Асимптотика гидравлического скачка на мелководье Текст научной статьи по специальности «Физика»

АСИМПТОТИКА ГИДРАВЛИЧЕСКОГО СКАЧКА НА МЕЛКОВОДЬЕ

Шарый Владимир Александрович

Кандидат физ.-мат.наук, доцент горного университета, г. Санкт-Петербург

Себельдин Анатолий Михайлович

Доктор физ.-мат.наук, профессор Мининского университета, г. Н.Новгород

В данной статье исследуется асимптотическое поведение гидравлического скачка в условиях теории мелкой воды, то есть, когда отношение Ю/Ь=е (0<е «1) выполняется для рассматриваемой гидравлической волны в условиях мелководья. Здесь Ю - глубина невозмущенного океана, Ь - длина волны, а е - малый параметр задачи.

1. Постановка задачи.

В некоторый момент времени, который мы примем за начальный t=0, фронт волны достигает точки О (см. рисунок), справа от которой глубина океана начинает медленно убывать.

»/(*.*) \ <А

>< До

IIII т и н т пи ¡¡д д

{ =0

Известно, что в случае прямолинейного дна в условиях мелководья, вертикальная компонента скорости жидкости имеет более высокий порядок малости чем горизонтальная V, и течение в таких волнах с точностью до малых O(е2) является одномерным. Как было отмечено в [1], движение жидкости в случае прямолинейного дна описывается адиабатической нестационарной системой уравнений (1.1) л(1.2) газовой динамики с показателем адиабаты ж=2:

V + ^х+2аах/(ж-1)=0 (1.1)

at + vax+(1/2)(ffi-1)avx=0, (1.2)

где индексами обозначены частные производные, a=(gh)1/2, g - ускорение силы тяжести, h=h(x,t) - высота волны по отношению ко дну океана. Скорость звука а в теории мелкой воды может быть вычислена по формуле:

a2=dP/dph=gh, (1.3)

где Р - сила давления воды в нормальном сечении волны единичной ширины 1=1 и высоты ЩхД), р - плотность воды. Отметим, что P вычисляется по формуле гидростатического давления:

p=p0+pg(h-z), (1.4)

где p0 - атмосферное давление на поверхности воды, а p - гидростатическое давление жидкости. Приведем обобщение системы (1.1)л(1.2) на случай криволинейного дна:

z=h0ф(x,е)=еh0ф1(x)+0(е2), (1.5)

где ф(0)=0, ф(х)>0 при х>0, (ф^)=0, x<0), ф'(х)>0 при х>0, ф1(х)=О(1). Функция скорости a* для случая криволинейного дна вычисляется из соотношения для силы давления воды P* в нормальном сечении волны единичной ширины и высоты ^^Д):

P*=(1/2)pg(h*)2, (1.6)

где высота волны ^(хД) задается формулой:

^=Ю(1+"-ф), (1.7)

здесь Юл^Д) - высота волны по отношению к невозмущенной поверхности воды (см. рисунок). Будем предполагать, что л^ДиО^). Из (1.6) получаем:

(a*)2=dP */dph*=gh*. (1.8)

Положим, что:

a*=a0(1+a*), (1.9) где a*(x,t)=O(е). Из (1.7)-(1.9) следует:

2а*="-ф. (1.10)

Система уравнений (1.11) л (1.12), описывающая движение волны, получается из законов сохранения массы и изменения количества движения, записанных для элементарного объема ограниченного двумя нормальными сечениями единичной ширины, расстояние между которыми равно dx, нижнее основание объема покоится на криволинейном дне, а верхнее совпадает со свободной поверхностью воды:

V + wx+2а*аx/(ж-1)+h0gф'(x)=0 (1.11)

(а*Х + v(a*)x+(1/2)(ж-1)a*vx=0. (1.12)

Последнее слагаемое в (1.11) задает реакцию дна. Ясно, что, если ф^)=0, то система (1.11)л(1.12) переходит в (1.1)л(1.2). Будем искать асимптотическое решение системы (1.11)л(1.12) при следующих граничных и начальном условиях:

A) На криволинейном дне нормальная составляющая скорости частиц жидкости vn должна равняться нулю. Учитывая, что vn=vcosP+wcosy, р и у углы между нормалью к поверхности дна и осями ох и oz соответственно, а w - вертикальная составляющая скорости, w=O(е2), имеем vn=0 с точностью до малых О(е2).

Б) На фронте волны искомые функции испытывают разрывы, соотношения для которых будут определены ниже.

B) Для получения начального условия предполагается, что профиль волны известен при t=0 т.е. л^^^е^Х). Из (1.10) получаем начальные условия:

2a*(x,0)=8f(x), (1.13)

где Дх)>0 при х<0.

2. Линейное решение.

