CC BY
18
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Физико-математические пауки
УДК 519.6
О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ СОВМЕСТНОГО ДВИЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ И ПОДЗЕМНЫХ ВОД ПРИ НЕОДНОРОДНОМ ОГРАНИЧЕНИИ НА РЕШЕНИЕ
Л. Л. Глазырипа, М.Ф. Павлова
Аннотация
Рассматриваемая задача теории совместного движения поверхностных и подземных вод относится к классу задач с двойным вырождением. Характерной особенностью ее является наличие нелокального краевого условия па разрезе области. С помощью методов полудискретизации и штрафа доказывается теорема существования первой краевой задачи для вариационного неравенства при неоднородном ограничении.
Ключевые слова: двойное вырождение, нелокальные краевые условия, метод иолу-дискретизации, метод штрафа, обобщенное решение.
1. Постановка задачи
Пусть О - ограниченная область пространства Д2, Г - граница О, П - разрез, проведенный в О, разбивающий ее та две связные подобласти, = О х (0, Т), ПТ = П х (0, Т). Обозначим через V, V(0,Т), Ж(0,Т) банаховы пространства функций, полученных замыканием СТО(П), Сто(0, Т; Сто(О)) в следующих нормах:
1Мк = \M\w\ (П) + \M\wp (П), 1Мк(0,Т) = 1М1 ЬР1 (0 ,Т (П)) + \\и\\ьР2(0,Т;ШР2 (П>), \\и\\ж(0,Т) = \\и\к(0,Т) + \\и\\ь^(0,Т ;Ьа1 (П)) + \\и\\Ь^(0,Т;Ь„2 (П)),
через У, V (0,Т), Ж (0,Т) - замыкания С£°(О), Сто(0,Т; С^(О)) в нормах пространств V, V(0,Т), Ж(0,Т).
Рассматривается следующая задача: найти функцию
и е К = {V еЖ (0, Т): > #(ж,г) п.в. в дТннаПТ|
такую, что
Т
(и), •)* ^ е (V (0,Т))*, (1)
0
и(х, 0) = и0(х) п.в. в О и па П, (2)
и для любой V е К справедливо вариационное неравенство
Т
J и (и), и — V)* + (Ьи, и — V) + (Ьпи, и — v)п} Л <
0
Т
< У"{(/Ьи — V) + (/2, и — v)п} Л. (3)
0
Здесь 7(г(£)) - функционад, значение которого при £ € (0, Т) та элементах V определяется по правилу
(./(*(*)),*>), = ¿(У <^1Ш)г>(х) ¿х + ^ ср3(г(1))г>(з) с!^ , (4)
п п
о - -
(Д, V)* ((Д, V), (Д, V)п) - значение функционала Д из (V)* ( (П), (П))
о о 1 о 1
на элементе V из V Р1 (П), ^Р2 (П)) соответственно, операторы
2 д д ( (ди \ \
Ды = (сч(х,и)кг(х,\/и)), ьпи = ( ),
◦ 1 < о 1 д
действуют из ТУ,,. (П) в ТУ , (П) и из ТУ,,, (П) в ТУ , (П), — производная
по направлению е. Как обычно, р», р» - сопряженные числа, удовлетворяющие
1 1 ,
равенству--1—- = 1.
Р» Р»
Задача (1) (3) возникает (см., например, [1]) при математическом описании процесса совместного движения поверхностных и подземных вод. В этом случае П -
П
соответствует руслу реки или капала, искомая функция и определяет высоту свободной поверхности воды над непроницаемым основанием.
Будем предполагать, что <»(£), г =1, 2, - абсолютно непрерывные, возрастающие функции, <£>¿(0) = 0, удовлетворяющие при любом £ € Д1 неравенствам
6
6о» | £ Г - Ъи < Ф»(£) = У < 62» | £ |а + Ьэ», а» > 1, (5)
о
| <»(£) | < 64» | £ Г-1 + 65», (6)
(<»(£)£)' > о, (7)
6о» > 0, 61» > 0, 62» > 0, 6э» > 0, 64» > 0, 65» > 0, г = 1, 2.
