CC BY
6
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 2(35), 2017 | физико-математические науки
55
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
фокусйровкахаРактёрйстйкгйдРавлйчё^ _условиях мелководья._
Шарый Владимир Александрович
Кандидат физ.-мат.наук, доцент горного университета, г. Санкт-Петербург
Пайков Владимир Иванович
Кандидат физ.-мат.наук, доцент Донецкого Национального университета,
г. Донецк
Аннотация: В работе рассматривается один из сценариев возникновения одномерной нестационарной гидравлической волны, появляющейся в результате тектонических процессов происходящих на морском дне на некотором удалении от побережья. Один из возможных сценариев, отличающихся от рассматриваемого был исследован в [1]. Задача исследуется в рамках теории мелкой воды. Показано, что в некоторый момент времени, в результате фокусировки характеристик системы уравнений движения волны на фронте волны, появляется гидравлический скачок. Исследуется поведение этого скачка на больших расстояниях от места его возникновения. Показано, что закон затухания скачка аналогичен известному закону затухания Ландау для плоских ударных волн в газах.
Abstract: The paper deals with one of the scenarios of occurrence of a one-dimensional non-stationary hydraulic wave, emerging as a result of tectonic processes occurring on the seabed at some distance from the coast. One possible scenario differing from the consideration has been studied in [1]. The problem is studied in the shallow water theory. It is shown that at some point in time, resulting in the focus characteristics of the system of equations of motion for the wave front of the wave, the hydraulic jump occurs. The behavior of this jump at large distances from the place of its origin. It is shown that the decay law similar to the jump-known Landau damping law for the plane shock waves in gases.
We consider the problem of the origin of the hydraulic jump, appearing as a result of tectonic processes on the ocean floor, which assumes flat. The motion of the hydraulic wave in shallow water and in particular shows the linearity of the profile of the resulting wave. Working in a way complementary to the initial setting conditions, the problem discussed in [1].
Ключевые слова. Гидравлический скачок. Тектонические процессы. Мелкая вода.
Keywords. Hydraulic jump. Tectonic processes. Shallow water.
1. ПОСТАНОВКА 3АДАЧИ: в теории мелкой воды. Как и в [1] а0 определяется
Пусть в некоторый момент времени, который
из соотношений:
мы примем за начальный, в результате тектонических процессов происходящих на морском дне в 2 _ ш р _1 гг.ъ2 жидкости на вертикальной плоскости возникает ис- 0 d р* к 2 (12)
dP „ 1
г
где P (X, t) сила давления на сечении волны
точник плоских возмущений, который функционирует на интервале [0,Х(1]и[Х(1,А: 'Х(1]. где к > 1
7 /-л(л\ т* единичной ширины высотой кIX,X I, р
заданная константа к — О (1). Выберем ось ОЛ г \ г
перпендикулярно линии пересечения вышеупомянутой плоскости с морским дном, на оси Ок откладываются значения глубины к ( X, X ) в сечении а А (1.3).
с абсциссой X в момент времени X из упомянутого На интервале [¿0, к - X0 ] значения скорости по-
выше интервала. Будем предполагать, что на интер-
плотность воды, А ускорение свободного падения. Вычисления дают
2
[0, to ]
стоянны и равны её значению в момент Х0 то есть V — V . В момент времени к - Х0 источник пере-
известны значения скорости частиц
жидкости, даваемые формулой:
X стаёт функционировать, то есть для X > к - /0 имеем V ( 0, X) — 8- а( - —
4 ' Х0 (11) V = 0. Так как в задаче присутствует малый пара-
здесь Б малый параметр 0 < 8 □ 1. Выберем метР £ • значение к (х, X) на поверхности гидрав-
Vо ,, ^ р. лической волны мало отличается от к , это позво-
8 — — , где V > 0 - значение скорости жидкости 0
а0 ляет положить:
в момент X — Х0. В (1.1) а0 - скорость распростра- к — к0 *(1 + ), х) — О(1)
нения малых возмущений в покоящейся жидкости Из соотношений (1.2) получаем:
(1.4)
тр- = (1.5).
Л ± 0
Здесь на основании второго соотношения (1.2) к = 2. Из соотношения (1.3) с учётом (1.5) следует:
а = ^о {1 + + 0{£2) (16).
Ввиду того что начальная скорость движения тектонической плиты на основании (1.1) равна нулю, фронт возникающей гидравлической волны представляет собой характеристическую поверхность
х = ао ■ X, V = 0, а = а0
Известно из теории мелкой воды. Что движение жидкости в гидравлической волне описывается одномерной системой нестационарных уравнений газовой динамики с показателем адиабаты равным
к = 2:
ду ду 2 ■ а да
— о
(1.8)
-+ V— + -
= 0
ёХ
у — =с, с=--2 ■ ао
к-1
к-1
(2.2).
