CC BY
27
____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 155, кн. 4 Физико-математические науки
2013
УДК 519.6
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С НЕЛИНЕЙНЫМ НЕЛОКАЛЬНЫМ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ
О.В. Глазырина, М.Ф. Павлова
Рассмотрена первая краевая задача для параболического уравнения с вырождающимся по градиенту пространственным оператором, зависящим также от интегральной характеристики решения. Доказана теорема о сходимости явной разностной схемы при минимальных предположениях на гладкость исходных данных.
Ключевые слова: параболическое уравнения, монотонный оператор, нелокальный оператор, явная разностная схема, устойчивость, сходимость.
В работе в ограниченной области Q С Rn рассматривается начально-краевая задача для параболического уравнения с пространственным оператором вида
Здесь g - известная функция, Q' - область, принадлежащая Q или совпадающая с ней.
Следует отметить, что нелинейные параболические уравнения с операторами вида (1) в случае, когда коэффициенты hi зависят лишь от x и Чп, изучены достаточно хорошо. Приведем лишь наиболее значимые с нашей точки зрения результаты. В работах [1-5] исследованы свойства дифференциальной задачи, доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения. Изучению приближенных методов решения, в частности, сходимости разностных схем посвящены работы [6-8].
Более поздние исследования показали, что в приложениях возникают также задачи, в которых пространственный оператор зависит от нелокальной характеристики решения. Например, в работах [9, 10] исследуется математическая модель процесса распространения популяции бактерий, содержащая параболическое уравнение с пространственным оператором
Аннотация
x е Q, t е (0,T), (1)
где Чп - градиент п, (Вп) - нелокальная характеристика решения:
(2)
(3)
где В - оператор вида (2), a - заданная нелинейная функция.
24
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ...
25
Работы [11, 12] являются по сути продолжением и обобщением полученных в [9, 10] результатов. В [11] доказана теорема существования обобщенного решения начально-краевой задачи для уравнения
^ + * = , (4)
Здесь L - определенный равенством (1) оператор с нелокальной характеристикой более общего по сравнению с (2) вида. В [12] доказана теорема единственности решения начально-краевой задачи для уравнения (4) при p(u) = и и при некоторых дополнительных условиях на оператор L.
В настоящей работе доказана теорема о сходимости явной разностной схемы для параболического уравнения с пространственным оператором вида (1), (2).
1. Постановка задачи
Пусть Q - ограниченная область пространства Rn, Г - граница области Q, Qt = Q х (0, T) .В области Qt рассмотрим следующую начально-краевую задачу:
ди
д
n д
У^ т:—(ai(x, u)ki(x, У и, Bu))
dxi
i=1
f, x G Q t G (0, T),
(5)
u(x, 0) = uo(x), x G Q, u(x,t)=0, x G Г, t G [0,T]. (6)
Здесь ai, ki, uo - заданные функции, B - оператор вида (2).
В дальнейшем будем предполагать, что ai(x,&o), ki(x,&,v), i = 1,..., n, непрерывны по всем аргументам и при любых значениях x G Q, &o, v G R, в1 ,&2,& G Rn удовлетворяют условиям
0 < во < ai(x,io) < Pi, (7)
n
I h(x,£,v) \< do^2 I IP-1 +di, do > 0, di > 0, p> 1, (8)
j=1
nn
^2ai(x,£o)h(x,£,v)& > d^^ I & IP -ds, d2 > 0, d3 > 0, (9)
i=1 i=1
n
'^2ai(x,&o)(ki(x,&1,v) - ki(x,e,v'ml - в2) > 0. (10)
i=1
Отметим, что из условий (7), (8) следует, что оператор L, действующий из
Wp^\ (Q) в W1 (Q), где p = p/(p — 1), является ограниченным. Условия (9), (10) обеспечивают соответственно коэрцитивность и монотонность по градиенту оператора L.
Определение 1. Функцию u G Lp(0,T; Wj-(Q)^'| L^(0,T; La(Q)) такую, что
Qu
u(x, 0) = uo(x) п. вс. в Q, — G Lp > (0,T; W- 1(Q)),
(11)
назовем обобщенным решением задачи (5), (6), если для любой функции v из
О
пространства L (0, T; W 1(Q)) справедливо следующее интегральное тождество
5 'т р\
T
n
J^ — ,v^dt + JJ ai(x,u)ki(x, yu,Bu) —-dxdt = JJ УУ fi ~q—-dxdt. (12)
o on i=1 on i=o
26
О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА
Здесь (g,v) - значение функционала g из Wp, 1(0) на элементе v из Wp (Q),
dv n д
-— = v, функции fi, i = 0,...,n, такие, что f = f — V' — f. oxn dxi
i=1
Заметим, что из результатов работы [11] следует существование обобщенного
О
решения задачи (5), (6) при любых f е Lp(0,T; W-1(0)) и u0 е L2(Q)p| Wp (Q). В работе [12] была доказана единственность обобщенного решения задачи (5), (6) при условии, что оператор L - сильно-монотонный и ai = 1.