Предполагаем также, что функции а»(ж, £0), А;»(ж, £), ап(ж, £0), &п(ж, £) непрерывны по £о и £, измеримы по ж и удовлетворяют при любых ж € П, £о € Д1, £1, £2, £ € Д2 условиям
0 <во1 < а»(ж,£о) < в11, 0 <во2 < ап(ж,£о) < ^12, (8)
2
| А»(ж,£) |< Мо^ | £5 |Р1-1 +Ми, Мо1 > 0, Мц > 0, р1 > 1, (9)
22 ]Г а,-(ж, £о)Л3-(ж, £)£,• > М21 ^ | £; |Р1 -Мэ1, М21 > 0, М31 > 0, (10) 5=1 5=1
2
]Га^(ж,£о)(^(ж, £1) - ^(ж,£2))(£] - £2) > 0, (И)
5 = 1
| Ы£о) |< Мо2 | £о |Р2-1 +М12, Мо2 > 0, М12 > 0, Р2 > 1, (12)
ап(х, £о)^п(ес)ео > М22 | ее |Р2 -М32, М22 > 0, М32 > 0, (13)
(ые1) - махе1 - е2) > о уе1, е2 е д1. (м)
Настоящая работа является продолжением исследований, начатых в работе [2]. где доказано существование решения задачи (1) (3) в случае однородного ограничения.
2. Теорема существования
Теорема 1. Пусть функции <рг, аг, кг ^ = 1,2), ап, кп удовлетворяют условиям (5) (14), кроме того
д е Ш(0,Т), д|гх[о,т] < 0, (15)
(16)
Lg е ЬЧ'((т), Ьпд е V(Пт), д < Р = шт{рьр2}. (17)
Тогда при любых
/1 е V((т), /2 е V(Пт), (18)
о
и0 еУ ПЬаг (О) такой, что и0(х) > д(х, 0) п.в. в П и на П, (19)
решение задачи (1) (3) существует.
Доказательство теоремы проводится с помощью методов штрафа и дискретизации по переменной Ь.
Пусть иТ = = кт, к = 0,..., Ж, тЖ = Т}, и;т = ит \ {Т}. Операторы штрафа определим с помощью следующей функции в:
ву = -|у—19—2у—, V— = (|у|- у)/2.
о
Определение 1. Функцию у{1) (ЕУ ПЬа1(Г2) (Е сПт назовем решением полудискретной задачи.если
у(0) = и0(х) п.в. в П и па П, (20)
о
и для произвольной функции V еУ ПЬа1 (П) справедливо равенство
J - дт(Ь))+ + дт(Ь))у^х +1 Ф2г{(у&) - дт(Ь))+ + дт+
п п
+ <^£(*),г>> + <ВДг>>п + ^ </?(£(*) - 9гШг') +
+ п = (/1г,г'> + (/2г,г'>п (21)
11
Здесь (/1т,г>) = 1 у </1 ), г>) с^, (/2т, г')п = ^ J (/2(4), г')п е>0 параметр
4-т 4-т
г
штрафа. дт(х^) = — J <?(ж, операторы Ь9 и определены следующими
г—т
равенствами
Ь9У - ^ (а,г{х, {у - дт)+ + дт) А-г(ж, Уг/)) ,
г=1 г
¿пУ = ^оп(ж, {у - дт)+ + дт)кц ■
Разрешимость задачи (20) (21) нетрудно доказать, используя метод Галеркина.
Лемма 1. Пусть выполнены условия (15) (19), тогда для решения задачи (20)—(21) справедливы следующие априорные оценки1
Шу -9г)+ + ЗтХОН^сп) + II((у - 9г)+ +дт)(1')\\ьа2(11) < с 57т, (22)
Е-
4=0
+
ж Р1 (П)
Р 2
О 1
жР2 (П) ^
< с V;' € шт,
(23)
4=0
- Ут(¿)||^(П) + 11(У - Ут(Ь)||
Ь,(П)
< с Ш' € . (24)
Доказательство. Из включения у — дт € V и условий у €У ПЬа1 (П),
о
5|гх[0,т] < 0 следует, что функция (у — дт) — припадлежит V ПЬа1 (П). Это позволяет выбрать в равенстве (21) V = ту--;—- (у — дт)~, где д < р = тш{р1,ро}.
