Математические модели аэрогазодинамики тоннелей при их строительстве Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 246-258

: НАУКИ о ЗЕМЛЕ :

УДК 622.4

Математические модели аэрогазодинамики

о sk

тоннелей при их строительстве *

Н.М. Качурин, Р.А. Ковалев, О.В. Коновалов, А.Н. Качурин

Аннотация. Рассмотрены схемы вентиляции тоннелей в период их строительства и показано, что важнейшими характеристиками аэрогазодинамических процессов в тоннелях при их проведении являются параметры движения воздушного потока и диффузионного переноса выделяющихся газовых примесей. Обоснованы базовые теоретические положения моделирования движения и диффузии газовых примесей в горных выработках. Получены уравнения для расчета продольного профиля скорости воздуха в тоннеле, динамики средней концентрации газовых примесей по длине тоннеля и в призабойной части.

Ключевые слова: тоннель, схема вентиляции, аэрогазодинамика, воздушный поток, диффузия, газовая примесь.

Схемы вентиляции тоннелей при их строительстве.

Наиболее распространенные схемы вентиляции тоннелей в период их строительства представлены на рис. 1. Анализ схем вентиляции показывает, что важнейшими характеристиками аэрогазодинамических процессов в тоннелях при их проведении являются параметры движения воздушного потока и диффузионного переноса выделяющихся газовых примесей. При этом конструктивные особенности схем вентиляции подразделяются на три типа — это нагнетательные, всасывающие и комбинированные схемы. Практическая реализация этих схем может быть весьма разнообразной, но аэродинамические особенности с присущими им достоинствами и недостатками будут, в основном, соответствовать этим трем типам схем. Однако разнообразие геологических условий, с которыми приходится сталкиваться при проектировании и строительстве тоннелей, настолько велико, что конструирование новых схем вентиляции всегда актуально. Особую остроту эта проблема приобретает при проветривании строящихся тоннелей большого поперечного сечения с использование буровзрывного способа проходки.

* Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (проект № 2.2.1.1/3942) и ФЦП «Научные и педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (проект № 02.740.11.0319).

Базовые теоретические положения моделирования движения воздуха в горных выработках и трубопроводах

Основная теорема динамики жидкости утверждает, что индивидуальная производная от главного вектора количеств движения объема жидкости равна главному вектору объемных и поверхностных сил, приложенных к частицам, расположенным в рассматриваемом объеме и на ограничивающей его поверхности. То есть, если считать воздух несжимаемым, а это допущение справедливо для горных выработок и вентиляционных воздуховодов, то можно записать

йі

— ^об +

(1)

где К — главный вектор количеств движения объема жидкости; ^об и ^пов — главные векторы объемных и поверхностных сил соответственно.

Рассматривая произвольный объем воздуха О в вентиляционном потоке, ограниченный с внешней стороны поверхностью 5, уравнение изменения количества движения (1) перепишем в следующем виде

1 Щ рУ<т= [[[ рГмШ + Д Тг, <1Б, (2)

1(П) М(П) Л (Б)

(і

где рУ — вектор массовой скорости потока воздуха; Ем — главный вектор массовых сил, действующих на воздух; Т^ — тензор напряжений в объеме воздуха О; 5 — поверхность, ограничивающая объем жидкости О;

(3)

& XX Тху Тхг

Т— Тух &уу н Ту

Тгх Тгу & гг

Рассмотрим производную соотношения (2)

й

йі

1(П)

рУйО —

1(П)

й

йі

(рУ )йО —

1(П)

йУ р — аО + йі

1(П)

У(і(р(О).

