CC BY
58
УДК 531, 538.9
Многомасштабные статистические закономерности динамической фрагментации
О.Б. Наймарк, С.В. Уваров, М.М. Давыдова, И.А. Банникова
Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, 614013, Россия
Многомасштабные закономерности динамической фрагментации анализируются на основе феноменологических статистических распределений, статистических моделей, учитывающих роль волновых эффектов при формировании размеров фрагментов. Обсуждается связь симметрийных (калибровочных) подходов с моделированием сред с дефектами с учетом автомодельных (сингулярных) решений полей напряжений и плотности дефектов. Изучается связь проявлений «критичности» при многомасштабной эволюции дефектов со статистическими закономерностями фрагментации.
Ключевые слова: распределение Мотта, распределение Греди, автомодельные зависимости
Multiscale statistical laws of dynamic fragmentation
O.B. Naimark, S.V. Uvarov, M.M. Davydova, and I.A. Bannikova
Institute of Continuous Media Mechanics UrB RAS, Perm, 614013, Russia
Dynamic fragmentation scaling is analyzed using basic statistical distributions and statistical models that take into account the role of wave effects on the fragment size. The application of symmetry analysis to the modeling of solids with defects based on self-similar solutions for stress and defect density fields is discussed. Fragmentation statistics is described as critical phenomena during evolution of the defect system.
Keywords: Mott distribution, Grady distribution, self-similar dependencies
1. Введение
Проблема фрагментации по своей фундаментальной значимости охватывает широкий класс физических явлений и масштабов — от пластического и хрупкого разрушения материалов (металлы, стекла, керамика и др.) до разделения в условиях высокоэнергетического соударения атомных ядер и фрагментации комет в поле сил гравитации. Разнообразие физических проявлений фрагментации при описании традиционно сводится к построению статистических теорий, учитывающих число фрагментов и их распределение по размерам. Однако статистические распределения фрагментов отражают важные, но далеко не единственные закономерности фрагментации как физического явления, относящегося к фундаментальным многомасштабным проблемам теории поля. Фундаментальные аспекты разрушения материалов являются центральными в понимании природы фрагментации и связаны с учетом симметрийных и энергетических закономерностей, определяющих раз-
меры фрагментов, их статистических распределений в зависимости от свойств материалов и интенсивности нагружения. Процесс фрагментации демонстрирует признаки критического явления и требует анализа поведения материала в зависимости от величины энергетического воздействия вблизи «критической точки» [13], соответствующей переходу от дефектного материала к фрагментированному, и исследования процесса фрагментации вдали от «критической точки» в условиях значительных энергетических воздействий на материал. Закономерности «критического поведения» при фрагментации исследуются на основе анализа статистических распределений фрагментов в зависимости от свойств (пластичный, хрупкий), исходной структуры (пористость) материала, интенсивности нагружения (величина энергии, затраченной на разрушение) [2, 47], размерности объекта [8].
Закономерности фрагментации отражают пространственно-временную динамику развития дефектов с яв-
© Наймарк О.Б., Уваров C.B., Давыдова М.М., Банникова И.А., 2017
ными признаками сингулярности процесса на завершающей стадии (разрушение), что характерно для неравновесных критических систем. При этом «полевые» аспекты сингулярности (формирование областей локализованной поврежденности, зарождение и распространение трещин, разделение среды на фрагменты) являются следствием сингулярной природы дефектов на различных масштабных уровнях. Это обстоятельство отражено в попытках континуального описания дефектов на основе теории калибровочных полей [9, 10], в формулировке условий распространения трещин с использованием инвариантных энергетических соотношений, например введением обобщений понятия J-интеграла для среды с дефектами [11], при разработке статистико-термодинамического описания и полевой теории, учитывающей связь нелинейной динамики сред с дефектами со специальным типом критического поведения — структурно-скейлинговыми переходами и формированием многомасштабных коллективных мод ансамблей дефектов, определяющих стадийность перехода к разрушению [10].
Важным моментом является установление связи статистических распределений с «калибровочными» инвариантами, симметрийными соображениями и законами сохранения континуума с дефектами. В [11], следуя, по-видимому, первым публикациям [12, 13] для лагранжиана среды с дефектами, введен так называемый ^-интеграл, обобщающий понятие инвариантного J-интеграла для среды с дефектами. При этом отмечается, что теория калибровочных полей континуума с дефектами является полевым представлением теорий обобщенного континуума и теоремы Нетер, которая сформулирована для систем, обладающих функционалом действия, и выражает инвариантность лагранжиана относительно непрерывной группы преобразований. Введенный ^-интеграл играет роль инвариантного интеграла для динамической системы с дефектами, определяет скорость уменьшения энергии, трещинодвижу-щую силу при распространении трещины в среде с дефектами. Принципиально важным при этом является определение коллективных многомасштабных переменных среды с дефектами [14, 15], динамика взаимодействия которых между собой и с макроскопической трещиной определяет распространение последней. Роль данных переменных применительно к различным сценариям разрушения, включая сценарии фрагментации, также важна в связи с основным следствием теоремы Нетер о соответствии динамики полевых переменных связанным с ними законам сохранения, что может качественным образом влиять на пространственно-временные закономерности развития фрагментации.
2. Статистические закономерности фрагментации
Статистические закономерности фрагментации связаны с фундаментальными аспектами разрушения, име-
ющими отношение к природе сингулярностей, характерных для критических явлений (процессов формирования «новой фазы»), которые по отношению к процессам разрушения сопровождаются зарождением дефектов, их многомасштабным взаимодействием, приводящим к зарождению и распространению трещин [16, 17]. Применительно к процессам фрагментации это проявляется в качественном изменении статистических распределений фрагментов по размерам (массе) в зависимости от структуры материала и интенсивности на-гружения. Эмпирически установленные статистические закономерности фрагментации описываются экспоненциальным, логарифмически нормальным, степенным распределением, законом Вейбулла [18, 19]. Известны также комбинированные распределения (например распределение Гилварри [20, 21]), используемые для описания широкого класса явлений фрагментации: от фрагментации пластичных (кольцевых) образцов до «фрагментации» масс во Вселенной [22, 23]. Данные виды распределений отражают два механизма разрушения как критического явления: механизм зарождения и роста трещин и сценарии «самоподдерживающейся» фрагментации, обусловленной коллективными процессами в ансамбле дефектов при формировании многомасштабных (сингулярных) взаимодействующих коллективных мод дефектов (очагов трещин) [24, 25]. Наблюдаемые экспериментально распределения фрагментов по размерам могут соответствовать как относительно узким экспоненциальным распределениям, так и степенным законам, охватывающим до нескольких порядков размеров фрагментов. В [26, 27] отмечается, что статистика фрагментов по размерам при динамическом нагружении обнаруживает степенные закономерности, аналогичные наблюдаемым для систем в условиях развитой турбулентности. Это свидетельствует о наличии асимптотических режимов разрушения, которые могут быть связаны с автомодельными закономерностями развития поврежденности, характерными для неравновесных критических систем. Процессы разрушения и, как следствие, фрагментации существенно различаются для жидкостей, пластичных металлов и хрупких материалов [27].
