О единственности решения вариационного неравенства теории совместного движения поверхностных и подземных вод при неоднородном ограничении и неоднородных краевых условиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 149, кл. 4

Физико-математические пауки

2007

УДК 519.6

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО НЕРАВЕНСТВА ТЕОРИИ СОВМЕСТНОГО ДВИЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ И ПОДЗЕМНЫХ ВОД ПРИ НЕОДНОРОДНОМ ОГРАНИЧЕНИИ И НЕОДНОРОДНЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЯХ

Л. Л. Глазырипа, М.Ф. Павлова

Рассматриваемая задача относится к классу задач с двойным вырождением. Характерной особенностью является наличие нелокального краевого условия па разрезе области. Доказывается теорема единственности первой краевой задачи для вариационного неравенства при неоднородном ограничение па решение.

1. Постановка задачи.

Пусть О - ограниченная область К2, П - разрез, делящий О на две связные подобласти, Г - граница О, Qт = О х (0, Т], Пт = П х (0, Т], Гп = П П Г. Обозначим через V, V(0, Т), Ж(0, Т) банаховы пространства функций, полученные замыканием Сто(0) и Сто(0, Т; Сто(0)) в следующих нормах

1Мк = (п) + (п),

||иН V (0,т) = \М\ьР1 (0,Т (П)) + \М\ьР2 (0,Т (П)),

1М\ш(0,Т) = \\иН V (0,Т) + \\и\\ь^(0,Т ;Ьа 1 (П)) + \\и\\Ь^(0,Т;Ь„2 (П)).

о о о

Соответственно, V (V (0, Т), Ж (0, Т)) - замыкание финитных функций в О ^т) в соответствующей норме.

Рассматривается следующая задача: найти функцию и из множества

Аннотация

о

V - ии е Ж (0,Т) у(х,Ь) > д(х) п.в. в Qти на пт

о

к

такую, что

Т

(1)

0

и(х, 0) = и0(х) п.в. в О и на П, и для любой функции V е К справедливо неравенство

Т

(2)

Здесь 7(г(£)) - функционад, значение которого при £ € [0, Т] на элементах V € V определяется по правилу

(Д, V)* - значение функционала F € (V)* та элементе V € V, (/, V) ((/, V)п ) -значение функционала / € Ьр (0, Т; Щ- ^П)) ( / € Ьр^ (0, Т; Щ-^П))) на элементе V из Ш (0, Т), и*0- заданная функция из Ш(0, Т)1. Пространственные операторы

Ь : Шр\ (П) —^ Щ^П), Ьп : Щр(П) —^ Щ, 1(П) определяются равенствами

2 д ( \ д ( (ди

Ьи = - ^ — и) кг(х, VII,)^ , ьпи = ( оп(ж, и)кп

— производная по направлению е.

Такого типа задачи возникают при моделировании процесса фильтрации подземных вод с учетом уровня воды в открытом русле (см. например. [1]). В этом случае П - область, в которой происходит процесс фильтрации подземных вод, П соответствует руслу реки (капала), и определяет высоту свободной поверхности жидкости.

В работе [2] доказано существование решения задачи (1) (3) при любых Л £ Ьр'(^т), У*2 £ Ьр'(Пт), р = т1п(р1,р2), д £ V П Ь

(П), (4)

ио — и (0) GV П Ьа1 (П), ио(ж) > д(ж) п.в. в П и па П, (5)

если выполнены следующие условия:

• функции - строго возрастающие, уч(0) = 0, удовлетворяющие при любом £ € Д1 неравенствам

6

Ы£Г — Ьи < Ф<(£) =1 ^(т)т ¿Т < + Ьэг,

о

Ьог > 0, Ь1г > 0, Ь2г > 0, Ьз; > 0, а > 1,

Ы£)| < Ь4г|£|а^-1 + Ьбг, Ь^ > 0, ЬЫ > 0,

• функции а^, к, ап, кп таковы, что пространственные операторы Ь, Ьп являются непрерывными, ограниченными, коэрцитивными, и при любых ж € П, £о, £1 € Д1, £, £1, £2 € Д2 выполнены соотношения

0 <во1 < аДж,£о) < в11, 0 <во2 < ап(ж,£о) < ^12, (6)

введение функции иР обеспечивает выполнение краевого условия вида и(х, 4) = = иР (х,4) п.в. на Г х (0,Т] и на Гп х (0,Т].