Но

£> Уі (р(О)—Iп) у(т—0

1(П) аь Ш(П)

по условию сохранения массы, тогда в общей форме соотношение (2) примет

вид 1-П-

^ р^м1О + Д Тц 1Б. (4)

1(П)

(У гЮ р-т-аО —

йі

1(П)

(5)

Реологические закономерности для различных видов жидкостей, моделирующих свойства воздуха в горных выработках и трубопроводах, позволяют задать в явном виде тензор Тг^, определив вид компонент матрицы (3). Тогда, используя закон сохранения количества движения (4), можно получить

уравнение движения для конкретной физической модели воздуха. В реальных условиях возможные следующие варианты: воздух рассматривается как идеальная жидкость; изучается ламинарный режим течения вязкого воздуха; моделируется поток вязкого воздуха при турбулентном режиме течения.

Если воздух представить в виде идеальной жидкости, то тензор напряжений можно записать следующим образом [3-7]

Тг] = Рп = —P^гj , (5)

где Pn = [ахх<jyyazz}; охх = Оуу = Ozz = -p; p — давление воздуха;

'0 при i = j,

^ *• ' “• (г,] = 1,2,3).

■’ 1 1 при г = ],

Следовательно, формулу (5) можно записать в следующем виде

-p 0 0

T - = 0 -p 0

0 0 -p

(6)

Ламинарное течение вязкой воздуха характеризуют законом Ньютона, который в обобщенной форме записывается следующим образом

v

dj , dxi1

(7)

где т*? — тензор касательных напряжений; р — динамическая вязкость воздуха; Vj — компоненты главного вектора скорости V; хг — пространственные координаты (г = 1, 2, 3; Х1 = х; х2 = у; х3 = г).

Жидкости, подчиняющиеся закону (7), называют ньютоновскими. Таким образом, жидкости, не относящиеся к идеальным или ньютоновским жидкостям, считают неньютоновскими жидкостями.

Следовательно, рассматривая воздух в качестве ньютоновской жикости, тензор напряжений ламинарного течения вязкого воздуха можно записать следующим образом

Тг? = — (р£г? + Тг?). (8)

Второе слагаемое реологической закономерности (8) для однородной и изотропной среды можно записать в виде

Tij = V

du ди ди

дх ду Bz

dv dv ду

дх ду Bz

dw dw &w

дх ду Bz

(9)

Рассмотрим касательные напряжения в плоскости перпендикулярной оси ОХ тх, тогда с учетом допущения об однородности и изотропии исследуемой воздушной среды можно записать

( ди . ди . ди Л . .

Тх = v[dXi + dyj + d~zk) (i + j + k) = vgradu

Рассуждая аналогично, для других плоскостей получим, Ty = vgrad v; Ty = vgrad w. Таким образом, второе слагаемое реологической закономерности (8) окончательно примет следующий вид

Tij = v grad (uij + Vij + Wij) = V grad Vj. (10)

ij

Рассматривая турбулентное течение вязкого воздуха, тензор напряжений записывают с учетом касательных напряжений, обусловленных турбулентными пульсациями,

Tij _ Р£Ц + + ттг] ; (11)

где ттц — тензор касательных напряжений, обусловленных турбулентными пульсациями.

Третье слагаемое реологической закономерности (11) для однородной и изотропной турбулентности можно записать в виде

(щщ) (u*v*) (u*w*)

Tmij — p (v*u*) (v*v*) (v*w*)

(w*u*) (v)*v*) (V)*V)*)

(12)

где и*, V*, ш* — компоненты скорости турбулентных пульсаций.

Если воздух в вентиляционном потоке уподобляется идеальной жидкости, то уравнение (4) примет вид

[Ц р^^_/Ц р!М^ - /У' ё1у(р^)(Ш,

Л/(п) м Л/(п) Д/(п)

откуда следует уравнение движения Л. Эйлера

Ы _ р _ 1

7. 1 М

№ р

= FM--------div(peij). (13)

В проекциях на оси координат в проекциях на оси координат уравнение (13) можно записать следующим образом

du du du du 1 dp '

