомодельными решениями уравнения (2) в диапазоне 5c < 5 < 5*.
Подчинение поведения нелинейной системы «твердое тело с дефектами» спектру автосолитонных мод рассматривается как основная причина «вырождения» пространственных масштабов при развитии множественной пластической неустойчивости течения [7, 22, 23].
4. Нелинейная динамика разрушения при интенсивных нагрузках
4.1. Автомодельные решения и нелинейная динамика трещин
Связь кинетики развития поврежденности, обусловленной формированием многомасштабных коллективных мод дефектов, диссипативных структур обострения, с качественно различными сценариями разрушения исследовалась экспериментально и теоретически применительно к нелинейной динамике трещин в зависимости от величины предварительного нагружения (растяжения) пластин полиметилметакрилата (ПММА) в условиях in situ регистрации фазовых портретов напряжений в вершине трещины и количественного анализа морфологии поверхностей разрушения [24-28]. Было показано, что переходы от устойчивого прямолинейного распространения трещин (V < VC) к режиму с ветвлением (VB > V > V C) и последующей фрагментации образца (V > V B) (рис. 4) связаны со сменой типов автомодельных режимов, относящихся к промежуточно-асимптотическим сингулярным решениям.
Режим прямолинейного распространения определяется распределением напряжений aik в окрестности вершины трещины:
aik - K!г~l'2fj (9), K = а7П7, (5)
где r, 9 — полярные координаты (радиус-вектор и угол)
Рис. 4. Различные режимы динамики трещин в зависимости от скорости распространения: V < VC (а), VB > V > VC (б), V > Ув (в). Ус = 0.4 У^, Vв = 0.6^, VR — скорость волны Рэлея
точки в вершине трещины; Kl = o^Jnl — коэффициент интенсивности напряжений; l—длина трещины. Переход к режимам ветвления объясняется существованием «сингулярного по времени» промежуточно-асимптотического решения (4), описывающего пространственно-временн ую динамику формирования «очагов разрушения» — дочерних трещин (диссипативные структуры обострения). In situ эксперименты по высокоскоростной записи динамики напряжений с использованием поляризации лазерного луча в точке, находящейся на расстоянии 4 мм от траектории основной трещины, показали качественное изменение фазовых портретов при увеличении скорости трещины (величины приложенных напряжений), соответствующих обсуждаемым типам автомодельных решений (рис. 5).
Прямолинейное распространение трещины для скоростей V < Vc соответствует фазовому портрету, характерному преимущественно для гиперболического уравнения (волновое уравнение упругой среды), с признаками «нелинейной динамики», определяемыми формированием очага разрушения непосредственно на траектории распространения основной трещины. Режим с ветвлением для скоростей VB > V > VC сопровождается проявлением выраженных признаков нелинейной динамики — формированием «случайного» облака точек, которые ассоциируются с коллективными модами дефектов при формировании очагов разрушения. Образы поверхностей разрушения для указанных режимов (гладкая, зеркальная поверхность для прямолинейного рас-
пространения и поверхность с множественными зеркальными зонами, очагами разрушения) приведены на рис. 6.
4.2. Автомодельные закономерности разрушения при динамических и ударно-волновых нагружениях
Наличие двух типов автомодельных решений и режимов, контролируемых «сингулярностями» напряжений и кинетики формирования очагов разрушения, позволило рассмотреть последовательно сценарии разрушения при увеличении интенсивности нагружения, сопровождающиеся фрагментацией V > VB, многоочаговый режим разрушения при отколе и «предельный» случай разрушения — формирование так называемых волн разрушения.
Статистические особенности нелинейной динамики фрагментации исследовались в условиях in situ эксперимента по динамическому нагружению (в «условиях сохранения») цилиндрических образцов плавленого кварца с регистрацией сигналов фрактолюминесценции, ассоциируемых с образованием очагов разрушения (рис. 7). Анализ пространственно-временных распределений (размеров фрагментов, временны х интервалов фрактолюминесценции) позволил установить степенные законы распределения, характерные для проявлений так называемого фликкер-шума (1/ f - статистика), которые характерны для поведения неравновесных систем, обнаруживающих самоорганизованную критичность [7] (рис. 8).