М = р
Гл к +1 , , V X
1+--м ■£ !■ х—
V 2 ) а{)_
(2.3)
(2.4).
Произвольная функция Р в (2.3) определяется из условия (1.1), после чего (2.3) даёт:
М = х^ ■
1Г\
1 -
к +1
■ М ■£
х х
ап
О (£)
Найдём из (2.5) значение М1 :
м=
а^ ■ X х
\ к +1 ^
1---£ ■ X
а ■ X ао Хо
2 ■ Хп
(2.5)
(2.6)
V ~ 1о ) После проведения элементарных
преобразований из (2.6) можно получить:
. к +1 х - X
1 +--М ■ £ =
2
а
(' - X')
(2.7)
дХ дх к —1 дх
да да (к — 1)-а ду Л
— + у--+ ^----= 0 „ т
дХ дх 2 дх (19).
Будем искать решение системы (1.8), (1.9) удовлетворяющее на плоскости х = 0 условию (1.1) вплоть до появления сильных разрывов в гидравлической волне.
2. ПОСТРОЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ НА ИНТЕРВАЛЕ [0, Х0 ].
Заметим, что на интервале [0, Х0 ]
возникающие движения гидравлической волны
через характеристику х = а0 ■ X примыкает к
постоянному потоку, поэтому, на основании известной теоремы из газовой динамики, движение жидкости на указанном интервале описывается римановской волной, определяемой
соотношениями:
ёх
= у + а (2.1)
х
В соотношении (2.7) фигурируют значения X*, которые даются формулами:
X =■
2 ■ Х„
*
х — а0 ■ х
(2.8).
(к + 1) ■ £
Соотношение (2.7) говорит о том, что все характеристики гидравлической волны на
интервале [0, Х0 ] пересекаются в одной точке А ( х*, X*) .
Случай фокусировки характеристик в задаче о вдвигании плоского поршня в идеальный газ был отмечен в [2]. Полученные соотношения (2.8) соответствуют известному результату в газовой динамике, согласно которому при вдвигании плоского поршня в идеальный газ с нулевой начальной скоростью и положительным
ускорением (X)> 0, значение
X =■
2а,
0
Для получения формулы
(к +1)^ w ( 0 )'
распределения значений функции к (х, X) соотношениями (1.4),(2.4),(2.7)
Здесь константа с определяется на основании условия (1.7). Так как в задаче присутствует малый параметр £, полагаем, что скорости частиц жидкости у = £■ а0 ■ Мх. Используя (1.6), перейдём в (2.1), (2.2) к функциям М (х, X), х, X) . После элементарных
вычислений, включающих интегрирование соотношения (2.1) из (2.1), (2.2) получаем соответственно:
воспользуемся которые дают:
к к
х — х
к — 1
.0 к +1 а ■(х — х*) к +1 (2 9). Как следует из (2.9) на фронте гидравлической волны х = а0 ■ X будет к = к для X < X *, и при
фиксированном значении X значение к (х, X) линейно возрастает при удалении от фронта волны вплоть до характеристики ОА (см. рис.)
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 2(35), 2017 \ физико-математические науки
57
7 ^
Е
Б
С
в А
о X
-►
и затем остаётся постоянным к = к в области
БАВСБ . В этой области у = у, а = а где а даётся соотношением:
а1 = а0 {1 + кГ £ (2.10).
В области БАВСБ имеем, очевидно, Мх = = 1. В точке фокусировки характеристик
А ( х*, X*) значение к (х, X ) мгновенно возрастает
от к0 до к= к0 (1 + £) , т.е. в А (х*, X *)
возникает гидравлический скачок, на фронте которого параметры движения связанны соотношениями из [1]:
N = а0 I 1 +
,г , .. к +1
N = а0 ■ I 1 +--£
(2.13),
(2.11)
(2.12).
здесь N скорость распространения фронта гидравлического скачка. Так как на интервале
[Х0, к ■ Х0 ] значение ^ = 1 то на этом интервале
скорость фронта даётся соотношением:
Хх =(2к—1)^X* + О(1), х =(у + а)^Х1-
На интервале [Х1, центрированная волна
разряжения взаимодействует с фронтом гидравлического скачка, уменьшая скорость его распространения.
Выше указанная центрированная волна разряжения даётся известным римановским решением:
т.е. на указанном выше интервале траектория
фронта скачка представляет прямую линию АВ (с.м. рис.)
3. ЭВОЛЮЦИЯ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО СКА ЧКА НА МЕЛКОВОДЬЕ.
