Расчет электродинамических сил в плоском полукольце с током Текст научной статьи по специальности «Физика»

2. Бадрелдин-Миргхани М.М., Семенов А.В., Терен-тьева В.Н., Теруков Е.И., «Оптические и фотоэлектрические свойства тонкопленочных пленок полиморфного гидрогенизированного кремния» // Сборник трудов II Всероссийской научной конференции «Наноструктурированные материалы и преобразовательные устройства для солнечной энергетики 3-го поколения», Чебоксары. 2014. С.76-79.

3. Photovoltaic Geographical Information System. http ://re .jrc.ec. europa.eu/pvgis/, European Commission. 2002 - 2014.

4. Photovoltaic Education Network. http://pve-ducation.org, 2014.

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ В ПЛОСКОМ ПОЛУКОЛЬЦЕ С ТОКОМ

Буров Анатолий Викторович

доктор технических наук, профессор, ВУНЦВМФ «ВМА», г. Санкт-Петербург,

Попов Юрий Игоревич,

кандидат физико-математических наук, доцент, СПбГЭТУ «ЛЭТИ», г. Санкт-Петербург

Рискнок 1. Плоское полукольцо с током

Рассмотрим взаимодействие токов в проводнике в форме полукольца, вырезанного из тонкого листа немагнитного металла толщиной J А (Рис. 1).

Внутренний радиус полукольца обозначим через

a

внешний

через

b

а их отношение

i < 1 b _

через мала

^ . Будем считать, что ширина полукольца (Ь а)

ь

по сравнению с его внешним радиусом и , т.е. значение

(у ' ЛП Ъ

^ достаточно близко к единице, и ш . При наших предположениях можно считать, что линии тока в полукольце параллельны его плоскости и представляют собой полуокружности.

Для определения величины Р суммарного взаимодействия токов в полукольце обратимся к общему выражению (7) работы [1, с. 587], рассматривая тот случай, когда ток, протекающий в полукольце, а также форма и размеры самого полукольца не зависят от времени. Тогда в формуле (7) работы [1, с. 587] можно положить

d^k dVk, d^n dVn, , Jn Jn

откуда

M)

4n

J dVn J dVk

Jn x ( Jk x Rkn )

Rkn

где

V V , (1)

У — область пространства, занимаемая полукольцом.

Рассмотрим два произвольных элемента объема

проводника к и п. Введем цилиндрическую систему координат, поместив начало координат в центре полукольца так, чтобы полукольцо располагалось в плоскости XOY симметрично оси ординат (Рис. 1). Тогда

=рк(1ркЛфкА, йУп =PndpndфnА

dVn

Радиус-векторы элементов объема

Rk R

обозначим соответственно через k и

n

откуда

Rk = Рк (i ' C0SPk + j ' sin^k ), Rn =Pn (i • cos^n + j • sinÇn )

ЦП = К ~К = ' -Рк • С0$фк) + ЛРп • $>Ыфп-рк • )

При наших предположениях векторы плотности тока к и ^п ортогональны соответствующим радиус--векто-

К Кп г (Ь - а) А

рам Л и " . Сечение проводника равно, очевидно, 4 7 , поэтому

т I-8^ +1 • С08^к ) Т = I (- ^ШЩ + 1' СО$>фп ) ик (Ь-а)А ' ип (Ь-а)А

где 1 — полный ток в проводнике.

Найдем теперь двойное векторное произведение под знаком интеграла в правой части (1):

к1(рк -Рп • С08^)

Jk Х R(" kb - a)А

-Т V (Г vTT\-12(рк - Pn cos ()(i • cos^n + j • sin (pn ) Jn Х (J( Х Rkn ) (b - a)2 А2

'n

где

Отсюда выражение (1) принимает вид:

f=т^ í ( (f f Pndpn {pk- p :osf)(; •cos(n+j ge)

4í(b-a)2 f kf f k kf (p2+P2 -2pkPn cos()3/2

Pk = Ъx, pn = bY a = ibT

В последнем интеграле сделаем замену переменных Л и положим ^ . Тогда

f = 12 ч2 í d(kí d( 1 dx f dY XY (X - 2cos( )(i •cos(3;sin(»)

4í(1-i)2f nf | (X2 + Y2-2XYcos()3/2

Обозначим

h((n) = (i • cos (n + j • sin (n ),

^=idX IdY, x. XYg

i í í _ Ф(|) = (i_Qr)2 f d(k f d (ng (i, ()h((n).

