О двух подходах к вычислению вероятностных характеристик сетевых моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

С • I а 1

УДК 5198.21.2

Н.П. Воробович

О ДВУХ ПОДХОДАХ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ

В статье проанализированы методы расчета параметров сетевой модели, применяемые в системе ПЕРТ. Показано, что методика оценки математического ожидания времени выполнения сетевого проекта, а также других доверительных оценок, приводит к систематической погрешности, причем оценки, как правило, оказываются заниженными. Изложены аналитические методы Фулкерсона-Клингена, лишенные этих недостатков.

Ключевые слова: подход, вычисление, методика, сетевая модель, вероятность, метод, оценка, вычисление, распределение, алгоритм.

N.P. Vorobovich ABOUT TWO APPROACHES TO CALCULATION OF LIKELIHOOD CHARACTERISTICS

OF THE NETWORK MODELS

The techniques for calculation of the network model parameters, applied in the PERT system are analyzed in the article. It is shown, that an estimation technique for mathematical expectation of the network project performance time, and also other confidential estimations, leads to the regular error, and the estimations as a rule appear to be underestimated. The Fulkerson-Klingen analytical techniques deprived of these disadvantages are stated.

Key words: approach, calculation, technique, network model, probability, method, estimation, calculation, distribution, algorithm.

1. Методы расчета параметров сетевой модели в системе ПЕРТ

Для анализа сетевых графиков со случайными оценками работ в системе ПЕРТ используются следующие вероятностные характеристики: ожидаемое время свершения события (в том числе завершающего); дисперсия времени свершения события (в том числе завершающего); дисперсия времени окончания работы; среднее квадратическое отклонение времени окончания работы; вероятность свершения событий сетевой модели в установленные сроки; вероятность отсутствия резерва времени для момента окончания заданной работы.

Расчет этих характеристик основан на следующих основных допущениях.

Если частный путь в сети I- состоит из п работ , гу ^ V = 1,2,..., 77 со случайными продолжительностями их выполнения, то длина пути считается распределенной по нормальному закону со средним Ш(Ц и дисперсией ЩЦ), где

мг 02>Н-!’С (1)

1'=1

£>ГС> Е(2) 11

Распределение самого раннего срока t(^=tp { свершения события _/ сетевой модели, в которое входит к работ = 1,2со случайными временами ^их окончания, приравнивается к распре-

делению длины такого пути Ц, соединяющего исходное событие и событие ], у которого среднее значение длины, определенное по формуле (1), будет максимальным. Иными словами, делается допущение

max{i,t2,...,tkУtp, (3)

где шах 1^/ ,. 3= М/

1<у<к р

Ожидаемое время М Щ=М (/) свершения /-го события определяется как сумма математических ожиданий времени выполнения работ, лежащих на максимальном пути Ц между исходным (С) и /-м событиями:

М/< > (4)

|/=1

если — С70 —> —>■ /2 —^ ... —^ 1п — / и Mt О М/С'.,, где I/ также соединяет исход-

ное и)-е события. Величина М/^,,/у+1 ^определяется по формуле М=(а+Ь+4т)/6.

Дисперсия времени свершения /-го события определяется как сумма дисперсий работ, лежащих на максимальном (по средним значениям) пути Ц между исходным и /-м событиями:

£>0»01>С„С (5)

У=1

где величина ^ определяется по формуле ст «(Ь-а) / 6.

Дисперсия самого раннего срока окончания работы ( /, ] ) оценивается по формуле

ырл < У 3= ы С+ £>/ < у ^ (6)

а стандартное отношение crtpo(,j ^ по формуле

° ХР о С 7 Э= л//}/ 0/}/С/3 (7)

Алгоритм расчета среднего значения наиболее позднего срока М/й { свершения события / и его дисперсии 1)/и {отличается от только что изложенного тем, что формулы (4)-(5) осуществляют переход от более ранних событий к более поздним, а алгоритм расчета значений М/й { и 1)/и { , наоборот, от более поздних к более ранним. Формула расчета значений М/й { имеют следующий вид:

М!п <> мгп (8)

где / - завершающее событие, М/й а I- есть максимальный путь (по средним значениям), соединяющий события / и /. Что касается величины 1)/и то последняя оценивается по формуле

Г»,<ЗгОТ„4У Dti.il И

где работа (у) лежит на пути /_, определенном формулой (8), причем 1)/й в (9) полагаем равной

нулю.

