Анализ рисков в системе управления проектами Microsoft Project Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 517 Н.П. Воробович

АНАЛИЗ РИСКОВ В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЕКТАМИ Microsoft Project

Сформулирован общий подход к управлению рисками в системах управления проектами. Обоснован закон распределения вероятностей временных оценок работ в сетевых моделях, принятых в системе Project 2000. Осуществлена оценка параметров закона распределения временных оценок работ сетевых моделей, принятых в системе Project 2000. Отмечены недостатки алгоритмов и программ по анализу и управлению рисками, реализованных в системах управления проектами Microsoft Project.

Введение

Создание достаточно детализированного плана проекта, оптимизированного по срокам и затратам, не избавляет менеджера проекта от любых проблем вплоть до наступления даты завершения проекта. От случайностей не застрахован никто, даже менеджер проекта. А случайности могут быть самые разные.

События, которые трудно предусмотреть заранее, но которые способны повлиять на ход реализации проекта, обычно называют рисками, поскольку при наступлении любого из них появляется опасность (риск) не завершить проект вовремя, не уложиться в бюджет, не выполнить условия контракта и т.д. Противопоставить всем этим напастям может продуманная стратегия управления рисками.

В ряде зарубежных системах управления проектами имеются средства по анализу и управлению рисками, однако в этих пакетах практически не используются математические методы анализа рисков, разработанные учеными бывшего СССР. Поэтому современные зарубежные программные комплексы, имеющие ряд несомненных достоинств, имеют в то же время существенный недостаток - слабый математический аппарат и, следовательно, недостаточно эффективные алгоритмы и программы по анализу и управлению рисками.

Основной задачей данной работы является изложение имеющихся методов анализа рисков и сопоставление этих методов с теми методами, которые реализованы в современных программных пакетах по управлению проектами (для определенности рассматривается система управления проектами Microsoft Project 2000).

1. Общий подход к управлению рисками

Как правило, в управлении рисками различают четыре этапа:

1. Идентификация рисков.

2. Количественная оценка рисков.

3. Планирование рисков.

4. Выявление кризисных ситуаций и устранение их последствий.

Чтобы адекватно анализировать риск, требуется детализированный план проекта, содержащий как описание структуры работ, так и параметры распределения ресурсов. Поэтому наиболее подходящее время, чтобы выполнить начальный анализ риска - это момент непосредственно перед сохранением базового плана и началом реализации проекта.

Идентификация рисков. Под ней понимают выявление тех типов событий, которые могут привести к отклонению фактических параметров проекта от плановых.

Известно и применяется на практике достаточно большое число разнообразных способов идентификации рисков.

При анализе расписания в первую очередь следует обратить внимание на работы критического пути, затем на работы, которые являются критическими, но не лежат на критическом пути, и в заключение - на некритические работы. С точки зрения идентификации рисков наиболее «подозрительными» являются:

- работы, которые для вашей организации являются новыми; длительность и оценки стоимости для этих работ, скорее всего, будут неточны;

- ресурсы, предназначенные для выполнения специфических работ;

- ресурсы, которые полностью распределены, перегружены, или могут в какой-то момент оказаться недоступными.

Определение вероятностей рисков. Если не применяются статистические методы, то распределение вероятностей может быть получено на основе экспертных оценок, а также на основе опыта реализации предыдущих проектов. Кроме того, при анализе рисков, связанных с временными параметрами проекта, мо-

гут использоваться инструментальные средства анализа расписания по методу ПЕРТ, входящих в состав Microsoft Project .

Назначение цены риска. Цена риска может измеряться в долларах, затратах времени, потерях качества, или как то, другое и третье одновременно. Один из возможных способов оценки потерь состоит в том, чтобы сохранить копию исходного плана, и затем вносить в план изменения, чтобы увидеть, как изменятся соответствующие параметры проекта, если произойдет событие, связанное с риском (то есть, выполнить анализ «что будет, если...»).