^ 1
Полученное после этой подстановки равенство просуммируем по Ь от 0 до Ь' — т. В результате будем иметь
2 4'—
ЕЕ т{ / ¥и{{у -9т)+ + дт)у с1х - —^ J фы{{у-дт)+ + дт)(у-дт) +
®=1 4=0 П П
4'—т 4'—т 1 2 4' — т
+ ^ г (Ьау, у) + ^ г (Ь9пу, у)п + 7 Г / /?(£ - Зг ^ -
4=0 4=0 ¿=1 4=0 П-
1 2 4'—т ~ 4'—т 4'—т
- — Е Е г / /3(у ~9т){у-дт)~ с1х = г(/1т, у) + Е г(/2т, у)п +
„•_-1 +—П + — П +—п
1 4=0
+ Е ¿гтте {у-ЯгГ) - £ (г/-^)->п -
4=0
4=0
£9'
4' -т
4'-т
- (25)
4=0
4=0
£9'
где для краткости обозначено П1 = П, П2 = П, Воспользовавшись очевидным равенством
е = (е — Ут)++Ут — (е—Ут)— ve € д1,
представим первое слагаемое в левой части равенства (25) в виде
2 4'-т
1 =ЕЕ т 1 / ^¿4((У — ут)+ + ут)у Лх —
¿=14=0
- т^тгт J <ри((у — дт)+ + дт)(у — дт)-
= 11 — 12
1 Здесь и в дальнейшем через с обозначаются независимые от г и е постоянные.
4 —т
где
/1 = ЕХ> /
Т (л \ __}__\ I' - дт)+ + дт) - Ы(у - 9т)+ + 9т) ^ ~ . , 12 = ^ + т /-;-& - 9т) с1х.
= 4=0 П
Используя (5) и неравенство (см. [3])
ые) - ^(п))е > Ф<се) - ф»(п) ve,n е д1, (26)
для /1 нетрудно получить оценку вида:
2 4'-т „
/1 >ЕЕ М (ф»((^ - ^т)+ + Зт) - Ф»((у - 9т) + + 9т))) <1х >
= 4=0 П
2
> Е (М((З - Зт)+ + Зт )(0||£,4 (П4) - Ь^Мх)^ (П») - (Ьк + ЫшевО») . (27) »=1 г г
/2
Ы(е - 91)++91) - ^((е - 92)++92)) (-(е - 91)—) >
> (^»(91) - ^(92)) (-(е - 91)-) vе, П, 91, 92 е д1, (28)
справедливость которого вытекает из следующих легко проверяемых соотношений:
^ ((е - 91)++91) (-(е - 91)-) = ^ы (-(е - 91)-),
<л((е - 92)+ + 92) > ^¿(92)-Используя неравенство Гель дера и е-неравенс тво2, нетрудно доказать, что
/ 1 \ 2 4'-т Г 2 2 4'-т
Ь < и + т^пЕЕ7" / <^и(9т)(у -дГ (1х <
^ / »=1 4 = 0 У »=1 4=0
„ / ч 2 4'-т
а9 Л 1
4 У 7 »=1 4=0
Из (28). (29) следует оценка
т [ ~9т)++9т)~ Уг((У - 9т)+ + 9т) _
> Е(ь«н(з-Зт)++Зт(п4) - ^ных)^-
»=1 ^ г г
2 4 —т 9 14 —т \
- ^Е Л\Ы9т)\\1ч,ш- + Е )-с. (30)
4 = 0 ^ 4=0 /
2Малый параметр в £-неравенстве здесь и в дальнейшем будем обозначать через а.