Одним из основных показателей, который используется при вероятностном анализе сетевой модели, является оценка вероятности рл свершения /-го события в запланированный срок /ил < . Эта оценка сводится к определению вероятности попадания случайной величины Щ) в интервал |,/ил

^пл

P

(10)

где (р{ - плотность распределения случайной величины ОД. Как уже указывалось выше, в качестве функции (р1 используется нормальное распределение вероятностей с параметрами М(1) и 0(1), опре-

деляемыми по формулам (4)—(5):

<Р, <

ехр^

2D С

(11)

Выбор нормального распределения является одним из основных допущений метода ПЕРТ. Подставляя (11) в формулу (10), получаем

О

J exp<

2 DC.

dx

1

Вводя переменную t=(x-M(i))/o(i) и используя функцию Лапласа j= ,_ fexp ^р/2 ck,

сС-мГ '

по-

2 {

+1

ау

В ряде случаев интегральную функцию распределения Р *)ч. С целесообразно аппроксимировать полиномом пятой степени:

0,5 + 0,357х-0,033х3 + 0,00132х5 при -3,0<х<3,0 Р 3= tm <33 0 при х< -3 ’

1 при х > +3

^СгМС

где JC = ■

Получение достоверной оценки времени выполнения сетевого проекта в целом выполняется в системе ПЕРТ по методике, суть которой заключается в следующем.

Каждой работе (/,] ) сетевой модели приписывается детерминированная временная оценка М Ц /,]), определенная по формуле М = (а+Ь+4т) / 6. Находится последовательность работ, принадлежащих критическому пути, после чего производится оценка параметров распределения длины критического пути К - его математического ожидания МК и дисперсии ОК.

Обозначая критический путь через , <^2.., £>1 _, получаем

1-і

мк = ^м*,Л,

І—1

/ж = 5>£,<?,

(12)

/+1 —і

І— 1

(13)

причем значения М1, __ и ^оцениваются по формулам о ~ ( Ь-а )/6 и

М={а+Ь+4т)1&.

Пусть вероятность того, что действительная продолжительность выполнения всего проекта не превысит запланированную величину / ^3=^" (/ - завершающее событие) равна р, то есть

Плотность распределения длины критического пути имеет вид

(14)

(р^

ехр<

К-мк

2ВК

"2

(15)

Для величины К можно написать уравнение

рц^кп, г

ехр<

Ъ-МК

2 ВК

^\йК.

(16)

1 ^ ^мк

Обозначив Ф^У~1= \е '2Ж, получим —пл =ф~гф , или

л/2^і" .. (ТІС

Кш=МК+а«У14>]

(17)

Соотношение (17) используется авторами системы ПЕРТ для нахождения оптимальных сроков планирования времени критического пути.

Вероятность отсутствия резерва времени для момента окончания работы (у) обычно оценивается по формуле

рО і-ф

(18)

где ст (/) определяется по формуле (5), причем Рх ^ одновременно есть вероятность выполнения

неравенства At £ = /и <3“ *Р 0.

Принятые в системе ПЕРТ допущения в отношении вероятностной сетевой модели и связанной с ней методики расчета параметров сети в целом вызвали резкую критику со стороны ряда ученых.

В частности, критикуется то обстоятельство, что, определяя на основе формулы (17) величину Кпл,

авторы методики фиксируют ее значение в качестве р-процентной доверительной оценки для времени выполнения всего проекта в целом. Однако последнее совершенно необоснованно.

и

1

К

1

пл.

Время выполнения работ, лежащих на любом из путей, соединяющих исходную и завершающую вершины сети, не подчиняется нормальному закону распределения и, таким образом, употребляемые авторами системы ПЕРТ формулы (12) и (13) не являются достоверными.

