CC BY
9
К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН В
УПРУГОМ СТЕРЖНЕ
Шарый Владимир Александрович
Кандидат физ.-мат.наук, доцент горного университета, г. Санкт-Петербург
Пайков Владимир Иванович
Кандидат физ.-мат.наук, доцент Донецкого Национального университета, г. Донецк
АННОТАЦИЯ
Предлагается нелинейная форма зависимости напряжений в упругом теле от деформаций. Получено нелинейное волновое уравнение распространения упругих волн в однородном стержне. Рассматриваются задачи о распространении волн разгрузки и нагрузки в стержне.
ABSTRACT
It is proposed to form a non-linear dependence of the Presses in the ela^ic deformation of the body. A nonlinear wave equation of ela^ic wave propagation in a homogeneous bar. We consider the problem of propagation of waves unloading and loading in the bar.
Ключевые слова: Нелинейные волны напряжений в упругом теле. Нелинейное волновое уравнение.
Keywords: Nonlinear wave Sress in an ela^ic body. The non-linear wave equation.
ВВЕДЕНИЕ:
В работе предлагается нелинейная форма зависимости напряжений в однородном прямолинейном стержне от относительных деформаций, аналогично тому, как это было сделано в [1]. На основании этой зависимости выводится волновое нелинейное уравнение распространения продольных волн в упругом стержне. Получена схема распространения скачка напряжений в стержне. Исследуются случаи распространения волн разгрузки и нагрузки в стержне.
1- НЕЛИНЕЙНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ.
При выводе нелинейного волнового уравнения будет использована нелинейная форма зависимости напряжения в стержне от относительных деформаций. Эту зависимость можно получить на основании уравнения состояния воды в форме Тета [2]:
p - po = В
\Ро у
-1
,(1.1),
где p, соответственно давление и плотность воды,
р0, р0
0 г 0 начальная плотность и давление воды, соответ-
B = 3045 n ственно, постоянная атм;
7,15
. Вводя пе-
e =
P-Po
ременную Po уравнение может быть приведено к
виду:
p - Го = B (1+e)" -1
,(1.2).
Ниже будет получена нелинейная форма зависимости напряжений в стержне от относительных деформаций, аналогичная формуле (1.2). При получении этой зависимости нам потребуется соотношение для величины относительных де-
e ( X, t)
в зависимости от величины
формаций в стержне и ( X, t)
перемещения 4 ' точек стержня от некоторого исходного положения смотри рисунок.
Рис 1.
Для линейного закона Гука абсолютная величина напряжений для деформаций растяжения и сжатия одна и таже для равных абсолютных величин относительных деформаций растяжения и сжатия. Распространим это свойство на случай нелинейной зависимости напряжений от деформаций, вводя абсолютную величину относительных деформа-
ций e ( X, t) по формуле
e (X, t) :
u (x + Ax, t )-u (x, t)
Ax
(1.3).
Переходя к пределу в (1.3) при д^ стремящемся к нулю получим величину модуля скорости деформации ^ t) :
*'( х, г ) =
ди
дх
(1.4).
Очевидно, что для малых значений /лл с точностью до
Ах
малых
О ((Ах )2)
имеем:
'(х, г ) =
ди
дх
(1.5).
ди
е (х' )= аХ
относительных деформаций
р = В Г(1 + е )" -1
(1.6),
(е = 0)
•( х, г)
из (1.6) получаем линейный закон Гука:
Р = Р' ао ■ е
Р
(1.7),
а,
о
В ■ п Р
В ■ п
(х, г)
а
(1.6) получим формулу для квадрата скорости у ' 7 распространений малых возмущений в стержне
dp
d (р■ е )
2 2 ¿л \п-1
= а = а0 (1 + е)
(1.8).
Для вывода волнового уравнения нелинейного распространения волн в стержне запишем формулу второго закона
Ньютона для массы участка струны
р°^Ах ■'ди=О( Р2- Р1)
[ х, х + Ах 1
, рис 1. :
Очевидно что для деформаций растяжения
/ ч ди
е ( х, г ) = -~д~ , а для деформаций сжатия дх .
По аналогии с соотношением (1.2) введём нелинейную форму зависимости напряжений Р в стержне от величины
е ( х, г) :
(1.9),
Здесь О площадь поперечного сечения стержня, Р2 и
Р\
1 напряжения на правом и левом конце рассматриваемого участка, соответственно. Запишем формулу Лагранжа
Р2 - Р1
конечных приращений для разности г 2 г 1 в некоторой
Е х <Е < х + Ах точке ' , ' при этом частную производную
др дх
Здесь Ро 0 при отсутствии деформаций Очевидно что для малых относительных деформаций
вычислим с использованием соотношений (1.6) и (1.5). После проведения элементарных вычислений, с учётом того
ди
е ( х, г ) =--
что дх для деформаций сжатия устремляя Ах
к нулю из (1.9) получим нелинейное волновое уравнение распространения волн в стержне:
д и 2 . \ п—1 д и — = а0 ■(! + е)--
дг2
дх
2
(1.10),
е=
ди дх
здесь г - плотность стержня, - модуль Юнга для стержня. Из двух постоянны В и п, произведение которых равно модулю Юнга Е, одну можно выбрать таким образом, что бы соотношение (1.7) соответствовало экспериментальным данным. Из соотношения
здесь дх . Очевидно, что для случая линейного закона Гука ( п = 1) из (1.10) получаем известное линейное волновое уравнение.