Из (10). (13) имеем
г'—т г'—т
]Г Т (Vу(г),у(г)) > т Ну^Н^ - с, (31)
7=0 7=0
г'—т г'—т
]Г т (Ьаиу(г),т)п > М22^ Т ||у(*)ПР21 - с. (32)
7=0 7=0 (п)
Слагаемые, содержащие оператор штрафа в, оценим, воспользовавшись определением этого оператора, следующим образом:
2 /1 г'—т ,, г'—т
¿(7 Е т / ~ 9т)у<1х - Е т/ -9т)(У -9т) ¿х^ >
®=1 г=0 п» г=0 п»
2 / г —т г —т
^ Е 7 Е - - - Е т\\{у-9т)-\\1чШ-
г= 1 ^ г=0 г=0
1 г'—т ч г'—т \
" ^77 ^ " Ъ Е (33)
4 п 4 п /
Третье слагаемое в правой части равенства (25) представим в виде
г -т г -т
ТТ
где
Е —^уЛу-9Г)-) = Е —^
г=0 г=0
2 г д
У1 = Е / ~ + 9т){Ых, Vy) - /¿¿(ж, ^9т)))-^- {-(у — дт)~) с1х, 1=1 п
2 Г д
У2 = Е у ~9т)+ + дт)к(х, ^9т)-7^ {-(у - Ят)~) ¿Х-
Известно, что (см., например, [4, с. 81 д(у - 9т)— д(у - 9т)
дхъ дх.
д(9— - 9тГ
в П (¿) = {х е О : у(х,£) < 9т(х, ¿)},
дхг
Учитывая также, что
0 в П+(£) = {х е П: 9(х,г) > 9т(х,£)}.
а»((9(х) - 9т(х))+ + 9т(х)) = а (9т(х)) Ух е П (¿),
нетрудно убедиться в справедливости неравенств
2 Г д
у1 = Е _/ а-(9г)(Ач(ж,У9)-Ач(.г-,У9г)))^(-(9-9г)")^>0, (34)
®=1 п_
2 Г д
у2 Е / «¿(9г)Ач(х,у9т)^-(-(9- 9тГ) & = (Ь39г, (9- 9тГ>. (35)
- п_
Используя неравенства Гельдера, Фрндрихса и е-неравенство, оценим (35) и оставшиеся слагаемые в правой части (25):
Ь' — т 1 Ь' — т р1 Ь' — т
Ь'—т
Т
1 ' а?
4 t=0 4 t=0 4'-Т 1 4'-Т ' саР2 4'-Т
Е ^</2r(í),?/>n < ТуЕ г||/2т(*)||£;(п) +- Е ' (38)
t=0 P2^2 ^^ p2 t=0 WP2 (n)
t'-Т t=0
1 ' 4'-Т
^ ^E^WII^ínj + ^E-llíV-W-lIltn,. (395 У t=0 У t=0
t' —т .. t' —Т
t=0 4 t=0
t'-T
+ (40)
t=0
t'-T .. t'-T
E¿®(í4)->n <-7-7 E-Il^lltcn) +
t=0 4 t=0
t'-T
^E-ii^-^nil(n)- (41)
t=0
Подставляя (30) (33), (36) (41) в (25), будем иметь b0i Il((3 - З)+ + З )(í')NLL1 (О) + b02 Il(3 + З)+ + ?)(ОН£2 (П) +
+ M21 -
са
■Р1
а2 (
t'-T / p„ N t'-T
t - Т / Р2 \ ^ - Т
PW t=0 WР1 (П V pW WP2 (П)
+ {7(1 - ) + ¿7(9 -5-9)} E +
+ {¡(i—i + ^-^l&ifí^niU ^
1 t'-T '
< b2l||«o(x)||^i(Q) + b22|Mx)||-2(n) + —7 E +
12
1 1 /1 \ 1 -т
Е + + т\Ы<Аа) +
4 4=о У 7 4=о
+ Х>11*<,(П) + Е(,) + 7 Е+
У 7 4=о 4 4=о 4 4=о
^ и, (п) ■
4=о 4=о
Параметр а выберем так, чтобы выражения, стоящие в круглых скобках в соотношении (42) были положительны. В силу условий (15) (19) правая часть (42) ограничена. Следовательно, оценки (22) (24) имеют место. Лемма доказана. □
1
(21) справедливы, априорные оценки
Т-кт
Ем (<» (£(£ + )) - <» (£(*))) (£(£ + Лт) - £(*)) ¿ж < еЛт, Л =1, 2,..., Ж, (43)
где г = 1, 2, £(£) = ((у - Зт)+ + £т)(£). Доказательство. Имеем
1 Т-кт
Т ¿'=о П
1 Т-кт „
+ 7 Е т / =
Т ¿'=о п
Т-кт „ к
= Е т / Е(<1(£(£' + ¿т)))-(£(*' + Лт) - £(0) ¿ж +
¿'=о П 5 = 1
Т-кт „ к