Учитывая, что каждый элементарный акт фрагментации представляет достаточно сложный процесс и число таких событий велико, статистические представления фрагментации часто основаны на абстрагировании от физического механизма фрагментации и формулировке «эффективного» сценария фрагментации. Впервые такой сценарий был предложен А.Н. Колмогоровым [28] при описании процесса фрагментации как дискретного случайного процесса, обнаруживающего масштабную инвариантность: каждый акт разрыва приводит к уменьшению характерной длины фрагмента г, г —^ аг, в соответствии со значением случайного множителя а (0 < а < 1), определяемого плотностью рас-
пределения q(а):
1
| q(a ^а = 1.
о
Основным результатом описания последовательности разрывов как дискретного случайного процесса являлся вывод о ^-нормальном распределении фрагментов. В развитие представлений Колмогорова в [26] предложено рассматривать фрагментацию как непрерывный эволюционный процесс по аналогии с турбулентными каскадами в присутствии перемежаемости и формированием при больших значениях локальных деформаций «диссипативного» интервала с признаками масштабной инвариантности. Комбинированные виды распределений соответствуют сценариям неоднородной фрагментации, демонстрирующей различные статистические распределения больших и малых фрагментов, которые описываются бимодальными, а в некоторых случаях, мультимодальными распределениями. Представляет интерес сопоставление результатов феноменологических статистических подходов в теории фрагментации, заложенных основополагающими работами Н.Ф. Мот-та [29, 30], с экспериментальными результатами, отражающими статистическую динамику многомасштабной фрагментации, характерную для поведения неравновесных критических систем в условиях специального типа критических явлений твердых тел с дефектами — струк-турно-скейлинговыми переходами [10, 15].
2.1. Статистическая теория фрагментации Мотта
Н.Ф. Моттом применительно к взрывному разрушению пластичных оболочек была разработана статистическая теория динамической фрагментации [29, 30]. Теория фрагментации Мотта предсказывает два ключевых следствия динамического разрушения: распределение фрагментов по размерам и «управляющий» распределением масштаб, эквивалентный среднему размеру фрагментов. Постановка динамического разрушения и фрагментации, рассмотренная Н.Ф. Моттом, соответствовала деформированию при расширении кольцевого образца, в котором реализуется одноосное деформирование с постоянной скоростью деформации ё. Разрушение анализировалось в приближении идеально-пластического тела — пластическое деформирование при постоянном напряжении течения У. Разрушение, происходящее в растягиваемом образце, приводит к распространению волн разгрузки (волн Мотта) от координаты разрушения. Распространение волн Мотта определяется свойствами материала (У, р) и описывается уравнением движения
• dx рех— = Y, dt
(1)
= 0,
(2)
дит, а в точках разрыва напряжение снижается до нуля, что равносильно неучету затрат энергии на развитие разрушения. Распространение пластической волны напряжений Мотта определяется параболическим уравнением
д2а 1 да Эк2 к дt
где коэффициент «диффузии» равен к = ^(2рё). Статистическая природа разрушения при этом связывается с характерными размерами фрагментов и распределением их по размерам, которые определяются, наряду с существующими дефектами, распространением волн Мотта от зон разрушения. Размер фрагмента, охваченного волной разгрузки, находится из соотношения
х = 7 2К/(Рё).
Статистика фрагментации определяется конкуренцией формирования зон разрыва, инициируемых волнами разгрузки, и разрывами, происходящими в теле случайным образом в условиях однородной нагрузки. Введение дополнительного условия, что разрушение в момент t = 0 и h = 0 уменьшает растягивающее напряжение от а = У до а = 0, приводит к решению
а=ег^)
и скорость и описывается как -щ; = ^ехрК2) +
где £ = к/л/ 4И — параметр автомодельности.
Обобщение теории Мотта на случай «упругопласти-ческой фрагментации», предложенное в [31], определяет расстояние, на котором волна разгрузки уменьшается до нуля в соответствии с соотношением 2Y
к = — = к, рсё
и допускает полиномиальное обобщение к = пк, t = п2к/с, п = 1,2,3....
Скорость распространения «сегментов» в этом случае определяется соотношением
с
сп =-.
п 2п -1
2.2. Учет энергии разрушения. Обобщение модели Мотта
Развитие физических принципов фрагментации, сформулированных Моттом, предложено в цикле работ Грэди с соавторами [8, 18, 19] на основе введения «энергии разрушения» в форме Дагдейла:
определяющим положение х фронта волны Мотта в момент t. Предполагается, что внутри области, охваченной волной разгрузки Мотта, разрушение не происхо-
Г = Y
где ус — расстояние, на котором растягивающие напряжения уменьшаются до нуля. Уравнение движения (1)
в этом случае принимает вид . dx Y2
рех d7=2Г y
(3)
где смещение, обусловленное раскрытием трещины определяется уравнением
dy
dt
- = ex.
(4)
Уравнения (3), (4) позволяют получить оценку времени разрушения и соответствующую ему координату разрушения:
( 72РГ2 ^ Y 3è
( зг v/3
ре
2.3. Статистическое обоснование. Распределение Мотта
Статистическая модель Мотта основана на предположении о том, что функция вероятности разрушения Х(е) в зависимости от деформации е определяет вероятность разрушения на длине d/ на интервале dе. Приращение разрушенных элементов dN по отношению к числу разрушенных элементов N определяется соотношением
— = -Х(еМе, N
откуда следует распределение Мотта
N = ^,ехр (-[Х(е)ае). (5)
Уравнение (5) дает кумулятивный закон распределения разрушения для единицы длины элемента при деформации е:
F (е) = 1 - ехр (-[Х(е)ае).
