Исследование неявной разностной схемы для задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 154, kii. 4

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

2012

УДК 519.6

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ НАСЫЩЕННО-НЕНАСЫЩЕННОЙ ФИЛЬТРАЦИОННОЙ КОНСОЛИДАЦИИ

М.Ф. Павлова, Е.В. Рут

Аннотация

Построена и исследована неявная разностная схема для задачи пасыщеппо-пепасы-щешгой фильтрационной консолидации при условии полупропицаемости па части границы. С помощью метода штрафа устанавливается существование решения разностной задачи. Исследование сходимости разностной схемы проводится при минимальных предположениях о гладкости исходных данных: доказывается сходимость кусочно-постоянных восполнений разностного решения к обобщенному решению рассматриваемой задачи.

Ключевые слова: фильтрационная консолидация, разностные схемы, метод штрафа, сходимость разностной схемы.

1. Постановка задачи

Взаимосвязанный процесс деформирования пористой среды и фильтрации содержащейся в ней жидкости под действием внешних сил называется фильтрационной консолидацией. При этом говорят о насыщенной фильтрационной консолидации. если поры среды полностью заняты жидкостью, и о ненасыщенной фильтрационной консолидации в противном случае. С помощью модели насыщенной фильтрационной консолидации могут быть описаны процессы осадки сооружений на насыщенных пластах, процессы деформирования пористого скелета и другие. Однако в приложениях часто возникают ситуации (например, задача о разгрузке пористого пласта), когда среда содержит зоны и полного, и неполного насыщения, которые могут изменяться с течением времени. Для описания этого процесса в работе [1] предложена математическая модель, названная насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидацией. Эта модель включает в себя суммарное уравнение движения (квазиравновесия) фаз

—div af + V(p+ — ms(p)p-) = f (s(p)) (1)

и уравнения совместного деформирования фаз

ds(p) . . d(divu)

+ divq + nis(p) K dt ' =0. (2)

Здесь af - тензор эффективных напряжений, p - поровое давление, u - вектор макроперемещений частиц скелета, q - скорость фильтрации, m - пористость среды, s(p) - насыщенность, вектор-функция f (s(p)) - плотность массовых сил, p+ = (|p| + p)/2, p- = p+ — p-

qp

q = —b(s(p))(Vp — pg),

(3)

реологические соотношения, связывающие эффективные напряжения с деформациями скелета, линейные:

а2 = АЛ(и) + ВЛ^ ди)- (4)

Здесь функция 6(в(р)) - относительная фазовая проницаемость среды, р - плотность жидкости, д - вектор силы тяжести, Л(и) и Л ^д"^ _ тен30Р деформаций и

тензор скоростей деформаций соответственно, ^В - линейные операторы, действующие в евклидовом пространстве Н3 симметричных тензоров второго ранга. Задачу (1)-(4) будем рассматривать в области О, имеющей форму прямоуголь-

3

пика О = {(ж1,ж2) € Д2 : —а < х < а, —Н < х2 < 0}, Г = и Г - граница О,

¿=1

Г2 = {(Х1,Х2) € Г : Х2 =0, а1 <| х |< а}, Гз = {(х1, Ж2) € Г : Х2 =0, 0 <| Х1 |< а1 < а},

Г1 - оставшаяся часть Г Ят = О х (0, Т).

Будем предполагать, что при £ € (0, Т] выполнены следующие краевые усло-1

«¿(ж,£) =0, х € Г1; (5)

2 =0, х € Гз и Г2; —а2?2 + Р+ — тв(р)р- = <0_ Х € Г2' (6)

[Г(¿), х € Гз;

?п(ж,г)=0, х € Г1; р(х, ¿) = 0, х € Гз; (7)

р(ж,£)дп(ж,£) = 0, р(х,г) < 0, дп(М) > 0, х € Г2. (8)

Здесь = (д, п), где п — внешняя нормаль к границе Г.

Начальные условия задаются в виде

0) = м0^ (р(х 0)) = р-(х). (9)

Математическому исследованию задачи (1) (9) посвящены работы [2, 3], где, в частности, рассмотрен вопрос существования обобщенного решения. Причем в работе [3] разрешимость задачи (1) (9) доказана при более слабых, по сравнению с [2], ограничениях. Для пояснения рассмотрим, например, наиболее часто используемые в приложениях зависимости вида

в(р) = ' Ь(в) = , 0 < в < 1, м > 0, 0. (10)

Результат работы [2] для зависимостей вида (10) справедлив при условии, что < 1 (заметим, что наиболее популярный, по-видимому, случай, когда м = 1, V = 3, этим условием исключается). В [3] существование обобщенного решения для зависимостей вида (10) доказана для любых м > 0, V > 0. Поэтому в настоящей работе при построении разностной схемы будем использовать предложенное в работе [3] определение обобщенного решения задачи (1) (9).