Оценки самых ранних сроков, полученные с помощью формул (4) и (12), всегда получаются "оптимистическими”, то есть заниженными, причем наличие параллельных путей увеличивает ошибку, а наличие пересекающихся - ее уменьшают. Что касается самых поздних сроков, оцениваемых по формуле (8), то может иметь место как занижение, так и завышение действительного результата.

Ряд расчетов моделирования экспериментальных сетевых проектов сравнительно небольшого объема показывает, что определенное по формуле (17) значение Кпл в качестве оценки ожидаемого времени

для всего проекта в целом на 15-25 % меньше истиной оценки (полученной с помощью метода статистического моделирования).

В предыдущем разделе было показано, что методика оценки математического ожидания времени выполнения сетевого проекта, а также других доверительных оценок, применяемых в системе ПЕРТ, приводит к систематической погрешности, причем оценки, как правило, оказываются заниженными. Если зафиксировать

где 1^ точное значение р-квантиля самого раннего срока свершения события /. Иными словами, методика

системы ПЕРТ приводит к занижению практически всех представительных оценок самых ранних сроков свершения как завершающего события, так и событий внутри сети. Описываемый ниже математический аппарат является попыткой уточнения оценки математического ожидания самых ранних сроков свершения событий, входящих в сетевую модель с помощью аналитических методов. Д. Фулкерсоном предложен метод получения нижней оценки /;, математического ожидания самого раннего срока свершения события / и показано, что

эта оценка имеет меньшую систематическую погрешность, нежели классическая оценка ^, то есть

gi < < //. (gj - оценка для /л1, полученная по методике ПЕРТ).

Предложенный ниже алгоритм Фулкерсона работает на основе предположения, что продолжительность каждой отдельной работы есть случайная величина с дискретным распределением. Задается совместное распределение длительностей работ, предшествующих данному событию, но предполагается независимость работ, у которых конечные события различны.

Обозначим через В{ совокупность работ, непосредственно предшествующих событию /, а символом

- случайный вектор длительностей этих работ. Пусть а),<тг2- номера событий, предшествующих событию /, причем а. < /' -1,2,...Д. . Иными словами, сетевая модель считает-

ся технологически упорядоченной.

Полагаем /, = О (исходное событие) и для /=2, 3, ..., п (п- номер завершающего события) вычисляем / по рекуррентной формуле

причем значение /; дает искомую нижнюю оценку для (л[.

Фулкерсон доказал, что для любой сетевой модели имеет место неравенство gi < для

всех 1 < /' < п.

Следует особо отметить, что в случае коррелированных работ с различными конечными событиями соотношение gi < //. остается в силе, однако неравенство / < //. может уже не иметь места.

Метод, разработанный Д. Фулкерсоном для случая дискретных распределений, был в дальнейшем обобщен Клингеном для случая непрерывных исходных функций распределения с получением соответствующего вычислительного алгоритма. Вместо формулы (19) Клинген предлагает использовать формулы:

2. Аналитические методы Фулкерсона-Клингена

коэффициент доверия р, близкий к единице, то полученная с помощью формулы (17) оценка К^<}¥ С^,

(19)

^ = G ci = jp<!

max cJl +^,..., cak^tki dBi, i>l

(20)

где интеграл по Стилтьесу выполняется для случая дискретных или непрерывных распределений. Приняв, что для случайного вектора его составляющие ^ << А; < £г статистически не-

зависимы, преобразуем распределение ___ в произведение простых распределений:

к=1

В результате введения формулы (21) соотношение (20) приобретает следующий вид: ех = 0

С; = | ... |тах4і +-і!, ... , р<!^.. р<к; ^! ... ёф =

Iі ^

Іі Іі

І -^к;

= | ... |тах са ^+ ^ 1 ’ .. ’ Сак^ік; р^-. рСШ^С 1>!

(21)

tl tki

Li Ч

(22)

где С ^ определяется исходя из уравнения

Pi

Р1\<т

(23)

Расчет значений С по формулам (22) практически не представляется возможным ввиду необходимости выполнения многомерного интегрирования. Соотношения (22) можно свести к следующему весьма простому и удобному с точки зрения вычислений виду.