В новых обозначениях

FФ (i) Ф|)

После необходимых преобразований интеграл ^ ' можно привести к виду:

Ф(|) = j •G(i),

где G(|) — конфигурационный интеграл:

G(|) - (1^21 cos()d(dX|dY (X2XY?-

Тогда суммарная сила электродинамического взаимодействия токов в рассматриваемом полукольце может быть

представлена в следующем виде:

F=J С G«)

(2)

Как видно из выражения (2), величина суммарной

F

неуравновешенной силы

определяется значением

( ), которое не зависит от абсолютных геометрических размеров полукольца, а определяется их безразмерным соотношением.

Конфигурационный интеграл в элементар-

ных функциях не выражается, поэтому его можно найти

только численно. Результаты расчетов G(^) при некоторых значениях ^ приведены в следующей Таблице 1

Конфигурационный интеграл G(a) как функция а

Таблица 1

а 0.80 0.85 0.90 0.95

G(a) 6.02 6.45 6.85 7.14

Используя данные, содержащиеся в Таблице 1,

можно оценить величину суммарной силы Р электродинамического взаимодействия токов в рассматриваемом полукольце. Так, полагая

А( /1 , I = 104 А

а = 0.95, ju0 = 4^-10"

на основании формулы (2) получим

F = 71.41

Список литературы 1. Буров А. В. К расчету пондеромоторных сил в уединенном электрическом контуре // ДАН СССР. 1983. Т. 270. № 3. С. 586 - 589.

АСИМПТОТИКА РАСПРОСТРАНЕНИЯ СКАЧКА НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ

В СТРУНЕ

Мансаре Баба

Старший преподаватель Конакрийского университета, г.Конакри

Себельдин Анатолий Михайлович Доктор физ.-мат.наук, профессор Мининского университета, г. Н.Новгород

Шарый Владимир Александрович

Кандидат физ.-мат.наук, доцент горного университета, г. Санкт-Петербург

Исследуется нелинейное распространение волны в струне на фронте которой нормальное напряжение и скорость струны испытывают скачок. Полученные условия на фронте этого скачка аналогичны условиям на ударных волнах в газовой динамике. Вышеупомянутые соотношения позволяют получить закон затухания нормального напряжения в струне.

1. Постановка задачи.

Рассматривается распространение волн в струне с закрепленными концами, одна из точек которой А перемещается по известному закону:

v=(s)1/2a0f(t),

(1.1)

p=p(a0)2e[1 +(n- 1)e/2],

(1.2)

где (a0)2= n/p, p - плотность струны, Bn=j, j - модуль Юнга, B, n - постоянные, связанные с материалом струны,

одна из которых может быть выбрана произвольным образом для лучшего приближения экспериментальных данных. Мы будем широко использовать результаты статьи [1] и, в частности, нелинейное волновое уравнение распространения волн в струне:

utt=(a0)2 (1+e)n-1 uxx,

(1.3)

где ВД=0(1), Д0)>0, ед>0 при Р-0, Г (£)<0 при т

Движение исследуется до момента времени Ш>0 когда одна из волн достигнет закрепленного конца. В (1.1) присутствует малый параметр е1/2=уш/а0, где vm - максимальное значение скорости точки А на вышеупомянутом диапазоне времени. Из вышесказанного следует, что Д0)=1. Предположим, что начало системы координат (х,0,и) совпадает с начальным положением точки А. Ограничимся исследованием движения точек струны лежащих справа от А. Движение рассматривается на интервале [0,1т], где Ш - момент времени, когда одна из волн достигнет закрепленного конца. Предполагается, что нормальные напряжения в струне р и малые деформации е(хД) связаны соотношением, полученным в [1]:

где 2е=(их)2, и(хД) - функция отклонений точек струны от положения равновесия, а нижними буквенными индексами обозначаются частные производные.

Будем искать асимптотическое решение уравнения (1.3) удовлетворяющее условию (1.1), условиям на фронте волны С (см. рисунок), которые будут получены ниже и начальным условиям:

и(х,0)=0, и(х,0)=0. (1.4)

2. Построение асимптотического решения.

В [1] уравнение (1.3) заменяется эквивалентной ему системой:

^ + а0(1 + е) 1 ^ = 0

{

дх

■+«0 дм=0,

дt ' "0 дх (2 1)

где и=у= а0М.

В области, удаленной от фронта волны С, в [1] построено асимптотическое линейное решение:

М1=е1, (2.2)

М1=Д1-х/а0), Ьх/а0 >0. (2.3)

В (2.2.) и (2.3) М1 и е1 являются главными членами асимптотических разложений:

М(хД,е)=е1/2М1(хД)+е3/2М2(хД)+...

д/2е( х,

с, t,s) = sll2e1( х, t) + s312 e2( х, t) +...