d, МПа/мкс 2-
о-
-2-
0
• • •
• .г
• • • •
d, МПа/мкс 5
0
-5-1
10
20
30 а. МПа
0
20
ф $
40
а, МПа
Рис. 5. Фазовые портреты напряжений а ~ а в вершине трещины для различных скоростей распространения трещины: V = = 200 (а), 615 м/с (б)
Степенная универсальность статистических закономерностей фрагментации может быть интерпретирована как «вырождение» пространственных и временных масштабов, что и является важным признаком автомодельных решений (4), описывающих формирование очагов макроскопического разрушения и имеющих отношение к простым и сложным «диссипативным структурам обострения», развивающимся на спектре пространственных масштабов Ьн = кЬС, к = 1, 2,..., К [1, 8]. Переходы от простых к сложным структурам обострения наблюдались в экспериментах по множественному отколу при ударно-волновом нагружении цилиндрических образцов ПММА и ультрафарфора в области так называемой «динамической ветви» [7, 9, 29, 30], соответствующей временам откольного разрушения tc ~ ~ 1 мкс, и слабо зависящих от амплитуды нагружающего импульса аа (рис. 9). В соответствующих сечениях откола наблюдались множественные зеркальные зоны (очаги разрушения) с одинаковым размером. Зеркальная зона с минимальным размером соответствует простой диссипативной структуре «обострения», возбуждаемой импульсом с максимальной крутизной (минимальной шириной, близкой к ЬС) фронта; последующие зеркальные зоны представляют собой сложные структуры, локализованные на £н-масштабах. Инициирование зеркальных зон различных масштабов имеет отношение к резонансному возбуждению «собственных форм» нелинейной задачи, ассоциированных с автомодельными решениями (4) [3, 5, 7]. Отметим, что слабая зависимость времени откольного разрушения от амплитуды импульса является типичным проявлением автомодельности второго рода [2].
Предельным случаем «резонансного возбуждения» разрушения является инициирование «волн разруше-
Источник
Ударник Буфер Рабочая часть света
Фотоумножитель Рис. 7. Схема эксперимента по динамической фрагментации кварца
ния» [31-34]. Экспериментальное исследование инициирования «волн разрушения» было проведено в условиях теста Тейлора при высокоскоростной записи теневых картин в цилиндрическом образце плавленого кварца после соударения последнего с жесткой преградой при скорости 534 м/с (рис. 10).
Первая затемненная область (рис. 10) соответствует волне сжатия, распространяющейся со скоростью V -- 6.6 км/с. Вторая волна, следующая с постоянным отставанием (задержкой) со скоростью Vfw - 4 км/с, представляет собой волновой фронт, разделяющий твердое тело и полностью диспергированный материал за счет образования множественных дефектов сдвига.
Постоянное время задержки фронта волны разрушения определяется постоянной времени режима с обострением характеризующей время выхода кинетики поврежденности на режим автомодельной промежуточной асимптотики. При этом естественно предположить, что волна разрушения представляет собой волну «задержанного» разрушения, обусловленного последовательным «возбуждением» простых диссипативных структур обострения.
Моделирование процесса разрушения в постановке, соответствующей условиям проведенного эксперимента, с учетом нелинейной кинетики поврежденности, описывающей инициирование «режимов с обострением» в ансамбле сдвиговых дефектов, подтвердило механизм инициирования и распространения волны разрушения как «задержанного» разрушения, обусловленного «резонансным» инициированием коллективной моды
1пЛЧ
0 2 4 6 8 10 12 14 Inf
Рис. 8. Кумулятивная функция распределения временных интервалов фрактолюминесценции
Рис. 9. Зависимость времени разрушения гс от амплитуды импульса аа при ударно-волновом нагружении цилиндрических образцов ПММА (1) и ультрафарфора (2) [29]
дефектов, имеющей природу асимптотического режима «взрывной» кинетики поврежденности [9, 34].
5. Промежуточно-асимптотический характер распространения усталостных трещин
Универсальность кинетических соотношений, устанавливающих связь между скоростью роста усталостной трещины d// dN и изменением коэффициента интенсивности напряжений АК, является предметом интенсивных экспериментальных и теоретических исследований. Степенные зависимости, впервые установленные в работах П. Пэриса (например [35]) и известные как закон Пэриса, отражают автомодельный характер развития усталостных трещин, обусловленный нелинейной кинетикой развития поврежденности в окрестности вершины трещины («зона процесса»):
iL = A( ЬК)"
dN
(6)
где А и т — экспериментально определяемые константы. Для широкого класса материалов и различных скоростей роста трещин в условиях многоцикловой уста-
лости показатель степени m близок к значениям 2-4. Постоянство показателя степени связывается в [36-38] с автомодельным характером кинетики поврежденности в окрестности вершины трещины, «подчиняющей» себе процесс распространения трещин. Промежуточно-асимптотический характер этого процесса исследовался экспериментально и связывался с масштабно-инвариантными закономерностями развития поврежденности в «зоне процесса» с некоторым характерным масштабом Lpz. Образец из высокопрочной стали R4 (32NiCrMo 10) подвергался усталостному нагружению в условиях симметричного цикла растяжение - сжатие с частотой 20 кГц на оригинальной установке, сконструированной проф. C. Bathias (ENSAM-ParisTech, Франция) [39]. На начальной стадии эксперимента зарождалась усталостная трещина длиной ~1.5 мм, регистрируемая с помощью бинокулярного микроскопа Carl Zeiss. Варьированием амплитуды колебаний контролировался рост трещины при постоянстве коэффициента интенсивности напряжений ДК. Состояние материала в окрестности вершины трещины регистрировалось методом реплик по изменению поверхностного рельефа предварительно отполированной боковой поверхности образца по данным интерферометра-профилометра высокого разрешения NewView-5000.
