О сходимости явной разностной схемы для эволюционного вариационного неравенства с нелокальным пространственным оператором Текст научной статьи по специальности «Математика»

____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 157, кн. 4 Физико-математические науки

2015

УДК 519.6

О СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННОГО ВАРИАЦИОННОГО НЕРАВЕНСТВА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ

О.В. Глазырина, М.Ф. Павлова

Аннотация

Рассмотрено нелинейное вариационное параболическое неравенство с нелокальным, монотонным по градиенту пространственным оператором. С помощью метода штрафа и метода сумматорных тождеств построена явная по пространственному оператору и неявная по оператору штрафа разностная схема. Получены условия устойчивости построенной разностной схемы, доказана теорема о сходимости при минимальных предположениях о гладкости исходных данных.

Ключевые слова: вариационное неравенство, монотонный по градиенту оператор, нелокальный оператор, явная разностная схема с оператором штрафом, устойчивость, сходимость.

1. Постановка задачи

Пусть П - ограниченная область пространства Rn, n > 1, Г - граница П, Qt = П х (0, T). Используя принятые обозначения функциональных пространств (см. [1, 2]), определим множество

K = { v : v е LP(0,T; Wp (П))р| Lx(0,T; L2(Q)), v > 0 п.вс. в Qt}, Рассмотрим следующую задачу: найти функцию u(x, t) е K такую, что

ди

— е Lp(0, T; W-1 (П)),

u(x, 0) = uo(x) п.вс. в П, удовлетворяющую неравенству

p > 1.

(1)

(2)

J (^д^, v — Up dt + J{Lu, v — u) dt > J(f,v — u) dt Vv е K. (3)

0 0 0

Здесь p' = p/(p — 1), {w,v) - значение функционала w из W—1 (П) на элементе v

О

из Wp (П), ki,uo,f - заданные функции, L - оператор, определяемый формулой

Lu

Е

i=1

д

dxi

ki(x, u, Vu, Bu),

(4)

5

6

О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА

Wu - градиент u, B - оператор вида

(Bu)(t) = j g(x,u(x,t)) dt, (5)

Q'

Q' - область, принадлежащая Q или совпадающая с ней, g - известная функция, относительно которой предполагается, что g(x,u(x,t)) для почти всех t G [0,T]

О

интегрируема по Q' для любой функции u G Lp(0, T; Wp (Q)) p LTO(0, T; L2(Q)).

Пространственные операторы с нелокальностями вида (5) возникают, например, при математическом описании диффузии популяции бактерий, когда скорость распространения в точке определяется глобальным состоянием среды (см. [3-5]).

В дальнейшем будем предполагать, что функции ki(x,Co,C,v), i = !,..., n, непрерывны по каждому из аргументов и при любых значениях x G Q, Co, v G R, C1, C2, C G Rn удовлетворяют условиям

П

\ h(x,£o,C,v) \< do \ Cj \p-1 +di, do = const > 0, di = const > 0, (6)

j=1

nn

^2h(x,Co,C,v)Ci > d2^2 \ Ci \p -ds, d2 = const > 0, ds = const > 0, (7)

i=1 i=1

n

J2(ki(x,to,e,v) - ki(x,Co,C2,v))(C1 - C2) > 0, (8)

i=1

n

J2ki(x,Co,c,v )ci >0- (9)

i=1

О

Из этих предположений следует, что оператор L, действующий из Wp (Q) в Wp-' 1 (Q), является непрерывным, ограниченным, коэрцитивным и монотонным по градиенту.

В работе [6] в предположениях (6)-(9) доказана теорема о разрешимости задачи (1)-(5) при любых f G Lp' (Qt) и неотрицательном начальном значении uo G L2(Q). В [7] доказана единственность обобщенного решения задачи (1)-(5) в случае, когда пространственный оператор является сильно монотонным. Для параболического уравнения с пространственным оператором вида (4), (5) в [8, 9] доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения первой начально-краевой задачи. Работы [10, 11] посвящены исследованию сходимости приближенных методов решения этой задачи.

2. Вспомогательные результаты и обозначения

Лемма 1 (см. [6, лемма 1]). Пусть выполнены условия (6)-(8) на коэффициенты оператора L. Тогда при выполнении условий (1), (2) вариационное неравенство (3) эквивалентно вариационному неравенству

T T

1 du \ 1

-,v - uyt +

o o Q

1 n

(k i(x, u, Wv, Bu)

d(v - u) dxi

dx dt

>

T

J(f,v - u) dt

o

V v G K.

(10)

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ...

7

В дальнейшем полагаем, что П = {x G Rn : 0 < xi < li, i € {1, 2,... ,n}^. Обозначим через Wh равномерную сетку на П с шагом hi по i-му координатному направлению, Yh = Wh Пг, Wh = tXh\Yh. Будем предполагать, что существует константа c такая, что h < ch, где h = max hi, h = min hi. На [0,T] определим

1<i<n 1<i<n

равномерную сетку с шагом т

йт = {t G [0,T] : t = jT, j = 0,...,M, M = T/Л, шт = шт\{0}.

Пусть H - пространство сеточных функций, определенных на Wh, H - множество сеточных функций из H, равных нулю на границе Yh. Введем n-мерный вектор r = (ri,T2,... ,rn), координаты которого могут принимать значения ±1. Для сеточной функции у определим разностные отношения dri у по формулам

dr„ у

yxi, ri

yxi, ri

+ 1, -1,

Vr у = (dri У,дГ2 У, . . . , дГ n У).

