О феноменологических градиентных зависимостях Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 532

А.Д. Гиргидов

О ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИХ ГРАДИЕНТНЫХ ЗАВИСИМОСТЯХ

Феноменологические зависимости градиентного типа, или градиентные зависимости, используются как эффективное средство в гидродинамике (закон Ньютона для вязких напряжений), в теории тепло- и массопереноса (законы Фурье и Фика).

При этом, как правило, не обсуждается вопрос о том, каким образом, например, в процессе молекулярной диффузии к выделенной молекуле газа поступает информация о воздействующем на нее градиенте концентрации: для того, чтобы двигаться, например, вправо, концентрация диффундирующих частиц слева от выделенной молекулы должна быть больше, чем справа, и эта информация должна быть доступна этой молекуле. Таким образом, молекула «должна иметь какие-то возможности» для оценки пространственной изменчивости воздействующего на нее поля концентрации в окрестности точки, в которой она находится. Естественно, информация о локальной изменчивости поля собирается и доносится до молекулы за конечный промежуток времени, так что на реальное значение градиента концентрации диффундирующие частицы реагируют с некоторой задержкой во времени.

Сходным образом обстоит дело и в случае распространения тепла и импульса. Рассмотрим описанные в литературе модели, позволяющие пояснить указанный выше вопрос.

Молекулярная диффузия в газах

Молекула примеси в газе, чтобы двигаться в сторону уменьшения концентрации примеси, должна многократно испытать столкновения при хаотическом тепловом движении с тем, чтобы в среднем (за конечный интервал времени, содержащий много отрезков времени между столкновениями) переместиться в ту сторону, в которой было меньше столкновений, т. е. где меньше

концентрация частиц примеси. Согласно градиентной зависимости этот интервал равен нулю. В самом деле, согласно закону Фика плотность потока в диффундирующей примеси пропорциональна градиенту ее концентрации Е:

8=-х8гасШ, (1)

где х — коэффициент диффузии.

Подставив это равенство в дифференциальное уравнение, выражающее закон сохранения массы для консервативной примеси

дЕ

д(

+ сН ув = 0,

(2)

где t — время, получим уравнение диффузии

дЕ = хЛЕ, <3)

д

которое в случае диффузии в одном измерении (вдоль оси х) имеет вид:

Ш'^дх1'

(4)

Решение этого уравнения для мгновенного (при / = 0) точечного источника, расположенного в начале координат (при х = 0), имеет вид:

Е =

М

ехр

2 ^

X

(5)

где М — масса примеси, поступившая из источника.

Согласно зависимости (5) при сколь угодно малом / > 0 примесь имеет ненулевую концентрацию при любом (сколь угодно большом) х. Это возможно при условии, что частицы примеси движутся с бесконечно большими скоростями. Как показано в книге [1], бесконечно большие мгновенные скорости движения частиц примеси являются следствием принятия градиентной зависимости (1). Это же положение следует из статистического подхода к описанию диффузии.

Диффузионное уравнение Колмогорова [2] имеет вид (4), если координатах диффундирую щей частицы является случайной марковской функцией времени. При таком предположении частица, находящаяся при / = 0 в точке х = 0 при / > 0 может быть обнаружена с ненулевой вероятностью в любой точке оси х.

Модель диффузии, основанная на законе Фика, успешно применяется для описания молекулярной диффузии в газах, так как хорошо соответствует реальному механизму процесса переноса молекул газа, являющегося примесью, в результате хаотического движения и столкновения молекул. Скорость теплового движения молекул, как правило, во много раз больше, чем скорость движения газа (в котором происходит диффузия) как сплошной среды. Поэтому бесконечно большие скорости движения диффундирующих частиц, следующие из закона Фика, являются неплохим приближением к реальности.

В случае турбулентной диффузии скорость хаотического движения жидких объемов, которое определяет квазидиффузионный процесс, имеет порядок стандарта пульсационной скорости; последний во много раз меньше осред-ненной скорости, характеризующей конвективный перенос согласно модели Рейнольдса — Буссинеска. Это предопределяет проблематичность использования градиентной зависимости Фика — Буссинеска для описания турбулентной диффузии [3].