Размер «зоны процесса» масштаба Lpz коррелированного поведения ансамбля дефектов оценивался по одномерным «срезам» 3D-рельефа в направлении распространения трещины и вычислением масштабных инвариантов «шероховатости», ассоциированной с формированием многомасштабных дефектных структур [37] (рис. 11). В качестве масштабного инварианта был выбран показатель Херста, который вычислялся по формуле
К (г) = <( z (х + r)-z (х ))2 )i 2
H
Рис. 10. Инициирование волн разрушения в образце плавленого кварца в условиях теста Тейлора: волна сжатия (1), волна разрушения (2), поверхность соударения (3) [34]
.. (7)
где К(г) представляет собой усредненную разность значений высот рельефа поверхности z(x + г) и z(x) на «окне» размером г; Н — показатель шероховатости Херста. Представление функции К(г) в логарифмических координатах установило диапазон масштабов (/8С, Ьр2) коррелированного поведения дефектов. Масштаб /8С определяет масштаб мезоскопического дефекта, начиная с которого имеет место «вырождение» масштабов, связанное с формированием очага разрушения с размером Ьр2 •
«Вырождение» масштабов и формирование очага разрушения связывается с проявлением промежуточно-асимптотических закономерностей роста поврежден-ности на масштабе Ьр2, определяющих рост трещины. С использованием анализа размерностей переменных (скорость роста трещины а = d // ^, изменение коэффициента интенсивности напряжений а1 = АК, модуль Юнга а2 = Е, масштаб корреляции в ансамбле дефектов а3 = /8С, масштаб зоны процесса а4 = Ь ) «проме-
12504
Рис. 11. Схематическое изображение анализа рельефа поверхности
жуточно-асимптотическая» кинетика роста трещины может быть представлена в виде
г \а / . \Р
^=/ ¿и
АК
Е>/4С
/
(8)
где а и в — параметры промежуточно-асимптотического представления. Введение параметра материала С = /8С (Ьрг//8С )в приводит соотношение (4) к виду, аналогичному закону Пэриса:
йИ
=с
АК
Еу/Кс
\а
(9)
Зависимость (9), построенная по результатам эксперимента по кинетике роста трещины с учетом вычисленных значений /8С, позволяет оценить значение показателя а ~ 2.3, соответствующего наклону кинетической зависимости в логарифмических координатах (рис. 12).
Значение показателя а ~ 2.3 сопоставимо со значениями показателя в законе Пэриса, наблюдаемого для режимов многоцикловой усталости. Степенная универсальность кинетики роста усталостной трещины, по-видимому, аналогична степенной универсальности пластического волнового фронта и определяется «подчинением» динамики наблюдаемых переменных (I и АК в случае закона Пэриса, 8 и аатр в соотношении Свиг-ла-Греди [14]) «структурным» переменным — коллективным модам дефектам, имеющим смысл автомодельных решений.