Обозначим через Hr (x) ячейку сетки, содержащую все точки сетки, участвующие в записи выражения Vry(x) = (driy(x), dr2y(x),..., drny(x)), wr - множество точек сетки Wh, в которых определена операция Vr. В H введем скалярные произведения

(y,v)r

а также нормы

М+Р

Е mes (Hr (x))y(x)v(x), [y, v] = 2 n E(y, v)r,

xE^r

||y|| = [y,y]1/2, \\y\\p = [\y\P, 1]1/p,

/ n \ \1/p

2~nE J2\drMP, 1 I) , M-V

r 4=1 ' '

r

sup

z=0

I [y, z] |

l|z||+p.

В дальнейшем будем использовать следующие восполнения сеточных функций. Пусть z G H, через Пг z будем обозначать функцию, постоянную на каждой ячейке сетки Wh, определенную следующим образом:

nr z(x') = z(x), где x G wr : x' G Hr(x).

Для сеточных функций аргумента t введем кусочно-постоянные восполнения (n-w)(t') = w(t), где t = кт : (к — 1)т <t' < кт,

(П+ w)(t') = w(t), где t = кт : кт < t' < (к + 1)т.

Если z(x,t) - сеточная функция, определенная на Wh х йт, то для нее определим восполнения

n±z(x,t) = (Пг z(x,t))± = Пг z±(x,t).

В дальнейшем нам понадобятся следующие леммы.

Лемма 2 (см. [6, лемма 2, 3]). Пусть {yh-r} - последовательность функций, определенных на Wh х йт, для которой справедливы оценки

T

Ет 1^т(t)\\+p < С (11)

t=0

\Ыт (t)| < С Vt G w.

(12)

8

О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА

1 T-kr

-г- Е т[Vhr(t + кт) - yhT(t), yhT(t + кт) - yhT(t)] < C11), (13)

T t=0

здесь к - любое целое число, принадлежащее отрезку [1, M]. Тогда существует функция u € Lp(0,T; Wp-(n))p| Ьж(0,Т; ^(П)) и последовательности шагов {т}

и {h} такие, что при h, т - -A 0

П yhT " u, ди П dTi yhT ^ dx в Lp (QT), (14)

nfyhT * ^ и в Lж(0,T; L2(П)), (15)

n±yhT ^ u в Lp* (Qt), (16)

Пт yhT 1 - и п.вс. в Qt, (17)

здесь символом * ^ обозначена *-слабая сходимость,

p > n,

p* = <2, (pn/(n — p) > 2) A (p < n), (18)

Ip € [1,pn/(n — p)), (pn/(n — p) < 2) A (p < n).

Лемма 3 (см. [6, лемма 4]). Пусть П - ограниченная область пространства Rn, последовательность {um}^=i С Lqi (0, Т; Lpi (П)) сходится к и сильно в Lq0 (0, Т; LP0 (П)) и слабо в Lq1 (0,Т; Lpi (П)), 1 < po < pi < ж, 1 < qo < qi < ж. Тогда {ит}^=1 сходится сильно к и в Lq(0,Т; Lp(iX)) при любых po < p < pi, qo < q <qi.

Лемма 4 (см. [11, лемма 3]). Пусть последовательность {um}m=i сходится к и в Li(0,Т; Lpi (П)), pi > 1, функция g(x,£), определяющая оператор В, измерима по x при любом £ € R, непрерывна по £ для почти всех x € П и удовлетворяет условию

\g(x,£)\ < go(x) + cg \£\s Vx € П, V£ € R, (19)

где cg > 0, s € [0,pi] - заданные константы, go - неотрицательная, интегрируемая на П функция. Тогда Bum сходится сильно к Ви в Li(0, Т) при m а ж.

3. Построение и исследование явной разностной схемы

Для задачи (1)—(3) рассмотрим явную разностную схему

(yE)t(x,t)+ Aye(x,t) + - fdy'e = <p(x,t), x € Uh, t € Шт\{Т}, (20)

£

yE(x, 0) = yo(x), y \lh =°.

Здесь оператор в задается равенством

[3w = -\w-\p-2w-,

О О

A - разностный оператор, действующий из H в H, определяемый соотношением

1 n

[аУе, w] = ЕЕ(* i(x, Уе, Ут Уе, Bhye ), dEi w) т,

r i=i

1) Здесь для компактности записи у функции у^т не указан аргумент х. Это сокращение будет использовано и в дальнейшем.

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ...

9

где

(BhyE) (t) = B{2-n^ ПyE(x,t)),

r

yo - разностный аналог uo такой, что при h ^ 0

Пг yo ^ uo в L2 (О) V г, (21)

р - сеточная аппроксимация функции f, которую определим следующим образом:

P(x,t)

1

т mes (Hr (x)

t+т

J J f (£,V) d£dn-

t Hr(x)

Справедлива

Лемма 5. Пусть uo G L2(0), uo > 0 почти всюду в О, f G Lq(0,T; Lp (О)), где q = max{2,p'}. Тогда при любых £ > 0 и любых т, h удовлетворяющих условиям

т

c

c

h2

4п2/р ’

hP+n(p-2)/2

2Pn

1 <p <2,

P > 2,

(22)

для решения разностной схемы (20) имеют место следующие априорные оценки:

Ут\\Уе\\Р+р < c V t' G шт, (23)

t=o

max \\уе(t')||2 < c, t'E^T (24)

t Ут2\\(Уе)t\\2 < c Vt' G йт\{T}, (25)

t=o

1 t £Т,т\\у-еIIP < c Vt' G Wr\{T}• (26)

t=o

Доказательство. Умножим обе части (20) скалярно в H на 2т уе. Тогда

2т [Ши Уе] + 2т [АУе, Уе] + — [РУе, Уе] = 2т [р, Уе ]• (27)

£

Воспользовавшись очевидными соотношениями

[АУе, Уе] = [АУе, Уе ] + т [АУе, -(ye)t], [Р, уе] = т [Р, Уе] + [Р, (Уе)t],

и условием (7), равенство (27) запишем в виде

||Уе||2 - 1|Уе||2 + т 2\\(Уе)А\2 +2тй2\\уе\\р+р - 2тd3mesО + [pfe, fe] <

< 2т[РРУе] +2т2[Р, (УеW + 2т2[АУе, (Уе)t]. (28)

Оценим правую часть равенства (28). Для оценки первых двух слагаемых применим неравенство Гельдера, £-неравенство, разностный аналог неравенства Фридрихса. В результате получим

10

О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА

2тM*] < Mp\\Vs\\p < ^ M\p + '* "р

2т eyp'

Р

\y

E II+p •

(29)

2т2\m, *)t\ < T Ml, + е1т3\(уЕ)\ < T ЫЦ, + е1т*сп\2\(Уе)г\\\ (30)

£2 £2

где cq - постоянная из разностного аналога неравенства Фридрихса, константа А определяется из оценки

l|y||+i < ММ, (31)

при этом

n

1/l

А =

h(i+n(i-2)/2i): n1/l

h ’

Р > 2,

1 <p < 2.

Заметим, что условия (6) обеспечивают справедливость неравенства

| [Ay, w\ | < {do Ы\Р+р + di)INI+p Vy,w £H, (32)

где do = dp с(р') n1+l /l, di = dp c(p') n mes (Q), c(p') - константа, при которой

справедливо неравенство (a + b)p < c(p')(al + bl ). Поэтому

2т [AУе, (ye)t \ < 2т n(do\\ye\\+i + d1)\\(ye)t\\+i = 2т ndo\\ye\\+i ||(Уе WI+1 +

+ 2т2ndi\\(ye)t\\+i = I + 2т3/2т 1/2ncli\(yE)t\\+i < I + т3\\(уе)\+1 + сут, (33)

где су = n2 d2.

По определению оператора в

- \в Уе, Уе\ = - \\УЕ lip

(34)

Используя (29)-(34) для преобразования (28), нетрудно получить 1Ш2 -1Ы12 + т 2\\(уе)А\2 +2^d2\yEMP+p - тdз mesQ + Ц- \*-\\р <

< riJ1 IMIl, + -p М?)+

+ 2TCp £1 \\Уе\\Р+1 + £(е1 cQ A2)\\(yE)t\\2 + т3\\(Уе)\+1 + 1 + с1т. (35) При 1 < p < 2 оценим I с помощью неравенства Гельдера следующим образом:

Е{1т 1+1

I < ^ ||Уе||% + „

p' +l p£$

l \\(Уе )t\\P+p <

< f +5(т2 +v

<

то

< —т \\Уе\\+1 + ' 2l \\(yE)t\\1 + C2T, (36)

p 20 Q

7'

рт 3A2

p

с

с

где y = 2don.

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ...

11

Подставляя (36) в (35) и суммируя полученные неравенства по t G шт от 0 до t', имеем

n&(t')ii + fa - ^ c, - Ff)Y, т\ы%+

+ (i- т(."2 cq л2) - 7Й Ет2||(У£)<||2 + 2ЕтWyrtt'Wp <

V 2£3 / t-o £ —

р'

р'

+ 1Ы12 + 1

(37)

где C - постоянная, не зависящая от h и т. Условие (22) позволяет выбрать h, т, £1, £2, £3 так, чтобы

2d2

2£ 1 р £3

---cQ-------- > ^1 > 0,

p Q p'

1 - т£ С, Л2)

^Р\2т

~w

> 62 > 0.

(38)

Из (37) и (38) следуют оценки (23)-(25).

Пусть p > 2. Оценим I с помощью неравенств Коши - Буняковского и (31), в результате получим

I < т2МР/2Ы1{1;2)/2Л11Шг11 < т27||Уе||Р/р2Лр/2||уе||<р-2)/2||(уеЫ| <

т£3

< fa3 help +

т 3 ^2ЛР

2£3

1У

\Р—2 И(Уе)гЦ2. (39)

Подставляя (39) в (35) и суммируя полученные неравенства по t от 0 до t G шт, имеем

IIUt')II2 +Ы2 - ^c, - £j) £ т||ye\Ррр +

^ Р 2 ' t-0

t / 2 \ Р \ о t

+ Е(1 - т (£2 С, Л2 ) - ~2рГ be(tW-2) т 2 1(Уе )t\2 + “Е т 11&Г(ОНР <

t-0 ^ 3 J £ t=0

< с{Е^£| IMp + ^ ll^ipQ + IIyo12 + i}. (40)