+ Е т Е(<2(£(£' + ¿т)))-(£(*' + Лт) - £(*'))
+ /_П '' А-1
4'=о П 5 = 1 Воспользовавшись равенством (21), получим
Т-кт к
Т-кт к
I = Е ^ -(Ь3у(£' + ¿т),£(£' + Лт)-£(£'))-(ЬПу(£' + ¿т),£(£' + Лт)-£(£'))п -
4'=о 5 = 1 ^
- -</% " дт№+зт), Ш' + Ь") - £(*)> - -</% - дт)У+зт), Ш' + кт) -
£ £
- £(0)п + (/1т, £(£' + Лт) - £(£')) + (/2т, £(£' + Лт) - £(£')) Л. (44)
Докажем, что правая часть в (44) ограничена величиной Ле. Обозначая = + + ¿т, £'к = £' + Лт, оценим, например, следующее слагаемое
Д =
£
1 Т-кт к
4'=о 5 = 1 Т-кт к
<
Т-кт к
£ ¿т=о ^ (п) I ^Р1 (п) (^
1 к , Т-йт '
< тЕ Е X
¿=1 4 ¿'=0 р1 J
(( Т-кт \1/Р1 /Т-кт \1/Р1 ч
х Е т нес^кг0\ + Е т шон^ .
I V ¿7=0 ™Р1 (П)У V ^^=0 ^Р1 (П)У Л
Заметим, что из оценки (24) следует, что
1 к ,Т-кт ' х1/р1
тЕ Е <кс.
¿=1 4 ¿'=0 р1 У
Из последнего неравенства и (23) имеем I < Ас. Остальные слагаемые в правой части (44) оцениваются аналогично. Возрастание функций г = 1,2, и (44) обеспечивают справедливость (43). Лемма доказана. □
Обозначим через П±г(£) и А,г(£) кусочно-постоянные и кусочно-линейное восполнения по £ функции -г(^). определенной на П х Тот. Из оценок (22). (23) вытекает, что последовательности {П±у(£)} и {Ау(£)} равномерно ограничены по т
о
и е в V (0, Т), последовательность {П±((у — £т)+ + £т)(£)} - в Ьто(0,Т; £а1 (О)), а последовательности следов этих функций на П равномерно ограничены в
о
Ьто(0, Т; Ьа2 (П)). Поэтому найдутся функции и и £ из V (0, Т) и подпоследо-
{т}, {е}
довательностями сохраним обозначения самих последовательностей) такие, что
П± Ау(^) - ив V (0,Т), (45)
П±((у — 9т)+ + 9т)(^) - С * -слабо вЬто(0,Т; (О)), (46)
П±((у — 5т)+ + £т)(*),- С * -слабо вЬто(0,Т; ^(П)). (47)
{т}, {е},
для которых при т, е ^ 0 справедливы предельные соотношения
П±(у — £т)-(*) - 0 в (дт), (48)
П±(у — £т)-(*) - 0 в Ьч(Пт), (49)
П±Ы(У — £т)+ + £т)(*)) - С1 в ¿1(^т), (50)
П±^((у — £т)+ + <7т)(*)) - С2 в ¿1(Пт), (51)
П+((у — £т)+ + £т)(*) ^ С п.в. в дт и наПт. (52)
Из очевидного равенства
П± ((у — £т)+ + £т) — П±(у — Зт)- = П±у, (53)
предельных соотношений (45) (49), (52) и единственности слабого предела следует, что С = и почти всюду в дт и на Пт. Используя равенство (53), соотношения (50)-(52), непрерывность функций у>1, <^>2, нетрудно показать, что = ^1(и), С2 = (и). Кроме того, го (48), (49) вытекает, что и > £ почти всюду в дт и па П, следовательно, и € К. И, наконец, условия (9), (12) и оценка (23) обеспечивают
{т}, {е}
П±к(х^у) - К., в (54)
П±Ап(^) ^ К^ в Ьр,(ПТ) (55)
при т, е ^ 0. Докажем далее, что предельная функция и является решением задачи (1) (3).