Распределение приоритетов. Распределение приоритетов между рисками производится на основе совместного учета «порога устойчивости» по соответствующему параметру проекта, потенциальной цены риска и вероятности его появления. Например, если цена риска превышает «порог устойчивости», и связанные с риском события весьма вероятны, ему необходимо назначить высокий приоритет. Введение приоритетов помогает определить, на чем следует сосредоточить усилия в первую очередь.

В MS Project не предусмотрено каких-либо специальных средств хранения информации о рисках. Однако для этой цели вполне могут быть использованы вкладки комментариев (Notes), имеющиеся в диалоговых окнах Task Information, Resource Information и Assignment Information.

Дополнительным преимуществом такого подхода является то, что для работ и ресурсов, имеющих комментарии, в столбце индикаторов отображается специальный значок. С одной стороны, он служит визуальным признаком того, что на данную работу (ресурс) требуется обратить внимание, а с другой - позволяет быстро получить дополнительную информацию в форме всплывающей подсказки.

Планирование рисков. Под планированием рисков понимается заблаговременное выявление угрозы возникновения, а также предупреждение, ограничение или смягчение отрицательных последствий рисков.

Поскольку планирование риска может потребовать достаточно много времени и сил, то планирование выполняется, как правило, только для наиболее приоритетных рисков. Планирование предполагает выполнение двух действий:

- выявление признаков угрозы возникновения каждого риска;

- определение перечня мероприятий по предупреждению или смягчению последствий рисков.

Существует три основных способа борьбы с рисками:

- проведение упреждающих мероприятий, направленных на снижение вероятности появления риска; например, если выполнение некоторой работы зависит от единственного специалиста в данной области, необходимо предусмотреть возможность обучения другого специалиста того же профиля;

- смягчение последствий воздействия риска; например, если выполнение некоторого этапа проекта зависит от внешнего поставщика, контракт с ним мог бы предусматривать введение штрафа за доставку с опозданием;

- использование альтернативного плана, который вступает в силу при появлении угрозы риска; например, если появляется опасность задержки выполнения работы, альтернативный план может предусматривать назначение дополнительных ресурсов на эту работу.

2. Закон распределения вероятностей временных оценок работ в сетевых моделях, принятых в системе Project 2000

Так же, как и во многих системах зарубежных СПУ в системе Project 2000 считается, что продолжительность работ сетевой модели является случайной величиной. Предполагается, что случайная величина продолжительности работ подчинена принятому для данной системы СПУ закону распределения, причем тип распределения принимается одинаковым для всех работ. Что касается параметров распределения, то последние задаются для каждой работы их ответственными исполнителями на основе либо нормативных данных, либо априорных соображений, либо своего производственного опыта. В системе Project 2000 задаются три параметра: нижняя грань а области определения (оптимистическое время), верхняя грань b (пессимистическое время) и мода распределения m (наиболее вероятное время). В других системах СПУ (например, в некоторых отечественных) задаются всего два параметра - оценки a и b. Практически во всех системах СПУ априорно принимается, что плотность распределения временных оценок продолжительности работ обладает тремя свойствами: а) непрерывностью, б) унимодальностью, в) двумя неотрицательными точками пересечения этой плотности с осью абсцисс. Простейшим распределением с подобными свойствами является ^-распределение, которое обычно постулируется на практике.

Общий вид ^-распределения характеризуется наличием ряда случайных факторов, число которых невелико, а влияние существенно. Именно такого рода обстоятельство имеет место при реализации подавляющего большинства входящих в сетевой проект работ. Отсюда вытекает возможность выбора в

распределения в качестве типового.

Формула плотности /распределения имеет следующий вид:

—Т1—г хр-1 (1 - %У~1 при 0 < X < 1, ...