Докажем сначала, что из (40) следует для Vt' G шт\{T} оценка вида

l|ye(t'))H2 < с(Е т(£2 ЫЦ, + 2 Н^НрЛ + IlyoH2 + i) \t-0 V£2 £1p / /

m2, (41)

где с - постоянная, не зависящая от h и т. При t' = 0 оценка (41) выполняется. Предположим, что (41) справедлива для всех t' < ti, ti G шт\{T}. Докажем, что (41) имеет место при t' = ti+т. Для этого запишем неравенство (40) при t' = ti +т :

1ШОн2 +

2d2

2£i

СQ

p

£2

£3

2

tl

^2т 1Ы1+р+ t-o

12

О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА

+ ( 1 - т(£2 сп А2) - ~2jfmP 2 - тА2) ЕT‘2W(y^)t\\‘2 <

< с\Е м\1 + imipO + Ы12 + 1

^=0 А£2 £lP /

(42)

Выбирая в (42) £i, £2, £3, h и т так, чтобы

2

2^2 - 2^- £ — Sl > 0, р 2

2 тм mp 2 — S2 > 0, (43)

(41) с константой с = maxj ' 2 1 1

, , £2 ’ 1

,£iP'

22

справедлива и для t' = ti + т. Следовательно, (41) имеет место для любых t G шт\{T}. Из (40) и (41) вытекают (23)-(26). Заметим, что постоянная с в (22) выбирается так, чтобы были выполнены оценки (38), (43). Лемма доказана. □

Лемма 6. Пусть выполнены условия леммы 5. Тогда для решения разностной схемы (20) имеет место следующая априорная оценка

1

Т-т

~PrY т М \\рр < c

(44)

t=0

Доказательство. Умножим равенство (20) скалярно в H на -туЕ . Просуммируем полученное тождество по t от 0 до T — т :

Y

Т-т

Т-т

Е т[Ыь -Уе ] + Ет

t=0 t=0

Тт

t=0

Тт

] + Е £№*>-у_ ] = Ет-у ]-

t=0

с.

Поскольку w = w+ - w , то

(45)

Т__т i 11 Т________т

Е т[(уМ -у_] — 2 \\у_(Т)\2 - 2 \\у_о\2 + 2 У т2\\(У_^ll2- (46)

t=0 t=0

Далее, из определения оператора в следует

Т т

Е£ [вУе, -У_ ] = £ \\У_\\Рр.

t=0 £

(47)

Справедливо равенство

[АУе, -У_ ] = [Ауе, у_] - т [Ауе, (у_ ^]. (48)

Из очевидного неравенства 3ri(у£)ди(-у_£) — 0 для всех r и условия (9) следует, что

Т т

Ет [ау^ -у_] -0- (49)

t=0

Используя (46)-(49), из (45) получим

2 Т т Т т т Т т Т т

2 Ет 2\\(у_ )t\\2 + Е £ \\у_\\Р <Y т2[Ау^ (у_ )t] + Ет-у_]- (50)

t=0 t=0 t=0 t=0

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ...

13

Докажем, что справедлива оценка

T—т

J2

т —т ,Т —т \ 1/2

Y7' 2[АУ£^ < Ст 1/2\p/2(Y^ т 2 ll(y—e)tl|2)

t=0 ' t=0 '

(51)

где р = 2, если p < 2, и p = p, если p > 2. Из неравенства (32) вытекает, что

Т-7

Т-7

^2т21АУе, (Ve)t] <Е Т {doheW+p1 + dl) ||(У е)^+р

t=0

t=0

Т—т

Т—т

= d0 Y т2hellP+plll(y еЫ|+р + d1 Y т2ll(y e)t

t=0

t=0

Пусть p > 2. В силу неравенства Коши-Буняковского и оценок (23), (24)

Тт

Y т2!АУе, (У— )t]

t=0

<

Тт

Тт

< d0^ т 2 ХР/2 bef+P 11 Уе I |Р/2 1 ||(У еЫ|+р + d1A E т 2 W (У e)t II <

t=0

t=0

< d0 max Цуе(t)Wp/2 1Ap/2(Y] т

tEu- \

Т т

t=0

p

'e\\+p

Т т 1/2 Т т

+ d1\T1/2 [Y, т 3| (y— еШ < C\p/2(Y т 3| (y— e)t IN

t=0 t=0

В случае p < 2 воспользуемся неравенством Гельдера:

1/2 Т т

Е т3n(y—

t=0

1/2

Тт

+

1/2

(52)

1/P /Т—т

Т т Т т

Y^i^e, (y—)t}< d()(Y т\Уе\Р+^ ( Y т 2 —1/P\\(y~e)t ||+J +

t=0 t=0 t=0

~ Т—т /Т—т \ 1/p _ Т—т

+ d1 Е т2\\(У— е )tll+P < С ^^2тР+1\(У— е )tl|P) + d1Y т 2\\(У— e)t\\+P =

t=0 t=0 t=0

САт ( Е т|(У — e)tIIP) + d1Y т2\\(У— e)t\\+P <

t=0 t=0

( Z1 ~т \ p/2 /Т—т \ 1 — p/2 ч 1/P Т—т

< САтнЕт\\(У — e)t\^) ( Yт 12/(2—PM | + d1 Y т 2\\(У— e)t\+P

t=0 t=0 t=0

/Т т \ 1/2

< С Ат1/2 [Y т 2II(y—e)t IN . (53)

t=0

Т т

t=0

t=0

Подставляя (51) в (50), получим

Г1 /Т—т \ 1/2 Л /1—т \ 1/2

{^Е т IN — е )t||2J - Ст 1/2AP/2j(Y т2 11(У — еЫ|2) +

Т т Т т

+ Ет иг wi <Y1т-У—}- (54)

t=0

t=0

t=0

2

е it

14

О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА

Выбирая т, h так, чтобы С1/2 — Ст1/2\p/2 > 0, из (54) имеем

1 T-т T-т

- 53тlimp <53т ^, —y— (55)

t=0 t=0

Оценивая правую часть (55) с помощью неравенства Гельдера, запишем следующую цепочку неравенств:

T-т

T-т

t=0

Г 53 тИУ \Р <53 т —Уе ]<

t=0

/T-т

< (53тцу

\ 1/p fT-т

.-lip Ет»

t=0 ' 't=0

1/p /г-т

р ' < С( 53тНУ

p

t=0

1/p

-llp ' . (56)

Из полученного неравенства (56) вытекает, что

- /T-т \ 1/p

-53т\\у

-1p

Г \ i_< "~е \p

4 t=0

С.

Лемма доказана.

□

Лемма 7. Пусть выполнены условия леммы 5, тогда для решения разностной схемы (20) справедлива априорная оценка

- T-кт

J = - £т II Vs(t + кт) — Ve(t)\\2 < c V k = 1, 2,...,M. (57)

т t=0

Доказательство. Просуммируем (20) по t от t до t + (к — 1)т, полученное равенство умножим скалярно в H на т(y(t + кт) — y(t)) и просуммируем по t от 0 до T — кт :

- T-кт «+(к-1)т

J = — 53 т lAy^(t),y^ (t + кт) — УеШ +

t=0 t=t

- T-кт г+(к-1)тт

+ 53 Г iey£(t),y£(t+ кт) — y£(t)']+

t=0 t=t

1 T-кт г+(к-1)т

+ - 53 Е т [ф),У£ (t + кт) — y(t)], (58)

t=0 t=t

откуда в силу (32)

1 T-кт ^' + (к 1)т г/_ __ \/ \

J<^Е 53 ц(с^0иy£(t)11+-1 +<y1jмы*+кт)ii+p + \\y£(t)ii+pj+

+ ^ I\y-£(t)Hp-1 (hS + кт)\p + UMIp) +

+ WvWp'^bS + кт)H+p + hPPW+p^ У (59)

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ...

15

Докажем, что правая часть неравенства (59) ограничена постоянной, не зависящей от т и £. Рассмотрим слагаемое

1 T-hr t+(k- 1)т^

Ji = ^ Е Е ^ II ye(t) ii+р1 \\y^+кт)Ц+р.

t=0 t=t

Оценим его с помощью неравенства Гельдера:

,T-kT t+(k-1)T

V /1 -kT^^^^—^J' \ 1jp! /T-kT t + (k-1)T 4

Ji - f(E J2 т иye(t) ii+р) (E J2 т1у(1+kT)II+pj

1jp

h+J -

t=° t=t

t=° t=t

T-T \ 1jp' , T-T

d / 1 -T \ 1/P / T -T

-т(к^2тцye(t)ii+Л [к^2тЦУ£(t)iip

' t=0 У V *_п

+р

t=0

1jp

Отсюда с учетом (23) следует, что J1 ограничен сверху постоянной, не зависящей от т и £. Оценка остальных слагаемых проводится аналогично. Лемма доказана.

□

Лемма 8. Пусть выполнены условия леммы 5, тогда для решения разностной схемы (20) справедлива априорная оценка

TT

J2 = Y, т НП (ye - С

(60)

t=0

Доказательство. По определению

П (ye )tHW-1(fi) = sup ' р' W v=0

П(ye)t(x,t) v(x) dx

W1(Q)

Имеем

П(ye)t(x,t) v(x) dx

£ n r (y e )t(x,t) v(x) dx

',C'" r (x')

E n r (ye )t(x' ,t) v(x) dx

>'cz, J .

\(ye,vhr )r\, (61)

Hr (x')

где vhr - функция из H, определяемая в точках wr равенством

1

vhr =

mes(Hr (x))

v(x') dx'.

Hr (x)

Поскольку ye(x',t) = 0 для всех x' G Yh и t G wT, то (ye)t(x',t) = 0 для всех x' G Yh и t G WT. Поэтому

\((ye )t,vhr )r \ — I [(ye )t,vhr ]L

(62)

v

где

Vhr (x,t)

vhr(x,t), x G Wh, t G Wt, 0, x G Yh, t G Wt.

16

О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА

В силу (61)—(62) и равенства (20)

Пг (Ve)t(x,t)v(x) dx

— I [(ye')t7 vhr]| < |[^yej vhr]| +

- [PVe,Vhr]

+ \[P,Vhr ]|. (63)

Используя очевидные оценки

\ [Aye ,vhr]|< (d0 ||ye||+p + dl) \\vhr ||+p \[<f,Vhr]|< CQ W^Wp \\vhr\\+p,

-[ey'eiVhr ]

£

< - Цу-т-1 \\Vh

г||+p,

нетрудно получить, что

Пг(ye)t(x,t)v(x) dx

< 1Ы1+-1 +1 llv-np-1 + Mp> +1) WVhr||+p.