Соответствующая F(е) функция плотности вероятности определяется соотношением дF (е)
f (е) = -
Эе
- = (1 - F Же),
(6)
известным в статистическои теории надежности как вероятность катастрофического разрушения.
Н.Ф. Моттом были предложены три аналитические формы «функции катастроф» X(e):
X(e) = X 0 = const,
X(e) = "f-iT \n > 1), (7)
а^а J
X(e) = ^exp(ye),
где n, а, X, A — параметры распределения. Постоянная функция катастроф приводит к известному экспоненциальному распределению вероятностей; степенная функция — к распределению ВеИбулла для разрушающих напряжении; экспоненциальная зависимость является асимптотическим случаем распределения ве-роятностеи максимальных значении.
Динамическое разрушение и фрагментация могут рассматриваться как многомасштабный статистический процесс структурных превращений, включающий пространственно-временные случайные события зарождения и роста поврежденности, которые по ряду признаков аналогичны явлениям зарождения и роста новой фазы, таким как плавление, рекристаллизация, реакции детонации. В развитие статистических представлений Мотта в [18, 19] были предложены статистические распределения, отражающие физические механизмы, лежащие в основе многомасштабных закономерностей фрагментации.
2.4. Распределение Гилварри
Данное распределение представляет собой комбинацию экспоненциального и степенного законов и при малых размерах фрагментов переходит в степенное распределение. Для трехмерного тела объемом У0 (массой М0, плотностью р0) распределение геометрически подобных фрагментов п(х) со средним размером х описывается как
n(x) = ^ x~3 exp(-Q), Л0
(8)
где Х0 — объемный форм-фактор фрагментов; Q(x) — число фрагментообразующих трещин внутри фрагмента размером х, определяемое выражением
Q( х) = ф + (х^ )2 + (ф )3, (9)
где I, j, k — параметры с размерностью длины, определяющие плотность числа трещин объемного, поверхностного или реберного типа. Проведенный в [5] анализ показал, что данное распределение имеет более широкую область применения, чем линейное экспоненциальное или степенное распределение.
2.5. Распределение Грэди
Широко используемым видом распределений является бимодальное распределение Грэди [8, 18, 19], позволяющее описать статистические закономерности фрагментации для достаточно широкого класса явлений. Соотношение Грэди ориентировано на описание распределений относительно крупных фрагментов, формирование которых определяется условиями роста трещин Гриффитса (Ирвина). Распределение Грэди определяется соотношениями
Mo
V
-exp
С m ^
N(> m) = N0 exp
гм ^
(10)
где Ы0 = М 0/ ц — априорное число фрагментов; ц — масштабный коэффициент. В качестве переменной т используется масса, площадь или линейный размер фрагмента в зависимости от геометрической размерности разрушаемого объекта. Для геометрически подобных фрагментов со средним размером не более х
кумулятивный объем фрагментов определяется соотношением
V (< х)
Va
= 1 -
1+
exp
где а = 1, 2, 3; i — параметр размерности длины. Однако данное распределение имеет ограниченное применение в области малых масштабов х.
2.6. Сопоставление с данными экспериментов
Данные по динамическому разрушению азимутальным растяжением тонких колец из пластичных материалов (алюминий, медь) демонстрируют ограниченное количество мелких фрагментов в связи с формированием пластических шеек и фрагментообразующих трещин, что проявляется в завышенных расчетных распределениях в области «крупнодисперсного хвоста» и связывается с конечной скоростью развития фрагменто-образующих трещин. Применение распределения (8) при увеличении интенсивности нагружения (взрывное разрушение колец из алюминия) и динамическая фрагментация тонких стеклянных стержней обнаруживают хорошее соответствие экспериментальных данных распределению Гилварри и следованию «крупнодисперсной» и «мелкодисперсной» мод экспоненциальным и степенным частям бимодального распределения. Обработка данных динамической фрагментации тонкого листа плавленого кварца сосредоточенным нормальным усилием показала соответствие расчетных кривых распределениям Мотта, Грэди и Гилварри при различном числе параметров [5]. Сопоставление с данными вычислительного эксперимента по разрушению двумерных атомных структур при гомогенном адиабатическом растяжении предварительно нагретой системы демонстрирует хорошее соответствие с распределением Гил-варри в области мелкомасштабной (степенной) моды [22]. Фрагментация ядерной материи анализировалась в условиях столкновении ядер с релятивистскими скоростями (характерные времена 10-22 с), когда наблюдается фрагментация сгустка сверхплотной материи [32] на ядерном масштабе размеров, времен и энергий. Величина отношения длин свободного пробега нуклонов и размера сгустка позволяет проанализировать процесс фрагментации в приближении сплошной среды. Показано, что распределение Гилварри качественно правильно описывает статистическую компоненту разрушения ядерной материи.
Анализ приведенных случаев фрагментации в рамках эмпирических распределений, без учета многомасштабных коллективных эффектов инициирования, роста дефектов, зарождения и распространения трещин является причиной ограниченного применения данных подходов в проблеме фрагментации в широком диапазоне интенсивностей нагружения.
3. Влияние интенсивности нагружения на статистические закономерности фрагментации
Калибровочная природа полевых представлений твердых тел с дефектами, обуславливающая симмет-рийные свойства процессов фрагментации, была положена в основу статистико-термодинамического описания сред с дефектами и континуальных моделей, связывающих механизмы структурной релаксации, пластичности и стадийность разрушения.
Структурные переменные, ассоциированные с типичными мезоскопическими дефектами, микротрещинами и микросдвигами, были введены в [10] в соответствии с представлениями теории калибровочных полей как нарушение локальной симметрии полей дисторсии. Эти дефекты описываются симметричными тензорами вида sik = svivk для случая микротрещин и sik = 1/2s X х(V 1к +^ vk) для микросдвигов. Здесь V — единичный вектор нормали к основанию микротрещины или площадки сдвига; 1 — единичный вектор в направлении сдвига; 5 — объем микротрещины или интенсивность сдвига. Усреднение микроскопического тензора sik дает макроскопический тензор плотности микротрещин и микросдвигов рЛ = п{sik ), который совпадает по смыслу с деформацией, обусловленной дефектами, п — концентрация дефектов.