Для более детального описания процесса диффузии используют модель диффузии с конечной скоростью (ДКС), предложенную В.А. Фоком [4] для описания диффузии фотонов на кристаллической решетке. Простейший вариант этой модели основан на предположении, что диффундирующие частицы имеют возможность перемещаться только с двумя фиксированными возможными скоростями — м(|)иг/2); в зависимости от того, с какой из этих скоростей движется частица, ее приписывают к первому или второму сорту и вводят парциальные концентрации частиц каждого сорта — & и Очевидно, что физическая концентрация & = &+

При изменении скорости частицы и{ на м(2) (или наоборот), она изменяет свой сорт. Из условия консервативности примеси для каждой парциальной концентрации выводится дифференциальное уравнение:

Э-&1 ([) Э-&1 / Ч

& дх v 2 4

дЕ

дг

+ и

(6)

где ш — частота (количество за единицу времени) изменения скорости частиц.

При статистическом описании диффузии уравнения Колмогорова имеют вид (4), если предположить, что координаты частицы х и номера возможной скорости образуют непрерывно-дискретный марковский процесс [х(/),«(/)], где п — номер возможной скорости; /7 = 1,2.

В случае диффузии фотонов [4] м(|) =с, м(2) = = —с, где с — скорость света, а ю = а/с , где а — характерное расстояние свободного пробега фотона между столкновениями с молекулами, образующими кристаллическую решетку. В случае молекулярной диффузии в газах и(Х) = —и{2) = м, где и — характерная скорость теплового движения молекул газа, ю = и/Х , где А — эффективная длина свободного пробега молекул.

Систему уравнений (6) можно преобразовать и представить в виде одного уравнения для & = &1+ &2:

д2& . дЕ 2 д2& /7Л

—г- + 2ю— = и—(7)

дг д дх2

Если положить р = и2/2ю , то решение задачи Коши для уравнения (7) при больших значениях / мало отличаются от решения уравнения (4); при малых значениях / решение уравнения (7) плохо соответствует экспериментальным данным. Поэтому, а также вследствие трудностей, связанных с численной реализацией решения, модель ДКС в простейшем варианте не получила широкого применения, несмотря на то, что уравнение (7) относится к гиперболическому типу и позволяет установить границы области, занятой примесью, что невозможно при использовании уравнения (4). Отметим, что уравнение (4) можно рассматривать как предельный случай уравнения (7), если «^адш^ю

так, что и1 ¡2(й ^ р • Это обстоятельство позволяет представить реализацию градиентной зависимости (1) следующим образом. Диффундирующая частица (молекула газа, являющегося примесью), перемещаясь с бесконечно большой

скоростью и изменяя скорость с бесконечно большой частотой, мгновенно обегает окрестность точки, в которой она находится, и, сталкиваясь с однородными ей частицами (молекулами диффундирующего газа), «выясняет», с какой стороны этих молекул больше, а с какой меньше, и постепенно смещается (диффундирует) в ту сторону, где она испытывает меньше столкновений.

Модель Д КС оказывается эффективной при описании турбулентной диффузии, в особенности, когда примесью являются частицы, оседающие под действием силы тяжести [2].

Ввиду того, что направление движения для диффундирующей частицы (или скорость, с которой она начинает двигаться) в момент времени / зависит от того, в каком направлении или с какой скоростью эта частица двигалась до момента Л модель ДКС рассматривается как модель движения диффундирующих частиц с «памятью».

Теплоперенос

Распространение тепла с конечной скоростью было впервые рассмотрено А. В. Лыковым [5,6].

В уравнение баланса тепла

дТ 1 — =--а гуч,

Ы с„р

(8)

где Т— температура, ср — удельная изобарная теплоемкость, р — плотность среды, q — плотность потока тепла, А.В. Лыков вместо закона Фурье

Ч = -УгасЗ Т,

(9)

где у — коэффициент теплопроводности, подставил зависимость

Ч = -У^гас1 Т- тг—,

д1

(Ю)

где У г — коэффициент теплопроводности, необязательно совпадающий с Х\ хг — время релаксации.

Эту зависимость (10) называют обобщенным законом Фурье. В результате уравнение тепло-переноса приобретает вид:

дТ Кд2т . д иС дг

(Н)

где V?" =

с»Ртг

, а скорость распространения теп-

ла в среде а = н>г(хг)

■1/2

Вопросы об эффектах, появляющихся при учете конечной скорости распространения тепла, обстоятельно изложены в монографии [7].