Следовательно,

Пг (Уе )t(x,t)v(x) dx

<

<

T-T \ 1/p'

J2T WyeW+p) +

■ t=0 '

T-T

J2T iiy-iip

i/p'

+

+

T-T

E

т M\p

i/p'

+ 1 f \\vhr ||+p- (64)

Ясно, что \\vhr W+p < c WvW у поэтому из оценок (38), (44) и неравенства (64)

вытекает справедливость утверждения (60). Лемма доказана. □

Из априорных оценок (23), (24) следует ограниченность множества {n±ye} в пространствах Lp(Qt) и L^(0,T; ^(П)), а также ограниченность множества {П± driye} в пространстве Lp(Qt). В силу леммы 2 существуют подпоследователь-

О

ности {h}, {т} и {£}2) и элемент u G Lp(0,T; Wp (П)) такие, что при h, т, £ ^ 0

2) В дальнейшем за выбранными подпоследовательностями будем сохранять обозначения самих последовательностей.

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ...

17

n±ye ^ u в Lp(QT), (65)

n±dri ye ^ dx; B Lp(QT), (66)

n±ye ^ u *-слабо в L^(0,T; L2(Q.), (67)

n±ye ^ u в Lp* (QT), (68)

n±ye ^ u п.вс. в Qt. (69)

Из соотношений (65)-(68) и леммы 3 следует справедливость предельного соот-

ношения

п±У ^ u в Lp*(0,T; Lp(Q,)). (70)

Здесь

\Р < 2, если (n > p) A (np/(n — p) < 2),

< p = np/(n — p), если (n > p) A (np/(n — p) > 2), (71)

[p G [2, +то) если n < p.

Согласно (70) и лемме 4

n+Bh(ye) ^ Bu в Li(0,T) (72)

при s G [0,)5]. Кроме того, (60) обеспечивает существование Cr G Lp (0,T; W-1(Q,)) и последовательностей {т}, {h}, {е}, для которых наряду с (65)—(70) справедливо также предельное соотношение

n+(ye)t в Lp,(0,T; W- 1(Q)). (73)

Докажем, что

er = £ v r. (74)

Пусть z G CTO(0, T; Cq°(Q)), z(x,T) =0, zT - снос функции z в точки сетки wT. Воспользовавшись формулой суммирования по частям, запишем следующее равенство:

Т-т

5>/ П r(ys)tzT dx t=0 h

или в эквивалентном виде Т

n+(ye)tn " zT dx dt

Пгye(zT)t dx

/ nr uo(x) zT (x, 0) dx,

h

П- yen+(zT)t dx dt

nr uo(x)zT(x, 0) dx. (75)

0 h 0 h h

Учитывая (65) и (73), в равенстве (75) совершим предельный переход при h, т, е ^ 0. Тогда

Т

J(Cr,z) dt

Т

0h

dz

u dx dt — dt

h

uo(x)z(x, 0) dx.

(76)

0

18

О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА

Из (76) при z е C0^(O,T; 0°(П)) и определения обобщенной производной по переменной t в пространстве Lp>(0,T; W—1(0)) вытекает справедливость соотношения (74). В силу единственности обобщенной производной предельная функция в (73) не зависит от г, то есть £r = £ для любого r. Равенство

У u(x, 0)z(x, 0) dx = j u0z(x, 0) dx V z е CTO(0,T; С^(П)) (77)

n n

следует из (74), (76) и формулы интегрирования по частям. Из (77), очевидно, вытекает, что u(x, 0) = uo(x) почти всюду в П.

Докажем теперь, что функция u принадлежит K. Из предельных соотношений (65)—(69) вытекает, что

П±(у-) ^ u- в Lp(Qt). (78)

Используя свойство слабой полунепрерывности снизу нормы в пространстве Lp(Qt) и оценку (3), нетрудно получить, что

\\u-\\lp(Qt) < lim ^n-(y-)^Lv{QT) < lim (c£p'/p) = °,

r.e^O r.e^O

то есть u е K.

Докажем, что функция u удовлетворяет неравенству (3). Для этого умножим (20) скалярно в пространстве H на ЩЕ — У, где v - снос в точки сетки йт х ^h функции v е Cx(0,T; С™(П)) такой, что v(x,T) =0, v > 0. Тогда

[(Уe)t, Уе — у] + [Ауг^ уе — у] + 1 ^, уе — у] = [р, уЕ — v]. (79)

Из неравенства (8) имеем

[АУе,Уе — У ]

1 1

FEE (k i(x,ys, Уг ys,Bh Уе),дп (Ще — У )) r =

r i=1 1 П

= 2^EE (k i(x,yE, Уг yE,BhyE),dri (Уе — Щ ^ r +

r i=1 1 П

+ 2^EE <k i (x, Уе , Уг Уе ,BhyE),dri (Уе — Уе^ r > r i=1

1 П

> FEE(k i(x,УE, yr v,BhyE),dri (Уе — Щ ^ r + T [AУE, (yE)t]. r i=1

(80)

Так как оператор в монотонен и v > 0, то

1 \РУе,Ще — v] > 0. (81)

Для преобразования первого слагаемого в левой части (79) воспользуемся следующим соотношением:

\(УеЪ,Уе] > 2- \\Уе||2 — 1 Ы\\ (82)

Подставляя (80)-(82) в (79), имеем

У \\уе||2 — 2- ЬеГ + \y)t, у]+

1 n

+ 2^lE (k i(x,УE, yr y,BhyE),dri (Уе — У ^ r + Т [АУе, (У Е ) t] < [у, ЩЕ — У ]. (83)

r i=1

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ...

