О численном методе решения задач о движении деформирующихся газовых полостей Текст научной статьи по специальности «Физика»

Результаты.Определены особенности процесса визуализации. Показана возможность и выявлены особенности поляризационной визуализации кожного покрова и поверхностных слоев биологических модельных объектов. Проведена оценка состояния кожного покрова и определены возможные патологии. Исследования были выполнены как с использованием некогерентного источника белого света, так и когерентного лазерного излучения. Сравнение полученных данных позволило выявить подобные тенденции изменения параметров при изменении состояния кожи.

Вывод.Полученные результаты свидетельствуют о применимости и диагностической значимости разработанной методики и перспективности дальнейших исследований в этом направлении.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Барун В. В., Иванов А. П., Волотовская А. В., Ула-щик В. С., Спектры поглощения и глубина проникновения света в нормальную и патологически измененную кожу человека // Журнал прикладной спектроскопии. Май - Июнь, 2007.Т. 74. № 3. С. 388 - 394.

Тучин В. В., Оптика биологических тканей. Методы рассеяния света в медицинской диагностике. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2013. — 812 с.

Тучин В. В. Оптическая биомедицинская диагностика. В 2 т. Т. 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 560 с.

О ЧИСЛЕННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О ДВИЖЕНИИ ДЕФОРМИРУЮЩИХСЯ ГАЗОВЫХ ПОЛОСТЕЙ

Сиников Валерий Михайлович

доцент, к.ф.-м.н., Самарский государственный университет, г. Самара

АННОТАЦИЯ

В работе приводится описание разработанного численного метода для расчета динамики кавитационных каверн с учетом деформации их поверхности. Приводятся результаты расчета задачи о движении пульсирующей газовой полости вблизи твердой границы раздела.

ABSTRACT

The work decribes the developed numerical method for calculating dynamics of cavitation cavern, taking into account the deformation of the surface. The results of calculation of the problem of the motion of pulsating gas cavity near solid boundaries.

Ключевые слова: кавитация, каверны, деформация.

Keywords: cavitation, cavern, deformation.

Движение кавитационных полостей происходит, как правило, вблизи по-верхностей раздела или в условиях взаимодействия с соседними полостями. Эти обстоятельства оказывают существенное влияние на характер движения ка-витационных полостей и, следовательно, на характеристики излучаемого ими шума и производимую эрозию твердых границ раздела. В ряде экспериментальных [1] и теоретических работах показано, что форма поверхности каверн становится отличной от сферической, что также оказывает существенное влияние на процесс их захлопывания и движения. Однако процессы взаимодействия и развития деформации поверхностей пульсирующих каверн вблизи границы раздела изучены недостаточно.

Пусть в области занятой жидкостью и ограниченной твердыми поверхностями раздела Ei, i=1,m1, содержится совокупность кавитационных полостей, центры которых расположены на прямой линии. Предполагается, что в начальный момент времени поверхности каверн сферические, жидкость покоится, а границы расположены таким образом, что задача является относительно линии, проходящей через центры каверн. Начиная с некоторого момента времени t=0, давление в жидкости на бесконечности начинает изменяться по гармоническому закону

Poo= P»+ Pm • sin(<a-t + y) (1)

где - давление на бесконечности в момент времени t = 0 P - амплитуда, ю - круговая частота, у - сдвиг фазы

гармонической составляющей внешнего давления. В результате, полость начинает сжиматься (расширяться) и, взаимодействуя с границами раздела и соседними полостями, поступательно перемещаться.

Предполагается, что жидкость идеальная, несжимаемая; давление газа внутри полости изменяется по закону политропы; фазовые переходы и массообмен не учитываются; движение жидкости потенциальное; динамика газа внутри каверн не учитывается.

Вводятся безразмерные переменные

P '

и я,

и

J? и ^

i = 1, m

P

Pm )

где R0 - начальный радиус одной из каверн; wi - объем 1-

ой полости; ^ - начальный объем 1-ой полости в начальный

' 01

момент времени. Величины со штрихами являются безразмерными. В дальнейшем штрихи опускаются, а все величины будут безразмерными.

В безразмерных переменных задача сводится к определению потенциала удовлетворяющего условиям

д 2ф д 2ф 1 дф

■ +

дг2 дz2 г дг

+--- = 0, (г, z) еО

(2)

уравнения движения жидких частиц, располо-женных в точках образующей 1-ой полости.

