CC BY
9
На Рис.7 показаны зависимости, описывающие изменения объема полости, полученные с учетом деформации поверхности и на основе предположения о сферической форме полости для значений параметров: к=1, Р=2, f=1, ю=4, <;= 0.1, т=1.0, L=1.5 . Из рисунка видно, что различия объемов вплоть до момента образования струи незначительны.
На основе полученных результатов можно сделать следующие основные выводы. В процессе пульсаций полость приближается к границе и до момента образования струи может совершить несколько пульсаций. Время формирования струи зависит от интенсивности пульсаций, начального удаления полости от границы раздела, величины сил поверхностного натяжения. На стадии расширения полость не восстанавливает полностью сферическую форму, что
оказывает существенное влияние на последующий характер изменения формы. Струя на поверхности полости может формироваться на начале стадии ее расширения. Это связано с тем, что частицы в точках поверхности, находящейся на противоположной границе раздела стороне, приобретают на стадии захлопывания значительную по величине скорость и не успевают затормозиться на стадии сжатия и, поэтому продолжают движение к границе раздела и на стадии расширения.
Список литературы:
1. Кнэпп Р. ,Дэйли Дж., Хэммит Ф.Г. Кавитация.-М.:-Мир,1974.
2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.-М.:Наука,1979, 284 стр.
ОТРАЖЕНИЕ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО СКАЧКА ПОСТОЯННОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ ОТ ЖЕСТКОЙ СТЕНКИ
Шарый Владимир Александрович
Кандидат физ.-мат.наук, доцент горного университета, г. Санкт-Петербург
Пайков Владимир Иванович
Кандидат физ.-мат.наук, доцент Донецкого Национального университета, г. Донецк
АННОТАЦИЯ
В работе рассматривается ситуация приводящая к возникновению гидравлического скачка постоянной интенсивности. Определяются параметры движения этого скачка. При отражении этого скачка от твёрдой вертикальной стенки определяются параметры отраженного скачка.
ABSTRACT
This paper examines the situation leading to the emergence of a hydraulic jump of contant intensity. The parameters of motion of the shock. The reflection of this jump from a solid vertical wall defines the parameters reflected shock.
Ключевые слова: Гидравлический скачок. Отражение от твёрдой стенки.
Keywords: Hydraulic jump. Reflection from a solid wall.
ВВЕДЕНИЕ:
Рассматриваемая в работе задача распадается на два этапа. На первом этапе определяются параметры скачка, возникающего при распаде некоторого произвольного разрыва жидкости. На втором этапе происходит прямое падение возникшего гидравлического скачок в некоторый момент времени на жесткую стенку и определяются параметры отраженного от стенки скачка
1- ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО СКАЧКА ПРИ РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА.
Упомянутый выше гидравлический скачок постоянной интенсивности может возникнуть, например, при вне-
запном открытии плотины уровни воды на которой равны
h0, ^ такие что: ^ > /0 > 0, ^^ = е, 0 <е« 1. Задача рассматривается в рамках теории мелкой воды, в соответствии с которой [1] движение жидкости можно описать уравнениями одномерной нестационарной газовой динамики адиабатического движения сжимаемой жидкости с показателем адиабаты к=2:
dv dv 2a da
— + v — +---= 0 (1.1)
dt dx к -1 dx
да да к-1 ду п
— + у— +--а--= 0
дг дх 2 дх
(1.2)
В этой системе и - скорость движения частиц жидкости, а - аналог скорости звука в сжимаемой жидкости,
а2 =
dP
d (р^)
р - постоянная плотность воды, h = h (х, г) - высота свободной поверхности жидкости над дном водоёма смотри рис 1.
Рис1
Р = Ро +Р' g■ (h - 2)
(1.3)
где р0 - атмосферное давление на поверхности жидкости, р - давление жидкости на глубине z, а, g - ускорение свободного падения. Очевидно имеем
Учитывая выше сказанное, для аналога скорости звука в теории мелкой воды а получаем:
В теории мелкой воды представляет собой силу давления воды на площадку единичной ширины, перпендикулярную оси , высота которой равна ^хД). Сила давления вычисляется с помощью формулы гидростатического давления жидкости:
а =
(1.5)
Заметим что соотношение (1.4) является аналогом адиабаты в газовой динамике с показателем адиабаты к=2;рк -аналог переменной плотности р, а Р аналог давления р в теории мелкой воды.
Так как в задаче присутствует малый параметр е то очевидно, что ^хД) слабо отличается от Ь0, поэтому положим:
Ъ = ко (1 + е-п)
(1.6)
Р = {(Р - Ро ) &
о
Вычисления дают величину силы давления Р:
р
(1.4)
где
п =п ( х, г ) = О (1) ;
очевидно что е-Ъ0 ■ц1 - равно высоте волны над невозмущённой поверхностью h=h0. Ясно, что для имеем П1=1 . Используя (1.6) в (1.5) для величины а находим:
а = а01 1 +
к-1
(1.7)
где а0 =
. Из (1.4), (1.6) находим:
Здесь N скорость гидравлического скачка, а функция щ( х) является главным членом разложения уравнения слабо искривлённого дна
р - р
__±0
к Р
= еПх =
h - К
К
(1.8),
к=у( х )=е^х( х)+...
Вернёмся к формулировке задачи о внезапном открытии плотины в рамках теории мелкой воды. Очевидно, что рассматриваемая задача эквивалентна задаче о распаде произвольного разрыва в момент t=0 в сжимаемой жидкости, причём слева от разрыва жидкость имеет параметры р2 = р- , р 2 = р, у2 = 0, а справа от разрыва имеем
Р\ =Р-К р1 = Р0, у1 = 0.