2. Вспомогательные результаты и обозначения Лемма 1. Пусть g(x) е Lpi (Q'). Тогда оператор
B : LP(0,T; Wp (Q)) f| L^(0,T; L2 (Q)) ^ Lp (0,T)
является непрерывным
1) при p е [1, +rc>), если pi > 2;
2) при p = p, если (1 < pi < 2) Л (p > n);
np
3) при pi = p, если (p < n) Л
< 2 Л
np
< p 1 < 2 .
Knp — n + p J \np — n + p Доказательство. Пусть pi > 2. По неравенству Коши - Буняковского
\(Bu)(t)\
g(x) u(x, t) dx
< IM^Q') Ilu(t)l|b2(^).
Так как u е L^(0,T; L2 (Q)), то IIBuIIL^(0,T) < ||gHL2(0') IMIl^(0,T;L2 (П)). Утверждение 1 доказано.
О
Рассмотрим случай 2. Если p > n, то, как известно, Lp(0,T; Wp (Q)) С LTO(Q). Следовательно,
\(Bu)(t)\ < IIgIILi(n) llu(t) II L^(n) < ||g|Li(n') llu(t)llW◦1(П), апотому IBuIILp(o,T) < l|gyLi(n') MLp{0T'tf4a)).
О
Для случая 3 имеем Wp (Q) С Lr(Q), где r = np/(n — p) при p < n. Следовательно, для непрерывности оператора B необходимо, чтобы pi > r', где r' -число, удовлетворяющее равенству 1/r + 1/r' = 1. Нетрудно видеть, что
r np
Поэтому если
np
< 2, то при
r — 1 np — n + p np
np — n + p np — n + p
\(Bu)(t)\<UgllLr,(no llu(t)ll
< p1 < 2 справедлива оценка
wi(n)
из которой следует, что ||Bu||l (0,t) < ||gHLr/(П') l|u|| ◦ . Лемма доказана.
r lp(0,t ',Wp(n))
□
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ...
27
В дальнейшем будем предполагать, что область Q - n-мерный параллелепипед: Q = {x € Rn : 0 < xi < li, i = 1,2, ...,n.}. На Q построим равномерную сетку ин с шагом hi по i-му направлению, h = (hi,..., hn), h = min hi. Бу-
l<i<n
дем предполагать, что существует константа c такая, что h < ch, h = max hi.
l<i<n
Обозначим
ин
X = (xi,...,Xn) € Q: Xi = jhi, j = 0,...,Ni, Ni
Yh = ин П Г, ин = uh\yh. На [0,T] построим равномерную сетку с шагом т:
ит
t € [0,T]: t = jT, j =0,...,M, M = —
т
= Ut\{0}.
и
т
Пусть H - пространство сеточных функций, определенных на Uh , H - множество сеточных функций, равных нулю на границе yh •
Введем n-мерный вектор r = (ri,r-i,... ,rn), координаты которого могут принимать значения ±1. Для сеточной функции у определим разностные отношения dri у по формуле
dr„ У
yxi, ri
yxi, ri
+ 1, -1;
Vr У = (dri У,дГ2 У, . . . , дГ n У).
Обозначим через Hr (x) ячейку сетки, содержащую все точки сетки, участвующие в записи выражения Vry(x) = (driy(x), dr2y(x),..., drny(x)), ur - множество точек сетки Uh, в которых определена операция Vr.
В H введем скалярные произведения
(y,v)r =53 mes Hr(x))y(x)v(x),
[y,v] = 2~n^2 (y,v)r,
r
а также нормы
\\y\\p = [\y\P, 1]1/P, M+P =(2-n E(E дп у\Р, 1 \\y\\ = [y,y]1/2, \\y\\-p' = supjr^^.
z=0 llzll+p
В дальнейшем будем использовать следующие восполнения сеточных функций. Пусть z € H, через Пгz будем обозначать функцию, постоянную в каждой ячейке сетки и определенную следующим образом
nr z(x') = z(x), где x € ur : x' € Hr(x).
Для сеточных функций аргумента t введем два кусочно-постоянных восполнения
(n-w)(t') = w(t), где t = кт : (к — 1)т <t' < кт,
(n+w)(t') = w(t), где t = кт : кт < t' < (к + 1)т.
Если z(x, t) - сеточная функция, определенная на ин хйт, то для нее определим следующие восполнения
n±z(x,t) = (Пг z(x,t))± = Пг z±(x,t).