1 Выбор вида области П и краевых условий обусловлен их целесообразностью с точки зрения приложении.

2. Обобщенная формулировка задачи

Доказательство разрешимости задачи (1) (9) работах [2. 3] проводилось путем применения преобразования Кирхгофа, при этом от неизвестной функции р(х, ¿)

переходят к функции т(х, ¿) = $(р(ж,£)), где

р

$ы = | ьШ) ¿е. (и)

0

В [3] было отмечено, что в условиях (10) при «V > 1 областью значений функции $(р) является лишь часть числовой оси, а именно множество (—7, , здесь

о

7 = / ь(в(е)) ¿е. (12)

В теории фильтрации 7 называют макроскопической капиллярной длиной. Из работы [4] следует, что 7, как правило, имеет конечное значение. При перечисленных выше условиях решение исходной задачи, переформулированное в терминах («1, «2, т), очевидно, требует ограничения вида т > —7. Чтобы избежать введения такого ограничения, в [3] вводится так называемая «доопределенная» задача.

С этой целью по известным в(р), Ь(в), $(р) (см. (11)) строятся функции

^М = { ^^ т> —7, (т)=Г 1(т))(^—1(т)) —, т> —7, 10, т < —7, 10, т < —7.

При построении доопределенной задачи в уравнениях (1)-(9) в(р) заменяется на <£>(т), в(р)р— - на ^(т), 6(в(р))Ур - на V®.

Нетрудно видеть, что, если функции «1, «2, т являются решением доопределенной задачи и т(х, ¿) > —7 для любых (ж,£) € Ят, то «1, «2, 1(т) - решение задачи (1) (9).

В дальнейшем, следуя [3], будем предполагать, что для функций в(р), Ь(в) и операторов А, В выполнены следующие условия.

А1. Функция в : К ^ (0,1] - неубывающая, непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция такая, что в(р) = 1 при люб ом р > 0.

А2. Функция Ь : [0,1] ^ [0,1] - неубывающая, непрерывная.

А3. Отображение $ : К ^ (—7, заданное формулой (11), взаимно-

однозначно, где 7 - параметр, определенный в (12).

А4. Существуют константы к > 0, С^ > 0 и > 0 такие, что

¥>'(п) ^2к—1(п) < С^ Vп € (—7, 0), (14)

Ып)1< С Vп € (—7, 0). (15)

Заметим, что для функций вида (10) оценки (14), (15) при к > v/2 справедливы для всех м и V, удовлетворяющих условию ((«V — 1) > 0.

А5. А и В — линейные, симметричные, ограниченные и положительно определенные операторы, действующие в Нз.

о

В дальнейшем нам понадобятся следующие обозначения: V - замыкание глад-

о

ких функций, равных нулю на Г1, в норме пространства ^^(О), V1 -замыкание гладких функций, равных нулю на Г3, в норме того же пространства,

( о

К = < т €V 1: т(х) < 0 п. в. па Г2

Определение 1. Обобщенным решением доопределенной задачи назовем тройку функций для которых справедливы следующие условия:

—и ■ ◦

и», 1 € ¿2(0,Т; V), 0) = мг0(ж) п. в. на П, г = 1, 2,

т € ¿2(0, Т; К), ад-(ж, 0) = т—(ж) п. в. па П,

о

для любых функций V» € ¿2(0, Т; V), г =1, 2, имеют место равенства

i I dj.— [w+ - Ix^- dxdt =

Q„ j i j

Т

= ^¿2 J ! ^(ж, ¿К ^жА, (16)

0 Гз

— г

и для произвольной функции г € ¿2(0, Т; К), имеющей производную тг € Ь2ЮТ),

и любой неотрицательной функции а(4) € С 1([0, Т]) такой, что а(Т) = 0, справедливо неравенство

д(ё1у и) ] --а(£) (г — т) + Ут • У(а(4) (г — т)) > ажда +

/diz w)

b(y(w)) pg2-^-dxdt. (17)

0x2

Qt

В (17) полагается

a(t)(z — w)] = j m$(№)d¡a(t) dxdt — j m^>(w)dt(az) dxdt + Qt Qt

+ j тФ(—w-))a(0) dx — j m^(—w— )z(x, 0)a(0) dx, n n

6

где Ф(£) = J ^'(C)Cd^ 32 = (g,x2).

o

3. Построение разностной схемы

На О построим равномерную сетку w с шагами hi = 2a/Ni и h2 = H/N2 по x1 и x2 соответственно. Чнсло N1 выбирается таким образом, чтобы точки

3

x = (±ai, 0) бьши из W. Пусть 7i = W П r¿, г =1, 2, 3, 7 = |J 7i - множество узлов

i=i

сетки, принадлежащих Г w = W \ 7. Через т будем обозначать шаг по времени, wT = {т, 2т,..., T = Мт}, WT = {0, т, 2т,..., T}.