-r-- + и,——+ v——+ wt— = X---------------------7—;

dt dx dy dz p dx

dv dv dv dv 1 dp

TT7 + uT.------+ v д-----+ w4~ = Y "ö ;

dt dx dy dz p д у

dw dw dw dw ^ 1 dp

— + u— + v— + w— = Z----------—.

dt dx dy dz p dz

(14)

В случае ламинарного течения вязкого воздуха уравнение (4) имеет вид Ц p(dV-äü = [pFM + div(-p£ij + Tij)]dü,

откуда следует уравнение движения Навье-Стокса dV = _ 1

Jj. = F м dt p

— = Fm - - div(p£ij) + V div[grad(Vj)]. (15)

В проекциях на оси координат в проекциях на оси координат уравнение (15) можно записать следующим образом

ди ди ди ди 1 др .

— + и— + V— + т — = X--------------------— + vАu;

ді дх ду дг р дх

дv дv дv дv 1 др .

— + и— + + т — = У-----— + vДv;

ді дх ду дг р ду

дт дт дт дт ^ 1 др .

тгг + и— + v— + т — = Я-----------— + vAт,

ді дх ду дг р дг

(16)

где А — трехмерный оператор Лапласа А = + -щр + Ш1'

Для турбулентного течения вязкой жидкости уравнение (4) примет вид

Щ = [ррм + ^(-р£у + ту + тту)]ёП,

откуда следует уравнение движения О. Рейнольдса,

^ - р (Оу(реу) + V ё1у[^гаё(^у)] - 1 &у(тту).

(17)

В проекциях на оси координат в проекциях на оси координат уравнение (17) можно записать в следующем виде

ди ди ди ди 1 др

—- + и~—+ v——+ т^~ = х------------ —+ vАu+

ді дх ду дг р дх

+ -

1

д д д

дх(- (и*и*)) + ду(- і^*)') + дг(- іи*т*))

(18)

дv дv дv дv 1 др .

— + и— + + т — = У-----— + vАv+

ді дх ду дг р ду

+ -

1

р

д д д дх(- + ду(- + дг(- ^*т))

(19)

дт дт дт дт 1 др

— + и— + + т — = У-----------— + vАm+

ді дх ду дг р дг

+ -

1

р

д д д

дх(- іт*и*)) + ду(- ^*^ + дг(- іт*т*))

(20)

С практической точки зрения интерес представляет плоское стационарное течение. То есть систему уравнений (18)—(20) можно свести к системе

р

двух уравнений

ди ди 1 др 1

и— + V — =----------------— + vАu + -

дх ду р дх р

дхх (-іи*и*)) + ду (-іи*'*))

дv дv 1 др . 1

и-—+ V — = -д---------— + vАv + -

ду р ду р

дх

дх (-^*и*))+* ы^*^

Л. Прандтль предложил следующую зависимость [1-3]

и = 2, 5'* іп ( 1 +

эо^Л

к ’

(21)

(22)

где к — абсолютная шероховатость крепи тоннеля.

Тогда, полагая, что допустимо приближенное равенство V* ~ (у*), получим

0,16и2

[іп(1 + 200]2

(23)

Используя формулу (23), можно вычислить производную в соотношении, которая войдет в уравнения движения

9, 6и2

д_

ду

М) м

(к + 30у) [іп(1+ 20у)]'

и

ди + V % = - Рдх+'Аи+

9,6«2

дх , д'о

р дх

+ V Ё = -д - р д^, + 'Ау +

р(к+30у)[іп(і + 3^ )] 9,6«2

иэх + 'ду = -д - рщ

р(к+30у) [іп(і+ ^ )]3-;

(24)

(25)

Следовательно, система уравнений (25) позволит прогнозировать профили продольной скорости воздуха на любом удалении от призабойного пространства.