Всюду в дальнейшем будем предполагать, что:

В области изменения искомых функций будем искать решение системы (1.11)^(1.12) в виде асимптотических разложений:

M(x,t,e)=eM1 (^^Ш^Д^... (2.1)

a*(x,t,8)=8a1*(x,t)+82a2*(x,t)+... (2.2)

^(x,t,s)=s^ 1(x,t)+s2^2(x,t)+. (2.3)

Подставляя (2.1)-(2.3) в (1.11), (1.12) получаем:

(M1)t+2а0(a1*)x(ж-1)-1=0 (2.4)

2(a1*)t(ж-1)-1+a0(M1)x =0. (2.5)

Исключая из (2.4), (2.5) М1 получаем волновое уравнение для a1*:

(a1*)tt =a02(a1*)xx (2.6)

Начальные условия для (2.6) получаем из (1.13):

2a1*(x,0)=f(x). (2.7)

Решение уравнения (2.6) удовлетворяющее (2.7) имеет вид:

2a1*=f(x-а0t), при x<a0t. (2.8)

Функцию М1 можно получить, интегрируя уравнение (2.4), где a1* из (2.8). Полагая равной нулю произвольную функцию интегрирования (это в дальнейшем позволит срастить линейное и нелинейное решения), имеем:

M1=f(x-а0t), при x<a0t (2.9)

Из (2.8), (2.9) и (1.10) получаем соотношение

M1=^1-ф1, (2.10)

которое выполняется всюду в области применимости линейного решения. Как следует из (2.9) на граничной характеристике линейного решения х=а01, имеем М1=Д0), Д0)>0 т.е. М1(хД) испытывает скачок равный Д0), что противоречит понятию характеристики. Этот дефект линейного решения можно устранить введением нелинейного решения в области, прилегающей к фронту волны, получив предварительно условия на фронте аналогичные условиям на ударных волнах в газовой динамике. Заметим, что в линейном приближении высота волны 8Ю^1(хД) над невозмущенной поверхностью воды задается формулой:

еЮ'л 1(x,t)=eh0(f(x-a0t)+ф1(x)).

3. Условия на гидравлических прыжках.

Условия на гидравлических прыжках могут быть получены из законов сохранения массы и изменения количества движения, и имеют вид:

рЮ(1+^-ф)^-^=рЮ(1-ф)^^-) (3.1)

рЮ(1-ф)^^-)^-)= P*- P-*, (3.2)

где N - скорость фронта волны, v— скорость воды справа на фронте, которая получается аналогичным образом при нахождении значения М1 из (2.6), (2.4) и начального условия (2.7) записанного теперь для х>0:

2a1*(x,0)=-ф1(x). (3.3)

После проведения указанных вычислений, получаем:

v-=-а0sф1(x). В (3.2) Р* вычисляется по (1.6), а P-* вычисляется из (1.6), где ^=0. Асимптотическое представление си-

стемы (3.1)л(3.2) имеет вид:

M1=^1-ф1, (3.4)

М=а0(1+(1/4)(ж+1)М18-(1/4)(ж+1)ф18), (3.5)

заметим, что

8Г|1=^*- P-*)/жP-*. (3.6)

Очевидно, что если в (3.4)л(3.5) ф^)=0, то получим соотношения, аналогичные известным соотношениям в газовой динамике [2].

4. Нелинейные решения.

Построим нелинейное решение в области порядка O(s) прилегающей к фронту волны. В этой области введем переменные 5, ^ по формулам:

85=^04 Г = 1, 5=O(1), (4.1)

и будем искать решение системы (1.11)л(1.12) в виде асимптотических разложений:

M(x,t,8)=8M1(5,t')+. (4.2)

a*(x,t,8)=8a1*(5,t')+. (4.3)

'n(x,t,8)=8'n1(5,t')+... где М1(5Д')=0(1), a1*(5,t')=O(1), г|1(5Д')=0(1). Используя (4.2), (4.3) в (1.11)л(1.12), имеем:

M1=2a1*(ж-1)-1+у(t') (4.4)

(М1)Г +а0М1(М1)5 + 2а0a1* (a1*)5 (ж-1)-1=0, (4.5)

где у (О - произвольная функция интегрирования. Полагая у(1')=0, получаем:

M1=2a1*(ж-1)-1. (4.6)

Используя (4.5), (4.6), имеем:

(М1)Г +(1/2)а0 (ж+1)М1(М1)5 =0. (4.7)

Общее решение уравнения (4.7) записанное в переменных х, 1 имеет вид:

M1=F(x-а0t-(1/2)а0 (^+1^14 (4.8)

где F - произвольная функция своего аргумента, которая получается из сращивания нелинейного решения (4.8) с линейным (2.9) по методу Ван-Дайка [3]. В соответствии с этим методом находим главную часть т1 нелинейного решения (4.8) при малых 8:

m1=F(x-a0t). (4.9)

Затем находим главную часть линейного решения (2.9), которое совпадает с самим решением. Приравнивая главные части решений, получаем значение произвольной функции:

Используя это соотношение в (4.8), приходим к формуле нелинейного решения:

M1=f(x-a0t(1+ (1/2)^+1^1)). (4.10)

Заметим, что построенное нелинейное решение удовлетворяет условию на фронте волны (3.4). Действительно, это условие можно получить из сравнения (1.10) и (4.6). Очевидно, что условие (3.4) выполняется во всей области возмущенного движения жидкости. Отметим, что если ф^)=0, то рассматриваемая задача имеет точное решение типа волны Римана, удовлетворяющее условию 'П(x,0)=8f(x). В рассматриваемой задаче построенное асимптотическое решение (4.10) при ф^)— 0, совпадает с главной частью Римановского решения.