Пусть Vh - пространство сеточных функций, определенных на W. Обозначим

о

через Vh множество сеточных функций из Vh, равных нулю на границе 71, через

о

Vhi множество сеточных фун кций из Vh, равных нулю на гр анице 73. Пусть

о

Kh = {w GVhi: w(x) < 0 п. в. на 72}.

Введем в рассмотрение вектор г = (г;[,г2), координаты которого могут принимать значения ±1. Для сеточной функции у определим разностные отношения с^ у то формуле

у^, г = +1,

у =

Уз

-1.

Вектор Угу = (дг1 у, дг2у) является разностным аналогом градиента функции, а V = дГ1 «1 + дг2«2 - разностным аналогом дивергенции вектора V = («1, «2).

Для х € й обозначим через Нг (ж) ячейку сетки й, которая содержит все точки сетки, участвующие в записи оператора Угу(ж). Пусть йг - множество точек ж € й, в которых определен о ператор Уг у (ж).

В пространстве УЛ введем следующие нормы и скалярные произведения:

(у,«)г =53 ^1^2у(ж)«(ж), [у,«] = ,

(18)

= [|у|2,1]1/2,

'ЕЕ^ у|2,1)г

г ¿=1

(у, = Е ^у(ж)«(ж), [у,«]^ = 2 Е(у>«)г.-^, г = 2, 3.

Определим для сеточных функций кусочно-постоянные восполнения по ж и г: Пгг(ж) = {г(ж'), ж' € йг : ж € Нг(ж')}, П+й(г') = {й(кт) : кт < г' < (к + 1)т}, П-й(г') = {й(кт) : (к - 1)т < г' < кт}.

Используя введенные выше обозначения, легко можно видеть, что для любых сеточных функций у, V € УЛ выполняется следующее равенство:

(у, «)г = J Пг у • Пг «¿ж.

(19)

Определение 2. Тройку функции у^ у2, , определенньж на й х йт,

о

таких, что у®(£) €Ул, г = 1, 2, (г) € для любого £ € йт, назовем решением неявной разностной схемы, если для любых ж € й

у»(ж, 0) = у0(ж), г = 1, 2, (адлт(ж, 0))- = ад-о(ж),

о

для любых функций «г €Ул имеют место равенства 2

Е(Е( (АЛг (у)Ь' + (ВЛг (у«))»^ , дг3 ^ - 4 Е - ), д

/¿(¥>(гйЛт)), V»

- ¿¿2

Влт(ж, г), v¿

Vг € йт\{т}, г = 1,2, (20)

и для любых функций г € Кл и V г € йт\{Т} выполняется неравенство

Е (^(^Лт )й1Уг у4, г - г«Лт) +4Е (V ^Лт, Vг (г - м^т И +

/ т /к> \ ' v

+ т

^(^Лт) - ^(^Лт)

, г - ^Лт

> ррЕ (И^т))^ (г - ад) . (21)

- V =

т

/

л у — у

В (21) у = (уьуг), У = у+ т), у4 = -, Лг (у) - разностная аппроксимация

т 1

тензора деформаций с компонентами (Лг (у)^- = ^ (д^. у» + дг, у^- ),а у?, ад-т0, -сеточные функции такие, что

Пу? ^ и?, Пго ^ в Ь2(П), П+ ^Ьт ^ ^ в ¿2(0,Т;Гз). (22)

4. Существование решения разностной схемы

Теорема 1. Пусть операторы А и В, функции в(р), &(«), удовлетворя-

ют условиям Л1 -Ав, функции /¿, г = 1, 2, непрерывны на [0,1]. Тогда решение разностной схемы (20). (21) существует.

Доказательство. При исследовании разрешимости будем использовать метод штрафа.

о

Тройку функции у^, у|, , определенных на й х шт, таких, что у|(£) €"УН, г = 1, 2, (4) € КН для любо го 4 € шт, назовем решением неявной разностной схемы со штрафом, если для любых х € ш

уге(х, 0)= у0(х), г = 1, 2, (х, 0))- = м-?(х),

оо

и для всех 4 € шт \{Т} и для любых функций V € Vн и г € V 1н имеют место равенства

1 Е ( Е ((АЛг(у е)Ь + (ВЛг ), дг

— 1 Е ((^Нт)+ — «Ы^Нт), «¿)Г =

Г

= /нт;(^Кет)),^] + ¿¿2 [^Нт(х,*),^ 1 , г = 1, 2, (23)

Е (^НтМ^гу^ г)г + 1 (V, Vrг)г + 1 [(и^)+, г]72

) г

р92 4

]Г(6(^(г«Нт)),дг2 г)г . (24)

Убедимся сначала в разрешимости неявной разностной схемы со штрафом. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что задача (23), (24) при известном (у1, у2е, ) разрешима относительно (у1, у|, и>Нт). Задача (23), (24) относительно (у1, у!, г«Нт) представляет собой систему нелинейных уравнений. Нетрудно доказать, используя топологическую лемму (см., например, [5, с. 66]), разрешимость этой системы и справедливость оценки вида

2

+ + Н^Нт 11+ < С, (25)

¿=1

где С - постоянная, не зависящая от е.