Пусть Ст(((у - 9т)+ + 9т)(£)) - линейный функционал, значение которого на
о
элементе v е V определяется формулой
(Ст (е(г)^)* = у ^(е^^мх) ¿х + у <24(е(з,*)Мз) ¿е.
П п
Напомним, что для сокращения записи используется обозначение е = (у-9т)++9т. Покажем, что последовательность функционалов П+Ст((у -9т)+ + 9т) ограничена
о
равномерно по т и е в пространстве (V (0, Т))*. Имеем
п+Ст (е)
(V (0,Т ))*
вир <
«ет/(0,т)
1 1
I (п+^(е), V) ^ + у (п+^е), v)п ^
|| VI ◦ 1 + И ◦ 1
V (0,1 (П)) "ЬР2 (0,1 (П))
.
Учитывая, что у(£) является решением задачи (20)—(21), и полагая у(£) = у(Т) для любого £ > Т, запишем равенство
1 1
У (п+<^(е), vт) ^ + у (п+^24(е), vт )п ^
00
1—т г г 2 /*
= Е т ] / /
4=0 ^ »=1 »
4=0 П »=1 п
+ 7 У - 9т) г'т скс + 7 У ~ 9т) г>т ¿в - (/1Т, г>т ) - (/2т, г>т )п |
ду\ дvт
дз 7 дз
¿в
4+т
где vт =
v(x,t) А. Каждое слагаемое правой части оцепим сверху, используя
неравенства Гель дера и условия (8), (9), (12): в результате получим 1—т Г 2 дv 1—т С дv
Е Т / Же + Е Т / ( 3") "¿Р^
4 = 0 »=1 Х» 4 = 0 ^ \ зуз
<
2 Г Л—т \ Ч
<]Т вн С + М0» ]Т т I уед нр 1
1—т { ( 1
Е т / Р(У~9т) г'т с1х < ( —
4 = 0 О .
1 т
1 Е
4=0
т ||(З - ?т )
1/9'
(0,1 ^ (П))
'ьр. (0,1 1р. (П*))
1—т
Т( /1т> Vт )»
4=0
< || /1 |ьр'(Чт)N
◦ 1 ,
^Р1 (0,1 р, (П))
v
1
v
е
Т—т
Т ( /2т> «т )1
г=0
< 1 /2 \\Ь„ (Пт ^М^ ^ (п)) •
Из полученных неравенств и оценок (23). (24) следует, что
\\ П+От(£) \\ о < с.
