Численное решение уравнений турбулентной диффузии в закрученном потоке газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.517.4: УДК 62-784

К.И. Стрелец

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ ТУРБУЛЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ

В ЗАКРУЧЕННОМ ПОТОКЕ ГАЗА

Для расчета осаждения частиц в циклоне с тангенциальным подводом воздуха предлагается использовать модель турбулентной диффузии с конечной скоростью.

Отличительная особенность модели: учет влияния турбулентности на рассеивание примеси при осаждении;

возможность выделения крупности пылевидных частиц, осаждение которых можно обеспечить в циклоне с заданными характеристиками.

Для простейшей модификации модели диффузии с конечной скоростью примем, что концентрация частиц В может быть представлена в виде суммы концентраций и В2 твердых частиц, имеющих одну из двух «возможных» скоростей. При этом в расчет вводятся только радиальные пульсации скорости и' и предполагается, что они принимают попеременно два характерных значения и" и (—м"), равных стандарту пульсационной

скорости ^(иГ)2 [2].

Система уравнений в цилиндрических координатах, соответствующая такой схематизации движения частиц пыли для установившегося движения имеет вид:

1 1 1 д(и IV)

м -г дг

■ + — г

д

= юЬ (В2 - V

2 1 дВ

и г -

г дг

2 +1 = „ь (в2-8,)

(1)

дг

где и е - тангенциальная скорость движения частицы равная для обоих сортов скорости переносящего ее закрученного потока; и'г - радиальная скорость движения частицы /-го сорта, равная сумме центробежной гидравлической крупности м> и скорости движения под действием пульсаций (и" или (-и") в зависимости от сорта); 81, 82 -концентрация твердых частиц первого и второго сортов соответственно; шЬ - лагранжева частота изменения частицами пыли одной возможной скорости на другую. Она представляет собой отношение массы всех частиц, которые за единицу времени уходят из одного из сортов к массе всех частиц этого сорта. Для ее определения исполь-

зуется прием, предложенный Е.С. Ляпиным [4],

Ь Е и г

согласно которому ю =ю —, где юЕ - эйлеро-

й к

ва частота пульсационной скорости иг, которая определяется с помощью функции спектральной плотности пульсаций [2].

Параметры, характеризующие осаждение, такие, как распределение тангенциальной скорости, значение пульсационной скорости, гидравлическая крупность частиц должны быть заданы. Они устанавливаются либо при исследовании физической модели циклона, либо на основе численного расчета потока в циклоне на основе трехмерной гидромеханической модели трехмерного потока [1]. Считая, что эти параметры известны, изложим численный метод решения этих уравнений.

Принимаем следующую схематизацию движения потока газа в циклоне. В циклон воздух расходом Q подается из воздуховодов прямоугольного поперечного сечения с размерами Я- г0 и Ъ (рис. 1 и 2).

Поток воздуха будем считать осесимметрич-ным, область течения находится между двумя соосными цилиндрами. В системе цилиндрических координат г изменяется от г0 до Я, а е от 0 до значений, достигаемых при полном удалении примеси.

1. Средняя скорость воздуха в циклоне равна

Q

V =

как правило, на практике состав-

(Я - го)Ъ ляет около 20 м/с.

2. Тангенциальная скорость является функцией от радиуса ие = /(г) [3].

3. Пульсационная скорость и'г зависит от интенсивности турбулентности с. В первом приближении можно считать интенсивность турбулентности постоянной во всем объеме жидкости и принять и' = и с, где с - интенсивность турбу-

г 1е 1

лентности с = ^ .. —.

4. Частота пульсаций постоянна в живом се-

ие

чении и равняется юЕ = я-, что подтвердили

Я - г0

произведенные расчеты.

г

Рис. 1. Схема циклона

Рис. 2. Схематизация движения потока газа в циклоне

5. Радиальная скорость иг = и'г + ^цб , где ^цб -центробежная гидравлическая крупность, которая вычисляется через гравитационную гидравлическую крупность м>, считая, что обе эти скорости пропорциональны ускорениям действующим на частицу (центробежное ускорение и ускорение свободного падения соответственно):

и2

л = —1 w.

цб

Так как нас интересует процесс осаждения, будем рассматривать такие частицы. Гидравлическая крупность всегда больше пульсационной скорости ^цб > и", поэтому частицы всегда движутся к наружной стенке.

Сформулируем задачу Коши для системы уравнений (1). При заданных условиях на входе в циклон и заданном осесимметричном поле скорости в циклоне необходимо рассчитать плотность выпадения частиц на стенки циклона.

При этом, начальные условия для системы уравнений (1) следующие: частицы равномерно распределены в поперечном сечении, концентрация примеси на входе в циклон $ принимается

равной концентрации пыли, поступающей в ци-

$вх

клон $0, а также принимаем $1 = $2 = , т. е. частицы равномерно распределены между сортами.

Граничные условия: при г = г0 примесь в поток не поступает, т. е. поток примеси через твердую границу равен нулю, $1 = $2 = 0; скорость в пристеночной области не равна нулю, т. к. центробежная гидравлическая крупность всегда положительна (считаем и > 0 вплоть до стенки).

На стенке циклона при г = Я вычисляется радиальный поток частиц «первого» и «второго» сорта, сумма которых определяет плотность распределения частиц, оседающих на стенку по периметру поверхности циклона.

Для численного решения системы воспользуемся методом конечных разностей. Для того чтобы ускорить расчеты, используем явную схему метода конечных разностей, что позволяет свести все вычисления к расчету по простым формулам, в частности, не требуется применение «метода прогонки», который используется в неявной схеме.