]Га4(х,ес)(к4(х,е1) - к^ахе! - е2) > о, (7)

¿=1

(кп(ео) - ыажео - а) > о, 2

|к<(х,е)| < в21 + вз1^ &Р-1, в21 > о, вз! > 0, (8)

¿=1

|кп(ео)| < в22 + вз?|ео|Р2-1, в22 > 0, вз2 > 0.

В данной работе доказывается единственность решения задачи (1) (3). При этом используется методика, разработанная немецким математиком Ф.Отто ( см. [3. 4]).

2. Вспомогательные результаты

В этом пункте приведен ряд вспомогательных результатов, необходимых в дальнейшем. Доказательства первых четырех лемм имеются в [5].

Лемма 1. Пусть функции удовлетворяют перечисленным выше условиям, функция п и функционалы Ф^ определены равенствами

'0, г < 0,

2/2, 0 < г < 1, - 1/2, г > 1,

и

ф;(«,*) = уп'(е -«) ^¿'(е) ¿е е д1, г = 1,2.

V

Тогда справедливы следующие неравенства:

ф;(и,«) -ф;(й,«) > п'(и-(и) -^¿(й)),

ФП(и,«) - ФП(й,«) < п'(й - «)(^Ч(й) - ^¿(й)).

Лемма 2. Пусть = S■t](S^1z), ^¿(г) = S■t](—S^1z).

Тогда при 3 ^ 0 имеют место следующие предельные соотношения:

Фщ(й,«) ^ м^ - ^¿и^

Ф^(«,гО Ш'п) ~ г =1,2,

где = (|ад| + ад)/2.

Лемма 3. Пусть й - решение задачи (1)-(3), « - гладкая неотрицательная функция. Тогда при е ^ 0 справедливо предельное соотношение

2

^У у (уч(й(ег)) - ^(й0))+ «¿ЖА —> 0 Ш' е [0,Т].

¿=1 о П*

Здесь П1 = П, П2 = П.

Лемма 4. Пусть для функции и € Ш(0, Т) выполнено условие (1), кроме того, и(ж, 0) € V П Ьа1 (П), V - произвольная функция из V П Ьа1 (П).

Тогда для любой неотрицательной функции 7(ж,£) € Т; С°(П)) -шме-

ет .место равенство

т 2 т

!(1{и) , ?/(« - V) 7 )* Л = ^^ I ! (Ф*(«о, V) - V)) А.

о ¿=1 о П

Лемма 5. Пусть и - решение задачи (1)-(3), функция 7 удовлетворяет условиям леммы, 4-

Тогда для любой функции V € V П Ьа1 (П), V > д п. е. в П и на П, справедливо неравенство

2 т д

?/ / ^ ~ а? А +

¿=1 о п

т 2 а

+ / / / я<г(.г', и)кг(х, V«) ——(»/(м-г')7 )<Ь(Й + 7 7 »ж*

о п г=1

т

0п

т т

<У"(/ьп'(и — v)7) ^ +1 (/2,п'(и — v)7)п Л. (9)

о о

Доказательство. Положим г = и — е7п'(и — V), где е < 1 - произвольная постоянная, удовлетворяющая условию

е7(ж,£) < 1 У(ж,*) € дт. (Ю)

Докажем, что г € К. Принадлежность г — и° пространству Ш (0, Т) очевидна. Убедимся в том, что

г(ж,*) > д(ж) (И)

почти всюду в дт и на Пт. Учитывая, что п'(0) = 0, оценим функцию г следующем образом

г > и + е7п''(в^ — и))^ — и), в € (0, 1). (12)

Если в точке (ж,£) V — и > 0, то го (12) следует, что г > и > д. В противном случае из неравенства (10) и условия леммы получим

г > и + (V — и) > V > д.