Формула (10) обобщенного закона Фурье, как нам представляется, становится более понятной, если представить д = д(г) в виде ряда Тэй-лора по малому параметру хг и предположить, что градиент температуры определяет поток тепла не мгновенно, а с запаздыванием:

/ ч / ч да 1 2 д а

Ч (/ + тг) = Ч + —

+ ...=

= -ХгёРиИТ. (12)

Оставляя только два члена ряда из зависимости (12), получим формулу (10).

Отметим, что уравнение диффузии (4) также можно обобщить, используя вместо (1) обобщенную зависимость

Эй

8 = -х8гас1Е-тг—.

о1

(13)

В этом случае уравнение (4) приобретает форму

= ^ (14)

д? тг д Хг дх

которая совпадает с уравнением (7), если положить хг = 1/2ю, р = и2хг.

Гидродинамика

Закон Ньютона для вязких напряжений в частном случае сдвигового течения вдоль оси х в плоскости (х, г) представим в виде (7):

. дрих

„2

дг

(15)

где V — кинематический коэффициент вязкости, рХ2 — продольное касательное напряжение, их — проекция скорости на ось х.

При такой записи ргх можно интерпретировать как плотность потока количества движения в направлении оси г, а зависимость (15) приобретает содержание, аналогичное зависимостям (1)и(9).

Чтобы получить уравнение движения вязкой жидкости (уравнения Навье — Стокса), в уравнение движения сплошной среды в напряжениях

р—= рГ + ОМ1, (16)

Э/

где и — скорость жидкости, f — плотность внешней массовой силы, П — тензор напряжений,

— — субстанциальная производная, подставим градиентную зависимость для вязких напряжений (обобщенный закон Ньютона):

П = 2и -рЕ, (17)

где и —динамический коэффициент вязкости, 5 — тензор скорости деформации, р — давление, Е — единичный тензор.

Уравнение Навье — Стокса

Ои

р—- = рГ-агас1 о + -пЛи Э/

(18)

П--

У

ЗУ + 2ц

рЕ

(21)

где 5" —тензордеформации; у , | — коэффициенты Ляме, найдем

^У =

2ц

П--

У

ЗУ + 2ц

рЕ

(22)

Подставляя выражения (20) и (22) в уравнение (19) и затем (19) в (17), получим:

П = -ЛП + 2цУ + ц

лУ

-р-р

Е. (23)

относится к параболическому типу (по времени), и следовательно, согласно этому уравнению все возмущения, вносимые в среду, распространяются в ней мгновенно. В реальных физических телах скорость распространения возмущений (например импульса силы, приложенной к этому телу) конечна. Для того, чтобы ввести в модель несжимаемой жидкости ограниченную скорость распространения возмущений, наиболее естественно предположить, что возмущения в ней передаются благодаря упругим свойствам среды. Поэтому, чтобы получить уравнения механики несжимаемой жидкости, согласно которым возмущения распространяются с конечной скоростью, наряду с вязкими следует учесть также и упругие свойства жидкости. Наиболее простым реологическим законом, учитывающим упругие и вязкие свойства жидкости, является закон Максвелла, согласно которому

^ = 4 + (19)

где и 5" — тензоры скорости деформации, обусловленной соответственно вязкими и упругими силами. Отметим, что для упрощения записи точка над буквой означает субстанциаль-

Э

ную производную — .

Согласно обобщенному закону Ньютона (17)

4 + (20) Дифференцируя по времени закон Гука

ц(ЗУ + 2ц)'

Совокупность равенств (16), (23) и условия сНуи = 0

ти уравнений с десятью неизвестными: три проекции скорости, шесть компонент тензора напряжения и давление. Исключить компоненты напряжений, как в случае вязкой жидкости, удалось, сделав предположение о пренебрежимой малости конвективных составляющих субстан-

э д

циальной производной, т. е. полагая — « —.

д

Подставив равенство (23) в уравнение (16), исключим П с помощью уравнения (16), продифференцировав все его члены по времени. В результате получим уравнение

д\

и ди

+—- ■

дг л д

Г + —-—

Зц д1

—Ц^гас1 ЛР

ЛУ др ц(ЗУ + 2ц) д!

+Цди.