28
О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА
3. Построение и исследование явной разностной схемы
Для задачи (5), (6) рассмотрим явную разностную схему
yt(x,t) + Ay(x,t) = p(x,t), x e uh, t e йт\{T}, (13)
y{x, 0) = yo(x), y \lh =0.
Здесь A - разностный оператор, действующий из H в H и определяемый соотношением
1 n
[Ay, w\ = — ^2 y)ki(x’ y, Bhy), driw)r,
r i=1
где Bhy(t) = B(2-n^2 Пгy(t)), yo - разностный аналог uo такой, что
r
Пг yo ^ uo в L2(Q), (14)
p - сеточная функция, являющаяся аппроксимацией правой части исходного уравнения, которую определим следующим образом
1 n 0
[A,v\ = 2n^^2(Atr,driv)r vv ей,
r i=o
где
dr0 V = V, pir (x,t)
1
т me^Hr (x)
t+т
J J fi (£,V) d£dn.
t Hr(x)
Лемма 2. Пусть uo e L2(Q) и f e Lq(0, T; Wp, 1(Q)), где q = max{2,p} Шаги сеток шт и шh удовлетворяют условию
т
h2
c------
4п2/р ,
hp+n(p-2)/2
c
2Pn
1 <p < 2, p > 2.
(15)
Тогда для решения явной разностной схемы имеют место следующие априорные оценки:
t
J2t\\y\\+p -c vtf e шт, (16)
t=o
max ||y(tl)y2 — c Vt1 e шт, (17)
t'EGjT
Х^т2|Ы|2 — c Vt1 e Шт\{T}, (18)
t=o
1 T-кт
т~ т ||y(t + кт) - y(t)||2 — c V к = 1, 2,...,M. (19)
т t=o
Доказательство. Умножим обе части (13) скалярно в H на 2ту. Воспользовавшись очевидными соотношениями [Ay,y\ = [Ay,y\ + т[Ay,yt\, а также [p, y\ = [p, y\ + т[p, yt\, результат запишем в виде
2т[yt,y\ + 2т[ау,у\ = 2т[p,y\ + 2т2[p,yt] - 2т2[Ay,yt\.
(20)
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ...
29
Учитывая условие (9), из равенства (20) нетрудно получить
1|у||2 - \\у\? + т2|Ы|2 + 2rd2\\y\\p+p - 2rd3mestt <
< 2т[р/у\ + 2т2[p,yt\ - 2т2[Ay,yt\. (21)
Оценим правую часть неравенства (21). Для оценки первых двух слагаемых применим неравенство Гельдера, е-неравенство, разностный аналог неравенства Фри-дрихса. В результате будем иметь
[f,y\
У ]У '(firy)r <
i=0
1 1
-ip' 2n
r i=0
+ p (i + cM\\p,
2
n
(22)
[f,yt\ < 2-2 2n^J2 т\\f
2е2 2n
е2т 3 2 , е2т ir \\p' + 2
r i=0
UytU+p + blip <
< 2-2 т\\fi'
2 r i=0
23
е2т'
+ ^- (1 + cq)A2 Ы\2. (23)
2
2
p
Здесь cq - постоянная из разностного аналога неравенства Фридрихса, оценки вида
11у11+р < МЫ,
A
- из (24)
cni/p
где A = h(i+n(p-2)/2p) , если Р ^ 2, и A
Из условия (8) следует
c nl/p
—-—, если 1 < p < 2. h
2т2[Ay,yt\ < 2т2^in(do\y\+p1 + di)htW+p = 2т2eindo||y||+p1||ytll+p+
+ 2т2fiindiUytU+p = I +2т2eindi||yt||+p < I + т3||yt||+p + clт, (25) где ci = в i n2 d 2.
Используя (22)-(25) для преобразования (21), нетрудно получить
и2 - 1Ы12 + т2|Ы|2 + 2тd2 ||y |+p - тdз mes^ <
< 2n т( 2-2 \Pir\\p' + -ipf \fir\\p' ) +
r i=0 2 i
-i
23
+ p (1 + CQ)2т ||yH+p + ^-(1 + оп)А2Ы\2 + т3Ы\2+р + I + от (26) p 2
При 1 <p < 2 оценим I следующим образом:
т-р' 1РтР+i терГ iРт т21 yA\2 2 — р
I < — »y»+p+кт "у"+р < — "y"+p+k < т+-k > <
< г llyll+p + ^ 2еР \\yt\\2 + c2т, (27)
p 2— Q
Рт 3A2
Р
где 1 = 2pindo.