Для решения задачи (2)-(7) используется метод подвижных потенциалов, который является обобщение метода гидродинамических особенностей. Основная идея этого метода состоит в следующем.

Внутри полостей, на оси симметрии задачи, выбираются сосредоточен-ные гидродинамические особенности. Искомый потенциал скоростей ф(г, z, X) представляется в виде суперпозиции потенциалов указанных особенностей

д( = к + /• (к, -1)-(V()2 + V?)2)/2 + д[8т(®.X)-1] + дг

+в '(1 -™>:г),(г,z) еГ,i = 1,т

Ншф = 0, (г, z) ^ <х>, (г, z) е О

(3)

(4)

ду дп

= 0, (г, 2) е О, , = 1, т1

ЖЯ(х ,а)

Ж

■■ V

()

(х ,а) Жх

1, т

(7)

Ф = ЪЪ А

=1 к=1

^/(г2 + (2 - 2к)2

(8)

где А( (X) к = 1, да интенсивности особенностей, выбираемых внутри 1-ой полости, (0,- их начальные координаты. Для удовлетворения граничным условиям (10) применялся метод отражений. В итоге решение исходной задачи принимает вид

(5)

(р(г, 2,0) = 0,(г, 2) е О (б)

где Г - поверхность 1 - ой полости; р - плотность жидкости; Р - давление в жидкости; Р(1) - давление газа внутри 1 - ой полости; с - коэффициент поверхностного натяжения; К- средняя кривизна поверхности 1 - ой полости; ш- число полостей; ш1- число твердых границ раздела где

к = А / | А | , / = 2а ( Я0 | А » - коэффициент характеризующий влияние сил по-верхностного натяжения, К -

средняя кривизна поверхности Г1 1-ой полости, д = Рт /| А - коэффициент периодической составляющей давления, у-

показатель политропы, Д = РГ(0) / | А | - коэффициент сжатия газа, v('() = дф/дг |Г , vZг) = дф/д2 |Г - компоненты векторов скоростей ' жидких' частиц на образующей 1- ой полости. Здесь (2) является условием потенциальности движения жидкости; (3)- условие Лагранжа- Коши; (4)- условие затухания возмущений, вызванных движением полостей, на бесконечности; (5)- начальное условие, задаваемое с точностью до аддитивной постоянной.

Уравнения, описывающие изменение со временем конфигураций образу-ющих поверхностей каверн, имеет вид

ф = Ф(г,2,А®(х) А21)(х),...,2ш(х) 221)(х),...,А(2'(х) А22)(X),...)

А<1>(

2 о:

т(

А<2>(

А<2>(

(9)

Здесь функция Ф зависит от и от конфигу-рации и пространственного расположения границ раздела Г , 1=(1,ш). Решение вида (8) строится таким образом, чтобы граничные условия (10) удовлетворялись точно или с некоторой заданной погрешностью. Функция Ф вида (8) является потенциальной в области занятой жидкостью, условие (4) выполняется точно, (5) - точно или приближенно ( в зависимости от задачи). Для удовлетворения условию (6) достаточно пред-

положить, что А( (0) = 0, ■ = (1, т).

Справедливость сказанного следует из того, что функция (14), полученная методом отражений, является однородной

относительно А^ (X) и, поэтому также является потенциальной. Относительные объемы полостей , ■ = (1, т) определяются с помощью решения дифференциальных уравнений вида

= -3-Х Акi \х)/Я

(i■ )3

Ж к=1 , = (1, т)

(10)

где Я = Z = Z (X,ai) - уравнения образую-

щей 1- ой полости(ш - пара-метр) и представляют собой

где Я0 есть отношение начального радиуса 1 - полости к характерному размеру Я0. Каждое из уравнений (10) представляет условие соответствия скорости изменения объема 1-ой полости скорости поступления в нее жидкости от гидродинамических особенностей, расположенных внутри нее. На основе вышесказанного строится следующая численная процедура [9]. На образующих поверхностей

1

каверн, являющихся результатом сечения их какой- либо плоскости, проходящей через ось z, выбирается конечная