Исходя из (23), имеем для 1 <к<к1

<т

(24)

Вводим символ max ^ +t),..,,с ali + t\l j- и получаем с учетом (24)

*

- с

(25)

к=1

Поскольку с. равно ^J.І - математическому ожиданию самого раннего срока свершения события /, то можно записать с учетом (22):

% Г к‘ У

М, =с,=Е 3= \zd Y{pk,\- с

a k=1

'-I

(26)

где лежит в интервале , пределы которого определяются ниже. Вычисляя интеграл Стил-

тьеса по частям, получаем:

B

к

с

к

а

к

а

а

л=с. =гПр". *-с4-' - Пр!

*=1 a' b. *=1

Что касается пределов at, bt, то последние определяются следующим образом: a = max I 1 + a 15 ..., с k. + a k. ,

' la1 a1 ’ ’ a*' a*' i

bt = max I 1 +b 1, ..., с *. +b ki ,

' . n. n ' n'

ii

ii

причем а і и Ь і << £ < £г ^ берутся так, чтобы соответственно І5 ^ ^ /?* Со* 0 и І5 ^ < Ъа, ^ ^ 0 .

В результате уравнение (27) приобретает следующий весьма простой вид:

С; =0,

Ч к' л > -

С^Ь1 _ ]ПРк '_Сак І2 <=2,3,..., П_

а к“!

В уравнении (29) распределения р^-с 4 можно определить как

(27)

(28)

(29)

P,

<

ai ^ И- 4_|

|ф*0 J

(ЗО)

Приведенный алгоритм легко реализуем вычислительными средствами, поскольку для дискретных значений ^ он сокращается до простых конечных сумм, а для непрерывных значений ^ требует лишь однократного интегрирования.

Существуют и другие аналитические методы оценки математического ожидания самых ранних сроков свершения событий.

В соответствии с одним из них самый ранний срок свершения завершающего события, обозначаемый г, трактуется как функция продолжительностей работ, обозначаемых х., ^ п. Введем понятие матрицы

ан путей сети, причем индекс ан = 1, если /-я работа лежит на ш пути между исходным и завершающим

У У

событиями (пути занумерованы), и д.. = 0 - в противном случае.

awxj

, а геометрически изобража-

Время выполнения проекта г - х2, ...,хп шах;

1-'-р Тл

ется многогранником в (п+1)-мерном пространстве, грани которого лежат в гиперплоскостях

:i = 2Xx/ <s ^p.

}=1

При т={ этот многогранник есть совокупность всех точек пространства, которым отвечает продол-

жительность I выполнения сетевого проекта. Математическое ожидание этой продолжительности определяется тогда следующим выражением:

z-c

z—c

c

k

a

a

a

k

k

Мг = г = | / х2-> ^<у Л>

где 1 - плотность распределения п-мерного случайного вектора X.

Кларком предложен аналитический метод оценок первых двух моментов распределения самых ранних сроков свершения событий для топологически упорядоченной сети в предположении, что продолжительность выполнения работ распределена по нормальному закону. Вычисление средних значений самых ранних сроков при этом осуществляется последовательной процедурой, на каждом шаге которой необходимо определить среднее значение максимума конечного числа случайных величин. Пусть {}<1 <п -случайная продолжительность входящих в сетевую модель работ, распределенная по закону Гаусса со средним гп1 и дисперсией а] , а - попарные коэффициенты корреляции. Тогда, исходя из соотношения

тах [пах^о,;^ ^'рс2 тах^,^,^ осуществляем рекуррентную процедуру оценки параметра распределения самых ранних сроков свершения событий. При этом предполагаем, что у = тах^, ,-*, также имеет нормальное распределение. Основой рекуррентного процесса является применение следующих двух расчетных формул для моментов первого и второго порядков !лх и /л2 случайных величин

у = тах , х/ :

/- Му - т{Ф4&_^+ т ,-Ф<- со+ кр4р

и2=цу=т?~ + ф^у т2- ф

+

т,

+ т

(31)

Щ~т, 2 2

где со =---------, к = а, + с, - 2с,с .т...