30
О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА
Подставляя (27) в (26) и суммируя полученные неравенства по t G шт от 0 до t7, будем иметь
11у«7)||2 + (м2 - ^ (1 + &) - i) £ гы>;,,+
\ p p / t=0
+ - г22(2 + cn)X2 - YpЕг2\\yt\\2 <
- ^Е 2" ЕЕг(2e|^^ + elp7+ Wy°\\2 + ^’ (28)
где C — постоянная, не зависящая от h и г. Условие (15) позволяет выбрать h, г, £i, £2, £з так, чтобы
£Р
£3
2d2 - -p(1 + О) - Р > 5i > 0,
1 - г(£(2 + сп)Х2 - Yp2£pJ > Ъ > 0.
(29)
Из последних неравенств и (28) следуют оценки (16)—(18).
Пусть теперь p > 2. Оценим I с помощью неравенств Гельдера и (24), в результате получим
I < г 2Y\y\fp\y\\^)r2X\yt\<
< г2Yl|y|lP/,2Ap/2||y||(p-2)/2||yt|| < Г23\\y\\p+p + Е£^.||у|Г2\\yt\\2. (30)
Подставляя (30) в (26) и суммируя полученные неравенства по t от 0 до t7 G <~от, будем иметь
b(t7)||2 + ^ ^(1 + <&) - f) Ег1М1%+
A p 2 / t=o
+ Е (l - (2 + сп)Х2 - Y2 S MtW-2) г Чу! <
t=o£ 3 '
< ClЕ2"ЕЕг(2£211\\p' + £Р7W^"Up') + \\yol\2 +1
U=o 2 r i=0 A2£2 £ip J
Докажем сначала, что из (31) следует для любых t7 G <~от оценка вида
(31)
\\y(t')\\2 < ^Е ^ЕЕ г( 2£2 ^
t=o
Jir WP' + II ¥•
1
£ip’
p
ir Wpf
+ II Уо |2 + 1
m2, (32)
где с — постоянная, не зависящая от h и г. При t7 = 0 оценка (32) выполняется. Предположим, что (32) справедлива для всех значений t7 — ti; ti G йт\{T}. Докажем, что (32) имеет место при t7 = ti + г. Для этого запишем неравенство (31)
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ...
31
при t' = ti + т, в результате будем иметь
\\y(t')||2 +(2d2 - ^ (1 + е£) - *2) Ёт\\у\\\р+ X Р 2 ' t=0
+ (1 - т22 (2+еп)х2 -y2 T-2-pm 2 ) Ет2\\yt\\2 -
24
t=0
. t=0 r i=0
1
- CiE 2^EE т( 24 yi+ tp №■
eyp’
+ llyol2 + 1
p
p
(33)
Выбирая £i, £2, £3, h и т так, чтобы
2* £2
2d2 - -1 (1 + еР) - 2 > Ji > 0,
2Р (34)
1 - ~y (2 + еп)Х2 - y2щmp-2 > 62 > 0,
получаем, что из (33) следует неравенство (32) при t' = ti + т, при этом с = = max{2/(£1p'), 1/*2, 1}. Следовательно, оценка (32) имеет место. Из (31) и (32) следуют (16)—(18). Заметим, что постоянная е в (15) выбирается так, чтобы были выполнены оценки (29), (34).
Докажем далее справедливость оценки (19). Для этого просуммируем обе части (13) по t от t до t + (к - 1)т, затем умножим полученное равенство скалярно в H на т(y(t + кт) - y(t)) и снова просуммируем по t от 0 до T - кт, обозначив через J левую часть, в результате будем иметь
1 T-krt+(k- 1)т
J = - ^ Е Е т1АУ^),У(* + кт) - y(t)]+
£=0 t=t
1 T-кт г+(к-1)т
+ к Е Е т&(t),y(t+кт) -y(t)}- (35)
tt=0 t=t
Используя ограниченность оператора А и обобщенное неравенство Коши-Бу-няковского, нетрудно получить, что
1 T-кт t+(k 1)т г/ \/ \
J - ^ Е Е | (d0 \l y(t) ll+p1 +dn (\\y(t + кт)\\+р + lly^ll+p) +
к t=0 t=t
+ 2n ЕЁ \\Vir\\v{\\y(t + кт) ll+p + \m\\+p) }■ (36)
2 r i=0
Докажем, что правая часть неравенства (36) ограничена постоянной, не зависящей от т и £. Рассмотрим слагаемое вида
1 T-кт 1+(к-1)т
Ji = ^Е Е d0 \i y(t) 11+p1 \\y(t+кт)\\+p.