Таким образом, неравенство (11) имеет место для почти всех (ж,£) из дт и Пт, то есть г € К.

Выбирая г в качестве пробной функции в неравенстве (3), будем иметь -/................--^......—

т

оп

> (/1,е7п'(й - «)} Л - J(/2,е7п'(й - «)}п оо

-е

(9). Лемма доказана. □

3. Теорема единственности

Теорема 1. Пусть функции а^, ап, кп удовлетворяют перечисленным в п. 1 условиям, кроме того, для любых е1, е2 е Д1 имеют место неравенства

К(ж,е1) - а¿(ж,е2)| < С1|е1 - е21, (13)

|ап(х,е1) - ап(х,е2)| < С2|е1 - е2|. (14)

Тогда при любых /¿, ио, # таких, что выполнены (5), (5), решение задачи (1)-(3) единственно.

Доказательство. Предположим, что й1, й2 - два решения задачи (1)-(3). В силу леммы 5 для каждого из них справедливо неравенство (9). Пусть '(ж,^,^) - произвольная неотрицательная функция из Сд°((-те, Т]2; С°(П)). Запишем (9) для й1(ж,41), полагая 7(ж,41) = '(ж,^,^), п(е) = Пг(е), « = й2(ж,42). Полученное неравенство проинтегрируем по параметру ¿2. Затем запишем (9) для и2{х,12), выбирая 7(ж,^2) = 7(ж,^1,^2), = г> = и проинте-

грируем по переменной ¿1. Складывая полученные неравенства и учитывая, что Пг'(е) = -Пг'(-е), будем иметь

2 т т _

¿У У J (ф^(ио,и2^2)) +

¿=1 о о п»

2 т т

¿=1 о о п» т т 2

У У У - ак;(г/,2(^2))^ [г)»'{иг^л) - и2(и))7^ йх<МЛ Л2+

о о п ¿=1 т т

11 У (акп(«1(*1)) -акп^^)))^^'^^) -«2(*2))7) <

о о п

т т

<У У (/1(41) - /1(*2),пг'(й1(*1) - й2(42));} ¿¿1 ¿¿2+

о о

т т

+ У У (/2(41) - /2 (¿2), пг (й1(41) - Й2(42));}п ¿¿1 ¿¿2. (15)

+

о о

Здесь

( ^ (£) А

= сц{х, акп(г(^)) = оп(в, ( —) .

Далее рассмотрим слагаемое, содержащее пространственный оператор. Имеем т т 2

I = J J J У^ак^ц^!)) - ак;(ы2(^2))^ ^ - «2^2)7^ Л2 =

о о п ¿=1

т т 2

= !! I Х/а»(ж,и1(£1)^к4(ж, Уи^)) —

о о п ¿=1

- ) ^-(«1(^1) - «2(^2))?7<5"(«1(^1) - из^з))^ сЬ Л2 +

т т 2

+ Л ! У г;.1 (^1)) - о.Д.т, 2))^ А-.Д.т, ^»-1(^1)-

о о п ¿=1

— ^(¿2)^ Пй''(и1(^1) — и2^))7 ¿£¿¿1 ¿¿2 +

т т 2

+ 11~ ак1(г(2(^2))^»у/('И1(^1) - йх<Мл Л2 =

о о п ¿=1

= 11 + 12 + 1з.

Из условия (7) на функции А^, неотрицательности пг'' и 7 следует, что 11 > 0. Следовательно,

I > 12 + /з. (16)

Аналогично доказывается, что т т

7=///(акп(и1(^1)) — акп(и2(£2))) х

ооп

д , „ ~ ~ х ^ (??г («4(^1) - и2{Ь)Ь) сЫсИ^и > /2 +/з, (17)

т т

(оП(в, «!(#!)) -Оп(в, «2(*2)))&П Х

ооп

д

X — («4(^1) - «2(¿2)) - из^з))^ ¿8 &2,

т т

Тз = 11 I (акп(«1(#1)) - акп(«2(^2)))??г/(«1(^1) - «2(^2))^ <#1<#2-

ооп

Учитывая (16) и (17). из (15) получим

T т

Е

0 0 п.

Ф;г(«0,«2(#2)) - $*>!(*!), «2(i2)) ) ^ ifoÄl dt2 +

т т

+ Е

i=1

0 0 п.

$iä(w0,«i(ii)) ) dxdt-i dt2 +

д/

т т

+ /2 + 1з + /2 + I3 <J y(/l(il) - ji(i2),V(«l(il) - U2(i2))T> dtidt2 +

00 т т

+ J У </2(tl) - f2(t2), ПЙ (ui(tl) - U2(t2))/>n dtl dt2. (18)

00

В полученном неравенстве совершим предельный переход при 3 ^ 0. При обосновании предельного перехода в слагаемых, содержащих функционалы Ф^ или воспользуемся леммой 2 и теоремой Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. В результате получим

т т _ т т _

J У J %6{'ио,г/,2(и))^ dxdt1dt2 ^ J ^ J (^(г10) - ^¿{г12{12)))+dx dt1 dt2,

0 0 п. т т

0 0 п.

д/

Ф^(г(о, и2(^2))— cfccfti cft2

0 0 п. т т

I д/

(ipi(u0) - ipi(u2(t2)))+ — dxdti Л2,

0 0 п.

где г =1, 2.

Используя условие (13) и неравенство (8), оценим 12 следующим образом:

т т

| 12 |< CißJJJ ¿| Ul(tl) - U2(t2) | Пй ''(ul(tl) - U2(i2))x

0 0 п

1 + E

du2(t2) pi-K

dx-i )

дх

■(ul(tl) - «2(^2))/

dxdtldt2, (19)

где ß = max{ß2l, ß3l}. Нетрудно видеть, что

= (|) <1 v.-ед1.

Поэтому подынтегральная функция в правой части неравенства (19) ограничена интегрируемой функцией. Кроме того, при 3 ^ 0

h" (I) п-в-в Rl-

Тогда по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла

lim 12 = 0.

д

Для /3, учитывая, что при S ^ 0

^(i) ^H(i)={0:«>

будем иметь

T т

lim /3 = J J J У^ (akj(Mifti)) - akj(t/,2(f2))) ~ mjh))-^- tfa <#1

Аналогично доказывается, что lim /2 =0, а т т

lim73= jjj (akn(t(i(ii))-akn('M2(i2)))F(ui(ii)- u2(i2))^cisciiicii2.

0 0П

Таким образом, из (18) при S ^ 0 получим

— J (^¿(ио) — ^ (и2 (¿2 )))+ 7(ж, 0, ¿2) — ¿=1 о п»

2 т

— £/J (^¿(ио) — уч(и1(£1)))+ 7(ж,£1,0) —

¿=1 о п»

2 т т _ _

¿=1 о о п»

т т 2 _

+ Ц I ^(ак.С«!^)) - ак,^^)))^«!^) -

о о п ¿=1

т т _

+ 11 У(акп(«1(^1)) - акп(и2(^2)))Я(г(1^1) - «2(^2)) ^ с^ сЙ2 < ооп

2 т т

<¿7 //(/¿(¿1) — /¿(¿2))Н(и1(£1) — ^(¿2)) 7 ¿¿2. (20)

¿=1 о о п

Далее, пусть 7(ж, ¿) € С°(—те, Т/2; С°(П)), д € С^Д1) - неотрицательные функции. Кроме того, д - четная функция, удовлетворяющая условию

У ?(£М£ = 1. (21)

В неравенстве (20) выберем

. . , 1 А *1+*2

7(ж,*ь*2) = 7<?( —:— )7( ж,—-—

ii вводом новью переменные

t = tl, т = -.

е

Учитывая, что

д; д; 1 /¿1 - ¿2\ д7(ж, е)

д1\ д12 £ \ £ ) неравенство (20) запишем в виде 5 2 т/е шт(т,т+ет)

Е1 < £ I I У (/¿(¿) - /¿(* - ет))х

¿=1 ¿=1-т/е шах(о,ет) П

х Н(й^) - й2(£ - ет)) д(т) 7(ж, г - ет/2) ¿ж ¿т, (22)

2 т/е

11 = ^Е / / (^¿(йо) - ^¿(й2(ет)))+ д(т) 7(ж, ет/2) ¿ж^т,

€=(«1+*2>/2

2 т/е

12 = ^Е / / (^¿(йо) - ^¿(й1(ет)))+ д(т) 7(ж, ет/2) ¿ж^т.

2 т/е шт(т,т+ет)

1з = -е / / / (^(й1(^))-

¿=1-т/е шах(о,ет) П

+ д7

— — £7") ) ) (/(г) — (ж, £ — £г/2) с1х сИ ¿Т,

т/е шт(т,т+ет) 2 14 = I I У ¿(ак|(й1(*)) - ак|(й2(* - ет)))Н(й^)-

-т/е шах(о,ет) П ¿=1

д7

— — £7")) </(т) —— (ж, I — ет!2) ¿ж А (¿г, дж,.

т/е шт(т,т+ет)

15 = У У У (акп(й1^)) - аки(й2(* - ет)))Н(й^)-

-т/е шах(о,ет) П

д7

— — £7")) </(т) —— (ж, I — ет/2) сЫ Л с1т. дж,.

В неравенстве (22) перейдем к пределу при е ^ 0. Докажем, что

У1 ^ 0 щи е ^ 0.

Пусть М € [0, Т/е ], представим У1 в виде 2 м

11 = — ^ У д(т^ (^¿(ио) — ^¿(и2(ег)))+ 7(ж, ет/2) ¿ж^т— ¿=1 о п 2 т/е

— ^ У ^(т^ (^¿(ио) — ^¿(и2(ет)))+ 7(ж,ет/2) ¿ж^т = —11,1 — У,2.

Покажем, что каждое У ^ может быть сделано сколь угодно малым за счет выбора М и е. Учитывая, что (у(ио) — ^¿(и2(ет)))+ € Ьс(0,Т/е; (П¿)), а функция 7(ж, ет/2) ограничена, для 11,2 получим оценку

т/е

11,2 < с У д(т) ¿т. (23)

м

М

наперед заданной малой величины р. Записав 11,1 в виде 2 м

11,1 = ЕУ д(т^ (^¿(ио) — ^¿(и2(ет)))+ (7(ж,ет/2) — 7(ж,0)) ¿ж^т+ ¿=1 о п

2 м

+ У^У (^¿(ио) — ^¿(и2(ет)))+ 7(ж,0) ¿ж^т

¿=1 о п»

и учитывая непрерывность функций 7, д и лемму 3, нетрудно доказать существо-ео,

11,1 < р Vе < ео.

Из вышесказанного следует, что 11 ^ ^и е ^ 0. Аналогичный результат имеет место и для 12.

Докажем, далее, что при е ^ 0

2 т

Уз I / / (^(щ) - ^ 0- (24)

Учитывая, что т

т

2

У / / («1) - («2 ) )+ (ж> ^ =

2 со т

У У <?(т) У У - ¿хсЫ с1т,

представим левую часть предельного соотношения (24) в виде суммы следующих слагаемых

2 —м т

2 со т

л2 = ¿У д(т) 11 Ыиф)) -Ыи2{т+^{х,1)с1хсЫс1т,

г=1 М 0 П»

2 _М ш1п(Т,Т+ег)

А3 = -^2 / / / (ПЫ*)) ~ ¥><Ы* - ьт)))+ г-ет/2) ¿ж Л йт,

г=1-Т/е шах(0,ет) П

2 Г/е шт(_,Т+Ет)

А4 = I д{т) I I («1 (*)) - ^(«2 (* " £Т)))+ ^ (ж, *-ет/2) ¿ж Л ¿т,

г=1 М шах(0,ет) П

2 М ша_(0,ет)

¿5 = -^ I ЯН I !

г=1-М 0 П»

2 _М _Г _

Аб = У ?(т) У - - ет)))+ ¿ж^Ыт,

= 1-М шт(Г,Г+ет) П

_Г _

Л = - Е У У У |ы«1(*)) - ¥>4(«2(* - - ет/2) -

г_1 -М 0 П.

д^ 1

Нетрудно показать по аналогии с предыдущим случаем, что г = 1, 2, 3,4

могут быть сделаны сколь угодно малыми за счет выбора М. Что касается |А51, |Аб|, то их значения малы при малом е в силу малости меры множества, по которому проводится интегрирование. Распишем следующим образом:

2 м Г

2 М Г

- ет)))+-

— (ж,*) с1хсИс1т.

Первый интеграл правой части последнего равенства стремится к нулю, поскольку функция 7 - гладкая, а функции ^¿(м1) и ^¿(м2) принадлежат пространствам Ьс(0, Т; (^¿)). Второй интеграл также стремится к пулю в силу непрерывности в целом интегрируемых по Лебегу функций. Таким образом, соотношение (24) доказано.

Аналогично доказывается, что при е ^ 0

г 2

У4 У У ¿(ак^ы^))-ак1(«2(#)))Я(«1(#) - ¿хсЫ,

Ys J y"(akn(«i(i))-akn(«2(i)))ff(«i(i) -u2{t))^±{x,t)dsdt.,

0 п

а слагаемые, содержащие функции /г, стремятся к нулю. В результате при е ^ 0 из (22) получим

-J2 I I ^гЫ (*)) - Щ(«2(*)))+ ^(ж, i) dx

T 2

+ [ [ ¿(aki(«i(i))-aki(«2(i)))ff(«i(i)

7 7 -—i г

0 Q г—1

T

+ J J(akn{'Ui{t)) -akn(«2(i)))ff(«i(i) - ii,2{t))^{x,t) ds dt < 0. (25) 0п

Докажем, что неравенство (25) имеет место для любой функции y(x, t) из пространства T/2; cto(q)). с этой целью введем гладкую неотрицательную функцию x(£) такую, что х(0) = 0 и x(£) = ^и £ > 1. Обозначим через приграничную полосу области Q ширины р. В каждой точке x G определим вектор r(x) такой, что |r(x)| = dist (x, Г), а x — r(x) G Г. Определим функцию

(И А

ХР(хьж2) = х ( — ) •

Очевидно, что

Y(x,t) = XpY(x,t) + (1 — Xp)Y(x,t).

Для краткости записи в дальнейшем обозначим через b(y) левую часть неравенства (25). Поскольку xPY G T/2; cq°(0)), то согласно (25) имеет место неравенство

b(xpy) < 0. (26)

Докажем далее, что

limsup B((1 — Xp)Y) < 0. (27)

Имеем

B((1 — Xp )Y)= h + 12 +13 + I4 + /5, (28)

где

2 T

h = - J211 (^м*)) -<fi(Mm+ -xP)dxdt,

i—1 0 Q

T 2

J J ¿(aki(«i(i)) - aki(«2(i)))#Mi) " «2(i))J^(l " XP) dxdt.,

¿2 =

/3 =11 (akn(MiOO) -akn(«2(i)))#(«i(*) -u2(i))|j(l -xP)äsdt,

0п

14 =

J ! ^(ак!(«1(*)) - ак1(и2(ЩН(иф) - «2(*)) 7 ~ХР)Лх(11,

о п т

15 =

д

акп(«1(#)) -акп(«2(*)))-Щ«1(*) - «2(*)) 7 —(1 -хР)ЛвЛ.

о п

Используя теорему Лебега о продольном пороходо под знаком интеграла и определение функции хР, нетрудно показать, что

Докажем далее, что

Иш 1 =0, г = 1, 2, 3.

Ишвир /4 < 0.

р^о

Имеем

(29)

(30)

и = -

т 2

;/У Е Ы1 )) ~ (ж> Ы2 ))) х

о п0 4=1

V |г|\ д|г|

х кг(х, Vгíl(í)).H~(гíl(í) — ио(1)) 7х' — ——¿хсЫ—

\ р / дж»

т 2

У У «2^)) (кг(ж, - ¿¿(ж, У«^))) х

о п„ ¿=1

X Н(и\(1) — и2{1))^х' (— ) = 14,1+14,2-

\ р / дж4

Воспользовавшись (13) и неравенством (8), нетрудно показать, что

т

/4Д < - ^у у |и1 - «2 г

о п„

Представим Пр в виде объединения конечного числа подмножеств Пр, в каждом из которых можно задать локальную декартову систему координат с осями <тй, , удовлетворяющую следующим условиям:

1) |(сгй, ж) дг | < Ар Уж £ Пр, А>0 константа, определяемая областью П:

2) для любой точки ж £ Ир найдется точка ж* £ Г П Ир такая, что (£к,х) =

(е ,ж*).

Тогда, продолжая функцию (и — «2) нулем вне П, будем иметь

| (« 1 — «2)(ж)| = |(«1 — «2)(ж) — («1 — «2)(ж*

д(«1 - '»-2)(ж - УСТк) дv

¿V

2Лр

<

д(«1 — «2)(ж — )

дv

¿V, (31)

где а(ж) = — (£*,ж) + , ж*).

1

Используя неравенства Гель дера и (31). нетрудно получить оценку

2 д(щ — U2)P1 X1/P1

dxi

dx dt ) , p'i = ^1

pi - 1

Из последнего неравенства и включения (ui — U2) GW (0, T) следует, что

lim /4 1 =0. (32)

Рассмотрим /4,2. Представим Qp = Qp U Q2 U Qp, гДе Qp = < x G Qp : ui(x) — U2(x) < 0 >,

л2 f ^ d(ui — U2)

Zp = j ж G Op : ui(x) - u2{x) > 0, -

13 _ L, ^ О . ,. /„л ,. /„л ^ п -

ö|r|

op = <j ж G Op : u 1 (ж) - «2(ж) > 0, V д, , < 0 }.

Измеримость множеств Qp следует го включения ui — U2 GW (0, T). В дальнейшем

p

для краткости изложения обозначим

F(x,t) = ¿Oi(a;,«2(i))(A;i(a;,V«i(i)) - АЧ(ж, Vu2(i)))7(x^)x'

Заметим, что H(u1(x, t) — u2(x,t)) = 0 для любого x G Op, поэтому

-ff F(x, t)H(ui - u,2) cfa di = 0 V/9. (33)

P 0 Qi

Поскольку

У O'i (X, u2 (t)) (кi (x, V« 1 (i)) - A4 (x, Vu2 (t)))d{Ul{t) U2{t))

то из условия (7) следует, что в точках Ор

<н{х, и2{ЩЫ{х, Чиф)) - кЧ{х, Чи2{Щ ^^ > 0.

¿=1

Учитывая, что Н(м1(ж,4) — ир(х, £)) = 1 для любого х С Ор, будем иметь

т

-J! Р{х,г)<1х<И, < 0, У/Э. (34)

Р 0 пр

Докажем далее, что

lim - [ [ F(x,t)dxdt = 0. (35)

р^0 Р J J

0 пр

Пусть Гр = (Г П дПр) . Если Гр = 0, то справедливость (35) очевидна. Предположим поэтому, что Гр не пусто. Докажем, что mes (Гр) = 0. Предположим обратное. Пусть тев(Гр) = 0. Так как Гр С Г и тев(Гр) = 0, то найдется хотя бы одна точка ж* G Гр и е > 0 такие, что

Ue(x*) П Пр С Пр,

где Ue(x*) - окрестность точки ж* радиуса е. Пусть ж' G Ue(x*) П Пр такова, что ж' — г(ж') = ж*. Рассмотрим поведение функции

w(x, t) = Ml (ж, t) — М2(ж, t)

на множестве {ж' — £г(ж'), 0 < Z < 1}. Обозначим жа = ж* + аг(ж'). Имеем

а

. . . . , * . Г , t) w(xa,t) = w(xa,t) — w(x ,t) = J --a£ =

0

а а

00

так как для любого £ G [0,1], очевидно, имеет место равенство

|г(ж* + £г(ж' ))| = £|г(ж')|.