6. Автомодельные закономерности развития неустойчивостей в жидкостях при интенсивных воздействиях
По-видимому, Рейнольдс впервые обратил внимание на неньютоновское поведение простых жидкостей при сдвиговом течении [40], которое связывалось с неравновесными (вязкоупругими) эффектами сдвиговой и объемной (локальное изменение плотности) дисторсии,
обусловленными структурой жидкости. Это соответствует данным по измерению сдвиговых модулей и релаксационных спектров при наложении осцилляций на сдвиговое течение простых жидкостей [41, 42], когда эффекты сдвиговой упругости наблюдались при частоте 105 Гц. Присутствие длинновременной части спектра с временами т ~10-5 с связывается с согласованным перемещением и переориентацией групп молекул, что сопряжено с существенно большими характерными временами. Это предположение, впервые высказанное в [43], косвенно подтверждается в [12, 44] при изучении релаксационных явлений в жидкостях на фронте ударных волн для скоростей деформации 8 = 105 С-1. В [45, 46] представления о квазипластическом механизме развития турбулентности в жидкостях, обусловленной коллективным поведением микросдвигов при перемещении групп молекул, было положено в основу полевой теории турбулентности, описывающей развитие многомасштабных локализованных сдвигов (и связанных с ними вихрей) как следствие структурно-скейлинговых переходов и формирования коллективных мод, имеющих природу автомодельных промежуточно-асимптотических решений (3), (4) уравнения (2). При этом кинетика параметра структурного скейлинга [3] «обеспечивает» в соответствии с видом неравновесного потен-
Рис. 12. Уравнение кинетики трещины в логарифмических координатах
Рис. 13. Профили скорости свободной поверхности, полученные на разных расстояниях X от места инициирования взрыва
циала (1) ренормгрупповое преобразование уравнения движения (2), описывающего пространственно-временной скейлинг развития локализованных неустойчивос-тей как последовательность автосолитонных волн локализованного сдвига, что качественно соответствует закономерностям скейлинга в инерционном интервале турбулентности. Переход через критическое значение параметра структурного скейлинга S = SC приводит к резкому изменению групповых свойств уравнения движения (2) и подчинению нелинейной динамики системы другому классу автомодельных промежуточно-асимптотических решений (спектру коллективных «обостряющихся» мод), который может определять динамику турбулентного течения в диссипативном интервале.
В [47] экспериментально исследовались возможные проявления автомодельности при ударно-волновом на-гружении жидкости, аналогичные степенной универсальности нарастания пластического волнового фронта в твердых телах [7]. Волна сжатия в дистиллированной воде инициировалась в цилиндрической камере электровзрывом медного проводника [8]. Измерение массовой скорости в жидкости на различных расстояниях от взрываемого проводника осуществлялось с помощью измерительного зонда с оптоволоконным входом системы измерения VISAR.
Анализ волновых профилей позволил исследовать зависимость скорости деформации от амплитуды импульса и величины откольной прочности от скорости
деформации. На рис. 13 представлены некоторые экспериментально полученные профили скорости свободной поверхности, по которым находились значения отколь-ной прочности Р8 (разница давлений в точках Ь и с), амплитуда импульса сжатия Р0 (в точке Ь), вычислялись скорости деформации 8* на фронте (аЬ) и в разгрузочной области 8 (Ьс).
На рис. 14 в логарифмических осях представлена зависимость скорости деформации на фронте волны сжатия 8* от амплитуды импульса сжатия Р0. Установлено, что зависимость скорости деформации на фронте волны сжатия от амплитуды импульса волны сжатия имеет степенной вид с показателем, равным 3.2, что оказалось близким к значениям, установленным для металлов, и указывает на автомодельный характер профиля фронта волны [7]. Соответственно, показатель степени в выражении для зависимости вязкости от скорости сдвиговой деформации оказывается равным -0.375. Установленные закономерности позволяют предположить, что вода при данных условиях нагружения ведет себя как псевдопластическая неньютоновская жидкость.
На рис. 14, а представлены результаты по определению откольной прочности Р8 в сопоставлении с данными [8], что позволило также установить степенной закон зависимости откольной прочности р от скорости деформации 8 с показателем степени ~0.3. Установленные степенные закономерности отражают возможность проявления в жидкостях механизмов переноса импульса и откольной прочности, ассоциируемых с механизмами пластического течения и разрушения в твердых телах. Для подтверждения данного предположения представляет интерес сопоставление экспериментальных результатов по поведению жидкостей в условиях развитого турбулентного течения и распространенного случая неустойчивого пластического течения, известного как эффект Портевена-Ле Шателье.