Заметим, что основные моменты получения этой оценки фактически содержатся в доказательстве леммы 2.

г

Из (25) и теоремы Вейерштрасса о компактности ограниченной последовательности следует существование подпоследовательностей {у/Д, {у/2}, {«^т} таких,

о

у/е ^ уу в Ул, г = 1,2, гУЛт ^ г/лт в К при е ^ 0. (26)

Докажем, что функции г/1, у/2, гуЛт являются решением разностной схемы (20), (21). Для этого в равенствах (23), (24) перейдем к пределу при е ^ 0. При этом учтем, что из сходимости последовательностей у/е, г«Лт и непрерывности операторов А и В следует, что ЛДу/е) ^ ЛДу/), АЛг(у/е) ^ АЛг(у/), ВЛг(у/е) ^ ВЛг(у/)

в (Ул)3.

Учитывая очевидное неравенство

1 [(ует)+,г]72 < 0 Vг € КЛ,

перейдем к пределу в (23), (24), в результате получим соотношения (20) и неравенство

Е (^(гуЛт) ¿¿Уг Уí, г)г + 4 Е ^Лт, Vгг)г +

+т

У^т ) - )

> (6(^(г«лт)), дг2 г)г . (27)

Выберем в равенстве (24) г = гУЛт и перейдем затем к пределу при е ^ 0. Тогда

[]

получим

"4" Е (^(^Лт) & уг уе, г/лт)г + 1 Е (V^Лт, Vгг/лт)г +

^(г«Лт) - ^(глт) Л

-, ^Лт

< ^^ (6(^(г«лт)), дг2гУлт)г . (28)

Вычитая из неравенства (27) неравенство (28), приходим к (21). □

Лемма 1. Для решения неявной разностной схемы, со штрафом (23), (24) справедливо неравенство

гУЛт(ж,г) >-7 Vж € й, Vг € йт\{Т}. (29)

Доказательство. В равенстве (24) положим г = (7 + гУЛтВ результате получим

^Е ^(У£т) ¿1Уг у,е, (7 + г/Лт)-)г + 4 Е (Vгует, Vг(7 + Г)г +

г

+ т М^Лт), (7 + гулетГ] - т МЧт^ (7 + гулетГ] +

тт + 1 [(ует)+, (7 + )-]72 = РТ ЕОМ^т)),дг2(7 + ует)-)г . (30)

г

Нетрудно видеть, что согласно равенству (13) у(£) = ^и £ < -7> (7 + С)- = 0 при С > -7, поэтому у(£) (7 + С)- = 0 и С +(7 + С)- = 0 при любых С- Кроме того,

из условия 6(0) = 0 следует, что Ь(^(С)) = 0 только тогда, когда С > —7- Поэтому первое, третье и пятое слагаемые в левой части равенства (30) и правая часть (30) равны нулю.

Преобразуем второе слагаемое в левой части (30) следующим образом: £ (V«?Нт, Vr(7 + «?НтГ)г = £ V(7 + гет), Vr(7 + ЙНт)-)г =

г г

= — Е (V(7 + ^Нт)-, Vг(7 + ^Нт)-)г = — || (7 + )- || + . (31)

г

Тогда равенство (30) запишется в виде

2 тт

— ||(7 + Чет)-||+ — ), (7 + ЯНт)-] =0. (32)

Левая часть равенства (32) не положительна, поэтому из (32) следует, что (7 + г«Нт(х,4)) =0 Vх € Ш, V4 € шт.

1

справедливость для решения разностной схемы, (20), (21) оценки вида

и»Нт(х,4) > —7 Vх € Ш, V4 € Шт\{Т}. (33)

5. Априорные оценки

Лемма 2. Для решения разностной схемы (20), (21) справедливы следующие априор 11 ые оценки:

г'-т

|ЫО|| + < С, ^т ||Ы4 < С, г = 1,2, (34)

4=0

г'-т

[Ф (янт(4')), 1] < с, ]Г т|Кт(*)|| + < С, (35)

4=0

где С - постоянная, не зависящая от е, т, Н1г Н2.