2-РАСПОСТРАНЕНИЕ ВОЛНЫ РАЗГРУЗКИ В СТЕРНЕ.
Рассмотрим задачу о мгновенном снятии данной нагрузки растяжения с левого конца стержня АА , который совпадает с началом О оси ОХ а правый конец неподвижно закреплён в вертикальной стенке смотри рис 2.
Рис 2.
Предполагается, что длина нагруженного стержня равна 1, а длина стержня в ненагруженном состоянии равна 10. Очевидно, что:
е =
11 10
О0 -О О
О-1(> =° I
(2.1),
О
и /Т
где 0 и и площадь поперечного сечения стержня в ненагруженном и нагруженном состоянии соответственно. При мгновенном снятии нагрузки от левого конца стержня к правому побежит волна разгрузки с некоторой постоянной
скоростью ^ > 0, на которой испытывают скачок площади поперечных сечений и скорости. Ясно, что скорости частиц
- СС
стержня перед волной ^^ равны нулю, а слева от нее некоторому постоянному значению V. Для определения N и V запишем законы сохранения массы и изменения коли-
СС'
чества движения на волне
к t + дt ]
времени
виде соотношений:
р- а0 • (N-V)• Дt = р- а-N• Дt
(2.2),
р• а• N• Дt• V = а- р• Дt
(2.3).
V = ■
в^ а
Из соотношения (2.2) находим
и, подстав-
ляя затем это значение V в уравнение (2.3) получим:
N =
р-в а
(2.4),
в = 8 • в
V = £• а0 • М1, а0 =а(1 + в)
(2.5),
М = в1 (2.6),
N = а01 1 +
п +1
•в1 8
(2.7).
/ 1
s = I - V--
N
(2.9).
в =1
Учитывая соотношения (2.7) где 1 , (2.8) из (2.9) на-
3-РАСПОСТРАНЕНИЕ РАСТЯГИВАЮЩЕЙ ВОЛНЫ НАЗГРУЗКИ В СТЕРНЕ.
Рассмотрим задачу о распространении растягиваю-
СС'
щей волны нагрузки под действием приложенного
в момент t = 0 усилия Т к левому концу стержня
I
начальная длина которого равна
а площадь попереч-
ного сечения 0 . Очевидно, что по заданному значению
для некоторого интервала . Очевидно, что эти законы запишутся в
Т = а • р
а0 -а
s = VI 1 +
п - 3
ходим
Р ( в )
где 4 ' определяется по (1.6)
а, в I
можно найти и конечную длину растянутого
стержня. В рассматриваемом случае справа от волны СС
N
распространяющейся по стержню со скоростью величина скорости частиц, площади поперечного сечения, напря-
жения скачком меняется от .. V, а, р (а)
0, а ,0
Полученное соотношение (2.4) аналогично известному соотношению в газовой динамике для скорости распространения ударной волны N [3]. Примем далее во внимание, что рассматривается случай малых деформаций стержня т.е.
- соответственно до
значений - \ / слева от волны СС . Также как и
в предыдущем пункте запишем законы сохранения массы и
СС'
изменения количества движения на волне на беско-
t + Дt ]:
нечно малом интервале времени
р • а • (N - V) • Дt = р • а0 • N • Дt р • а0 • N • Дt• V = -а • р • Дt
(3.1),
(3.2).
где 8 малый параметр задачи, 0 < 8 ^ 1 В этом случае из соотношений (2.2) и (2.4) находим:
Из (3.1) находим
V ■
V = -в • N
(3.3).
Подставляя найденное значении V в (3.2) находим №
N =
р а
рв а0
(3.4)
В качестве параметра 8 выберем 8= в . Тогда из (2.5) получаем:
I -10
М1 = в1 = 1, V = а0 •в = а0---
1(0 (2.8),
Вычислим длину разгруженного полностью стержня s после того как волна разгрузки двигаясь со скоростью N достигнет правого закрепленного конца стержня ВВ . Очевидно имеем:
Так как рассматривается случай малых деформаций
в = 8 в V = 8 а • N
стержня, то положим: 1' 0 1, где .
0 < 8 ^ 1 После элементарных вычислений из (3.3),(3.4)
СС'
находим соотношение на волне М1 =-в1 (3.5),
N = а • I 1 +
п - 3
-в1 8
(3.6).
Выберем в качестве параметра 8 малую деформацию
в, = 1, М = -1, V = -8 • а0 = -а0 • в, тогда 1 1 0 0
Вычислим конечную длину растянутого стержня
^=i0 + НА
s: N. Учитывая полученные зна-
v, N, е = ^ l
чения 0 , находим значение s:
Список литературы:
1. Шарый В.А ,Себельдин А.М., Мансаре В. Европейский союз ученых
Москва 27-30 декабря 2014 частьЗ стр.11-13.
2. Гриб А.А., Шарый В.А. «Распространение ударной волны в водоёме с наклонным дном» Вестник ленинградского университета; 1974, №3, 74-81.
3. Станюкович К.П. «Неустановившиеся движения сплошной среды» Наука, 1971, 854 стр.