Исследование распределения микротрещин и микросдвигов по размерам в деформированных материалах обнаружило черты статистической автомодельности в пространственных распределениях этих дефектов на различных масштабных уровнях [33]. Статистическая автомодельность, проявляющаяся в универсальности функции распределений дефектов, показала возможность введения двух характерных пространственных масштабов для среды с дефектами: расстояние между дефектам Lsc = и размер дефекта 18С. Отношение этих двух масштабов, в свою очередь, позволяет ввести структурную переменную 8 ~ (Lsc/ 18С )3, обеспечивающую наблюдаемую в эксперименте статистическую автомодельность. Статистическое описание позволило предложить феноменологию твердого тела с дефектами, основанную на представлении неравновесной свободной энергии F, отражающем качественное изменение нелинейного поведения ансамбля дефектов для соответствующих значений параметра структурного скейлинга 8, характеризующего текущую восприимчивость материала к росту дефектов [10]:
F = 1/2А(1 -8/8»)р2 -14ВР4 +16С(1-8/8с)р£ -
- Баара +х(У,рЛ )2. (И)
Точки бифуркации 8», 8С играют роль, аналогичную характеристическим температурам в теории фазовых переходов Ландау. Градиентный член в (11) описывает эффекты нелокальности в ансамбле дефектов, А, В, С,
D и х — феноменологические параметры. Кинетическое уравнение для тензора плотности дефектов следует из эволюционного неравенства 8^St = 8р ф/dt < < 0 [3]:
( ( 8 1 „з X 8 ^
dPik dt
= -Г
1 --
8»
V V
- D^ik -
Pik -BPik + C
дРа
1 --
8
Рik
dxl dxl
(12)
; j
где Г — кинетический коэффициент.
Данное уравнение имеет различные групповые свойства в соответствующих диапазонах параметра структурного скейлинга 8, определяемые видом нелинейности неравновесного потенциала F, включая тип метастабильности. При 8 — 8» происходит вырождение решений, характерных для параболического уравнения с нелинейным источником, и последнее трансформируется в волновое решение автосолитонного типа р(0 = р( х - ^) для бистабильного потенциала. Этот переход сопровождается резким изменением коллективной ориентационной моды дефектов и расходимостью внутреннего масштаба по регулярному сценарию. Амплитуда волны, ее ширина и скорость волнового фронта определяются параметрами метастабильного перехода
4 их
p = 2pa [1-th(Z l-1)],
l =-
12
(13)
V = хА(Ра - Рт )№, где (ра - рт) — скачок величиныр в ходе метастабильного перехода. Формирование пространственно локализованных волновых структур, фронты которых соответствуют «ориентационному переходу» в ансамблях дефектов, позволяет связать кинетику формирования этих структур с механизмами пластической релаксации (локализацией пластической деформации).
Переход через точку бифуркации 8е сопровождается очередным изменением групповых свойств уравнения (3), что приводит к появлению пространственно-временных структур качественно нового типа, описывающих «взрывное» накопление дефектов (так называемые режимы с обострением [34, 35]) при t — ts на спектре пространственных масштабов LH = k = 1, 2, ..., К. Для данного типа уравнений, как показано в [34], развитая стадия кинетики р > ре при t — ts описывается автомодельным решением
p(x, t) = ф(*)f (Z), Z = ^, Ф(0 = Фс
f
V
1-
(14)
где т > 0, Ф0 > 0 — параметры, определяемые показателями нелинейности потенциала (1); Ls и ¿8 — параметры скейлинга. Функция / (£) может быть определена в ходе решения нелинейной задачи определения собственных значений [35]. Подчинение кинетики роста де-
фектов режиму с обострением соответствует сценариям автомодельности второго рода с вырождением масштабов, сформированных коллективными автосолитонны-ми модами, но уже в нерегулярном (асимптотическом) режиме. Формирование структур обострения обеспечивает наиболее эффективный канал диссипации, который может быть связан в сплошной среде с зарождением очагов макроскопического разрушения (трещин) в твердых телах. Автосолитонная динамика распространения коллективных мод ансамблей дефектов, определяющая механизм структурной релаксации, и связанный с ней волновой характер распространения пластической волны объясняют природу волн Мотта, инициированных областью «разгрузки» при формировании очага разрушения (диссипативной структуры «обострения»). Масштаб инициирования последующего разрыва (аналог масштаба Мотта) определяется координатой трансформации автосолитонной моды в структуру обострения. Установленный вид неравновесного потенциала в терминах введенных переменных и типов многомасштабных коллективных мод отражает калибровочную инвариантность сред с дефектами и изменение симметрий-ных свойств системы в соответствии с типами коллективных мод ансамблей дефектов. Отметим, что параметр структурного скейлинга характеризует текущую восприимчивость материала к росту дефектов, которая качественным образом изменяет групповые свойства уравнений эволюции, типы коллективных мод и, соответственно, симметрийные свойства системы. Коллективные моды дефектов, являясь автомодельными решениями, наряду с калибровочными инвариантами (в терминах J-интеграла), определяют разнообразие сценариев фрагментации, которые обсуждаются ниже на основе данных оригинальных экспериментов.
4. Симметрийные свойства и нелинейная динамика фрагментации при интенсивных нагрузках
4.1. Автомодельные решения и нелинейная динамика трещин
Анализ кинетики поврежденности на основе автомодельных решений, отражающих инвариантно-групповые свойства уравнений, в сочетании с динамическими экспериментами позволяют исследовать связь закономерностей фрагментации с основными механизмами зарождения и распространения трещин [24, 25]. На рис. 1 представлены распределения полей напряжений (поляризация света) в вершине динамически распространяющейся трещины для трех характерных режимов: устойчивого прямолинейного распространения (V < VC), режима с ветвлением (Ув > V > VC) и режима с выраженной фрагментацией (V > Vв ) (рис. 1). На рис. 2 представлены фазовые портреты при высокоскоростной записи динамики напряжений (с использова-
Рис. 1. Режимы динамического распространения трещин в полиметилметакрилате в зависимости от скорости распространения: V< Ус (а), ¥в > ¥> ¥с (б), V> ¥в (в). ¥с = 0.4¥я, ¥в = 0.6¥я, ¥к — скорость волны Рэлея
нием поляризации лазерного луча в точке, находящейся на расстоянии 4 мм от траектории основной трещины) для первого и второго динамических режимов.