Доказательство. Сначала докажем, что для разностной схемы со штрафом (23), (24) имеют место оценки вида

||у-(011+ < С, ет 11(уШ+ < С г =1,2, (36)

4=0

г'-т

[Ф (яНт(4')), 1] < С тНгУНт(4)Н+ < С (37)

4=0 г' -т

||гУН+ (4)Н72 < С V€ Шт, (38)

4=0

где С - константа, те зависящая от е, т, Н1, Н2.

4 -т

Выберем в (23), (24) V» = (у|)г, г = «Д, полученные равенства сложим, умножим затем на т и просуммируем от 0 до 4' — т, 4' € шт. В результате будем иметь

т 4

]Г т£((АЛГШ + ВЛДу^), Лг(у-))Яз, 1)г+

г=0 г

4 -т

+ £ т(||гУ>Нт|| + + ^Нт) ,«>Нт]72) + «Е^Кт))г,г"Нт] =

4=0 е 4=0

= П1т £ (¿[/» (^«т)), (у-)г] + [^Нт(хД), (у!)г]тЛ +

г=0 \»=1 )

4 -т ( )

г=0 г

+ 4 Е тХХР£2%(гУНт ^ ,дг2 ^

4=0 г

Равенство (39) преобразуем, используя легко проверяемое соотношение

Нт;

(39)

4 -т т ( ) 1 ( )

]Г 4 £ ((АЛг(у Д, ЛДу^Ы^, 1)г = - £ ((АЛг (уеД)), Лг (уеД)))Яз, 1)г —

4

4=0 г

2 4 -т

— 1 Е ((АЛг (у0), Лг (у0)) нз, 1) г + ^ЕЕ ((АЛг(уе)4, Лг (у^Ыяз , 1) г ,

4=0 г

АВ

Корна и неравенство вида (см. [6])

4 -т

Е^

4=0

> [ф («Нт(4')), 1] — [Ф (—«-т0(х^ , 1 . (40)

Тогда из (39) с учетом равенства Ф(«0) = Ф(—) следует, что

2 4 -т 2

4=0 ¿=1

4 -т

тСлЕ ||у?(4')| + + П1СВ£ т^ |(у,?)4|+ + Е т ||гУНт(4)|+ + [Ф(«Нт(4')), 1] +

4=0

+ 1 Е т|| (г"те) + |+2 < [Ф(—«-т0), 1] + П1С£ ||у0|| + + |/1, (41)

4=0

где / - правая часть равенства (39).

Слагаемое / оценим следующим образом:

III < Е

4=0

11Е ((«"НО + — т^1(гуНт) — )гуНт, ^ (уе^

+

4 -т

+ Е П1Е

+ П1

^Нт(х,4)

4=0

У — у2

/ (^(гУНт)), (у2)4

+

+ ^лЕ (6 (^(гУНт)) ,дг2гУНт)г

/1 + /2.

4 -т

4 -т

£

г

4 -т

Из равенства (г«лт)+ - т^ч(г«лт) - ^(г«лт)г«лт = -т^ч(г«лт) + ^(г«лт)(г«лт) , ограниченности функций ^ч, и»лт и оценки (15) вытекает, что

4'-т 1 4'-т 2 ^

/1 < (тС, + 7) £ 1 £ (М1Уг (уеИ 1)г < 6 £ т£ Н(у<)еН+ + ~ •

4=0 г 4=0 ¿=1 "

Используя условия на функции /¿и Вт и неравенство Коши - Буняковского, получаем

4'-т /2 \ „ / 4'-т

/2 <<*£т £Н(уге

^т 11 +

4=0 \^=1

+ С | 1 + £ ту^лт(г)у

6 \ 4=0

Из (41), а также из полученных для /1 и /2 оценок следует справедливость (36)-(38).

В справедливости леммы 2 нетрудно убедиться теперь, совершив предельный переход по е ^ 0 в полученных оценках (36)—(38) при фиксированных Н1, Н2 и т, учтя при этом предельные соотношения (26). □

Лемма 3. Для решения разностной схемы, (20), (21) справедливо следующее неравенство:

Т-кт

1

4'=0

- £ (С(глт(г' + кт)) - С(глт(г')))2 , 1

<,

(42)

с(о = <жме) -1 ^емо ¿е -1/2, ж)

УК(С)(1 + ^2к(С))-1, С < 0,

1/2,

С > 0,

С - константа, не зависящая от т, Н1г Н2.

Доказательство. Сначала докажем, что для решения разностной схемы со штрафом справедлива оценка

Т-кт

1

4'=0

I = £т (^(г|т(г' + кт)) - с«т(г')))2, 1

< С

(43)

где С6 - константа, те зависягцая от е, т, Н1, Н2. Имеем

Т-кт 4' + (к-1)т

/

к

£ £

4'=0

С(ует(г)) - с«т(г))

До (г')

где До(г') = С(г|т(г' + -т)) - С(г|т(г')). Заметим, что

С(Ут) - С(г|т) _ М^т) - ¥>(ЧтЫЧт) 1

^(^'(еме =

^(гУЛт) - <^(Чт)

£(гУЛт ) + <^(Чт )

£(гуЛт) - £(Чт) 1

семеме =

У(гул£т) - ^) ^) - / ^(е) - ^) № ¿е.