£ 3 1 3 г3

. 2 Г _?2

В формулах (31) Ф(х) - функция Лапласа, определяемая по формуле Фщ^= —г= \е р(х)

X

2

П0 . . - ^ ,

7Т о

определяется по формуле р4^У=—=е х'/2, а срц - смешанный момент второго порядка.

1 _„2 ,

42л

Для определения моментов распределения максимумов, когда число переменных больше двух, применяется следующая формула для коэффициентов корреляции:

» о-,■ Р1к Ф4?У<У р. Ф<-йГ

* > / / » ^ г И к ^ ^ ^ / У }к

Р = Р%к,У^ Р\к, тах%г, ” -

^2 — №[

■\/ /4

Можно поставить задачу определения такого оптимального набора сроков начала выполнения работ в сетевой модели, при котором вероятность выполнения любой работы xi к заданному директивному сроку

была бы не меньше заранее заданной величины р ] - значения гарантированного риска.

m

Поставленная задача сводится к отысканию значений м., минимизирующих функционал ^мг.аг. при

и,.

г-1

т I

- *'=1 J

т

ограничениях Р где ^ - функция распределения tj. После этого решается двой-

™ т ^

ственная задача отыскания / = пип ^ при ограничениях ^> ^_1 ^ , 1 <у < л.

и

1=0 /-0

Литература

1. Богданов В.В. Управление проектами в Microsoft Project 2002: учеб. курс. - СПб.: Питер, 2003.

2. Воробович Н.П. Модели, методы и информационно-вычислительные технологии многопроектного управления в иерархических средах САПР и АСУ: деп. в ВИИНИТИ 21.08.98. N 2631-В98. - М., 1998. -273 с.

3. Воробович Н.П. Анализ рисков в системе управления проектами Microsoft Project // Вестн. КрасГАУ. -

Красноярск: Изд-во КрасГАУ, 2007. - №5. - C. 38-44.

4. ГоленкоД.И. Статистические методы сетевого планирования и управления. - М.: Наука, 1968.

УДК 674.038.6 С.Х. Симонян

ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ СОРТНОСТИ ПИЛОМАТЕРИАЛОВ ЗА СЧЁТ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ДОРАБОТКИ

В статье определена вероятность функции распределения случайной величины отклонения обрабатываемых пиломатериалов от нормы соответствующей сортности или математического ожидания, или дисперсии случайной величины.

Ключевые слова: пиломатериал, деревообработка, сортность, допуск сучков, сушка пиломатериалов.

S.Kh. Simonyan

THE WAYS FOR SAW-TIMBER RATING INCREASE DUE TO ADDITIONAL WORK

The probability of distribution function of the random value of the saw-timber material being processed deviation from the norm corresponding to the grade of quality, mathematical expectation, or to the random value dispersion is determined in the article.

Key words: saw-timber, timber processing, grade of quality, permit of knots, saw-timber drying.

В нормативной документации на пиломатериалы имеются описания сортообразующих пороков, способы их изменения и учёта. Путём изменения какой-либо из размерности доски, т.е. отрезания части, можно повысить сортность пиломатериала.

Задача состоит в вычислении вероятности случайного события или функции распределения случайной величины отклонения обрабатываемых пиломатериалов от нормы соответствующей сортности или математического ожидания, или дисперсии случайной величины. При этом события считаются независимыми, а условия их проведения постоянными.

Изучение множества сходных объектов можно проводить как по качественному, так и по количественному признакам. Например, если обследуется партия пиломатериалов, то качественным признаком может быть сортность, а количественным - размер доски.

Основная и самая важная информация о случайной величине (повышения сортности) содержится в её законе распределения. Из закона распределения можно получить все важные практические сведения о ней (о повышении сортности), поэтому необходимо провести исследование поведения случайной величины и получить в результате закон распределения.

Рассмотрим элементарное событие: доска размером а х Ь х с перешла в более высокий сорт или не перешла. Так как минимальные размеры доски а х Ь х с, то доска этого размера не может перейти в более высокий сорт, то есть Р(а0 ■Ь0-с0 )=0.

Пусть градация по длине доски - ао*, ширине - Ьо*, высоте - со*, тогда число градаций: