Асимптотика распространения скачка нормальных напряжений в струне Текст научной статьи по специальности «Математика»

F=J С G«)

(2)

Как видно из выражения (2), величина суммарной

F

неуравновешенной силы

определяется значением

( ), которое не зависит от абсолютных геометрических размеров полукольца, а определяется их безразмерным соотношением.

Конфигурационный интеграл в элементар-

ных функциях не выражается, поэтому его можно найти

только численно. Результаты расчетов при некото-

рых значениях ^ приведены в следующей Таблице 1

Конфигурационный интеграл G(a) как функция ^

Таблица 1

а 0.80 0.85 0.90 0.95

G(a) 6.02 6.45 6.85 7.14

Используя данные, содержащиеся в Таблице 1,

можно оценить величину суммарной силы Р электродинамического взаимодействия токов в рассматриваемом полукольце. Так, полагая

А( /1 , I = 104 А

а = 0.95, ju0 = 4^-10"

на основании формулы (2) получим

F = 71.41

Список литературы 1. Буров А. В. К расчету пондеромоторных сил в уединенном электрическом контуре // ДАН СССР. 1983. Т. 270. № 3. С. 586 - 589.

АСИМПТОТИКА РАСПРОСТРАНЕНИЯ СКАЧКА НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ

В СТРУНЕ

Мансаре Баба

Старший преподаватель Конакрийского университета, г.Конакри

Себельдин Анатолий Михайлович Доктор физ.-мат.наук, профессор Мининского университета, г. Н.Новгород

Шарый Владимир Александрович

Кандидат физ.-мат.наук, доцент горного университета, г. Санкт-Петербург

Исследуется нелинейное распространение волны в струне на фронте которой нормальное напряжение и скорость струны испытывают скачок. Полученные условия на фронте этого скачка аналогичны условиям на ударных волнах в газовой динамике. Вышеупомянутые соотношения позволяют получить закон затухания нормального напряжения в струне.

1. Постановка задачи.

Рассматривается распространение волн в струне с закрепленными концами, одна из точек которой A перемещается по известному закону:

v=(s)1/2a0f(t),

(1.1)

p=p(a0)2e[1 +(n- 1)e/2],

(1.2)

где (a0)2= n/p, p - плотность струны, Bn=j, j - модуль Юнга, B, n - постоянные, связанные с материалом струны,

одна из которых может быть выбрана произвольным образом для лучшего приближения экспериментальных данных. Мы будем широко использовать результаты статьи [1] и, в частности, нелинейное волновое уравнение распространения волн в струне:

utt=(a0)2 (1+e)n-1 uxx,

(1.3)

где ВД=0(1), Д0)>0, ед>0 при Р-0, Г а)<0 при т

Движение исследуется до момента времени Ш>0 когда одна из волн достигнет закрепленного конца. В (1.1) присутствует малый параметр е1/2^ш/а0, где vm - максимальное значение скорости точки А на вышеупомянутом диапазоне времени. Из вышесказанного следует, что Д0)=1. Предположим, что начало системы координат (х,0,и) совпадает с начальным положением точки А. Ограничимся исследованием движения точек струны лежащих справа от А. Движение рассматривается на интервале [0,1т], где Ш - момент времени, когда одна из волн достигнет закрепленного конца. Предполагается, что нормальные напряжения в струне р и малые деформации е(хД) связаны соотношением, полученным в [1]:

где 2е=(их)2, и(хД) - функция отклонений точек струны от положения равновесия, а нижними буквенными индексами обозначаются частные производные.

Будем искать асимптотическое решение уравнения (1.3) удовлетворяющее условию (1.1), условиям на фронте волны С (см. рисунок), которые будут получены ниже и начальным условиям:

и(х,0)=0, й(х,0)=0. (1.4)

2. Построение асимптотического решения.

В [1] уравнение (1.3) заменяется эквивалентной ему системой:

^ + а0(1 + е) 1 ^ = 0

{

дх

■+«0 ддм = 0,

дt ' "0 дх (2 1)

где Ш=у= а0М.

В области, удаленной от фронта волны С, в [1] построено асимптотическое линейное решение:

М1=е1, (2.2)

M1=f(t-x/a0), t-x/a0 >0. (2.3)

В (2.2.) и (2.3) М1 и е1 являются главными членами асимптотических разложений:

М(хД,е)=е1/2М1(хД)+е3/2М2(хД)+...

д/2е( х,

с, t,s) = £1/2e 1( х, t) + s312 e2( х, t) +...

Как следует из (2.3) на граничной характеристике линейного решения x=a0t (точка С1 см. рисунок), М1=Д0)=1, т.е. М1 и е1 в линейном приближении испытывают скачок на этой характеристике, что противоречит понятию характеристики. Полученный дефект линейного решения может быть устранен с помощью введения нелинейного решения в области порядка 0(е1/2), прилегающей к фронту волны точки С. Вышеуказанное нелинейное решение должно удовлетворять некоторым условиям на фронте волны, которые связывают скачки скоростей и деформаций на фронте. Для получения этих условий запишем законы сохранения массы и изменения энергии участка струны CD, где через D обозначено положение фронта C через бесконечно малый промежуток времени М>0. Пусть N - скорость фронта волны (точка С) в произвольный момент времени ^0. Тогда вышеупомянутые законы сохранения для участка струны CD имеют вид:

стр^ 2+v2)1/2=ст0pN (2.4)

ст0pNv2=2стp(N 2+v2)1/2, (2.5)

где ст0 и ст - площади поперечного сечения покоящейся и движущейся струны соответственно.

Асимптотическое представление уравнений (2.4) и (2.5) имеет вид:

M1=e1 (2.6)

№а0(1+(М1)2е (П-1)/8). (2.7)

Соотношения (2.6), (2.7) для скачков скорости М1 и деформации е1 являются аналогом соотношений на ударных волах в газовой динамике, которые имеют вид ( [2] ):

M=e (2.8)

N=a0[1+M (П-1)/4], (2.9)

где M=v/a0, e=(p-p0)p0, р0 и р - плотность покоящегося и движущегося газа соответственно на ударной волне.

Соотношения (2.6) и (1.2) позволяют вычислить скачек напряжения на фронте волны p=pv2/2. Это соотношение аналогично формуле для вычисления давления в гидравлическом ударе p=p0a0v при внезапной остановке потока жидкости.

В области порядка 0(е1/2) прилегающей к «упругому скачку» также как ив [1] построим нелинейное асимптотическое решение системы уравнений (2.1) в виде разложений:

М(хД,е)=е1/2М1(5Д')+..., M1=O (1)

(2е(хД.е))1/2=е 1/2е1(5Д')+..., e1=O (1),

где переменные хД и 5Д' связаны соотношениями:

е1/25=а0^х, Г=е1/2^ 5=0(1), Г=0(1). (2.10)

Проводя рассуждения аналогичные [1], имеем:

М1-е1=у(Г) (2.11)

Для удовлетворения условию на фронте волны (2.2) положим в (2.11) у(^)=0,

тогда из (2.12) как и в [1] получим:

(М1)Г - a0(n-1)(1/4)(M1)2(M1)5 =0. (2.13)

Общее решение уравнения (2.13) имеет такой же вид как и в [1]:

М^([(5/а0)+(п-1)(1/4)(М1)2Г]е1/2), (2.14)

где F произвольная функция. Произвольную функцию F определяем из условия сращивания нелинейного решения (2.14) с линейным (2.3). Процедура сращивания также как и в [1] проводится по методу Ван-Дайка [3], в результате чего получаем такое же соотношение как в [1]:

М1=Щ1+(п-1)(1/4)(М1)2е)Ьх/а0). (2.15)

Очевидно, что функция ОД определяемая условием (1.1) равна нулю для КО. Поэтому, полагая в (2.3) и в (2.15) t=0, приходим к выводу, что начальные условия (1.4) выполняются автоматически. В заключение параграфа заметим, что поскольку главные части линейного (2.3) и нелинейного (2.15) решений в области перекрытия при е^-0 совпадают, то и главные части функции и(хД) линейного и нелинейного решений совпадают в этой области. Отметим, что форма струны вычисляемая по нелинейному решению, на рисунке изображена пунктирной линией.

3. О затухании «упругого скачка» на больших расстояниях от места его возникновения.

Всюду в дальнейшем рассматривается случай линейной зависимости функции f от своего аргумента:

Дт)=:Т(0)т + Д0), (3.1)

где Г(0)<0, :(0)=1.