4=4

Нт

т

Ш

Нт

Нт

т

т

т

Ш

Ш

Поэтому

С(«Д (4) — (*))

До (4

(4)

!

кт м

(4)) — ¥>(«Нт (4))

, д(«Д(4))До(4'

^(0 — ^(«Нт (4))

д'(0 До(4'

= /1 + /2. (44)

Для оценки /^воспользуемся (24) с г = д(«Нт (4))До(4'). В результате получим

/1 = 4т Е (—'П1^(«Нт(4)) й1Уг (у2(4)), д(«Д(4))До(4'))г +

Рд2

]Г (6 (^(«Д)), дг2 (д(«Нт(4))До(4')))г —

— 4Т Е (Vг«Нт(4), Vг(д(«Нт(*))Яо(4 ')))г — ^ |"(«Нт(4))+ , д(«Нт(4))До(4 ')

4т ^—' ' те

Используя ограниченность функций С, д и оценку (38), нетрудно показать, что 2

Л"(у£) (4)||+ + ||«Нт(*)|| +

|/1| < С ( ]Т ||(у2М*)|| + + ||«Нт(4)|+ + 1 ||«Нт(4)|^2 + Ч .

(45)

¿=1

Оценим /2. Заметим, что а следовательно, д - неубывающие функции, поэтому

|/2|<

)(*) — ¥>(«Нт (4))

(д(«Нт(4)) — »(«Нт(4))) |До(4')

= /з.

Для оценки /3 воспользуемся (24), выбрав г = (д^Д(4)) — д(«Нт(4)))|До(4 ')| • В результате будем иметь

/з = 4т Е (—П1^(гУНт(*))^Уг (у2(4)), (д(гУНт(*)) — д(«Нт(4)))|До(4')|)г —

4т

E(Vг«УНт(4), Vг((д(«УНт(4)) — д(«Нт(4)))|До(4')|))г +

+ X Е (6 (^(«УНт)), дг2((д(гУНт(4)) — д(«Нт(4)))|До(4 ')|))г —

1

те

(гУНт(*)Г, (д(гУНт(4)) — д(«Нт(4)))|До(4 '

Оценим последнее слагаемое правой части равенства (46). Пусть

(46)

/4 = —-

(гУНт(4))+, (д(гУНт(4)) — д(«Нт(4))) |До(4')

72

Е [(«УНт(4))+, (д(гУНт(4)) — д(«Нт(4))) |До(*')

72

: /4 + /2 + /43,

где Г2 = {х € Г2 : г«Д(х) < 0}, Г2 = {х € Г2 : гДД(х) > 0 Л «Д(х) < 0}, а Г3 -оставшаяся часть границы Г2. Так как («УД(х)) + = ^и х € ГД то /4 = 0.

т

Если х £ Г2, то в силу монотонного возрастания функции д разность д(«?^т(¿)) — — д(ю|т(£)) > 0, поэтому /4 < 0. И наконец, если х £ Г3, то и^т(х) и ю|т(х) неотрицательны. Так как д(£) = 1/2 щи С > 0, то (¿)) — д(ю|т(¿)) = 0)

следовательно, /| = 0. Поэтому /4 < 0. Остальные слагаемые в правой части равенства (46) оцепим, используя ограниченность д(£), у>(ю), 6(у>(ю)). В ре-

зультате получим

|/2| < с |£ ||(уге)4|| + + 1К(*)11 + + ^ . (47)

Из соотношений (44), (45), (47) непосредственно следует справедливость (43). Учитывая предельные соотношения (26), в справедливости неравенства (42) нетрудно убедиться, совершая предельный переход в полученной оценке (43) по е ^ 0 при фиксированных Н1, Н2 и т. □

6. Исследование сходимости

Лемма 4. Пусть у = (уьу2), - решения разностной схемы (20), (21). Тогда существуют функции

щ £ Ж,(1)(0,Т; V), ю £ ¿2(0, Т; 1/1) и последовательности {т}, {Н} такие, что при т, Н ^ 0

П±у, П±(у,)е ^ ^, П±ю^т в ^(От), (48)

„ дю „ ± „ дщ, „I

П± ^^ дх-' П±У- ^ дХ"' П±дгз(У-)4 ^ дХХ~т в )' (49)

ю(хД) > —7 п.в. в , (50)

П±ю-т ^ ю-, ^(П±ю^т) ^ ¥>(ю), ^1(П±ю^т) ^ ^1(ю) п.в. в ^т, (51) П±ю+т , П± ю-т в ¿2(дт). (52)

Доказательство. Справедливость утверждений (48), (49) следует из априорных оценок (34), (35) и слабой компактности ограниченных множеств в рефлексивном банаховом пространстве. Докажем, что функция w, определенная в (48), удовлетворяет неравенству (50). Предположим обратное. Пусть Q' = {(x,t) G QT : w(x,t) < —7} и mesQ' = a° = 0. Имеем

7°° < /(—W(X't)) '' = /(—W(X't))hQ'(xt) '' = Q' Qt

= lim / (—n±WhT)hQ' (x,t) dx dt < 7«°, Qt

где hQ' - характеристическая функция множества Q'. Полученное противоречие доказывает справедливость (50). Убедимся теперь в справедливости (51). Для этого заметим, что из ограниченности G'(£) и (35) следует оценка

т

]T||GKr (t))||+ < C. (53)

t=°

Из неравенств (42). (53) и сеточного аналога теоремы компактности (см.. например, [7, с. 219]) следует компактность подпоследовательности {О(П±т^т)} в Ь2(^т) 5 поэтому найдутся функция £ € Ь2(^т) и подпоследовательности шагов Д и т таких, что

О(П± т,т) ^ £ почти всюду в .

Поскольку функция О та множестве [—7,0] взаимно-однозначна, непрерывна и имеет место условие (50), то

П± ( — тД) ^ О-1(£) почти всюду в ^т.

Докажем, что О-1(£) = —т- . Для этого запишем, пользуясь монотонностью функ-О

J (О(П±т^т) — ОД))(П±— V) ¿ж А > 0.

Ят

В этом неравенстве перейдем к пределу при Д т ^ 0. В результате получим

У (£ — ОД))(т — V) ¿жА > 0.

Ят

Выбирая V = т ± А«1 V А > 0, V € Ь2(^т), нетрудно доказать, что £ = О(т) = = О(— т-). Из последнего равенства и (50) следует, что П±т—т ^ т- почти всюду в Доказательство оставшихся утверждений аналогично [3]. □

Теорема 2. Пусть операторы А и В, функции Др), Ь(«),/(«(р)) удовлетворяют условиям А1 -А5. Кроме того, пусть выполнены (22). Тогда последовательность кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (20), (21), заданная соотношениями (48) (52), сходится к обобщенному решению доопределенной задачи (16), (17).

Доказательство. Обоснуем сначала справедливость (17). Пусть я - произвольная функция из ), след которой па Г2 х [0, Т] неположителен, ^ -снос функции я в точки сетки и х , а - неотрицательная функция такая, что а € С1(0,Т) и а(Т) = 0. В (21) выберем г = + гДт, умножим полученное неравенство на а (£) и просуммируем по £ от 0 до Т — т, тогда

т-т т-т

П1 Е 4 М^г (у)4,^ьа(^))г + ^ 4 (Уг, М)г +

4=0 г 4=0

Т-т Т-т

+ т £ т [ДКт Д , *Ла(*)] > ^ ^ ]Т (б(ДтДт)), Д2 (гла(*)))г . (54)

4=0 4=0 г

Преобразуем третье слагаемое в левой части неравенства (54):

Т-т Т-т

^т [(Д^ьт^= — т^т [ДгДт), 4] —т [Д— г0),гь(ж,0)а(0)] .

4=0 4=0

Подставим полученные соотношения в (54) и запишем результат, используя равенство (19), в итоге будем иметь

J щ(р (п+и^т) П+ (у}4 П+ (¿^(4)) ¿ж + J П+Уги^т • П+Уг (¿ьа(4)) ¿жА—

Ят Ят

- т ^(П+иьт) • П+^а^)) ¿ж - ^У у>(—П+и—.0) • П+гДж, 0)а(0) ¿ж > Ят п

> Рд^У Ь (^(П+^ьг)) П+дг2 ¿ж (55)

Ят

В (55) перейдем к пределу при т, Н ^ 0 (по поводу обоснования предельного перехода см. [3, лемма 5]). В результате получим неравенство

J д^^ а(4)? + У и •У(а(4)2') - ту(и)¿ж

Ят

//* д(а(4)2')

<£>(—и— )2Гж, 0)а(0ЫжЛ > 6(у(и>)) —^-¿ж (56)

7 дж2

п Ят

справедливое для любой функции я € С)> имеющей неположительный след на Г2 х [0, Т]. Очевидно, что (56) будет иметь место и для любой функции

дг

г € ¿2(0, Т; К) такой, что — € ¿2 (От)•

Аналогичным образом, повторяя рассуждения леммы 5 [3], из (56) нетрудно получить неравенство

J ^и)а(4)(г — и+) + Уи • У(а(4)(г — и+))^

Ят

/ д(а(4),г) /"