19

Воспользовавшись восполнением П+г, запишем неравенство (83) для всех t G [0, T]. Результат проинтегрируем по отрезку [0, t'], t' G [0, T], тогда

2{2Т/J(П+rVs)2 dxdt - 2T Jj (П+rVs)2 dxdt - JJ П+ r (уЕ)гП+rV dx dt+ r 0 n 0 n 0 n

n ^

+ JJ (П+r ki(x,Vs, VrV, Вну))П+г dr, (Vs - V ) dxdt)^ +

i=1 0 n

t' t'

+ T j П+AVs, (Vs)t] dt < jj П+r .П+r (Vs - V ) dxdt. (84)

Заметим, что

t'

1

J = 2T УУ ((П+r Vs)2 -(П+r Vs)2) dxdt = 2- у J (П+r Vs)2 dxdt-2 J (Пг V0 (x))2 dx.

0 П t'—т П П

В силу выпуклости функционала У (П+гVs)2 dx

2т У У (П+r Vs)2 dxdt > 2 у (Лт Пг Vs(t'))2 dx,

t'-т П П

где ЛтVs - кусочно-линейное восполнение функции vs по t, поэтому

J > 2 J (Лт Пг Vs(t'))2 dx - 2 j (Пг V0(x))2 dx.

t'))2 dx - 2

nn

Учитывая (85), из (84) получим неравенство вида

(85)

2nX! {2 У (Лт Пг Vs(t'))2 dx - 2J (Пг V0(x))2 dx - Jу П+r (Vs)^ r V dxdt+ r n n 0 n

n t'

+ ЕУУ П+г ki(x,Vs, Vr V, B^s^^r dr, (Vs - V) dxdt\ + i=1 0 n

t' t'

+ TI П+AVs, (Vs)t] dt < 2^^ УУ П+r ,П+г (Vs - V) dxdt. (86)

Ясно, что

П+AVs, (v s) t ] dt

Т-т T-т

< т |П+[АVs, (Vs)t]\ dt =^2 T2 I [AVs, (Vs)t]\.

t=0 t=0

t'

t'

t'

t'

t

T

t=0

20

О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА

По аналогии с доказательством неравенства (51) нетрудно установить, что

T-т ,Т-т ч 1/2

^т2\[Ауе, (ye)t}\ < Ст1/2\р/2(^ т2\\{Уе)Л2\ , (87)

t=0 ^ t=0 *

где p = 2, p < 2 и p = p, p > 2.

Принимая во внимание оценку (23), имеем, что

T-т

£ т2\[Ауе, (yE)t}\ < т 1/2Xp/2.

t=0

T-т

Следовательно, Е т2 \ [АуЕ, (yE)t] \ ^ 0 при т, h, е ^ 0, если

t=0

lim (т\р) = 0. (88)

т,Н—0

Докажем далее, что

L n

//Еп+k i(x,ye, Vrv, Вк(уЕ))П+ dr,(yE — v) dx dt 0 n i=1

ki(x, u, Vv, Bh(u)) -p.— (u — v) dx dt, (89) ox.

0n

i=1

при h, т, е ^ 0. С этой целью убедимся, что при h, т, е ^ 0 справедливы предельные соотношения

n+ki(x,yE, Vr у,Вн(уе)) ^ ki(x,u, Vv,Bu) в Lp> (Qt ), i e {1, 2,...,n}. (90)

Поскольку функции ki(x,^0,C,v) непрерывны по x, £0 и v, то из соотношений (69), (72) следует, что

n+ki(x,yE, Vr V, Вь(Уе)) ^ ki(x,u, Vv,Bu) п.вс. в Qt , i e {1, 2,...,n}. (91) Пусть

J2 = J \U+ki(x,yE, Vrv, Вь(уе)) — ki(x,u, Vv,Bu)\p dxdt. (92)

Qt’

Из неравенства (6) следует, что подынтегральная функция в (92) ограничена сверху функцией, зависящей лишь от V, и стремится к нулю (см. (91)) при h, т, е ^ 0. Поэтому по теореме Лебега о предельном переходе J2 ^ 0 при h, т, е ^ 0, таким образом, соотношение (90) справедливо.

Проинтегрируем (86) по t' от T — А до T (X > 0). В неравенстве (86) перейдем к пределу при h, т, е ^ 0. Согласно (65)—(73)

lim

т,Е——

1

0 2

ЛтПгyE(t'])2 dxdt'

А

2

uq(x) dx <

T t’

I JJf

— v) dx dt dt'+

t-x n

t-x 0 n

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ...

21

т t'

ди

+ J J < —£,v > dtdt'-

T-X 0

т t'

ki(x,u, Vv,Bhu) —^—------- dxdtdt' = j J1(t) dt. (93)

i=0

—Xi

T-X 0 n

Поскольку норма слабо полунепрерывна снизу, то т т

T-X

lim / ||ЛтПгУе^')\\12{п) dt > / IIuit')\\2L2{n) dt.

T,E^0 J J

(94)

T-X

T-X

(95)

Поэтому

T

\ J IHOIlL (П) dt — \ llu0(x) II L2(n) < J Mtr) dt.