11 "(у(0,т))* -
(56)
Поэтому найдутся элемент О и последовательности {т} и {е} такие, что
о
П+От(у) ^ О (V (0,Т))* прит, е ^ 0. (57)
О
по частям и учитывая, что («0(х) - $(0))+ + $(0) = М0(х), имеем
У (П+От (С),п)* П+^т Л ^^У П+^1г(е) п^х + У П+ ^2г(е) П
0п
/ ¿в ^ П+ ¿т =
т
У {"У У П+^О^* |п+гт7<й
0п
- У ^1(м0(х)) п ¿V(0) ¿х-I ^2(^0(5)) п^т(0) ¿в,
где I] сеточная функция, полученная сносом в точки сетки сит значе-
ний функции ¿(4) е Сто(0, Т), ¿(Т) = 0. Учитывая (50)—(52) и (57), в последнем равенстве перейдем к пределу при т, е ^ 0. В результате будем иметь
т т
У ((3,Л = — У|У (¿ж + У | Л —
0п
- / у>1(м0(х))п(х)г(0) ¿х - ^2(и0(«))п(в)^(0) ¿в. (58)
Выбирая в (58) г е Сд°(0, Т), получим равенство
т т'
У ((3,Л = — У | У <£>1(«)?7(ж) йх + У <^2 («<)??(«) Л- (59)
0п
Из (59) следует, что функция (О, п)* является обобщенной производной функции Ф,
ФМ=/^1(м(х,4))п(х) ¿х +/ ^2(и(5,4))п(в) ^
п П
По определению функционала 7 (см. (4))
(и),п)* =
А '
поэтому
(О,п)* = (7(и),п)* Уп еу.
(60)
Докажем, что м(х, 0) = м0(х). Для этого в (60) выберем г € Сто(0, Т), г(Т) = 0. Сравнивая полученное равенство с (58), будем иметь
У (у>1(и(х, 0)) — (М0(х)))п(х) Лх + J(у>2(м(в, 0)) — ^2(и0(«)))п(в) Лв = 0. п п
Из последнего равенства в силу произвольности п(х) и взаимпоодпозначности функций ^¿(м) следует м(х,0) = м0(х) почти всюду в П и па П.
Теперь докажем, что функция м удовлетворяет неравенству (3). Пусть г -произвольная функция из Со°((дт) такая, что г(х,1) > д(х,1) почти всюду в С^т ■ Выберем в (21) V = у—£~т, где гт функция, определенная на Пхсит и совпадающая на этом множестве с г(х, Ь). Полученное равенство, используя кусочно-постоянные восполнения, запишем для произвольного Ь € [0, Т]. Интегрируя результат по отрезку [0, Ь1 ], будем иметь
у |у п+ые)п+ (у—ут) лх + 1 п+^24(е)п+(у—ут) ^ +
0 П п
+ у П+ап(^)П+А,п ) +
п
+ -<П+/?(£-£т), П+(У-УТ)) + ^(П+/3(У-УТ), П+(У-Ут))п} ^ =
£ £ )
41
= I|(П+/1т,П+(У — Ут)> + (П+/2т,П+(У — Ут)>п} ЛЬ. (61)
0
Первые два слагаемые в левой части оцепим, используя неравенство (26) и оценку (24):
41 41
У У П+<рц(£)П+у(1х& > - У У ФДП+О^А -
0 П» 41—т П
— У $¿(£(0)) Лх —IУ П+ ^¿4(^т)П+ (У — «У)— >
П 0 п
> / ^¿(ле(Ь1)) Лх — Ф¿(м0(x)) Лх — С£9', г = 1, 2. (62)
П»
Далее, воспользовавшись условиями (11), (14), будем иметь 41 2
У У П+оДж, с) П+Ач(.г-, УУ) П+ ^ ¿X сЫ >
0 П ¿=1
> I [ ¿П+аг(ж,^)П+Ач(ж, УУТ)П+Щ——(1х(М, (63)
ti
'n+ffln(s,f)II+fcn (^j П+ d{ydsZr) ds dt >
0 п
г1 л л л
> 11П+ ап (а, О П+ А-п П+ Э{д~*т) <1з Я. (64)
0 п
Используя монотонность функции в> равенство в(9т -9т) = 0, вытекающее из условия г > д, нетрудно убедиться в справедливости неравенства
г1
1
J {(n+/3(y-gT),n+(y-zT)) + (n+l3(y-gT),n+(y-zT))n}dt>0. (65) о
Подставляя (62) (65) в (61). получим
У (Ф1(Л£(*1)) - Ф1(ио(х))) dx + J(Ф2(Лу(41)) - Ф2(ио(х))) ds +
^1(л$(г1)) - Ф1 п п
2
" (Ж, v
ti
+ J J п ./ М /, п+
о п
ti ti
- J J П+ ^it(On+£r dxdt - J J n+^2t(f)n+£r dsdt <
о п о п
ti ti
< /<П+ fiT, П+ (y - y)) dt + J(П+ /2Т, П+ (y - y)>п dt + ceq'.