ту(и)-—-¿ж ж — т у(—)г(ж, 0)а(0) ¿ж >

Ят п

> Г 6(^(и))рд2 д(а(4)(" - и+)) ¿ж (57) 7 дж2

Ят

Теперь в (21) выберем г = — а(4), умножим полученное равенство на т и просуммируем по 4 от 0 до Т — т, в результате будем иметь

£ 1 ДрЕ (у)4, -й—та(4))г + ^ Е (уг^т, уг (-%та(4)))г > +

4=0 I г г ]

Т-т

т

4=0

Т-т

+ т Е Т [Ы^т ^ а(4) <

^ Е (Ь(^т)), дг2 (-гш—т а(*))) г . (58)

4=0 г

Используя (40) и формулу суммирования по частям, нетрудно показать, что

T-т

Е

m у т

t=0

Д?Дт) - Д^Ьт)

—a(t)w

hT

T-т

Е

m ^ т

t=0

—Й- a(t)

>

T-т

>m

t=0

Ф( —) — ФКт )

a(t)

T-т

m$> [(ф(—))i,a(t)]

t=0

T-т

= — m т [ф(—«V(a(t))t] — m [ф(—а(0)] .

t=0

Подставим полученную оценку в (58) и запишем результат, используя равенство (19)

J П1 ДП+гДт) П+ ё1уг (уьт( - П+а(£)гДГ) ¿ж

Чт

+ У (П+ )2 П+а(4) ¿ж<й - ^У Ф(—П+гД-) П+ («(¿))4

Чт Чт

— ^У Ф(—''_то))а(0) ¿ж < I Ь (ДП+и^т)) П++дГ2 (—«(¿)г«Д) ¿жА. (59)

о Чт

В (59) совершим предельный переход при т, Н ^ 0, учитывая соотношения (48) (52) и свойство слабой полунепрерывности снизу нормы. В результате полу-

/дД1у и) _\ ? \ 1 1 Д

П1Д'——— (—' )а(ч ¿ж да + Уи> • У(—-ш )а(£) ажда—

Чт Чт

— ^У ф(—)а(0) ¿ж — тУ Ф(—''_)д((а(£)) ¿ж Л <

о Чт

</ Ь(Д'))р32 д(—' ¿ж^. (60) .] дж2

Чт

Вычитая из (57) неравенство (60). приходим к (17). Аналогичным образом легко можно доказать, что функции М1, М2, ' определенные соотношениями (48)—(52), удовлетворяют равенствам (16). □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты Д*1' 12-01-00955, 12-01-97022).

Summary

M.F. Pavlova, E. V. Rung. A Study of an Implicit Difference Scheme for the Problem of Sat.urated-Uiisaturat.ed Filtration Consolidation.

An implicit, difference scheme for the problem of saturated-uiisat.urat.ed filtration consolidation under condition of semi-permeability on part, of the boundary is constructed and investigated. Using the penalty method the existence of the solution to the difference

т

problem is established. A study of the implicit convergence of the difference scheme is carried out under minimal propositions 011 the smoothness of the original conditions: the convergence of the piecewise-const.ant. filling of the difference solution to the generalized solution of the problem under consideration is proved.

Key words: filtration consolidation, difference schemes, penalty method, convergence of difference scheme.

Литература

1. Kocmepun А.В., Березхтский Д.А. Насыщеппо-пепасыщеппые состояния деформируемых поритых сред // Докл. РАН. 1998. Т. 356, 3. С. 343 345.

2. Павлова М.Ф., Шемуранооа Е.В. О существовании слабого решения одной задачи ненасыщенной фильтрационной консолидации // Изв. вузов. Матем. 2001. Л*' 10. С. 58 68.

3. Павлова М.Ф., Руна Е.В. О разрешимости задачи пасыщешю-пепасыщешюй фильтрационной консолидации // Дифферепц. уравнения. 2012. Т. 48, Л' 7. С. 1005 1019.

4. Murel-Seytuux H.J., Meyer P.D., Naehabe М., Тиита J., van Genuehten M.T., Lenhard R.J. Parameter equivalence for the Brooks Corey and van Genuehten soil characteristics: Preserving the effective capillary drive // Water Resour. Res. 1996. V. 32, No 58. P. 1251 1258.

5. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.

6. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О сходимости неявной разностной схемы для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации // Изв. вузов. Матем. 1994. Л» 1. С. 43 53.

7. Карчевский М.М., Павлова М.Ф. Уравнения математической физики. Дополнительные главы. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 2008. 228 с.

Поступила в редакцию 17.09.12

Павлова Мария Филипповна доктор физико-математических паук, профессор кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Е-шаП: Maria.PavlovaQksu.ru

Рунг Елена Владимировна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры прикладной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Е-шаП: HelenRungemail.ru