В [49, 50] экспериментальными исследованиями развитого стационарного турбулентного течения (схема Кармана—турбулентность в замкнутом объеме, инициированная вращающимися дисками) установлена статистическая автомодельность функции распределения
s*-10~6, 1/ с 10-
у = 5- 10_6х3 2
та
0.1
Ps, МПа 100-
10
1
"Ж
□
у = 22.8х
.0.3
10 100 РП9 МПа 0 1 10 8-Ю"4, 1/с
Рис. 14. Зависимость скорости деформации от амплитуды импульса (а); зависимость откольной прочности от скорости деформации (□ — данные авторов, ♦ — данные, представленные в [48]) (б)
флуктуаций мощности, инжектированной в жидкость. Статистическая автомодельность проявляется в универсальности функции распределения флуктуаций мощности, измеряемой на вращающихся дисках в пределах четырех порядков чисел Рейнольдса в области значений последних, соответствующих развитой турбулентности Яе ~ 105-109. Универсальность функции распределения флуктуаций соответствует режиму резкого падения мощности, инжектируемой в поток, и связывается с генерацией когерентных структур на масштабах, близких к интегральному масштабу системы [51]. Функция распределения fдля нормированной на величину стандартного отклонения РВ флуктуации мощности Р (^ f ~ ~ (Р - Р)/РВ) обнаружила негауссовый характер, независимость от числа Рейнольдса и присутствие характерных степенных асимметричных ветвей с выраженной дисперсией f в области значений Р, отличающихся от средних Р. Негауссовый характер ветвей функции распределения связывается со сценарием, для которого флуктуации произвольной амплитуды могут инициироваться единым механизмом. Представляет интерес также установленная зависимость безразмерной величины стандартного отклонения РВ/Р от числа Рейнольдса Яе, имеющая степенной характер. В [50] отмечается, что установленные особенности плотности функции распределения флуктуаций полностью соответствуют статистике флуктуаций интегральных параметров для конечномерных равновесных и неравновесных систем в области критического состояния [52, 53]. Предполагая возможность реализации в жидкостях в области больших чисел Рейнольдса квазипластического механизма переноса импульса, в [22] проведено исследование статистики флуктуаций при формировании множественных многомасштабных неустойчивостей пластического сдвига. Эксперимент на квазистатическое одноосное на-гружение (с постоянной скоростью деформации) был проведен для образца из алюминиевого сплава 5454. На рис. 15 представлена диаграмма деформирования образца, иллюстрирующая существование спектра амплитуд флуктуаций напряжения пластического течения, обнаруживающих качественные различия для различных стадий деформирования.
Плотность функции распределения флуктуаций напряжения пластического течения а в аналогичных переменных, ^ f ~(а-а)/Ва, вычислялась для среднего участка деформационной диаграммы (~225-245 МПа) с выраженной перемежаемостью флуктуаций напряжения пластического течения. Сопоставление плотностей функций распределения для флуктуаций момента и напряжений пластического течения рассматриваемого сплава представлено на рис. 16. Соответствие зависимостей плотности функции распределения флуктуаций напряжений пластического течения в сплаве и флуктуаций момента при развитом турбулентном течении жидкостей позволяет высказать предположение о «квази-
Рис. 15. Экспериментальная кривая для одноосного растяжения сплава 5454 для экстензометра (1) и перемещения захватов (2)
пластическом» механизме развития неустойчивостей, лежащих в основе закономерностей скейлинга при турбулентном течении жидкостей при больших числах Рейнольдса.
7. Обсуждение результатов
Закономерности скейлинга в процессах деформирования и разрушения конденсированных сред (твердых и жидких), обнаруживающие степенные функциональные зависимости, по-видимому, не являются случайными и связываются с проявлениями специального типа критического поведения (структурно-скейлинговыми переходами), наблюдаемыми в ансамблях мезоскопи-ческих дефектов и обусловленных ими механизмах «структурной» релаксации. Учитывая существенную неравновесность процессов пластичности, разрушения и турбулентности, закономерности скейлинга естественно связать с автомодельным промежуточно-асимптотическим поведением сред, «повторяющим» себя на изменяющихся масштабах. Важными признаками автомо-
Рис. 16. Плотность функции распределения (PDF) флуктуаций напряжения пластического течения сплава 5454 при различных скоростях деформации 8 = 0.01 (1) и 0.02 с-1 (2) [22] и флуктуаций момента в жидкости (течение Кармана) в инерционном интервале турбулентности [48] (3)
дельного поведения являются существование масштабов, зависящих от параметров автомодельных решений, и возможность введения «автомодельных переменных», позволяющих «приведение» динамики или статистического поведения системы к стационарному (универсальному) виду. Рассмотренные выше случаи устанавливают соответствие конкретных типов автомодельных решений (автосолитонного, «обостряющегося» типа) со степенной универсальностью и устойчивостью упруго-пластических фронтов, универсальностью пространственно-временны х сценариев фрагментации и статистических распределений флуктуаций напряжений пластического течения в сплавах и флуктуаций момента при турбулентном течении жидкостей, автомодельных сценариев кинетики распространения трещин и развития откольного разрушения (слабая зависимость времени разрушения от амплитуды импульса и подобие морфологии поверхностей разрушения при формировании множественных зеркальных зон).