В(р, ч) (1)

0 при х < 0, х > 1,

в( p, q, х ) = где B(p,q) - в-функция, причем

i

хр_1(1 - хf_1 dx = ' у''' v, (2)

в( р, ч )= Г хр 1 (1 - х )Ч 1 йх = Г (р )Г (ч)

0 г( р+ч)

а у- функция Гопределяется по формуле

Г (г ) = Г е ~1гг -Чг,

0

причем для целых z функция Г(г) = 1х2х ... х (г - 1) = (г -1)! Начальный момент г-го порядка опреде ляется формулой

в( р + г, ч)

1 i

-----г f Xr+p-1 (1 - х)q-1 dx

p,q) 0

(3)

в(р, ч) 0 в(р, ч)

При г=1 получаем математическое ожидание

= в( р +1 Ч) = Г (р +1)Г (Ч)Г (р + Ч) = р (4)

в( р. Ч) Г (р + Ч + 1)г (р )г (Ч) р + Ч

Для дисперсии (г=2) имеем

Dx =

В(p + 2, q) - ( p } = p(p +1)___________=_____________________pq_

(5)

B(p, q) ^p + qj (p + q)(p + q +1) (p + q)2 (p + q)2 (p + q +1)

Вид функции (1) зависит от показателей p и q, причем для p>2 (и соответственно для q>2) функция распределения обращается в 0 в левой (или правой) конечной точке вместе с ее первой производной. Для

1 <p<2 (и соответственно 1 <q<2) кривая имеет вертикальную касательную в левой (правой) конечной точке. Для 1<p<2 (и соответственно 1<q<2) функция уходит в бесконечность, если значение x соответствует левой (правой) конечной точке, причем вертикальная прямая, проведенная из левой правой точки, будет ее асимптотой. Для p<0 (и соответственно q<0) интеграл равен бесконечности, так что функция распределения перестает существовать.

3. Оценка параметров закона распределения временных оценок работ сетевых моделей, принятых в системе Project 2000

Информацией, которая служит основой для построения теоретико-вероятностного аппарата системы Project 2000, является вероятностная сетевая модель процесса создания нового комплекса, а также оценки некоторых параметров распределения продолжительности работ t(i, j) в сетевой модели.

Опишем вероятностную модель системы Project 2000. Основой исследования и построения теоретико-вероятностного аппарата в системе Project 2000 являются следующие допущения:

1. Продолжительность произвольной работы t(i, j) - есть случайная величина, распределенная по закону /распределения на отрезке [a,b] с плотностью

<p(t) = C(t - a)p-1 (b -1)q-1. (6)

2. Параметры закона распределения <p(t) - математическое ожидание M(i, j) и дисперсия a2 (i, j) -определяются по формулам

, ч atj + 4mij + b

M(i, j) = ^fj, (7)

6

a1 (f,j)Jja^ , (8)

36

где ац, Ъц и шц - соответственно оптимистическая, пессимистическая и наиболее вероятная (мода)

оценки, задаваемые отечественными исполнителями работы (i, j).

Ряд других допущений относится к методике расчета параметров сети в целом. Как будет показано ниже, формулы (7)-(8) носят полуэмпирический характер.

Рассмотрим функцию плотности ф(0 при значениях p-1=a, q-1=Y, a=0, b=1. При этом

(p(t ) = Cta (1 -1 )Y, (9)

где

C = Г (a + Y + 2)

Г (а+ 1)Г (y+ 1).

Параметры M, m , а2 в этом случае примут значения

а +1

M =------------, (10)

а+ y+ 2 а

а+у'

ш =, (11)

а =—(а+1)(y+1}—, (12)

(а + у + 2)2 (a + Y+ 3)

/ / ш - а

причем мода ш связана с оценками продолжительности работы a, b и m соотношением ш =------.

Ъ - a

Значение m (и, соответственно, ш ) задается ответственными исполнителями и является фиксированной величиной, а из уравнения (11) следует, что параметры а и y распределения связаны между собой соотношением

1 - ш

Y = a——. (13)

ш

1-ш

Поскольку для конкретной работы (i,j ) величина-— постоянна, то удобно записать следующую

ш

формулу:

(p(t )= Cta (1 -1 )а( ш_1), (14)

в которой свободный параметр а определяет семейство кривых этой плотности. При уменьшении а кривая плотности становится более пологой и стремится к равномерному закону распределения с дисперсией

2 1

а = — и М=0,5. При больших значениях а кривая плотности характеризуется уменьшением асимметрии и

стремится к форме кривой плотности нормального распределения.