Представим расчетную область в виде ортогональной сетки, образованной концентрическими окружностями и радиусами. Запишем разностные уравнения для элемента этой сетки (рис. 3), представленного в виде прямоугольника.

Характеристические линии, как следует из (1), имеют угол наклона ш, тангенс которого равен:

ы

ш = —. Для гиперболических скалярных

ыГ

дифференциальных уравнений первого порядка вдоль характеристических линий полная производная й$. = 0, следовательно, значение функции $ в полосе между характерными линиями полностью определяется значениями этой функции на отрезке а Ь, при е = 0.

Таким образом, значение функции в точке й можно определить, включив в разностную схему только значение функции из интервала а Ь. Введем конечно-разностную схему первого порядка точности, используя «правые» разности. Например, чтобы найти функцию в точке й, запишем

Ь

п+1

и = и" + Ж

е г

а гАе

Рис. 3. Элемент сетки расчетной области уравнение (1) в конечно-разностной форме:

+

г Ае

г А г

— (оь (&(т,п) - $(т'п)).

Очевидно, что точка й должна лежать внутри полосы, образованной характеристиками, это накладывает ограничения на шаг по е, Ьй < Ьй',

иными словами, Аег < Ат1§а или Ае < Агг. Это неравенство представляет собой известное условие Куранта-Фридрихса-Леви для уравнения (1).

Из уравнения (1) можно выразить концентрацию в точке й $1т+1" и $2т+1'и для частиц первого и второго сортов соответственно:

ф(т+1,п) _ ф(т,л) _

1 (т,п)

(-

К................Аг

-поЧ^2т'л)-^Г,п))).

Система уравнений (1) позволяет вычислить значение функции $ в любой точке. Кроме того, эта система позволяет вычислить поток примеси при г = Я, т. е. на границе расчетной области. Этот поток - искомая величина, пользуясь которой можно определить количество примеси, удаляемой с помощью циклона. Масса частиц, выпавших на внешней поверхности до заданного значения е определяется интегрированием кривой

плотности распределения.

Система уравнений позволяет найти значение функции на внешней границе. Поток примеси через границу - искомая величина, вычисляемая при решении дифференциальных уравнений. Для соблюдения закона сохранения массы, на каждом шаге поток примеси, поступающей через радиальное сечение потока газа, при любом е должен быть равен сумме потоков через радиальное сечение при е + Ае и потоку через границу при г = Я, таким образом, искомый поток Qs осаждающихся на стенку циклона частиц на участке длиной ЯА е:

N N

д3 =£ и'е Аг = £ и; зг+1Аг.

1=2 1=2

Чтобы рассчитать степень очистки воздуха при заданном е необходимо от начального потока QS0 вычесть поток, выпавший на внешнюю стенку на участке от е = 0 до е:

т

В зависимости от заданной степени очистки можно вычислить значение, при котором она реализуется (рис. 4).

При использовании модели следует ввести следующие ограничения. Частицы не должны быть слишком крупными с тем, чтобы время релаксации этих частиц, т. е. время, в течение которого частицы приспосабливаются к скорости переносящего их жидкого объема [1], было меньше характерного времени постоянства пульсаци-

п

Эффкгивностъ улавливания

/ -Ряд1

тчгчгочгтиэг^соа* о'о'оо'о о"о оо'о 1

зоооо

п, количество оборотов в циклоне

Рис. 4. Эффективность осаждения частиц в циклоне при следующих значениях: гидравлическая крупность w = 0,30 м/с, интенсивность турбулентности с = 0,1

онной скорости. Если это условие не соблюдается (т. е. частицы очень крупные), закономерность осаждения частиц не может быть рассчитана с помощью модели ДКС; они достигают стенки циклона на сравнительно коротком участке, зачастую не успевая приспособиться к скорости переносного тангенциального движение с осред-ненной скоростью, т. е. движутся в «снарядном режиме». Удаление таких частиц из циклона происходит на сравнительно коротком участке, и длина пути частицы до осаждения екЯ меньше чем длина еЯ, рассчитанная по методу ТДКС. Вместе с тем, частицы не могут быть слишком мелкими, т. е. их центробежная гидравлическая крупность

не должна быть меньше пульсационной скорости и'г, т. к. в этом случае не все частицы будут оседать на стенке.

Использование модели турбулентной диффузии с конечной скоростью в математическом моделировании процессов улавливания частиц в циклонах позволяет определить эффективность пылеулавливания в циклоне, с учетом влияния турбулентного движения потока газа. Принятый для решения дифференциальных уравнений метод конечных разностей позволяет обеспечить достоверные результаты моделирования для их применения в инженерной практике.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гиргидов, А.Д. Механика жидкости и газа (гидравлика) [Текст]/А.Д. Гиргидов.-СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2002.-С. 355-356.

2. Гиргидов, А.Д. Турбулентная диффузия с конечной скоростью [Текст]/А.Д. Гиргидов.-СПб.: СПбГТУ, 1996.-С.118-121.

3. Гиргидов, А.Д. О диссипации энергии в одномерных потоках в круглоцилиндрической трубе [Текст]/А.Д. Гиргидов//Тр. IV Рос. нац. конф. по теплообмену.-М.: Изд-во МЭИ, 2006.-С 18-19.

4. Ляпин, Е.С. Полугруппы [Текст]/Е.С. Ляпин.-М.: Физматгиз, 1960. -592 с.