Представления о неполной автомодельности и роли промежуточно-асимптотических закономерностей, подчиняющих многомасштабное поведение системы в рамках некоторых единых сценариев, предполагают, по-видимому, описание механизмов структурной релаксации, переноса импульса и диссипации, обусловленных ме-зоскопическими носителями, когда качественным образом изменяется характер взаимодействия на пространственных и временных масштабах, определяемых параметрами автомодельных решений. Показательным примером в данном случае являются закономерности развития пластичности, когда физические особенности механизма переноса импульса при пластической деформации заключаются в том, что дислокационные носители пластической деформации (в нашем случае микросдвиги) движутся в поле консервативных (упругих) сил. Этот факт составляет принципиальное отличие необратимой деформации, обусловленной перестройкой дислокационной структуры, от традиционно рассматриваемого механизма необратимой деформации при вязком течении жидкостей по аналогии с газами как механизма диффузии импульса. Проявления сдвиговой упругости в жидкостях, степенная универсальность волновых фронтов и близость статистических распределений флуктуаций напряжений пластического течения в сплавах и момента сопротивления при развитом турбулентном течении в тесте Кармана позволяют высказать предположение о квазипластическом механизме развития неустойчивости при турбулентном течении жидкостей в области больших чисел Рейнольдса. При этом масштабная универсальность может быть связана с формированием множественных автосолитонных мод пластической неустойчивости в условиях структурно-скей-линговых переходов. Качественное изменение механизмов «структурной релаксации» при переходе от автосо-
литонных мод (локализованных сдвигов, порождающих многомасштабные вихревые структуры) к спектру «обостряющихся» диссипативных структур может быть связано с переходом от инерционного к диссипативному интервалу с пространственно-временными закономерностями скейлинга, соответствующими установленным типам промежуточно-асимптотических автомодельных решений.
Автор выражает благодарность Ю.В. Баяндину, М.М. Давыдовой, И.А. Пантелееву, О.А. Плехову, М.А. Соковикову, С.В. Уварову и сотрудникам лаборатории за ценные обсуждения при написании данной работы.
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 14-19-01173).
Литература
1. Баренблатт М.М., Зельдович Я.Б. Промежуточные асимптотики в математической физике // Успехи математических наук. - 1971. -Т. 26. - № 2. - С. 45-61.
2. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. - Л.: Гидрометеоиздат, 1982. - 255 с.
3. Naimark O.B. Defect Induced Transitions as Mechanisms of Plasticity and Failure in Multifield Cintinua // Advances in Multifield Theories of Continua with Substructure / Ed. by G. Capriz, P. Mariano. -Boston: Birkhauser, 2004. - P. 75-114.
4. Баренблатт Г.И., Ботвина Л.Р. Автомодельность усталостного разрушения. Накопление повреждаемости // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1983. - № 4. - С. 161-165.
5. Наймарк О.Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластичности и разрушения // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - C. 45-72.
6. Наймарк О.Б., Баяндин Ю.В., Леонтьев В.А., Пермяков С.Л. О термодинамике структурно-скейлинговых переходов при пластической деформации твердых тел // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. -№ 5. - С. 23-29.
7. Наймарк О.Б. Структурно-скейлинговые переходы в твердых телах с дефектами и некоторые симметрийные аспекты теории поля // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - № 5. - С. 113-126.
8. Kurdyumov S.P. Evolution and self-organization laws of complex systems // Int. J. Mod. Phys. - 1988. - V. 1. - No. 4. - P. 299-327.
9. Беляев В.В., Наймарк О.Б. Кинетика многоочагового разрушения при ударно-волновом разрушении // Докл. АН СССР. - 1990. -Т. 312. - № 2. - С. 289-293.
10. Баяндин Ю.В., Наймарк О.Б. Экспериментальное и теоретическое исследование автомодельной структуры пластического фронта ударных волн в конденсированных средах // Физ. мезомех. -2004. - Т. 7. - Спец. вып. - Ч. 1. - С. 305-308.
11. Barker L.M. Behavior of Dense Media under High Pressures. - New York: Gordon and Breach, 1968. - 483 p.
12. Сахаров А.Д., Зайдель Р.М., Минеев В.Н., Олейник А.Г. Экспериментальное исследование устойчивости ударных волн и механических свойств вещества при высоких давлениях и температурах // Докл. АН СССР. - 1964. - Т. 159. - № 5. - С. 1019-1022.
13. Gilman J.J. Mechanical States of Solids // Shock Compression of Condensed Matter, 2001 / Ed. by M.D. Furnish, N.N. Thadhani, Y. Horie. - Melvil, N.Y.: Amer. Inst. of Physics, 2002. - P. 36-39.