Режим прямолинейного распространения определяется распределением напряжений öik в окрестности вершины трещины:
ök = Ki r ~12 fj (6), K =<Wn7, (15)
где r, 6 — полярные координаты (радиус-вектор и угол) точки в вершине трещины; KI = ст^/л7 — коэффициент интенсивности напряжений; l — длина трещины. Решение (15) имеет энергетический (инвариантный) аналог в виде /-интеграла:
J = lim J (ж(ГЕ)щ - njaJk Md^ 1 drE, (16)
£i0 г ox
г E\ i J
определяющего интенсивность «высвобождения» энергии в вершине трещины; Ji ~ K: — компонента /-интеграла в направлении распространения трещины; е — малая область в окрестности вершины трещины; W— энергия деформированной среды в области, ограниченной контуром Ге. Переход к режимам ветвления объясняется существованием «сингулярного по времени» промежуточно-асимптотического решения (14), описывающего пространственно-временную динамику формирования «очагов разрушения» — дочерних трещин (диссипативные структуры обострения). In situ эксперименты по высокоскоростной записи динамики напряжений показали качественное изменение фазовых портретов при увеличении скорости трещины (величины приложенных напряжений), соответствующих обсуждаемым типам автомодельных решений (рис. 1, в).
Инвариантный аналог /-интеграла для среды с дефектами предлагается в виде [11]:
( гт V ч ^
F =11111ЛДГЕ )n - nJ ад ЩГ^1
dx
dfc
(17)
где L — обобщенный лагранжиан континуума с дефектами. Формирование коллективных мод ансамблей дефектов определяет в соответствии с теоремой Нетер симметрийные свойства лагранжиана.
Прямолинейное распространение трещины для скоростей V < ¥с соответствует фазовому портрету, характерному преимущественно для гиперболического уравнения (волновое уравнение упругой среды), с признаками «нелинейной динамики», определяемыми формированием очага разрушения непосредственно на траектории распространения основной трещины. Режим с ветвлением для скоростей VB > V > Vс сопровождается проявлением выраженных признаков нелинейной динамики — формированием «случайного» облака точек, которые ассоциируются с коллективными модами дефектов. Существование двух типов автомодельных решений (14) и (15), определяющих кинетику формирования трещин и динамику их распространения при формировании очагов разрушения, является, по-видимому, физическим механизмом, определяющим разнообразие статистических сценариев фрагментации в зависимости от исходной структуры материала и интенсивности нагружения. «Подчинение» нелинейной динамики системы спектру коллективных мод переводит процесс фрагментации в «самоподдерживающийся» (автомодельный) режим.
4.2. Автомодельные закономерности фрагментации при динамическом и ударно-волновом нагружении
Наличие двух типов автомодельных решений и режимов, контролируемых «сингулярностями» напряжений и кинетики формирования очагов разрушения, позволило рассмотреть последовательно сценарии разрушения при увеличении интенсивности нагружения, сопровождающиеся фрагментацией. Статистические особенности нелинейной динамики фрагментации иссле-
Е V
Рис. 2. Фазовые портреты напряжении а ~ а в вершине трещины для различных скоростеИ распространения трещины: V= 200 (а), 615 м/с (б)
довались в условиях in situ эксперимента по динамическому нагружению (в «условиях сохранения») цилиндрических образцов с регистрацией сигналов фрак-толюминесценции, ассоциируемых с образованием очагов разрушения (рис. 2). Анализ пространственно-временных распределении (размеры фрагментов, временные интервалы фрактолюминесценции) позволил установить степенные законы распределения, которые характерны для поведения неравновесных систем, обнаруживающих самоорганизованную критичность [36] (рис. 3).
Степенная универсальность статистических закономерностей фрагментации может быть интерпретирована как «вырождение» пространственных и временных масштабов, что является важным признаком автомодельных решениИ (4), описывающих формирование очагов макроскопического разрушения и имеющих отношение к простым и сложным «диссипативным структурам обострения», развивающимся на спектре пространственных масштабов LH = kLs, k = 1, 2, ..., K [10].
Влияние интенсивности нагружения и структуры материала на закономерности многоочагового разрушения керамик исследовалось на основе данных по статистике фрагментации. Цилиндрические образцы нагружались в условиях динамического сжатия (установка Гоп-кинсона-Кольского [17]), трубчатые цилиндрические образцы — волновым импульсом, инициируемым электровзрывом проводника, расположенного вдоль оси цилиндрического образца, погруженного в жидкость [37, 38]. Временные и пространственные статистические закономерности фрагментации цилиндрических образцов керамики исследовались в зависимости от интенсивности нагружения и структуры (пористости) материала с использованием in situ регистрации сигналов фрактолюминесценции (с выделением временноИ по-
Рис. 3. Кумулятивная функция распределения временных интервалов фрактолюминесценции (образец плавленого кварца)
следовательности сигналов, соответствующих формированию очагов разрушения) и определением фракционного состава методом прецизионного взвешивания фрагментированных «сохраненных» образцов [17]. Обработка экспериментальных данных показала, что распределение фрагментов по размерам и временных интервалов 2Ю2 керамики описывается степенными законами М(> г) ~ Сг и М(> ¿) = С-Вх, а распределение для образцов А1203 при низких энергиях фрагментации комбинируется из степенной (мелкие фрагменты) и экспоненциальной (крупные фрагменты) функций. Увеличение энергии приводит к вырождению экспоненциального участка. Параметры распределений зависят от интенсивности нагружения, структуры материала, формы образцов. Степенные статистические распределения характеризуются «вырождением» внутренних пространственных и временных масштабов.
Интенсивность фрагментации определялась количеством фрагментов, приходящихся на единицу массы Nm (рис. 4). Кроме данных для керамик на основе 2Ю2 на рис. 4 приведены значения Ds, полученные по результатам обработки экспериментов по фрагментации кварцевых стержней при ударной нагрузке [16, 17], фрагментации керамики SiC на стержне Гопкинсона-Кольского, фрагментации симинала (синтетический минеральный сплав) в условиях сверхскоростного удара [39], а также фрагментации гранита при квазистатическом сжатии. Величина Ds зависит от интенсивности нагружения (удельная энергия деформации Е), структуры материала (в нашем случае пористость керамики), а также подготовки образцов (полировка торцов, строгое соблюдение их параллельности, плоскостность контакта со стержнями). Как видно из рис. 4, предварительная обработка образцов керамики (данные обведены овалом) значительно уменьшает разброс величины показателя распределения Ds. Анализ данных позволяет сделать заключение, что показатель распределения фраг-
Рис. 4. Зависимость показателя экспоненты степенного распределения Ds от количества фрагментов на единицу массы ^ (двойные логарифмические координаты). ♦ — кварц, □!— гранит, А — 2г02, О — симинал, + — SiC
ментов по размерам зависит от вида материала, интенсивности нагружения, подготовки образцов и возрастает с увеличением количества фрагментов на единицу массы.