оо
В результате предельного перехода в последнем неравенстве при т, е ^ 0 будем иметь
ti
I(ti) = J / - z) + (f2,u - z)n + (J(u),z), -
о
— J aj(x, u)kj(x, Vz) ^ ^ _—- dx — J an(s, u) ku ^ ß-"ds|dt >
п i=1 п
> lim / $i(A^(ti))d.x - / (u0(x))d,x +
е,т—>0 J J
п
+ lim f $2(A£(ti)) ds — f <f>2{u0{s))ds. (66)
¡г,т->0 J J
е,т -
п
п
Очевидно (66) будет справедливым и для любой функции z из V (0, T). Неравенство (66) умножим на 1/А (Л > 0), проинтегрируем по ti от T — Л до T.
В результате получим
lim - [ 1(h) dt-i > lim - / I lim [ Ф1(АШ1)) dx + ЬОА J A->O A J U~П J
T-A T-A О
+ lim J ^2(H(ti))ds I cfti - J Ф1(и0{х))<1х - J *2(uo(s))ds. (67)
n
T
Из слабой полунепрерывности снизу функционалов j j Ф®(£) dx dt следует, что
T-A Oi
T
/ lim / $j(A^(ii))dxdii > / / $i{u{t))dxdt.. (68)
J ¡г,т->0 J J J
T-A Qi T-A Qi
Применяя (68) Ii равенство
T 2 T
J (J{v{t)),v{t))*dt= lim J J &i{v{t))dxdt - J Ф.;,(г>(0)) dx j,
0 i=1 T-A Qi Qi
справедливость которого была доказана, используя идеи работы [5], преобразуем (67) следующим образом:
T 2
y|(J(u),u - z)* + | aj(x,u)kj(x, Vz)
d(u — z)
—^-ax
dxj
T
+ J an(s, w)/cn ^ dsI di < J{(/i, ы - z) + (/2, и - z)n} di. (69)
n 0
Эквивалентность (69) и (3) устанавливается стандартным образом. Теорема доказана.
Summary
L.L. Glazyrina, M.F. Pavlova. On the Solvability of the Problem of the Coupled Movement of Underground and Surface Waters with Nonhomogeueous Bounds to the Solution.
We consider the problem that belongs to the class of problems with double degeneration. The main characteristic of this problem is a nonlocal boundary condition 011 the slit of the domain. By using the semidiscret.izat.ion and penalty methods the theorem of the solvability of the first boundary condition problem for the corresponding variational inequality with nouhomogeueous bounds to the solution is proved.
Key words: double degeneration, nonlocal boundary conditions, semidiscret.izat.ion method, penalty method, generalized solution.
Литература
1. Антонце.о G.H., Ме.й'рманов A.M. Математические модели совместного движения поверхностных и подземных вод. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1979. 80 с.
2. Главы,puna Л.Л., Павлова М.Ф. О разрешимости одного нелинейного эволюционного неравенства теории совместного движения поверхностных и подземных вод // Изв. вузов. Матем. 1997. 4. С. 20 31.
3. Павлова М.Ф. Исследование уравнений нестационарной нелинейной фильтрации // Дифферепц. уравнения. 1987. Т. 23, Л' 8. С. 1436 1446.
4. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Квазилинейные эллиптические уравпепия. М.: Наука, 1973. 576 с.
5. Alt H.W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equation // Mat.li. Z. 1983. Bd. 183, H. 8. S. 311 341.
Поступила в редакцию 20.11.11
Глазырина Людмила Леонидовна кандидат физико-математических паук, доцент кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.
Е-шаП: glazyrina-ludmilaeyandex.ru
Павлова Мария Филипповна доктор физико-математических паук, профессор кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.
Е-шаП: Maria.PavlovaQksu.ru