t=0 t=£
32
О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА
Оценивая его с помощью неравенства Гельдера, будем иметь
d /T-кг t+(k-l)r \1/p' / T-кт t+(k-l)r \
Ji - ~t(^ E т ii y(t) IE) ( E 13 т\\y(I+kT)H+p)
V t=o t=t / V t=o t=t /
T-T
k E
i/p
p \ <
+p -
t=o t=t
T-T \ 1/p / T-
1/p
— k(kY.T 1 y(t 11+
p
+p
t=o
t=0
Из последнего неравенства и (16) следует, что J ограничен сверху постоянной, не зависящей от т и е. Оценка остальных слагаемых проводится аналогично. Лемма доказана. □
Из априорных оценок (16), (17) следует ограниченность множества {П±у} в пространствах Lp(Qt) и L2(0, T; ^(П), а также ограниченность множества {П± driу} в пространстве Lp(Qt). В силу слабой компактности ограниченных множеств в рефлексивных пространствах и *-слабой компактности ограниченных множеств в L2(0,T; L2(&) существуют подпоследовательности {Mm)}m=1,
{■тт}^=11 и элемент и, принадлежащий Lp(0,T; Wp) (П))р| L2(0,T; L2(&), такие, что при h(m) ,Tm ^ 0
П±у ^ и в Lp(QT), ди
П±диу ^ — в Lp(QT),
П±у ^ и *-слабо в L2(0,T; L2(H).
(37)
(38)
(39)
Используя оценки (16), (17), (19) и сеточный аналога теоремы компактности (см. [4][Лемма 9]), нетрудно убедиться в существовании подпоследовательностей {h{m)} 2- _1, {тт}2=1, для которых наряду с (37), (38) справедливы также предельные соотношения вида
П±у ^ и в Lp0 (Qt), po = min{2,p}, П±у ^ и п. вс. в Qt.
(40)
(41)
Заметим, что Lp(0,T; Wp (П)) C Lp(0,T; Lp(Q)), где p — np/(n — p), если n > p, и p < +rc>, если n — p. Поэтому из оценок (16), (17) вытекает,
что множество {П±у} равномерно по h и т ограничено в пространстве Lp(0,T; Lp(Q))p| L2(0,T; L2(H). Из этого факта и предельного соотношения (40) следует, что
П±у ^ и в Lp* (0,T; L§(Q)), (42)
где p* < +гс>, p < 2, если (n > p) и (np/(n — p) — 2); pi < np/(n — p), если (n > p)
и (np/(n — p) > 2); p € [2, +rc>), если n — p.
Из определения оператора Bh и предельного соотношения (42) следует, что
П+Вн(у) ^ Ви в Lp* (0,T) (43)
если функция g, определяющая этот оператор, будет принадлежать Lpi (Q), где
f1, n — ТА
np/(np — n + p), (n > p) A (np/(n — p) > 2), (44)
2, (n > p) A (np/(n — p) — 2).
1 В дальнейшем за выбранными подпоследовательностями будем сохранять обозначения самих последовательностей.
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ...
33
Далее из условия (8) и оценки (16) вытекает ограниченность в Lp/ (Qt) множества {П± (ki(x, Vr y, Bhy))} при любом i € {1, 2,... ,n}. Поэтому найдутся ki €
€ Lp/ (Qt ) и последовательности {Tm}m-i такие, что
n±(ki(x, Vry, Bhy)) ^ ki в Lp/(Qt). (45)
Из непрерывности функции ai(x,£) и предельного соотношения (41) следует,
что
П±(ai(x,y)) ^ ai(x,u) п. вс. в Qt. (46)
Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 2, кроме того, удовлетворяют условиям
шаги h и т
2
n
т hP+n(P-2)/2
0,
если p > 2;
n2/p
т ^ 0, если 1 <р < 2, (47)
h2
тогда функция и, определенная соотношениями (37)-(41), является обобщенным решением задачи (5), (6).
Доказательство. Пусть zh и щ - сеточные функции, определенные на wh и wT соответственно и совпадающие со значениями функции z € Cq°(Q) и функции П € Сто(0, T) такой, что ц(Т) = 0, на этих множествах.
Умножим равенство (13) скалярно в H на TZhrjT (t) и просуммируем по t от 0 до T — т. В результате будем иметь
T-т
Y т[yt(t),zh\Лт(t)+
t=0
T—т i n T—т
+ E 2n Vr y,Bhy),dri zh)r Пт (t) = Y т&,Zh]VT(t).
t=0 r i=1 t=0
После преобразования первого слагаемого с помощью формулы суммирования по частям получим
1
2n
T—T
— Y Yy, zh)r (Пт )t — (y0, zh)rПт (0) +
T—t n
+ т ai(x, y)ki(x, dry, Bhy), дпzh)rПт
t=0 i=i
1
2n
n T—t
YYY ^V'ir , dri zh) rПт.
r i=0 t=0
Последнее тождество, используя восполнения, запишем в виде
1
2n
? {—!П— rуПгzhn (Пт)t — j ПгУоПгzhHT(0)dx+ r Qt n
/n
Y П+ (ai(x, y) ki(x, Vry, Bhy)) Пгд^zh П—Пт dx dt
~EE П+Pir Пг dri zh П (Пт) dxdt.
r i=0
(48)
2 В дальнейшем будут использованы лишь выбранные последовательности ^
, для которых справедливы соотношения (37)—(46). Поэтому для сокращения записей здесь и далее индекс m будем опускать.