Базовые теоретические положения моделирования диффузии газовых примесей в горных выработках

Перенос примесей в атмосфере тоннелей происходит путем диффузии. Различают три вида диффузии — молекулярную, конвективную и турбулентную. Интенсивность переноса характеризуется величиной диффузионного газового потока. Газовый поток представляет собой объем газа, проходящего через единичную площадь в единицу времени: і = Мг/(Бі), где і — газовый поток; Мг — масса газа, прошедшего через поверхность с площадью 5 за период времени і.

В соответствии с видами диффузии различают и три вида газовых потоков — молекулярный, конвективный и турбулентный. Конвективный газовый

поток можно определить следующим образом [7-9]:

G Grc uSc

jK — s — s — s — uc ^jK — uc

где эк — конвективный газовый поток; Ог, О — масса примеси и воздуха, проходящие через поверхность с площадью 5 в единицу времени; с — концентрация примеси в воздухе.

В проекциях на оси координат можно записать

где u,v,w — составляющие вектора скорости воздуха по координатным осям X, Y, Z соответственно.

Молекулярный газовый поток определяется следующей феноменологической закономерностью (законом Фика): jM = —DM grad с, где jM — молекулярный газовый поток; DM — коэффициент молекулярной диффузии; grade — градиент концентрации примеси. Известно, что градиент скалярной величины (в данном случае такой величиной является концентрация с) представляет собой вектор, направленный в сторону наибыстрейшего возрастания поля скалярной величины. Следовательно, знак минус в правой части уравнения Фика означает, что примесь в воздухе распространяется в сторону уменьшения ее концентрации.

Уравнение Фика, записанное в проекциях на оси координат, имеет следующий вид

Турбулентный газовый поток определяется также по закону Фика, который следующий вид: jm — -Dm grad c, где Dm — коэффициент турбулентной диффузии. В проекциях на оси координат это выражение можно записать в виде

В общем случае коэффициент турбулентной диффузии может зависеть от концентрации, пространственных координат, времени и направления движения. Поэтому °т = Отх + Оту + , где Отх = Отхх + Отху + °тхх,

чае величина коэффициента турбулентной диффузии определяется девятью компонентами. Следовательно, коэффициент турбулентной диффузии определяется по формуле

jKX ---- uc, jKy - vc7 jKZ - wc,

(26)

(27)

(28)

В практических расчетах формулу (29) иногда упрощают, принимая допущение о том, что диффузия является однородной и изотропной, тогда

D г-j 1D гч-' D r'-‘i D Dm ~ Dmxx ~ Dmyy ~ Dmzz‘

Уравнение диффузии примеси в воздухе отражает закон сохранения массы. Для получения этого уравнения рассмотрим объем воздуха fi, ограниченный поверхностью S, в котором действует источник с интенсивностью I = I (x,y,z,t). За счет диффузии примесь будет удаляться из объема fi, проходя через поверхность S. Выделим на этой поверхности участок dS настолько малый, что его кривизной можно пренебречь, тогда масса газа, проходящего через этот участок в единицу времени, будет равна jc dS, где jc — суммарный газовый поток; jc = jK + jM + jT. Количество газа, прошедшего в единицу времени через всю поверхность S, равно ffs jcdS. Изменение массы газа в единицу времени в элементарном объеме dfi будет равно (— +1) dfi, где — — скорость изменения массы в единичном объеме

воздуха за счет диффундирующего переноса (знак минус показывает, что масса газа убывает).

Изменение массы газа во всем объеме fi в единицу времени равно fffn (— Ж +1) dfi. По закону сохранения массы количество газа, ушедшего через поверхность S, равно изменению количества газа в объеме, т.е. эти интегралы равны между собой: JJb jcdS = fffn (— §£ + I) dfi. По формуле Остроградского-Гаусса ffs jcdS = ffTn div (jc) dfi.

Тогда можно записать, что fffn (Ц + div (jc) — I) dfi = 0. Но этот интеграл может быть равен нулю только в том случае, если подынтегральная функция равна нулю, т.е.

dt + div (jc) — I = 0. (30)

Уравнение (30) является уравнением неразрывности газового потока. Оно выражает в математическом виде закон сохранения массы для любой газодинамической системы. Если выразить суммарный газовый поток jc через его составляющие, то получим

дс д , . д , . д , . д

dt + дХ (си) + дУ(cv) + Tz(cw) = дХ.