На рис. 5 представлена зависимость удельного количества фрагментов от интенсивности импульса нагрузки (плотности энергии деформирования). Обработка экспериментальных данных для пяти материалов свидетельствует о том, что рост количества фрагментов на единицу массы Nm с увеличением интенсивности нагрузки описывается степенным законом.
Эксперименты по ударно-волновому нагружению трубчатых образцов в жидкости методом электровзрыва проводника [37, 38] обеспечили уникальные условия для анализа статистических закономерностей фрагментации в условиях «сохранения» размеров и формы образцов под действием нагружающего импульса (рис. 6, 7).
Удельная энергия фрагментации при волновом на-гружении изменялась в интервале E ~ 4.4-23.0 Дж/г, что в 2.4 больше энергии реализованной на установке Гопкинсона-Кольского. Один образец (r1 = 1 мм, d = = 0.5 мм) был испытан при интенсивности E = 205 Дж/г. Параметры ударно-волнового нагружения регистрировались методом доплеровской интерферометрии VISAR. Образцы разрушались на 2D- и 3Б-фрагменты, при этом 2D-фрагменты имели форму близкую к прямоугольному параллелепипеду (рис. 7), характерная толщина d которого совпадала c толщиной трубчатого образца d; 3D-фрагменты имели «осколочную» форму с размерами d < d. Для низкоэнергетических режимов преобладали 2D-фрагменты. В ряде случаев наблюдались трещины в объеме образца, которые обусловлены возникновением откольной поверхности, на что указывает наличие второго пика на профиле волны сжатия. Масса фрагментов определялась двумя способами: методом «взвешивания» и методом «фотографии»
Рис. 5. Зависимость удельного количества фрагментов от плотности энергии деформирования. О — кварц, □ — гранит, • — 2г02, Л — А1203, о|— SiC
[37, 38]. На рис. 6 в двойных логарифмических координатах приведены распределения фрагментов по размерам для трех значений Е. Увеличение Е (стрелка 1) смещало точку излома в сторону меньших масштабов (стрелка 2). Распределение 3Б-фрагментов подчиняется степенному закону N ~ Сг-, показатель степени которого равен Ds= 0.48 ± 0.04 и остается практически неизменным в интервале Е ~ 4.4-23.0 Дж/г. Распределение 2Б-фрагментов соответствует экспоненциальному закону. Значительное (в 10 раз) увеличение Е приводит к возрастанию количества 3Б-фрагментов и, как следствие, исчезновению участка распределения, описываемого экспоненциальной функцией (рис. 6, кривая 3).
N
1000
100-
10
1
д □ д □ • • д г/ О / д □ il
\ « \ з :\ 6 СЬ ПО а о
0.000001
0.0001
0.01
т, г
Рис. 6. Кумулятивное распределение фрагментов по массе (количество фрагментов массы больше некоторой) для различных значений энергии Е = 15.8 (□), 9.9 (д), 4.4 (О), 205 Дж/г ( )
1111111
10 мм (Горизонтальные трещины
Вертикальные трещины
ill
ï
Рис. 7. Изображение восстановленного по фрагментам трубчатого образца в развернутом виде. Масса образца т 8 = = 2.5908 г, масса фрагментов т^= 2.5853 г, энергия на конденсаторной батарее = 56.32 Дж
4.3. Волны разрушения как предельный случай фрагментации
Предельным случаем фрагментации является формирование «волн разрушения» [40, 41], которое имеет природу «задержанного разрушения» и получило объяснение как режим «резонансного» инициирования разрушения [25, 35, 42-44]. Экспериментальное исследование инициирования «волн разрушения» было проведено в условиях теста Тейлора [42] при высокоскоростной записи теневых картин в цилиндрическом образце плавленого кварца после соударения последнего с жесткой преградой при скорости 534 м/с (рис. 8).
2 3
Время, мкс
Рис. 8. Инициирование волн разрушения в образце плавленого кварца (а) в условиях теста Тейлора: 1 — волна сжатия, 2 — волна разрушения, 3 — поверхность соударения [34] (б)
Первая затемненная область соответствует волне сжатия, распространяющейся со скоростью V ~ 6.6 км/с. Вторая волна, следующая с постоянным отставанием (задержкой) со скоростью У^ - 4 км/с, представляет собой волновой фронт, разделяющий твердое тело и полностью диспергированный материал за счет образования множественных дефектов сдвига. Время задержки фронта волны разрушения определяется постоянной времени режима с обострением ts, характеризующей время выхода кинетики поврежденности на режим автомодельной промежуточной асимптотики. При этом естественно предположить, что волна разрушения представляет собой волну «задержанного» разрушения, обусловленного последовательным «возбуждением» диссипативных структур обострения. Моделирование процесса разрушения в постановке, соответствующей условиям проведенного эксперимента, с учетом нелинейной кинетики поврежденности, описывающей инициирование «режимов с обострением» в ансамбле сдвиговых дефектов, подтвердило механизм инициирования и распространения волны разрушения как «задержанного» разрушения, обусловленного «резонансным» инициированием коллективной моды дефектов, имеющей природу асимптотического режима «взрывной» кинетики поврежденности [43, 44].