Поскольку (ж* + £г(ж')) G Пр для всex £ G (0,1], то правая часть (36) отрицательна в то время, как левая больше нуля. Полученное противоречие означает, что (Гр) = 0. Обозначим

S(т) = {ж G Пр : dist^, Г) = т} . Ясно, что mesS(T) ^ meвГр при т ^ 0. Имеем

T р

~ J J \F(X> *)I dx dt = ~j J d,T J \F{x,t)\d£dt- =

0 np 0 0 S(T)

T 1

= J J dT' J |F(x,t)| d£dt. (37)

0 0 S(PT')

Правая часть в (37) стремится к пулю, поскольку mes(S(рт)) ^ ^и р ^ 0.

Таким образом, (35) имеет место, из (32) (35) следует справедливость (30). Аналогично доказывается, что

limsup /5 < 0.

Из (29). (30) и последнего неравенства следует (27). Неравенства (26). (27) обеспечивают справедливость неравенства (25) для любой неотрицательной функции из С0°(-го,Т/2; СТО(П)). Выбирая в (25) 7(ж,г) = 7(г), получим

2 т

- ¿|| Ыт) - Ыи2))+ ^ скссЫ < 0. (38)

®=1 о п

Ясно, что (38) будет иметь место и для любой неотрицательной функции

7(*) е ^(0, Т/2), 7(Т/2) = 0. Выберем в (38)

7(*) = ^ - 0 <

\0, t > Г,

где е [0, Т/2]. В результате будем иметь г* г*

J ! (^1(^1) - ¥>1(м2))+ ^ЖА + J ! (у>2(«1) - ^2(^2))+ ^вЛ < 0. о п о п

Из последнего неравенства в силу монотонности ^ и произвольности следует, что и < и2 почти всюду в ^т/2- Поскольку функции и1, и2 во всех рассуждениях можно поменять местами, то из последнего неравенства следует единственность решения задачи (1)-(3) па [0,Т/2].

Чтобы получить единственность решения на [0, Т], нужно задачу (1)-(3) рассмотреть на [0, 2Т], полагая = 0 при I > Т. Теорема доказана. □

Summary

L.L. Glazyrina, M.F. Pavlova. On uniqueness of the solution of a variational inequality of the coupled movement of the underground and surface waters theory with nonhomogeneous bounds and nonhomogeneous boundary conditions.

The considered problem is a double degenerate problem. The special feature of the investigated problem is also the nonlocal boundary condition 011 the inner slit of the domain. The uniqueness theorem for the first boundary value problem for variational inequality with nonhomogeneous bound 011 the solution is proved.

Литература

1. Антонце.в G.H., Мейермаиоа A.M. Математические модели совместного движения поверхностных и подземных вод. Новосибирск. 1979. 80 с.

2. Главы,puna Л.Л., Павлова М.Ф. О разрешимости одного нелинейного эволюционного неравенства теории совместного движения поверхностных и подземных вод // Изв. вузов. Математика. 1997. 4 С. 20 31.

3. Otto F. L-Contraction and Uniqueness for Quasilinear Elliptic-Parabolic Equation // Reprinted for Journal of J. Different. Equat.. New York-London: Academic Press, 1996. V. 131, No 1. P. 20 38.

4. Otto F. L-Contraction and Uniqueness for unstationarisaturated-unsaturated porous media flow. // Adv. Math. Sci. Appl. 1997. V. 7, No 2. P. 537 553.

5. Главы,puna, Л.Л., Павлова M. Ф. Теорема о единственности решения одной задачи теории совместного движения русловых и подземных вод // Изв. вузов. Математика. 2000. 11. С. 12 25.

Поступила в редакцию 26.10.07

Глазырина Людмила Леонидовна кандидат физико-математических паук, доцент кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета. E-mail: glazyrina-ludmilaeyandex.ru

Павлова Мария Филипповна доктор физико-математических паук, профессор кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета. E-mail: E-mail Maria.PavlovaQksu.ru