T-X T-X

Напомним, что v G CTO(0,T; C^n)) p| K. Очевидно, что (95) справедливо и для любой функции v из K. Запишем (95) в виде

2А J \\u(t')\\2L2(n) dt' — 2 llu0(x)llL2(n) < 2 J Il(t>) dt'.

(96)

TX

TX

—u

Поскольку u G Lp(0,T; Wp (П)), а — G Lp'(0, T; W- (П)), то, как известно

(см. [2, с. 177]), u G С(0, T; L2(H)). Поэтому ||u(t)\L2(n) - непрерывная на (0, T) функция. По теореме Лебега о предельном переходе функция Ji также непрерывна на (0, T). Поэтому в равенстве (96) допустйм предельный переход при А ^ 0, а значит,

2llu(T)\L2(n)-2llu0llL2(n) <fff(u—v)dxdt + J(—t,v')

0 n 0

v ) dt—

ki(x, u, Vv, Bu) —---------) dx dt.

0n

i=0

—xi

Из последнего соотношения, учитывая равенство (см. [2, с. 177])

T

2 IIu(T)Ц(П) - 2 1КЦ(П) = /(—t^dt

получаем, что u удовлетворяет неравенству

Г, —u f f — (u — v)

( —, u — v) dt + ki(x, u, Vv, Bu) — ---------dx dt <

—xi

0n

1

<J(f,u — v) dt Vv G K. (97)

i=i

Из (97) и леммы 1 следует

22

О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА

Теорема 1. Пусть функции hi удовлетворяют условиям (6)-(9), функция f G Lq(0,T; Lp(О)), где q = max{2,p} p > 1, u0 G L2(Q) : u0(x) > 0 почти всюду в Q. Кроме того, выполнено условие (19) с константой s G [0,p] (см. (71)). Тогда существуют последовательности {т}, {h}, удовлетворяющие условию (88), и последовательность кусочно-постоянных восполнений решений схемы (20), сходящаяся сильно в Lp*(0,T; Lp(Q)) (см. (18)) к обобщенному решению задачи (1)-(3). При условии единственности решения задачи (1)-(3) любая, последовательность кусочно-постоянных восполнений решений задачи (20) будет обладать этим свойством.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 15-01-05686, 15-41-02315).

Summary

O.V. Glazyrina, M.F. Pavlova. On Convergence of the Explicit Difference Scheme for Evolution Variational Inequality with Nonlocal Space Operator.

Nonlinear parabolic variational inequality with a nonlocal space operator monotone with respect to the gradient is considered. Using the methods of penalty and summatory identities, explicit difference scheme with respect to the space operator and implicit difference scheme with respect to the penalty operator are constructed. Conditions of stability for the constructed difference scheme are obtained. The theorem of convergence is proved under minimal assumptions on the smoothness of the original data.

Keywords: variational inequality, operator monotone with respect to gradient, nonlocal operator, explicit difference scheme with penalty operator, stability, convergence.

Литература

1. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. - М.: Мир. -1972. - 587 c.

2. Гаевский Х., Грегер К., Захареас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1978. - 336 c.

3. Chipot M., Molinet L. Asymptotic behavior of some nonlocal diffusion problems // Applicable Analysis. - 2001. - V. 80, No 3-4. - P. 279-315.

4. Chipot M., Lovat B. Existence and uniqueness results for a class of nonlocal elliptic and parabolic problems // Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst. Ser. A Math. Anal. - 2001. -V. 8, No 1. - P. 35-51.

5. Simon L. On quasilinear parabolic functional differential equation with discontinuous terms // Ann. Univ. Shi. Budapest. - 2004. - No 47. - P. 211-229.

6. Glazyrina O.V., Pavlova M.F. On the solvability of an evolution variational inequality with a nonlocal space operator // Differential Equations. - 2014. - V. 50, No 7. - P. 873887.

7. Глазырина О.В., Павлова М.Ф. Теорема единственности решения эволюционного вариационного неравенства с нелокальным пространственным оператором // Материалы X Междунар. конф. «Сеточные методы для краевых задач и приложения». -Казань: Казан. фед. ун-т, 2014. - С. 205-208.

8. Pavlova M.F. On the solvability of nonlocal nonstationary problems with double degeneration // Differential Equations. - 2011. - V. 47, No 8. - P. 1161-1175.

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ...

23

9. Glazyrina O.V., Pavlova M.F. The unique solvability of a certain nonlocal nonlinear problem with a spatial operator strongly monotone with respect to the gradient // Russian Mathematics (Iz. VUZ). - 2012. - No 3. - P. 83-86.

10. Глазырина О.В., Павлова М.Ф. Исследование сходимости явной разностной схемы для параболического уравнения с нелинейным нелокальным пространственным оператором // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2013. - Т. 155, кн. 4. -С. 24-39.

11. Glazyrina O.V., Pavlova M.F. Study of the convergence of the finite-element method for solving parabolic equations with a nonlinear nonlocal space operator // Differential Equations. - 2015. - V. 51, No 7. - P. 876-889.

12. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. - М.: Мир, 1983. - 256 c.

13. Alt H.W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations // Math. Z. -1983. - Bd. 183, H. 8. - P. 311-341.

Поступила в редакцию 30.07.15

Глазырина Ольга Владимировна - ассистент кафедры вычислительной математики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

E-mail: glazyrina-olga@ya.ru

Павлова Мария Филипповна - доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

E-mail: mpavlova@kpfu.ru