система точек с координатами (R(0), Z^ 1=(1,М), где М некоторое заранее заданное четное число. Внутри каждой полости (на оси симметрии) выбирается №М/2 особенностей. В результате функция (14) принимает вид

<Р = Ф(г, г, 4), $)) i _ (1, т), к _ (1, N)

(11)

ЗФ

ЗА,(1'

А ')

г к з^

2(]) _ к

_ к + f • (к, -1) - )2 + у2')2).2 + Д • (1 - V), , _ (1, т)

(12)

Тихонова А.Н. [2]. Параметра регуляризации использовался следующий метод. В качестве а выбиралось а из{ак}, ак=ап qk-1, 0<q<1, ак э [ап,акп] ,которое удовлетворяет условию

В итоге решение задачи сводится к слежению за движением "жидких' частиц, расположенных в начальный момент времени в выбранных на образующих полостей точек. На каждом шаге по времени скорости движения и изменения интенсивностей источников определяются с помощью решения системы линейных алгебраических уравнений

Здесь по повторяющимся индексам производится суммирование. Система (12) является результатом проекции (3) на системы выбранных точек, в которых в данный момент времени находятся выбранные "жидкие" частицы. Система линейных алгебраических уравнений (12) относительно

Ак1) и 2к}) является плохо обусловленной. Поэтому для ее решения системы (21) использовался метод регуляризации

2 1+1 - 21 _ тш11 г+1 - 2

где zl есть решение исходной системы, полученное при а=а1, а ап и акп - заранее выбираемые границы изменения параметра. Отметим, что в процессе решения задачи параметр регуляризации изменяется достаточно редко, что позволило выбирать его не на каждом временном шаге. Для вычисления приближенных значений производных, используемых для определения средней кривизны в точках поверхностей каверн, использовался интерполяционный кубический сплайн. Для численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений использовался метод Хэмминга 4-го порядка с автоматическим выбором шага. Причем, на каждом шаге по времени точность решения системы (12) контролировалась и при достижении ею заданного предельного значения решение задачи прекращалось.

С использованием разработанной численной процедуры решения были получены решения целого ряда задач о движении пульсирующей полости вблизи границы раздела, захлопывании полости между двумя плоскими границами раздела и задача о взаимодействии двух деформирующихся полостей.

Рассмотрим задачу о движении пульсирующей газовой полости вблизи твердой границы раздела. Осесимметрич-ное движение жидкости рассматривается в цилиндрической неподвижной системе координат г, z с началом на твердой стенке в соответствии с Рис.1, где ^ - область занятая жидкостью, Е - твердая плоская граница раздела, Г- поверхность полости, L - начальное удаление центра полости от □.

Рис.1

Решение ищется в виде

Ф(г, 2,1) Ак «11 / dk +1 / Dk )

г_1

где

dk Г 2 + (2 - 2к )2 , Dk _ Vг 2 + (2 + ¿к )2

(13) , где 2к ), Ак ) - функции подлежащие определению. Были получены решения задачи для различных ее параметров. Рассмотрим некоторые из этих решений.

Рис. 2

0.0 0.4 0.8 1.2 1.4 2.0 2.4 2.8 3.2

Рис.3

На Рис. 2 показаны конфигурации образующей полости в моменты времени: t = 0.0; 2-1.08; 3- 2.164;4- 3.244; 5- 3.274; 6- 3.296 для значений параметров к=1, £ =0, Р=0.5, 1=0, 7=1.401, L=2.5 в указанные моменты времени. Это соответствует случаю, когда силы поверхностного натяжения отсутствуют, начальное удаление центра полости от стенки

равно 2.5R0, давление на бесконечности увеличивается на , где начальное давление газа в каверне. На рис.3 приводятся зависимости 2- объема каверны, 1- координаты положения обобщенного центра от времени. Видно, что струя начинает возникать на начальной стадии расширения полости.