(24)

Уравнение (22) относится к гиперболическому типу, скорость распространения возмущений в среде согласно этому уравнению

(25)

Время релаксации среды, подчиняющейся реологическому закону Максвелла,

тр=-

и

(26)

Для жидкостей тр «

При этом из (26) и (25) получим а~ 1000 м/с, т. е. напряженное состояние распространяется в жидкости со скоростью, имеющей порядок скорости звука.

Как показано в монографии [10], уравнения механики для вязкоупругой среды, подчиняющиеся закону Максвелла, идентичны уравнениям для упругой среды. Уравнения для трансформант

Лапласа по времени отличаются лишь коэффициентами, константы которых характеризуют упругие и вязкие свойства физического тела и параметры преобразования Лапласа. Однако эти результаты относятся к уравнениям для решения квазистатических задач.

Дифференциальное уравнение гиперболического типа, выражающее закон изменения количества движения для вязкоупругих сред, получено в работе [11]; однако искомой величиной здесь является не скорость среды, а перемещение. Как и в данной статье, при выводе этого

уравнения конвективная составляющая субстанциальной производной из рассмотрения исключается. Гиперболическое уравнение гидродинамики в форме (24) в доступных литературных источниках не найдено.

Итак, нами показано, что уравнения гиперболического типа, описывающие нестационарные процессы переноса, как правило, эффективны для описания особенностей кратковременных (начальных или переходных) процессов, соизмеримых по длительности со временем релаксации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Монин, A.C. Статистическая гидромеханика |Текст|: В 2 ч. Ч. 1. / A.C. Монин, A.M. Яг-лом,— М.: Наука, 1965,— 640 с.

2. Баруча-Рид, А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения [Текст] / А.Т. Баруча-Рид,— М.: Наука, 1969,— 511 с.

3. Гиргидов, А.Д. Турбулентная диффузия с конечной скоростью |Текст| / А.Д. Гиргидов,— СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1996,- 260 с.

4. Фок, В.А. Решение одной задачи теории диффузии методом конечных разностей и приложение его к диффузии света [Текст] / В.А. Фок // Труды Государственного оптического института, 1926,- Т. 4. № 4,- С. 1-32.

5. Лыков, A.B. Теплопроводность и диффузия [Текст] / A.B. Лыков,— М.: Гизлегпром,1941,— 252 с.

6. Лыков, A.B. Теория теплопроводности [Текст] / A.B. Лыков,— М.: Высшая школа, 1967,— 599 с.

7. Машков, А.Г. Волновые явления теплопроводности. Системно-структурный подход. [Текст] / А.Г. Машков, В.А. Бубнов, С.Ю. Бубнов,—Мн.: Навука i тэхшка, 1993,— 279 с.

8. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа [Текст] / Л.Г. Лойцянский,— М.: Наука, 1978,— 736 с.

9. Годунов, С.К. Уравнение математической физики |Текст| / С.К. Годунов,— М.: Наука, 1971,- 416 с.

10. Боли, Б. Теория температурных напряжений |Текст] / Б. Боли, Дж. Уэйнер,— М.: Мир, 1964,- 517 с.

11. Страхович, К.И. Гидро- и газодинамика [Текст| / К.И. Страхович,— М.: Наука, 1980,— 304 с.

УДК629.7.01 5:533.6

Е.И. Соколов

ОЦЕНКА ТЯГОВОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ СОПЕЛ МИКРОРАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ

Современные тенденции развития техники свидетельствуют о неуклонном уменьшении габаритов и веса многих технических систем. Этот процесс коснулся и космической техники. В последние годы появились проекты спутников массой от 10 кг (наноспутники) до 1 кг (пикоспут-ники) [ 1 ]. Двигатели ориентации и маневра таких спутников должны иметь малые габариты и тяги (менее 1 Н). Далее будем называть такие двигатели микроракетными (МРД).

Важнейшим элементом М РД является сопло, представляющее собой сужающийся-расширяющийся канал, преобразующий запасенную энергию рабочего тела в кинетическую энергию потока газа. На рис. 1, а приведен общий вид типичного М РД [ 1 ], дающий представление о его характерных размерах. В общей длине МРД порядка 1 мм сопло составляет примерно половину. Диаметр критического сечения равен, как правило, нескольким сотням или десяткам микрон.