При ш ^ 1 распределение (14) стремится к степенной функции Cta, при ш ^ 1 ф(Ц стремится к 5-функции Дирака. Резкие колебания ш ведут к существенным изменениям величины коэффициента асимметрии. Таким образом, кривая плотности (14) обладает свойством унимодальности, непрерывности и имеет две неотрицательные точки пересечения с абсциссой, то есть удовлетворяет постулированным свойством закона распределения продолжительности работ в сети.

Положим t=(x-a)/(b-a) и перейдем к ненормированному распределению

\а\а| -1 -1

/ (х ) = N (х - а )а(Ь - х Д т 1), (15)

где N = [(Ь - ау+7+1 в (а+1, у+1)] . Здесь у = м—/ -11. Мода т легко определяется из уравне-

Vт )

ния

а (Ь - т)= Y (т - а). (16)

Нетрудно установить, что для первого и второго моментов - математического ожидания М и дисперсии D (обозначаемых К1 и К 2) - существуют следующие соотношения:

(а+у + 2) K1 = (а + у + 2)ш + (а + Ъ)- 2ш,

(а + у+ 3) K2 = (а + Ъ) K1 - аЪ - K1.

Центральные моменты высшего порядка определяются по следующей формуле:

(а+ у+ 2 + n) K„+1 = n (а + Ъ) K„ - n K K„ + (n -1) K2 K„_, + ... + KK ].

(17)

Эта формула действительна при n = 2, 3, ....

Формулу для К1 можно написать в виде

^ 2 | а + Ъ }

K - ш =------------|--------ш I.

1 а+у+2^ 2 )

Отсюда получаем

м = Ja+r)ш+(а+ь). (18)

а+ Y+ 2

На основе детального статистического анализа, проведенного эмпирико-экспериментальным путем разработчиками математического аппарата системы Project 2000, было установлено, что а + y “ 4. Отсюда немедленно вытекает следующая модификация формулы (17):

6K1 = (а + Ъ)+ 4ш,

7K2 = (а + Ъ)К1 - аЪ - K12,

4K3 = (а + Ъ)К2 - 2K1K2,

2K4 = (а + Ъ)К3 - 2(k1 K3 + K22) и т. д.

Дисперсия D при а + y = 4 определяется исходя из формулы (19) следующим образом:

а + Ъ

(19)

D = (Ъ - а)2 4

28 63

2

ш

(20)

Если мода соответствует средней арифметической (а+Ь)/2, значение а = Ьа ; если мода лежит

л/28

возле а, дисперсия а2 = 5(Ь - а) / 252. Мы видим, что в зависимости от положения моды среднее квад-

ратическое отклонение колеблется в интервале

— (Ъ - а), — (Ъ - а) 7 5

Это и позволило разработчикам

системы Project 2000 вместо громоздкой, хотя и более точной формулы (19) принять приближенное равенство

ст « (b-a) / 6. (21)

Что касается математического ожидания М, то первая из формул (19) приводит к известному в литературе о системе ПЕРТ соотношению

M = (a+ b+ 4m) / 6. (22)

Теоретико-вероятностный аппарат системы ПЕРТ (а, следовательно, системы Project 2000) содержит ряд неустранимых противоречий. Их причина в основном кроется в невозможности точного вывода формул (21) и (22) на основе уравнения (15), поскольку три параметра из четырех в этом уравнении определены заданием отечественными исполнителями оценок a, b и m, а какие-либо дополнительные допущения немедленно влекут за собой противоречия в методике задания этих трех оценок.

Рассмотрим некоторые погрешности оценок для математического ожидания Mx и дисперсиии Dx, вызванные допущениями, принятыми в теоретико-вероятностном аппарате системы ПЕРТ. Эти погрешности можно разделить на три группы:

а) группа ошибок, вызванная допущениями /-распределения в качестве стандартного закона, которые мы назовем ошибками первого рода;

б) группа ошибок, вызванная применением формул (21) и (22) для оценки Mx и а2 при условии объективной достоверности плотности (6) в качестве закона распределения временных оценок, - ошибки второ-

го рода;

в) группа ошибок (третьего рода), вызванная неточностью экспертных оценок параметров a, b и m в

предположении, что плотность распределения (6) и формулы (21) и (22) объективно верны.