34
О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА
Используя (48), теорему Лебега о предельном переходе, а также очевидные сод z
отношения Пг3rizh ^ ^— в Lq(0), П^Цт ^ ц в Lq(0,T) для любого q > 1, нетрудно показать, что i
dz
n-ai(—,y)nr дп zh П-пт ^ ai(—,u) —Ц в Lp(Qt ).
(49)
Учитывая (14), (37)—(46), (49), в равенстве (48) перейдем к пределу при h, т ^ 0. В результате получим
о п
—ц г f f ' ° д z
uz—td—dt — ио z ц(0) d— + / / '^/ai(—,u) hi д—Ц d—dt =
п о п i=1 i
T n
= JJ 13jfi д— П d— dt- (50)
ди
Далее докажем, что функция и имеет обобщенную производную — из про-
дt
странства Lpt(0,T; Wpt1(0)). С этой целью в (50) выберем функцию ц G 0q°(0,T). В результате получим
т "
и z d— ] —ЦЦ dt = I
0п
0п
дz
— дz
J2fi д—Г; —J2 ai(—,u) hi d—
i=0
i=1
д—i
ndt. (51)
Поскольку 0™(0) плотно в Wp1 (0), то равенство (51) будет справедливо для
О
любой функции z & W 1 (0). Из (51) следует, что функция
г / n dz n — dz \
фсо = / Hfi д—. —12 ai(—,u) hi ^д—jd—,
i=
i=1
принадлежащая пространству Lpt (0,T), является обобщенной производной функции Ф^) = J uzd—. Следовательно, по определению производной векторозначной п
du
функции, функция u имеет обобщенную производную — G Lpt (0, T; W- (0)) и справедливо равенство
т T n T
duff dz f f
— znd—dt + ''У^1 ai (—, u) hi —— ц d— dt = f z ц d— dt, (52)
0п
0п
0п
где z gW^ (0), ц G 0^(0, T).
В силу плотности множества функций
w G Lp (0,T; W^ (0)) : w(—,t) = ^ zk(—)m(t), zk GW^ (0), цк G O™ (0,T), m G N
k = 1
i=1
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ...
35
о
в Lp(0,T; Wp (П)) из (52) следует справедливость равенства
ди
— wax at + dt
о n
0 n
n
E. .— dw
ai (x, u) ki —— ax at =
dxi
i=1
dw
Edw
fi dx dX а
0 n
(53)
для любых w € Lp(0,T; Wp (П)).
Докажем далее, что u(x, 0) = uo(x).
о
Полагая в (53) w(x,t) = z(x)n(t), где z - произвольная функция из Wp (П), n -произвольная функция из Сто(0, T) такая, что ц(Т) = 0, и, учитывая равенство (50), будем иметь
т
0n
ди
dt
zn dx dt
и z -П dx dt at
0n
J и о z n(0) dx. n
Из этого равенства и формулы интегрирования по частям следует, что
J (ио(x) — u(x, 0)) z(x) n(0) dx = 0 Vz €Wp (П).
(54)
В силу произвольности функции z из (54) вытекает, что uo(x) = u(x, 0) почти всюду в П.
Осталось доказать, что
т т
n д /» /» n д
У ai(x,u) ki—— dx dt = N ai(x,u) ki(x, Vu,Bu) —— dxdt. (55)
дXi / I д'Г.:
о n
i=1
0 n
i=1
Пусть v - снос в точках сетки lot х о функции г € C^(0,T; С0ю(П)). Рассмотрим неравенство вида
1 ^ n f
[(У — v)tdy' — v] + ^ХХ [ai(x,y)( ki(x, Vr y,Bhy) —
r i=1 '
— ki(x, VrV,BhУ)),дri (y — y)^ > 2T\\y — v\\2 — ||y — v\\2, (56)
справедливость которого следует из свойства (10) и очевидного соотношения
1 1 Т
[zt,V] > - ||v||2 — 22 ||z||2 + - ||zt\2.
Учитывая, что y - решение явной разностной схемы, неравенство (56) запишем в виде
1 ^ n ^ (
— [vuy—v] + 2n XX\ ,д^(у—y))r — Vrъ,^у)Л<(у—Щ)r —
r i=1 ^
— т (ai(x,y)(ki^ Vrу,^у),дпyt)r^ > 2т11Щ — yll2 — 2ТWy — vW2.