14. Swegle J.W., Grady D.E. Shock viscosity and the prediction of shock wave rise times // J. Appl. Phys. - 1985. - V. 58. - No. 2. - P. 692701.
15. Asay J.R. The use of shock-structure methods for evaluating high-pressure material properties // Int. J. Impact Eng. - 1997. - V. 20. -C. 27-61.
16. Huang H., Asay J.R. Compressive strength measurements in aluminium for shock compression over the stress range of 4-22 GPa // J. Appl. Phys. - 2005. - T. 98. - P. 33524(1-9).
17. Bayandin Yu.V., Naimark O.B., Leont'ev V.A., Permjakov S.L. Experimental and theoretical study of universality of plastic wave fronts and structural scaling in shock loaded copper // J. Phys. IV France. -2006. - V. 134. - P. 1015-1021.
18. Баяндин Ю.В., Наймарк О.Б., Asay J.R. Численное моделирование и анализ автомодельной структуры ударных волн // Физика экстремальных состояний вещества. - Черноголовка: ИПХФ, 2006. -С. 92-94.
19. Zuev L.B., Danilov V.I., Barannikova S.A., Zykov I.Yu. Plastic flow localization as a new kind of wave processes in solids // Mat. Sci. Eng. A. - 2001. - V 319-321. - P. 160-163.
20. Naimark O.B. Structural-scaling transition in mesodefect ensembles as mechanism of relaxation and failure in shocked and dynamically loaded materials (experimental and theoretical study) // J. Phys. IV. France. - 2006. - V 134. - P. 3-9.
21. Наймарк О.Б., Ладыгин В.В. Неравновесные кинетические переходы как механизмы локализации пластической деформации // ПМТФ. - 1993. - № 3. - С. 121-137.
22. ПантелеевИ.А., Froustey C., Наймарк О.Б. Структурно-скейлин-говые переходы и универсальность статистики флуктуаций при пластическом течении металлов // Вычислительная механика сплошных сред. - 2009. - Т. 2. - № 3. - С. 70-81.
23. Наймарк О.Б., Баяндин Ю.В., Леонтьев В.А., Пантелеев И.А., Плехов О.А. Структурно-скейлинговые переходы и некоторые термодинамические и кинетические эффекты в материалах в объемном субмикро- (нано-)кристаллическом состоянии // Физ. мезо-мех. - 2009. - Т. 12. - № 4. - С. 47-59.
24. Naimark O.B., Davydova M.M. Crack initiation and crack growth as the problem of localized instability in microcrack ensemble // J. Phys. -1996. - V. 6. - P. 259-267.
25. Наймарк О.Б., Давыдова M.M., Плехов О.А., Уваров С.В. Экспериментальное и теоретическое исследование динамической стохас-тичности и скейлинга при распространении трещины // Физ. ме-зомех. - 1999. - Т. 2. - № 3. - C. 47-58.
26. Naimark O.B., Uvarov S.V. Nonlinear crack dynamics and scaling aspects of fracture (experimental and theoretical study) // Int. J. Fracture. - 2004. - V 128. - P. 285-292.
27. Давыдова M.M., Уваров С.В., Наймарк О.Б. Масштабная инвариантность при динамической фрагментации кварца // Физ. мезо-мех. - 2013. - Т. 16. - № 4. - С. 129-136.
28. Давыдова М.М., Уваров С.В., Наймарк О.Б. Пространственно-временная масштабная инвариантность при динамической фрагментации квазихрупких материалов // Физ. мезомех. - 2015. -Т. 18. - № 1. - C. 100-107.
29. Беллендир Е.Н., Беляев В.В., Наймарк О.Б. Кинетика многоочагового разрушения в условиях откола // Письма в ЖТФ. - 1989. -Т. 15. - № 3. - С. 90-93.
30. Наймарк О.Б., Беляев В.В. Кинетика накопления микротрещин и природа стадийности процесса разрушения при ударном нагру-жении // ФГВ. - 1989. - Т. 25. - № 4. - С. 115-123.
31. Галин Л.А., Черепанов Г.П. О самоподдерживающемся разрушении напряженного хрупкого тела // Докл. АН СССР. - 1966. -Т. 167. - С. 543-546.
32. Rasorenov S.V., Kanel G.J., Fortov V.E., Abasenov M.M. The fracture of glass under high-pressure impulsive loading // High Pressure Res. - 1991. - V. 6. - P. 225-232.