Опишем возможные ошибки в оценке математического ожидания Mx и среднего квадратического отклонения <Jx, вытекающих из допущения о принятии /-распределения в качестве единого стандартного закона (то есть ошибки первого рода), при условии задания трех параметров a, b и с . В целях упрощения

рассмотрим нормированный диапазон распределения a = 0, b = 1, 0 < m = (m - a)/(b - a)< 2.

Сравнивая различные виды законов распределения, обладающих аналогичными параметрами (квазиравномерный закон распределения со средним, близким к 0,5, и квазидельта-закон распределения со средним, совпадающим с модой m), получим следующие предельные абсолютные погрешности:

а) для нормированного математического ожидания Mx погрешность Л1 равна Л1 = 1 (l - 2m );

б) для значения нормированного среднего квадратического отклонения Jx максимальная ошибка достигает Л2 = 1/6. Значение Л1 как функции нормированной моды m при приближении последней к границам диапазона может достигать 33%, величина же Л 2 не зависит от моды.

Исследуем максимальные значения абсолютных ошибок оценок математического ожидания Mx и среднего квадратического отклонения Jx для класса /-распределения, обусловленные допущением

Jx =1 (b - a) и аппроксимацией Mx=(a+b+4m)/6, то есть ошибки второго рода. Используя формулы оцен-6

ки моды (11), среднего значения Mx (10) и среднего квадратического отклонения Jx (12), сравнивая их с соответствующими оценками, применяемыми в системе Project 2000, получим следующие значения Л1 и Л 2 (при a=0, b=1);

4m' +1 m (a +1)

А, =

А2 =

6

1

a + 2m

max А, = 33%,

m

,2 (a+1) (a-am + m)

max А = 17%.

(23)

(а + 2т )2 (а+3т )

Наконец, исследуем погрешности третьего рода Ах и А 2 в предположении, что формулы (22) и (21) для расчета значений Мх и ах, а также закон /-распределения объективно верны, однако экспертные оценки для значений а, Ь и т могут содержать ошибку. Примем, что величины а, Ь и т являются истинными значениями нижнего предела, моды и верхнего предела /-распределения, а задаваемые экспертами прибли-оценки этих величин г , гт и г, лежат в пределах

женные

0,8a й ta й 1,1a; 0,9m й tm й l,lm; 0,9b й tb й 1,2b. Для этого случая при дополнительном условии b + a

a й m й

А, =■

2

наихудшая абсолютная оценка

1 (0,8a + 3,6m + 0,9b) - (a + 4m + b) (l,1 + 4,4 + 1,2b)- (a + 4m + b)

b - a 6 6

Аналогичная оценка А2 для C x составляет

1

b-a

max

0,9b - 1,1a -(b - a)

6

(l,2b - 0,8a) - (b - a)

6

1 ( a + 4m + 2b 60 І b - a

1 b + a

30 b - a

(24)

(25)

и поэтому значение моды m не влияет на оценку А2.

Противоречия в разработанном авторами системы ПЕРТ методе расчета параметров распределения временных оценок привели к критике этого метода со стороны ряда ученых, занимающихся разработкой и внедрением систем СПУ. Авторы системы Project 2000 эту критику не учли и использовали методику ПЕРТ без всяких доработок, хотя в ряде работ содержатся рекомендации по модификации этого метода.

Выводы

1. Сформулирован общий подход к управлению рисками.

2. Обоснован закон распределения вероятностей временных оценок работ в сетевых моделях, принятых в системе Project 2000.

3. Осуществлена оценка параметров закона распределения временных оценок работ сетевых моделей, принятых в системе Project 2000.

Литература

1. Богданов, В.В. Управление проектами Microsoft Project 2002: учеб. курс I В.В. Богданов. - СПб.: КОРОНА-принт, 2003.

2. Голенко, Д.И. Статистические методы сетевого планирования и управления I Д.И. Голенко. - М.: Наука, 1968.

3. Гультяев, А.К. Управление проектами Microsoft Project 2000 I А.К. Гультяев. - СПб.: КОРОНА-принт, 2002.

♦