5. Асимптотика эволюции гидравлического прыжка.

Всюду далее, будем предполагать, что начальный профиль волны является линейным и задается уравнением:

ад=:Г(0^+Д0), (5.1)

где s<0, Д0)>0, Г (0)>0. Кроме этого, считаем, что при х—функция ф 1^) —^ q,

где заданная положительная константа q удовлетворяет условию 8q<1.

Дифференциальное уравнение движения фронта волны получается из (3.5):

а^-а01)М1 = а0(1/4)(ж+1)М18 - а0(1/4)(ж+1)ф18, (5.2) где М1 вычисляется из (4.10) и (5.1):

М1 = Т(0)(x-a0t+f(0)/f(0))/( 1 + а0(1/2)(ж+1)Г(0)8^. (5.3)

Учитывая (5.3) и, что при больших значениях х будет ф1(x)~q, уравнение фронта (5.2) принимает вид:

d(x-a0t)/dt=a0(1/4)(ж+1)8[ Г (0)(x-a0t+f(0)/f (0))/(1+а0(1/2)(ж+1)Г (0)8^]. (5.4)

Интегрируя (5.4), получаем траекторию фронта для больших 1:

x=a0t(1-(1/2)(s+1)qe)+C(1+a0(1/2)(s+1)

f (0)et)1/2-(f(0)+q)/f (0), (5.5)

где C - постоянная интегрирования. Используя (5.5) в (5.3), получаем, что для больших значений x функция M1(x,t) задается выражением:

M1 = f (0)C(1+a0(1/2)(s+1)f (0)et)-1/2- q. (5.6)

Используя (3.4) и (3.6) в (5.6) получаем:

(P*- р_*)/жр_*= f (0)C(1+a0(1/2)(s+1)f (0)et)-1/2. (5.7)

Положим, что при больших значениях x предельное значение P-* равно Pl*, где

Pl*=(1/2)pg(h0)2(1-eq)2.

Учитывая, что при больших значениях t, из (5.5) вытекает x~a0t, и поэтому соотношение (5.7) принимает вид:

P*~ Pl*+C*x-1/2, (5.8)

где константа C* получается из C умножением на некоторые положительные параметры задачи. Заметим, что (5.8) аналогично известному закону затухания плоских ударных волн Ландау:

p~p0+Cx-1/2,

где p0 и p - давление перед ударной волной и за ней соответственно.

Список литературы

1. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды: монография. Наука, 1971. — 854 с.

2. Гриб А.А., Шарый В.А. Распространение ударной волны в водоеме с наклонным дном. Вестник ЛГУ. 1974, 3, 74-81.

3. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости: монография. М., 1967. — 310 с.

ПОДАВЛЕНИЕ ИНТЕРМОДУЛЯЦИОННЫХ ИСКАЖЕНИИ В БАЛАНСНОМ

УСИЛИТЕЛЕ

Бобрешов Анатолий Михайлович

Доктор ф.-м., проф., зав. каф. электроники ВГУ, г. Воронеж

Мымрикова Нина Николаевна Доктор ф.-м., проф. каф. электроники ВГУ, г. Воронеж Яблонских Александр Алексеевич

Аспирант каф. электроники ВГУ, г. Воронеж

Введение.

В связи со стремительным развитием радиоаппаратуры, расширением радиочастотного диапазона происходит увеличение плотности излучающих элементов различного уровня сигналов на одной площади. В связи с этим требования, накладываемые на приемный тракт, постоянно изменяются в сторону минимизации нелинейных искажений (НИ) различных порядков. Среди существующих способов уменьшения НИ (использование селективных систем, различных типов обратной связи) можно выделить балансную схему включения усилителей, как часто

где mxl =

^ds gmvgs

d2Ids

у™+i gmvgs +

применяемую для подавления НИ второго порядка [3], тогда как вопрос о уменьшении НИ третьего в данной схеме является не менее актуальным.

Нелинейная модель полевого транзистора.

При анализе нелинейных характеристик нами рассматривалась модель полевого транзистора, представленного на рис. 1. На не высоких частотах и при малосигнальном входном воздействии [1] Rg, Rd и Rs можно пренебречь. Ток стока можно представить в виде:

2&m'gs ■ 2

d3Ids

2 +miiVgsVds+1g™v3

1 ™vL + 1m

-mi2VgsV^s +-m2iVdsV|s

gm и Gm-параметры транзистора.

dVgs 9Vds

mi2 =■

m =

d3Ids dVgs aVds

avgs av