33. Bourne N., Millett J., Rosenberg Z., Murray N. On the shock induced failure of brittle solids // J. Mech. Phys. Solids. - 1998. - V.46.-P. 1887-1908.
34. Naimark O.B, Uvarov S.V, Radford D.D., Proud W.G, Field J.E, ChurchP.D., CullisI., Andrews T.D. The Failure Front in Silica Glasses // Behavior of Dense Media under High Dynamic Pressures / Ed. by A. Dulpech. - Cambridge: Cambridge University, 2003. - V. 2. - P. 6574.
35. Barenblatt G.I. Scaling phenomena in fatigue and fracture // Int. J. Fract. - 2004. - V. 138. - No. 1. - P. 19-35.
36. Lataillade J.-L., Naimark O.B. Mesoscopic and nonlinear aspects of dynamic and fatigue failure (experimental and theoretical results) // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - № 4. - C. 55-66.
37. Froustey C., Naimark O., Bannikov M., Oborin V. Microstructure scaling properties and fatigue resistance of pre-strained aluminium alloys (part 1: AleCu alloy) // Eur. J. Mech. A. Solid. - 2010. - V.29.-P. 1008-1014.
38. BannikovM., Oborin V., Naimark O., Froustey C. Long-range-correlation large-scale interactions in ensembles of defects: Estimating reliability of aluminum alloys under dynamic cycling and fatigue loading conditions // Tech. Phys. Lett. - 2011. - V. 37. - No. 3. - P. 241-243.
39. Bannikov M., Oborin V., Naimark O., Palin-Luc T. Scaling invariance of fatigue crack growth in gigacycle loading regime // Tech. Phys. Lett. - 2010. - V. 36. - No. 11. - P. 1061-1063.
40. Evans D.J., Hovard J., Hanley M., Hess S. NonNewtonian phenomena in simple fluids // Phys. Today. - 1984. - V. 37(1). - No. 26. -P. 26-33.
41. Derjagin B.V., Rabinovich Y.I., Churaev N.V. Direct measurement of molecular forces // Nature. - 1978. - V. 272. - P. 313-318.
42. Derjagin B. V., Bazaron U.B., Zandanova K.T., Budaev O.R. The complex shear modulus of polymeric and small-molecule liquids // Polymer. - 1989. - V. 30. - P. 97-103.
43. ФренкельЯ.И. Кинетическая теория жидкости. - Л.: Наука, 1975. -C. 592.
44. Минеев В.Н., Зайдель Р.М. Вязкость воды и ртути при ударном нагружении // ЖЭТФ. - 1968. - Т. 54. - № 6. - С. 1634-1639.
45. Наймарк О.Б. Неравновесные структурные переходы как механизм турбулентности // Письма в ЖТФ. - 1997. - Т. 23. - № 13. -С. 81-87.
46. Наймарк О.Б. Неустойчивости в конденсированных средах, обусловленные дефектами // Письма в ЖЭТФ. - 1998. - T. 67. - № 9. -C. 751-757.
47. Банникова И.А., Уваров С.В., Баяндин Ю.В., Наймарк О.Б. Экспериментальное исследование неньютоновских свойств воды в условиях электровзрывного нагружения // Письма в ЖТФ. - 2014. -Т. 40. - № 17. - C. 87-93.
48. Богач А.А., Уткин А.В. Прочность воды при импульсном растяжении // ПМТФ. - 2000. - Т. 41. - № 4. - С. 198.
49. LabbeR., Pinton J.-F., FauveS. Power fluctuations in turbulent swirling flows // J. Phys. II. - 1996. - V. 6. - P. 1099-1110.
50. Bramwell S.T., Holdsworth P.C. W., Pinton J.-F. Universality of rare fluctuations in turbulence and critical phenomena // Nature. - 1998. -V. 396. - No. 10. - P. 552-554.
51. Portelli B., Holdsworth P.C. W., Pinton J.-F. Intermittency and non-Gaussian fluctuations of the global energy transfer in fully developed turbulence // Phys. Rev. Lett. - 2003. - V. 90. - No. 10. - P. 104501 (1-4).
52. Eyink G., Goldenfeld N. Analogies between scaling in turbulence, field theory, and critical phenomena // Phys. Rev. E. - 1994. - V.50.-No. 6. - P. 4679-4683.
53. L'vov V.S. Universality of turbulence // Nature. - 1998. - V. 396. -P. 519-523.
Поступила в редакцию 26.09.2014 г.
Сведения об авторе
Наймарк Олег Борисович, д.ф.-м.н., зав. лаб. ИМСС УрО РАН, naimark@icmm.ru