Рис.4

Рис.5

На Рис.4 приведены конфигурации образующей полости в моменты 1- t=0.0; 2-0.97; 3-2.06; 4- 4.03; 5-4.446.для значений параметров к=1, р=2, f=1, ю=4, £= 0.1, у=1.0, L=1.5. Это соответствует начальному удалению центра полости от границы раздела равному 1.5R0, наличию периодически изменяющегося поля с безразмерной частотой ю=4 и амплитудой в 0.1 безразмерной величины, скачку давления на бесконечности в 0.5РГ0, а предположению, что давление газа в полости изменяется по изотермическому закону. На рисунке видно, что в данном случае струя образуется на стадии захлопывания. Причем, из-за сил поверхностного натяжения полость имеет более округлую форму, а струя- имеет

большее поперечное сечение. На Рис. 5 приводится зависимость изменения объема полости от времени до момента образования струи для значений пара-метров: к=1, р=2, f=1, ю=4, £= 0.1, т=1.0, L=4.0 . Видно, что параметры те же, что в предыдущем случае, но начальное удаление центра полости от границы раздела равно 4R0. Здесь видно, что полость до момента образования струи успевает совершить несколько пульсаций и струя образуется на стадии сжатия полости. На Рис.6 приводится зависимость изменения объема полости от времени для значений параметров к=1, р=1, f=1, ю=4. £= 0.1, 7=1.0, L=2.0. Видно, что струя образуется на стадии расширения полости.

На Рис.7 показаны зависимости, описывающие изменения объема полости, полученные с учетом деформации поверхности и на основе предположения о сферической форме полости для значений параметров: к=1, р=2, f=1, ю=4, 0.1, т=1.0, L=1.5 . Из рисунка видно, что различия объемов вплоть до момента образования струи незначительны.

На основе полученных результатов можно сделать следующие основные выводы. В процессе пульсаций полость приближается к границе и до момента образования струи может совершить несколько пульсаций. Время формирования струи зависит от интенсивности пульсаций, начального удаления полости от границы раздела, величины сил поверхностного натяжения. На стадии расширения полость не восстанавливает полностью сферическую форму, что

оказывает существенное влияние на последующий характер изменения формы. Струя на поверхности полости может формироваться на начале стадии ее расширения. Это связано с тем, что частицы в точках поверхности, находящейся на противоположной границе раздела стороне, приобретают на стадии захлопывания значительную по величине скорость и не успевают затормозиться на стадии сжатия и, поэтому продолжают движение к границе раздела и на стадии расширения.

Список литературы:

1. Кнэпп Р. ,Дэйли Дж., Хэммит Ф.Г. Кавитация.-М.:-Мир,1974.

2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.-М.:Наука,1979, 284 стр.

ОТРАЖЕНИЕ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО СКАЧКА ПОСТОЯННОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ ОТ ЖЕСТКОЙ СТЕНКИ

Шарый Владимир Александрович

Кандидат физ.-мат.наук, доцент горного университета, г. Санкт-Петербург

Пайков Владимир Иванович

Кандидат физ.-мат.наук, доцент Донецкого Национального университета, г. Донецк

АННОТАЦИЯ

В работе рассматривается ситуация приводящая к возникновению гидравлического скачка постоянной интенсивности. Определяются параметры движения этого скачка. При отражении этого скачка от твёрдой вертикальной стенки определяются параметры отраженного скачка.

ABSTRACT

This paper examines the situation leading to the emergence of a hydraulic jump of contant intensity. The parameters of motion of the shock. The reflection of this jump from a solid vertical wall defines the parameters reflected shock.

Ключевые слова: Гидравлический скачок. Отражение от твёрдой стенки.

Keywords: Hydraulic jump. Reflection from a solid wall.

ВВЕДЕНИЕ:

Рассматриваемая в работе задача распадается на два этапа. На первом этапе определяются параметры скачка, возникающего при распаде некоторого произвольного разрыва жидкости. На втором этапе происходит прямое падение возникшего гидравлического скачок в некоторый момент времени на жесткую стенку и определяются параметры отраженного от стенки скачка

1- ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО СКАЧКА ПРИ РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА.

Упомянутый выше гидравлический скачок постоянной интенсивности может возникнуть, например, при вне-

запном открытии плотины уровни воды на которой равны

^ К такие что: ^ > Н0 > 0, ^^ = е, 0 <е« 1. Задача рассматривается в рамках теории мелкой воды, в соответствии с которой [1] движение жидкости можно описать уравнениями одномерной нестационарной газовой динамики адиабатического движения сжимаемой жидкости с показателем адиабаты к=2:

dv dv 2a da

— + v — +---= 0 (1.1)

dt dx к -1 dx