36
О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА
Последнее неравенство умножим на т, просуммируем от 0 до T — т, результат, используя процедуру кусочно-постоянного восполнения, запишем в виде
/ 2^53 {—]П+гЫп+г(У — v) + Xl|n+^Vir n+rдп(у — v) —
Qt r i=1
— П+r ai(x,y)n+r ki(x, VrV,Bhy)n+r д^ (y — v)l l dx dt + ^ т |[Ay,yt]| >
' ' t = 0
> — 2 I Anr(У0 — »(0)) (57)
t=0
v(
Из условия (см. (14)) следует, что при h ^ 0
2" 2п Докажем далее, что
—2II 2П ^ пг (уо—+(0))
L (П)
1 и 11 о
— 2 1 мо - «(0))
Ь2(П)'
T—т
Tlim^3 т2| [Ay,yt] 1 = 0.
(58)
(59)
t=0
Воспользовавшись ограниченностью оператора A (см. (8)) и неравенством Коши-Буняковского, будем иметь
T—т
T—т
t=0
J т2| lAy,yt] 1 <^2 т2(do\\y(t)W+p 1) + d0ht\\+p <
t=0
( fT-T , A 1/2 \fT-T \ 1/2
-1/2л|^о^Х^ т\\y(t)W+:p 1]j + d1T 1/2)(E т2\У \\2J ■ (60)
т1
Если 1 < p < 2, то
fT т
i -T \ 1/2 /Т-T \
Y1 т\\y(t)W+P-1)) < c1 ( Щ т\\y(t)W+p)
t=0 t=0
t=0
(p-1)/p
Из последнего неравенства (60) и оценок (16)—(18) вытекает, что
ffT-т \ (p-1)/p \fT-т \ 1/2
J < с1Ат1/2((^ т\\уШ+р) < с2(тА2 )1/2. (61)
t=0 t=0
Из неравенства (61) и условия (24) следует (59).
Пусть теперь p > 2. Используя оценку (24), запишем следующую цепочку неравенств
2
T-т ч 1/2 /T-т
Ет iiy(t)n+(^-1^ =(Е
t=0
> l|y(t)W+pWy(t)W+p2
t=0
1/2
T-т
< *p/2-1[J2 тWy(t)Wp+pWy(t)W
p-2
t=0
<
1/2
<
< Xp/2-1 max Wy(t')Цр/2-1Ц2 т||y(*)H
■T-т
W+p
t=0
1/2
(62)
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ...
37
Учитывая оценки (62), (16)—(18), из (60) будем иметь
J < сл\р/2-1 т1/2
max
t
ып\р/2-1
'T-т
Xт\\y(t)\\+p
t=0
1/2
+ 1
X
T-т
Хт 2\\yt(t)\\2
t=0
X
1/2
< C2(t\p-2)1/2.
Из последнего неравенства и условия (24) следует (59). Докажем далее, что
n+{ai(x,y) ki(x, VrV,Bhy)) ^ ai(x,u) ki(x, Vv,Bu) в Lp>(Qt)■ (63)
Обозначим
J = |П+(ai(x,y) ki(x, Vrv,Bh'y)) — ai(x,u) ki(x, Vv,Bu)\P dxdt. (64)
Qt
Используя предельные соотношения (43), (46), гладкость функции V и непрерывность ki(x,^,v) по каждому из аргументов, нетрудно убедиться в том, что подынтегральная функция в (64) стремится к 0 при h, т ^ 0 почти всюду в Qt■ Кроме того, из оценки (8) следует, что
П+ (ai(x, y) ki(x, Vrv, Bhy))
ai(x, u) ki(x, Vv,Bu)lP <
<
d0
i=1
dr% v
P
1
+
dv |p-1 dxi1
+ 2 d1
p'
Правая часть последнего неравенства в силу гладкости V является интегрируемой по Qt функцией, следовательно, по теореме Лебега о предельном переходе J ^ 0 при т, h ^ 0, то есть (63) справедливо.