Очевидно, что р2 > Д, р2 > р1. Полученная задача о распаде произвольного разрыва сжимаемой жидкости аналогична задаче исследованной, например, в [2]. При распаде произвольного разрыва в момент t=0 в сторону положительных значений х побежит гидравлический скачок СС', а в сторону отрицательных значений х из отрезка ОА расположенного на оси пойдёт центрированная волна разрежения ВВ^^, на фронте которой DD' параметры известны: и=0 а=ах где а вычисляется по формуле (1.7) в которой П1=1. На последней характеристике ВВ' волны разрежения, граничащей справа с областью постоянного потока ВВ'С'С параметры неизвестны и совпадают с соответствующими параметрами на гидравлическом скачке. Вышеупомянутая центрированная волна разрежения представляет собой известное точное решение Римана системы уравнений (1.1), (1.2). С учетом условий на DD' эта волна даётся соотношениями:
х
г
к+1
■у - а.
(1.9)
в ряд по степеням е, Щ (х) = О (1) .
В рассматриваемой задачещ( х) = 0 , и (1.12), (1.13) принимают вид:
М =п
N = а01 1+ ■ М1 е
(1.14)
(1.15).
Соотношения (1.11) и (1.14) дают систему двух уравнений для неизвестных параметров на гидравлическом скачке СС'и граничные характеристики ВВ'. Из этой системы находим:
м1=п=2
(1.16).
Используя полученные значения в (1.8) для высоты гидравлического скачка h' и его интенсивности Р'-Р0, находим соотношения:
К + К Р - Р
К' = , Р'-Р0 = (1.17).
2 "2
Для получения траектории характеристики ВВ', вычис-
лим в (1.9) значение и для м1 = 1.
у + -
к-1
■а =
к-1
■а1 (1.10).
Элементарные вычисления дают:
Полагая в (1.9) и=0 получаем траекторию фронта DD': х= -a1•t. Полагая в (1.10) у = е а ■М1 и заменяя а и аг в соответствии с (1.7) приведём (1.10) к виду:
М1 + п = 1
(1.11).
Перейдём к определению параметров на гидравлическом скачке СС'. Запишем соотношение на гидравлическом скачке в условиях слабо искривлённого дна, полученные в [3]:
М =п -Щ (х) (1.12)
х ( к-3 ^
В заключение этого параграфа приведём соотношение для формы поверхности волны разрежения в фиксированный момент времени, которое получается из (1.8) - (1.10) и имеет вид:
к
2 х к -11
---+-1 1-
К0 к +1 а0г к +11 к-1
-а0 ■ I 1 + ——1 ■ е |■ г < х < -а0 ■ | 1 + ——-• е \-г
(п к +1 , к +1 , , \ N = а011 +--М1 е---щ (х)е \ (1.13).
2- ПАРАМЕТРЫ ОТРАЖЕННОГО ОТ СТЕНКИ СКАЧКА.
Возникший при распаде произвольного разрыва скачок в момент времени = х достигнет вертикальной стенки ЕЕ' и
отразившись от неё
ё,"5удет
распространятся влево, с некото-
2
рой неизвестной пока скоростью N<0. Для определения параметров отраженного от стенки скачка, запишем закон сохранения массы и изменения количества движения на нём. Учитывая, что N<0 закон сохранения массы примет вид:
р-И (1 + еп)(-Я -v) = р.ho-(1 + е-П+ V) С2.1) Для закона изменения количества движения имеем:
р. И (-Ы + V! )(у + V! ) = Р -Р (2.2), где V; = е а0 - П , а V = е а0 п. Вводя
N = -Ы + v1, V = V + р = р-К-(1 + еп\), р = Р-/0 •(1 + еП)
уравнения (2.1), (2.2) принимают вид:
р. (N - V ) = р- N (2.3)
Соотношение (2.6) аналогично соотношению для скорости распространения ударной волны сжимаемой жидкости по возмущённой уже жидкости с.м. [1]. Возвращаясь в (2.5), (2.6) к переменным получим:
Ы =п -м\ -П (2.7)
- N = а -I 1+К+1 -п-е+К—3 П е- м\ е I (2.8)
^ 1 1
где М1 =п = ^ - параметры за падающим на стенку скачком. Очевидно, что за отраженным от стенки скачком М1=0. Учитывая это (2.7) даёт значение за отраженным от стенки скачком. В этом случае из (1.8) легко получаем значение параметров за отраженным скачком:
Р = Р, И = И1,то есть при отражении слабого гидравлического скачка от стенки, происходит удвоение интенсивности отраженного скачка, аналогично тому, как это происходит в газовой динамике при нормальном отражении слабой ударной волны от стенки. Для скорости распространения отраженного скачка из (2.8) получаем окончательно:
Р - N - V = Р - Р (2.4). Соотношения (2.3), (2.4) дают:
Гр-р )-N
V =
р
(Р - Р')-р
2 _ р
N2 =
р-р
(2.5)
(2.6).
- N = аЛ 1 +
3к-5
ещё раз заметим, что в полученных соотношениях к=2.
Список литературы:
1. Станюкович К.П. «Неустановившиеся движения сплошной среды» Наука, 1971, 854 стр.
2. Гинсбург И.П. Аэродинамика. М., Высшая школа, 1966, 403с.
3. Шарый В.А., Себельдин А.М. «АСИМПТОТИКА ГИДРАВЛИЧЕСКОГО СКАЧКА НА МЕЛКОВОДЬЕ» Евразийский союз учёных (ЕСУ); 2015 №4 Часть12 123-125.