дс

(Dm + Dmx) дХ

+

д_

+ ду

(D Dmy) rj

дс

ду

д_

+ дz

дс

(Dm + Dmz) -qZ

+ I (x, y, Z, t) . (31)

Уравнение (31) представляет собой основное уравнение диффузии примесей в атмосфере тоннелей. Решение этого уравнения для конкретных граничных и начальных условий позволяет получить в явном или численном виде функцию с = с (х,у,г,Ь), которая описывает поле концентраций примеси в любой точке тоннеля в любой момент времени. Этот подход универсален и может быть использован для любых схем вентиляции и любых конструкций тоннелей.

Для тоннелей с эквивалентным диаметром 3-4 м можно принять допущение о том, что концентрация в плоскости произвольного поперечного сечения равна некоторому среднему значению С, тогда расчетная схема диффузии газовой примеси в тоннеле, который проводится буровзрывным способом, будет иметь вид, представленный на рис. 2. Уравнение (31) в этом случае примет вид

дс дс в2с

— + и — = , (32)

где D

dt “ дх дх2 ’ эффективное значение коэффициента турбулентной диффузии.

Рис. 2. Расчетная схема диффузии газовой примеси в тоннеле, который проводится буровзрывным способом

Начальные и граничные условия в этом случае можно записать в виде C (х, 0) = 0; C (0, t) = ^(t); lim C = то, (33)

где ^>(t) — концентрация газовой примеси на границе зоны отброса газов ВВ; L3.0 — длина зоны отброса газов ВВ при взрыве шпуров в забое.

Чтобы задать граничное условие в явном виде, рассмотрим изменение газовой примеси в объеме зоны отброса газов ВВ после взрывания шпуров. Будем считать, что в зоне отброса газов будет происходить активное перемешивание и концентрация газовой примеси будет, в любой точке этого объема будет одинаковой, и зависящей только от времени. Расчетная схема в этом случае будет иметь вид, представленный на рис. 3.

За время dt в объеме зоны отброса газов ВВ 00 количество газовой примеси изменится на величину 0dC = — Q3.n Cdt, где Q3.n — количество воздуха, поступающего в подготовительный забой. Следовательно, для зоны отброса газов ВВ справедливо следующее дифференциальное уравнение

dC dt

Решение уравнения (34) имеет вид

Q3.n

"0“

C.

C (t) = Co exp(—Kt),

(34)

(35)

Рис. 3. Расчетная схема газообмена в зоне отброса газов ВВ

где Со — концентрация примеси в призабойном пространстве; К — кратность воздухообмена в зоне отброса газов ВВ, К = Qз.п/0.

Результаты вычислительного эксперимента для призабойного пространства тоннеля представлены на рис. 4.

с

с,

О.В

3

\ х /. . \ ю 1 /

: 4 ч ^ /_

8 £ мин

Рис. 4. График зависимости отношения концентраций С/ Со от времени при различных значениях кратности воздухообмена (Значения К соответственно равны: 1 — 0,25; 2 — 0,5; 3 — 1; 4 — 1,5)

Следовательно, граничное условие для уравнения (32) можно записать в следующим образом

С(0, ■£) = ^(¿) = Со ехр(—К^).

(36)

Решение уравнения (32) для условий (33) с учетом зависимости (36) получено в следующем виде:

С (х, ¿) = 0, 5С0 ехр(-К£) ехр

, в —х"в

ег£о

2^Ш

— л/]31

+

+ ехр

егбз

(37)

где ß — параметр массопереноса газовой1 примеси в объеме тоннеля, который вычисляется по формуле ß = u2/D — K.