Далее, из определения рir, гладкости функции V и предельных соотношений (37)-(39), (63) следует, что при h, т ^ 0
1 n ^ г
2n^Yl П+r Pir П+r dri (y — v) dxdt =
1n = 2n^Yl fi П+г dri (У — v) dxdt- r i=1 Qt f ,• d (u — v) X fi Qx. dxdt, i=1 Qt X% (65)
J п+гЫп+г(y — v) dxdt ^ r Qt f dv — -r- (u — v) dxdt, J dtK J ’ Qt (66)
1 n ^ r
2^^ XI П+r ai(x,y)n+r ki(x, Vr v, Bhy) П+ r dn (y — v) dxdt
r i=1
n „ d (u v)
XI ai(x,u)ki(x, Vv,Bu) ----------- dxdt■
i=1 ,
dxi
(67)
38
О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА
Используя предельные соотношения (58), (59), (65)—(67), в неравенстве (57) перейдем к пределу при h, т ^ 0, в результате получим
/
д(и — v) dt
,и — v) dt + / J2ai(x,u)( k
i=1
ki(x, Vv,Bu)j --------) dxdt >
J —xi
1 и n2
>— 2 II u0 — v(0)) \\ь2(П)- (68)
Напомним, что v - произвольная функция из C^(0,T; Cq°(Q)). Это множество (см., например, [13][с. 174]) плотно в пространстве
W
z е Lp(0, T; Wp (Q)) :
дz —t
е Lp,(0, T; W- 1(Q))
Учитывая это, выберем в (68) v = и — Aw, где A - произвольное положительное число, w - произвольная функция из W .В результате получим
// —w \ f n ( \ —w
(^-df,w^dt + J '^^ai(x,u)yki — ki(x, V(u — Aw),Bu)j ——-dxdt >
A
2
Переходя к пределу в неравенстве (69) при X ^ 0, будем иметь
>— 2 II w(0) НЫпГ (69)
ki(x, Vu, Bu)
—— dx dt > 0.
—xi
В силу произвольности функции w из последнего неравенства вытекает равенство (55). Лемма доказана. □
Из лемм 2-4 следует справедливость следующей теоремы
Теорема 1. Пусть функции ai, ki удовлетворяют условиям (7)—(10) и выполнены условия (15), (47). Тогда при любых f е Lq(0,T; W— 1(Q)), q = max{2,p} uo е L2(Q), g е Lpi (Q/), где выбор параметра pi подчинен условию (44), любая подпоследовательность восполнений решения явной разностной схемы, удовлетворяющая условиям (37)-(46), сходится к обобщенному решению задачи (5), (6).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 12-01-00955, 12-01-97022, 12-01-31515).
Summary
O.V. Glazyrina, M.F. Pavlova. Research on the Convergence of an Explicit Difference Scheme for a Parabolic Equation with a Nonlinear Nonlocal Spatial Operator.
We consider the first boundary value problem for a parabolic equation with a spatial operator degenerating with respect to the gradient. This operator also depends on the integral characteristic of the solution. We prove the convergence theorem for an explicit difference scheme under minimal assumptions on the smoothness of the initial data.
Keywords: parabolic equations, monotone operator, nonlocal operator, explicit difference scheme, stability, convergence.
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ...
39
Литература
1. Дубинский Ю.А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка // Усп. матем наук. - 1968. - Т. 23, Вып. 1. - С. 45-90.
2. Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях // Матем. сборник. - 1965. - Т. 67, № 4. - С. 609-642.
3. Raviart P.A. Sur la resolution de certaines equations paraboliques non lineaires // J. Funct. Anal. - 1970. - V. 5, No 2. - P. 299-328.
4. Alt H.W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations // Math. Z. -1983. - Bd. 183, H. 8. - S. 311-341.
5. Otto F. L1 -contraction and uniqueness for quasilinear elliptic-parabolic equations // J. Differ. Equations. - 1996. - V. 131, No 1. - P. 20-38.
6. Федотов Е.М. Об одном классе двухслойных нелинейных операторно-разностных схем с весами // Изв. вузов. Матем. - 1995. - № 4.- С. 739-752.
7. Масловская Л.В. О сходимости разностных методов для некоторых вырождающихся квазилинейных уравнений параболического типа // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1972. - Т. 12, № 6. - С. 1444-1455.
8. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О сходимости явных разностных схем для одного вариационного неравенства теории нестационарной фильтрации // Изв. вузов. Матем. - 1997. - № 7. - С. 53-65.
9. Chipot M., Molinet L. Asymptotic behavior of some nonlocal diffusion problems // Appl. Anal. - 2001. - V. 80, No 3-4. - P. 279-315.
10. Chipot M., Lovat B. Existence and uniqueness results for a class of nonlocal elliptic and parabolic problems // Dynam. Cont. Dis. Ser. A. - 2001. - V. 8, No 1. - P. 35-51.
11. Pavlova M.F. On the solvability of nonlocal nonstationary problems with double degeneration // Differ. Equations. - 2011. - V. 47, No 8. - P. 1161-1175.
12. Glazyrina O.V., Pavlova M.F. The unique solvability of a certain nonlocal nonlinear problem with a spatial operator strongly monotone with respect to the gradient // Russ. Math. (Iz. VUZ). - 2012. - No 3. - P. 83-86.
13. Гаевский Х., Грегер К., Захареас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1978. - 336 c.
Поступила в редакцию 30.09.13
Глазырина Ольга Владимировна - аспирант кафедры вычислительной математики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: [email protected]
Павлова Мария Филипповна - доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: [email protected]