После того как источник плоских возмущений
в момент времени к ■ Х0 прекращает функционировать и значение скорости у мгновенно падает до нуля, возникает центрированная волна разряжения. распространяющаяся по постоянному потоку
у = у, а = а . Фронт этой волны в некоторый момент времени Х1 > X * догонит фронт гидравлического скачка в точке В . Значение Х1 можно найти из следующего соотношения:
(у0 + а1) ■ (Х1 — к■ Х0 ) = х* + ^ (Х1 — Х*) (31). Используя соотношения (2.10), (2,13), (2.8) из (3,1) находим Хх, х1:
) = а ■( 2к — 1)^ X * + О (1)
ёх
ёХ
■ = у + а
у — -
2^ а
2^ а,
= ^0 —■
к — 1 0 к — 1 Учитывая (1.6), (2.10),(3.3),(3.4) получим:
(3.2).
(3.3)
(3.4).
M e =
2
(
к +1
Л
■( t - k • t0)
-1
V ao
Mi = r
x = a0 •(t - k • t0) + C •tJ t - к • tn
M e =
(K+a •yjt - к • t„
Из (1.5), (2.11), (3.9) находим закон изменения силы давления Р от X, X на фронте гидравлического скачка:
(3.5)
(3.6).
В точке В (X, X ) фронт центрированной волны разрежения догонит фронт гидравлического скачка АВ, после чего центрированная волна разряжения начнёт взаимодействовать с гидравлическим скачком, уменьшая на нём давление. Дифференциальное уравнение искривлённого скачка найдём из соотношений (2.12) и (3.5):
Л (х—а0 • X) х —а0 - к • Х0 )
Л = 2 (X — к • г0) (37).
После интегрирования (3.7) получаем траекторию искривлённого гидравлического скачка ВЕ:
P =
2к^ P • C
(к + 1)Л/а^Л/ao (t -к• to)
(3.10).
(3.8)
Постоянная интегрирования С находится из (3.2). Из (3.5) и (3.8) находим соотношение для изменения • 8 вдоль скачка:
2С_
(3.9).
Как следует из (3.8) для больших значений X координаты искривлённого скачка Л* I 0{] • I. Учитывая это, из (3.10) находим закон затухания гидравлического скачка на мелководье:
Г
рп р +
0 (З-11)
где через С обозначен постоянный множитель в (3.10). Полученный закон затухания (3.11) аналогичен известному закону затухания Ландау плоских ударных волн в газах.
Список литературы:
1. Шарый В.А., Пайков В.И. «О возникновении гидравлической волны в условиях мелководья » Евразийский союз учёных (ЕСУ); 2016 г. №1, Часть1, стр. 53-56.
2. Станюкович К.П. «Неустановившиеся движения сплошной среды» Наука, 1971, 854 стр.
открытие новой формы материи И АНАЛИЗ _фундаментальных положений НАУКИ_
THE DISCOVERY OF A NEW FORM OF MATTER AND ANALYSIS OF THE FUNDAMENTAL
ASSUMPTIONS OF SCIENCE
Брусин Станислав Давидович
пенсионер, лауреат МНФ по фундаментальным исследованиям.
Аннотация
Отмечается, что современные фундаментальные положения науки разработаны на основании признания одной формы материи - частицы. В соответствии с заявкой на открытие, принятой на рассмотрение в 1987 г.,
приводится сущность новой формы материи, на основании чего показаны ошибки в современных фундаментальных положениях. Приводится таблица результатов анализа в сравнении с существующими фундаментальными положениями.
Abstract
It is noted that the fundamental provisions of modern science developed on the basis of recognition of one form of matter - particles. In accordance with the application for the opening, which was adopted for consideration in 1987, is the essence of new forms of matter, based on what shows the errors in modern fundamental provisions. A table of analysis results in comparison with existing fundamental provisions.
Ключевые слова: материя, частицы, гравитация, Вселенная
Key words: matter, particles, gravity, the universe
Современые фундаментальные положения науки разработаны на основании признания одной формы материи - частицы. В 1987 г. Государственный комитет СМ СССР по делам изобретений и открытий принял на рассмотрение заявку авторов на открытие новой формы материи. В [1] показано, что она представляет сплошную массу материи, не содержащую частиц и пустоты; плотность ее в каждой точке Вселенной соответствует действующей силе гравитации в этой точке со стороны окружающих тел и плавно меняется от точки к
точке. Целесообоазно эту форму именовать бесчастичная материя (б. материя). Эта материя заполняет все пространство Вселенной и существует совместно с частицами. Ниже проведем анализ существующих фундаментальных положений науки.
§1. Вещественная природа теплоы побеждает кинетическую
Современное понимание природы теплоты базируется на кинетической гипотезе, согласно которой теплота трактуется как род внутреннего движе-