5. Обсуждение результатов
Фундаментальные аспекты фрагментации относятся к многомасштабным проблемам теории поля и связаны с симметрийными, статистическими и энергетическими закономерностями поведения неравновесных «критических систем». Важные черты «критического поведения» проявляются в статистических закономерностях фрагментации в зависимости от состояния, исходной структуры материала, интенсивности нагружения, когда обнаруживаются «узкие» (экспоненциальные), «широкие» (степенные) статистические распределения, а также комбинации последних. Однако статистические данные о фрагментации, основанные на абстрагировании от физического механизма фрагментации, имеют ограниченное применение в связи с невозможностью установления корреляций между наблюдаемыми статистическими закономерностями, структурным состоянием материалов и качественными изменениями реакций фрагментируемых материалов на интенсивность нагру-жения. Основополагающий вклад исследований Мотта в теорию динамической фрагментации, связанный с определением «управляющего» масштаба (эквивалентного среднему размеру фрагментов) при формировании «волн разгрузки Мотта», распространяющихся от зон разрушения, определил новый этап в развитии теории фрагментации, где ключевую роль играют физические механизмы, приводящие к качественному изменению поведения материала на всем спектре пространствен-
ных масштабов. Развитые представления о многомасштабных закономерностях развития дефектов как критического явления (структурно-скейлинговые переходы) позволили установить связь калибровочных (масштабно-инвариантных) свойств неравновесной системы «твердое тело с дефектами» с автомодельными решениями, характеризующими сингулярность полей напряжений в вершине трещины и коллективными многомасштабными модами дефектов. Формирование последних определяет механизмы структурной релаксации, обусловленные автоволновыми модами ансамблей дефектов, и локализации поврежденности с кинетикой режимов «с обострением», приводящей к зарождению макроскопических трещин. Формирование автоволновых структур ансамблей дефектов приводит к волновым режимам деформирования, что позволило предложить объяснение механизма возникновения «волн разгрузки Мотта» при появлении областей «разрыва», инициируемых «обостряющейся» кинетикой роста дефектов на спектре пространственных масштабов. Существование двух типов автомодельных решений, описывающих сингулярные распределения напряжений в окрестности вершины трещины и сингулярную (обостряющуюся) пространственно-временную динамику формирования областей разрушения, позволяет предложить объяснение качественных изменений статистических распределений при фрагментации материалов в зависимости от интенсивности нагружения. «Узкие» распределения экспоненциальной природы соответствуют сценариям фрагментации при «подчинении» последней автомодельным решениям вида (15), имеющим энергетическую трактовку в виде инвариантного /-интеграла (16). Увеличение интенсивности нагружения приводит к «переподчинению» нелинейной динамики системы спектру автомодельных сингулярных мод «обостряющегося» типа, представляющих новую систему коллективных переменных, что и предполагает обобщение инвариантного интеграла к виду (17) с лагранжианом, который должен отражать (в соответствии с теоремой Нетер) динамику коллективных переменных и соответствующих им законам сохранения. Взаимодействие между многомасштабными коллективными модами «обостряющегося» типа (очагами разрушения) приводит к установлению «связности» между очагами разрушения на всем спектре масштабов, что проявляется в качественной смене статистических распределений — переходе к распределениям степенного типа, соответствующим появлению «глобальной связности» между очагами разрушения и «вырождению» структурных масштабов до интегральных масштабов фрагментируемого твердого тела. Распределения «комбинированного» типа (Гилварри), по-видимому, соответствуют режимам «перемежаемости», когда «притяжение» обоих типов автомодельных сингулярных решений определяет дина-
мику фрагментации. Подтверждением данных сценариев являются фазовые портреты (см. рис. 1, в), соответствующие различным режимам динамического распространения трещин. Предельным случаем фрагментации является инициирование разрушения в виде «волн разрушения» при распространении волн сжатия в образцах плавленого кварца, которыи может быть интерпретирован как режим последовательного «резонансного» инициирования обостряющихся мод по-врежденности сдвигового типа с характерным временем «задержки» — параметром автомодельного решения. Статистическое распределение фрагментов в областях материала, охваченных «волнами разрушения», должно отражать максимальныи уровень фрагментации, достижимыи в акустическом диапазоне плотностеи энергии, и приближаться к монодисперсному распределению с минимальным размером частиц.
Работа выполнена при поддержке Сколковского института науки и технологии (контракт MRA-319).
Литература
1. Astrom J.A., Linna R.P., Timonen J., Moller P.F., Oddershede L. Exponential and power-law mass distributions in brittle fragmentation // Phys. Rev. - 2004. - V. 70. - P. 026104(1-7).
2. Katsuragi H., Sugino D., Honjo H. Scaling of impact fragmentation near the critical point // Phys. Rev. - 2003. - V. 68. - P. 046105.
3. Katsuragi H., Sugino D., Honjo H. Crossover of weighted mean fragment mass scaling in two-dimensional brittle fragmentation // Phys. Rev. E. - 2004. - V. 70. - P. 065103(R).
4. Kadono T., Arakawa M. Crack propagation in thin glass plates caused by high velocity impact // Phys. Rev. E. - 2002. - V.65. - P. 035107(R).
5. Сильвестров B.B. Применение распределения Гилварри для описания статистики фрагментации твердых тел при динамическом нагружении // ФГВ. - 2004. - Т. 40. - № 2. - С. 111-124.
6. Meibom A., Balslev I. Composite power laws in shock fragmentation // Phys. Rev. Lett. - 1996. - V. 76. - No. 14. - P. 2492-2494.
7. Ching E.S.C., Lui S.L., Xia K.-Q. Energy dependence of impact fragmentation of long glass rods // Physica A. - 2000. - V. 287. - P. 8390.
8. Grady D.E., Kipp M.E. Geometric statistics and dynamic fragmentation // J. Appl. Phys. - 1985. - V. 58. - No. 3. - P. 1210-1222.
9. Kadic A., Edelen G.B. A Gauge Theory of Dislocation and Disclination
// Lecture Notes in Physics. - V. 174. - Berlin: Springer, 1983. - 168 p.
10. Naimark O.B. Defect Induced Transitions as Mechanisms of Plasticity and Failure in Multifield Continua // Advances in Multifield Theories of Continua with Substructure / Ed. by G. Capriz, P. Mariano. -Boston: Birkhauser, 2004. - P. 75-114.
11. Dong L.K., Zhang H.Y., Lung C.W. Application of gage field theory of defects to fracture // Int. J. Solids Struct. - 1989. - V. 25. - No. 7. -P. 707-713.
12. Fa Qu. On the gauge transformation of the tensor potentials for the field of moving dislocations // Acta Phys. Sin. - 1981. - V. 30. -No. 7. - P. 968-973.
13. Golembiewska-Lasota A.A., Edelen D.G. On the gage transformations admitted by the equations of defect dynamics // Int. J. Eng. Sci. -1979. - V. 17. - P. 335-339.
14. Наймарк О.Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинеиные проблемы пластичности и разрушения // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - C. 45-72.