Используя (3.1) в (2.15), приходим к квадратному уравнению для М1(хД):

(п-1)(1/4Хе(М1)2- М1: (0)+ Ь х/а0 +1/:^(0)=0. (3.2)

В уравнении (3.2) второй член при больших значениях t имеет более высокий порядок малости чем первый и последний члены этого уравнения, порядок которых будет уточнен ниже. Пренебрегая в (3.2) вторым членом, получаем:

(п-1)(1/4)еа0(М1)2=[х-а0Ь а0: (0)]/1 (3.3)

Используя соотношения (2.7) и (3.3), получаем дифференциальное уравнение фронта «упругого скачка»:

d(x-a0t)/dt=[x-a0t- а0: (0)]/21 (3.4)

Уравнение (3.4) легко интегрируется и дает траекторию «упругого скачка»:

х=a0t + С© 1/2 + аОЛ7 (0). (3.5)

Используя (3.5) в (3.3), получаем:

(М1)Г+ (е1)Г- а0(п-1)(1/2)(е1)2(е1)5 =0. (2.12)

(п-1)(1/4)е(М1)2=С/а0а)1/2. (3.6)

При анализе квадратного уравнения (3.2) были сделаны некоторые предпосылки относительно порядков членов этого уравнения. Полученные соотношения (3.5) и (3.6) подтверждают их и позволяют сделать вывод, что при больших значениях t первый и последний члены уравнения (3.2) имеют порядок 0(Ш2), а второй член М1: (0)= 0^-1/4). На основании (3.5) для больших значений t имеем х~ а01 Кроме того, как следует из (1.2) с точностью до членов 0(е2) будет

2p=p(a0)2(M1)2e.

Учитывая вышесказанное, из (3.6) для больших значений t получаем:

р ~ С1/(х)1/2, (3.7)

где константа С1 получается из константы С умножением на некоторые другие положительные константы, участвующие в задаче. Соотношение (3.7) является законом затухания «упругого скачка» и аналогично известному закону

затухания плоских ударных волн Ландау сжимаемой жидкости:

p ~ p0+ С/(х)1/2, (3.8)

где p0 и p давления перед фронтом ударной волны и за ним соответственно.

Список литературы

1. Шарый В.А., Себельдин А.М., Мансарэ Б. Исследование нелинейного распространения волн в струне асимптотическими методами. Евразийский союз ученых, IX, 2014, физико-математические науки, стр. 11-13.

2. Гриб А.А., Шарый В.А. Распространение ударной волны в водоеме с наклонным дном. Вестник ЛГУ. 1974, 3, 74-81.

3. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости: монография. М., 1967. — 310 с.

ЭВРИСТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ 4-РАСКРАСКИ ГРАФА

Сорокин Георгий Владимирович

ассистент кафедры математики и вычислительной техники, ФГБОУ ВПО «ЮУрГУ» (НИУ) в г. Златоусте

Любую расположенную на плоскости карту можно раскрасить пятью красками так, чтобы две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета. Эта теорема была доказана Перси Джоном Хивудом в 1890 году.

Очевидно, что задача раскраски карты сводится к поиску максимального хроматического числа планарного графа. «Гипотезу о том, что любой планарный граф можно раскрасить четырьмя красками, сформулировал в 1879 году английский математик Кели, а доказательство этой гипотезы было получено в 1976 году Хейкеном и Аппе-лем» [1, с. 166]. Однако большая часть доказательства была проведена авторами с помощью компьютера, что не удовлетворило многих математиков. Классического доказательства теоремы о четырех красках не существует.

Рассмотрим для примера некоторую карту и выберем любую область А. Обозначим эту область - вершиной

нулевого уровня. Вершинами уровня N будут области, граничащие с территорией, охватываемой уровнем N-1. Из данного определения следует, что:

1. Каждая вершина уровня N (при N>0) соединена хотя бы с одной вершиной уровня N-1.

2. Вершина уровня N может быть соединена только с вершинами уровней N N-1 и N+1

Если вершина V уровня N соединяется с вершиной уровня (при К>1), то, исходя из определения, вершину V необходимо поставить на уровень N-1. Если вершина V уровня N соединяется с вершиной V' уровня N+K (при К>1), то, исходя из определения, вершину V' необходимо поставить на уровень N+1.

На рисунке 1 вершиной нулевого уровня выбрана область А, вершинами первого уровня - В, С, D, Е и F, вершинами второго уровня - другие окрашенные области.

Рисунок 1. Представление вершин разного уровня