Таким образом, получено физическое обоснование возможных аэродинамических процессов при проветривании тоннелей и разработаны математические модели аэрогазодинамики тоннелей при их строительстве. Математические модели аэрогазодинамики тоннелей позволяют провести цикл вычислительных экспериментов и в каждом конкретном случае строительства тоннеля и оценить газовые ситуации на различных этапах строительства. Следует отметить, что предлагаемые модели можно использовать как на стадии проектирования, так и непосредственно в период проведения тоннеля.

Список литературы

1. Ушаков К.З., Бурлаков А.С., Медведев И.И. Рудничная аэрология. М.: Недра, 1978. 478 с.

2. Ушаков К.3. О диффузии динамически активных газов в шахтных вентиляционных потоках // Изв. вузов. Горный журнал. 1968. №6. С.72-78.

3. Ушаков К.З. Аэромеханика вентиляционных потоков в горных выработках. М.: Недра, 1975. 153 с.

4. Медведев И.И. Проветривание калийных рудников. М.: Недра, 1970. 211 с.

5. Соколов Э.М., Качурин Н.М., Кузнецов А.А. Газовыделение в тупиковые выработки шахт Подмосковного бассейна // Вентиляция шахт и рудников: сб.ст. / ЛГИ. Д., 1979. С.72-77.

6. Соколов Э.М., Качурин Н.М., Кузнецов А.А. Аэродинамические процессы и протяженных выработках углекислотообильных шахт // Изв. вузов. Горный журнал. 1982. №8. С.52-56.

7. Лайгна К.и., Блюм М.Ф., Виирлайд А.Х. Турбулентная диффузия в стратифицированных потоках подземных выработок // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1988. №1. С.96-98.

8. Лайгна К.Ю. Анализ и усовершенствование метода расчета массообмена при конвективно- диффузионном переносе примесей в подземных горных выработках // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1988. №4. С.110-113.

9. Лайгна К.Ю., Поттер Э.А. Турбулентное струйное течение воздуха в сквозных выработках // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1989. №3. С.91-101.

Качурин Николай Михайлович ([email protected]), д.т.н., профессор, проректор, зав. кафедрой, кафедра геотехнологий и строительства подземных сооружений, Тульский государственный университет.

Ковалев Роман Анатольевич, д.т.н., декан, горно-строительный факультет, зав. кафедрой, кафедра санитарно-технических систем, Тульский государственный университет.

Коновалов Олег Валентинович, к.т.н., доцент, кафедра геотехнологий и строительства подземных сооружений, Тульский государственный университет.

Качурин Александр Николаевич, студент, кафедра геотехнологий и строительства подземных сооружений, Тульский государственный университет.

Mathematical models of aerogasdynamics for tunnels during tunneling period

N.M. Kachurin, R.A. Kovalev, O.V. Konovalov, A.N. Kachurin

Abstract. The tunnel ventilation schemes for tunnelling period are considered and it’s shown that major characteristics of aerogasdynamics processes during tunneling period are parameters moving air flow and diffusion transfer of escaping gas admixtures. Basic theoretical foundations of modeling motion and diffusion gas admixtures in tunnels were substantiated. The equations for calculating longitudinal profile of air velocity in tunnel and average concentration of gas admixtures along tunnel and in critical area of one were gotten.

Keywords: tunnel, ventilation scheme, aerogasdynamics, air flow, diffusion, gas admixture.

Kachurin Nikolai ([email protected]), doctor of technical sciences, professor, pro-rector, head of department, department of geotechnology and underground structure construction, Tula State University.

Kovalev Roman, doctor of technical sciences, dean, mining-building faculty, head of department, department of sanitary-technical systems, Tula State University.

Konovalov Oleg, candidate of technical sciences, associate professor, department of geotechnology and underground structure construction, Tula State University.

Kachurin Alexander, student, department of geotechnology and underground structure construction, Tula State University.

Поступила 15.10.2009