15. Наймарк О.Б. Структурно-скеилинговые переходы в твердых телах с дефектами и некоторые симметрииные аспекты теории поля // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - № 5. - С. 113-126.
16. Давыдова М.М., Уваров С.В., Наймарк О.Б. Масштабная инвариантность при динамической фрагментации кварца // Физ. ме-зомех. - 2013. - Т. 16. - № 4. - С. 129-136.
17. Давыдова М.М., Уваров С.В., Наймарк О.Б. Пространственно-временная масштабная инвариантность при динамической фрагментации квазихрупких материалов // Физ. мезомех. - 2015. -Т. 18. - № 1. - C. 100-107.
18. Grady D.E. Length scales and size disributions in dynamic fragmentation // Int. J. Fracture. - 2010. - V. 163. - P. 85-99.
19. Grady D.E. Fragment size distributions from the dynamic fragmentation of brittle solids // Int. J. Impact Eng. -2008. - V. 35. - P. 15571562.
20. Gilvarry J.J. Fracture of brittle solids. I. Distribution function for fragment size in single fracture (Theoretical) // J. Appl. Phys. - 1961. -V. 32. - No. 3. - P. 391-399.
21. Gilvarry J.J., Bergstrom B.H. Fracture of brittle solids. II. Distribution function for fragment size in single fracture (Experimental) // J. Appl. Phys. - 1961. - V. 32. - No. 3. - P. 400-410.
22. Holian B.L., Grady D.E. Fragmentation by molecular dynamics: the microscopic "Big Bang" // Phys. Rev. Lett. - 1988. - V 60. - No. 14. -P. 1355-1358.
23. Hawkins G.S. Asteroidal fragments // Astron. J. - 1960. - V. 65. -No. 5. - P. 318-322.
24. Naimark O.B., Uvarov S.V Nonlinear crack dynamics and scaling aspects of fracture (experimental and theoretical study) // Int. J. Fracture. - 2004. - V. 128. - P. 285-292.
25. Naimark O.B. Energy release rate and criticality of multiscale defects kinetics // Int. J. Fracture. - 2016. - V. 202. - P. 271-279.
26. GorokhovskiM.A., Saveliev V.L. Analyses of Kolmogorov's model of breakup and its application into Lagrangian computation of liquid sprays under air-blast atomization // Phys. Fluids. - 2003. - V. 15. -No. 1. - P. 184-192.
27. Наймарк О.Б. О некоторых закономерностях скейлинга в пластичности, разрушении, турбулентности // Физ. мезомех. - 2015. -Т. 18.- № 3. - С. 71-83.
28. Колмогоров А.Н. О логарифмически нормальном законе распределения частиц при дроблении // ДАН СССР. - 1941. - Т. 31. -№ 2. - С. 99-101.
29. Mott N.F. Fragmentation of shell cases // Proc. Roy. Soc. - 1947. -V. 189. - No. 1018. - P. 300-308.
30. Mott N.F Fracture of metals: Theoretical considerations // Engineering. - 1948. - V 165. - P. 16-18.
31. Lee E.H. The Continuum Mechanics Aspect of Material Properties Determination // Energetics III / Ed. by W. Mueller, M. Shaw. - New York: Gordon and Breach, 1967. - P. 85-122.
32. Greiner W, Stocker H. Hot nuclear matter // Sci. Am. - 1984. -V. 252. - P. 76-87.
33. Barenblatt G.I., Botvina L.R. Self-similarity of fatique fracture. Damage accumulation // Izv. AN SSSR, Mekh. Tverd. Tela. - 1983. - V. 4. -P. 161-165.
34. Kurdyumov S.P. Evolution and self-organization laws of complex systems // Int. J. Mod. Phys. - 1988. - V.1. - No.4. - P. 299-327.
35. Belyaev V.V., Naimark O.B. Localized blow-up structures in failure of solid under intensive loading // Sov. Phys. Dokl. - 1990. - V. 312. -P. 289-293.
36. Oddershede L., Dimon P., Bohr J. Self-organized criticality in fragmenting // Phys. Rev. Lett. - 1993. - V. 71. - No. 19. - P. 3107-3110.
37. Bannikova I.A., Uvarov S.V., Naimark O.B. Analysis of fragmentation statistics of alumina tubular specimens // AIP Conf. Proc. - 2014. -V. 1623. - P. 59-62.
38. Bannikova I.A., Naimark O.B., Uvarov S.V Transition from multicenter fracture to fragmentation statistics under intensive loading // Proc. Struct. Int. - 2016. - V.2. - P. 1944-1950.
39. Davydova M., Uvarov S., Chudinov V. Scaling law of quasi brittle fragmentation // Proc. Mater. Sci. - 2014. - V. 3. - P. 580-585.
40. Галин Л.А., Черепанов Г.П. О самоподдерживающемся разрушении напряженного хрупкого тела // ДАН СССР. - 1966. - Т. 167. -С. 543-546.
41. Rasorenov S.V., Kanel G.I., Fortov V.E., Abasenov M.M. The fracture of glass under high-pressure impulsive loading // High Pressure Res. - 1991. - V.6. - P. 225-232.
42. Naimark O., Uvarov S., Radford D., Proud W., Field J., Church P., Cullis I., Andrews T. The Failure Front in Silica Glasses // Behavior of Dense Media under High Dynamic Pressures / Ed. by A. Delpuech. -Cambridge: Cambridge University Press, 2003. - V. 2. - P. 65-74.
43. Bellendir E.N., Belyaev V.V., Naimark O.B. Kinetics of multicenter failure in spall conditions // Sov. Tech. Phys. Lett. - 1989. - V. 15. -P. 90-93.
44. Plekhov O.A., Eremeev D.N., Naimark O.B. Failure wave as resonance excitation of collective burst modes of defects in shocked brittle materials // J. Phys. IV. - 2000. - V.10. - P. 811-816.
Поступила в редакцию 10.01.2017 г.
Сведения об авторах
Наймарк Олег Борисович, д.ф.-м.н., проф., зав. лаб. ИМСС УрО РАН, naimark@icmm.ru Уваров Сергей Витальевич, к.ф.-м.н., снс ИМСС УрО РАН, usv@icmm.ru Давыдова Марина Михайловна, к.т.н., снс ИМСС УрО РАН, davydova@icmm.ru Банникова Ирина Анатольевна, инж.-иссл. ИМСС УрО РАН, malgacheva@icmm.ru
