CC BY
127
Система уравнений является линейной и замкнутой по числу неизвестных х и X, поэтому ее решение находится по формуле Крамера
Xi = di / d , (11)
где d - определитель основной матрицы системы уравнений (10); di - определитель матрицы, получающейся из определителя основной матрицы путем замены i-го столбца столбцом из свободных членов.
Таким образом, решением задачи становится пересечение гиперплоскостей, представленных системой уравнений (10).
Задачи на максимум выстраиваются как двойственная минимуму
Н - Ф ^ min , (12)
где Н - постоянная, и условием д2Ф/дх2 < 0.
Следует отметить, что решение задачи данным методом квадратичного программирования возможно при минимальном числе условий ограничения (к = 1), что в принципе невозможно при линейном программировании.
Таким образом, множество задач линейного программирования можно решать представленым методом квадратичного программирования.
Литература
1. Гасс С. Линейное программирование: методы и приложения. - М.: Наука, 1961. - 303 с.
УДК 630.3 Н.П. Воробович
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ВРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ И ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЕЙ РАБОТ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ
В работе выполнен обзор и анализ различных методов расчета временных параметров сетевых моделей и графиков. Выполнен сравнительный анализ различных методов расчета продолжительностей работ сетевых моделей: нормативных расчетных методов, методов экспертных оценок, методов оценки по аналогам, методов моделирования Монте-Карло. Исследованы методы расчета, применяющие нормальный закон распределения вероятностей и бета-распределение.
Ключевые слова: метод, сетевая модель, продолжительность, работа, оценка, вычисление, закон распределения, алгоритм.
N.P. Vorobovich CALCULATION TECHNIQUES OF THE NETWORK MODELS TIME PARAMETERS AND DURATION OF THE NETWORK MODELS WORK
The review and analysis of various calculation techniques of the network models time parameters and graphs is conducted in the article. The comparative analysis of various calculation techniques of the network models work duration such as standard calculation techniques, subjective test techniques, estimation on the analogues techniques, Monte-Carlo modeling techniques is conducted. The calculation techniques using the normal law of probabilities and beta-distribution are researched.
Key words: technique, network model, duration, work, estimation, calculation, distribution law, algorithm.
Введение
Самое широкое распространение в управлении проектами получили традиционные сетевые модели, основой которых является теория графов. Одним из важнейших приложений теории графов является сетевое планирование и управление сложными комплексами взаимосвязанных работ. Для этой цели разработаны специальные методы, основанные на использовании сетевых графиков, являющихся графической моде-
лью комплекса работ или производственного процесса. С математической точки зрения сетевой график - это связный орограф без контуров. Дуги сетевого графика интерпретируются как работы, вершины - как события. Перед построением сетевого графика составляется список всех работ, входящих в комплекс. При этом необходимо четко представлять результат (событие) каждой работы, знать продолжительность выполнения работы, а также предшествующие ей и последующие за ней работы. Обычно считают, что каждый график имеет одно исходное I и одно завершающее S событие.
Методы расчета временных параметров
При анализе сетевых графиков прежде всего вычисляют его временные параметры. К основным временным параметрам относятся продолжительность критического пути (критический срок), резервы времени событий и резервы времени работ.
Критический путь - это наиболее протяженный по времени полный путь; его продолжительность и определяет критический срок ^ . Критических путей на сетевом графике может быть несколько.
Ранний срок t свершения события j - это самый ранний момент, к которому завершаются все работы, предшествующие этому событию: вычисляется по формуле t 4 шах С, 1С J гДе ~ мно'
жество работ, заканчивающихся м событием; tр ^ - ранний срок свершения начального события работы (у); t(ij) - продолжительность работы (у). Предполагается, что t О, t t .
Поздний срок tn ^ свершения события j - такой предельный момент, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для выполнения всех работ, следующих за этим событием. Вычисляется по формуле tn ^= min ^ ^ 1 ^ j ^ где Ui - множество работ, заканчивающихся
Cjßui "
i-м событием; tn ^ ранний срок свершения начального события работы (у); t(ij) - продолжительность
работы (у). Для завершающего события S предполагается, что tn tр С Jr1 tKp.
Резерв времени R(i) события i показывает, на какой предельно допустимый срок может задержаться свершение события / без нарушения срока наступления завершающего события и вычисляется по формуле
л<КС-',С
Ранний срок начала работы (у) находят по формуле t С J t
Ранний срок окончания работы (у) находят по формуле t J t g«j:
Поздний срок начала работы (/' J) находят по формуле tn H ^ С У ^
Поздний срок окончания работы (/,_/) находят по формуле tn o С j ^ tn $
Ранний срок свершения события j находят по формуле / р ^ max tnH С./ .,
<*J Su+j "
Поздний срок свершения события / находят по формуле t„ min tn И С J .
tjßUi '
Полный резерв времени R^ С j ^работы (i,j) - это максимальный запас времени, на которое можно
задержать начало работы или увеличить ее продолжительность при условии, что весь комплекс работ будет завершен в критический срок. Вычисляется по формуле
К С/ > tn tytp <> / С./ > tn <./3
Свободный резерв времени Rc С j^работы (i,j) - это максимальный запас времени, на которое можно отсрочить или (если она началась в свой ранний срок) увеличить ее продолжительность при условии,
что не нарушатся ранние сроки начала всех последующих работ. Вычисляется по формуле
К <./У*р <1У*р С-'Х/у гр <1У 1ро С]'.
Критические работы, как и критические события, резервов не имеют.
Коэффициент напряженности работы определяет формула
Кн = 1 +-------
КР -КрЬ^
где полный резерв времени; tкp - общая продолжительность критического пути; I про-
должительность критических работ, совпадающих с максимальным путем, в состав которого входит работа, для которой определяется .
Знание коэффициента напряженности позволяет математически определять ответственность каждого менеджера проекта за выполнение той или иной работы проекта по всем иерархическим уровням управления.
Методы расчета продолжительностей работ сетевых моделей
Задача "Оценка продолжительности работ проекта” формулируется следующим образом. Заданы перечень и объемные характеристики работ проекта; ресурсы, необходимые для выполнения работ проекта; производительность этих ресурсов. Требуется определить продолжительность выполнения каждой работы проекта.
При определении продолжительности работ проекта необходимо получить оценки продолжительности работ проекта. Эти оценки бывают двух видов: детерминированные оценки продолжительности работ, вычисленные по расчетным формулам на основе достоверных исходных данных и нормативной базы; вероятностные оценки времени, которые необходимы для выполнения каждой работы проекта, и диапазоны возможных отклонений от этих величин. В мировой практике используются следующие методы и средства оценки продолжительности работ: нормативные расчетные методы, вероятностные методы, экспертные оценки, оценки по аналогам, методы моделирования Монте-Карло.
Нормативные расчетные методы. При наличии необходимой исходной информации (объемы работ, требуемые ресурсы, производительности ресурсов и др.) производительность работ Т определяется по известным формулам:
= Ур11ир1, где УрГ трудоемкость выполнения /-Й работы р-м видом ресурса; 17^ - интенсивность потребленияр-го ресурса на /-Й работе (С/ . = пхк),ще п-число исполнителей; /(-число смен;
=1¥1/<2р1хпхк,ще - объем /-Й работы в физических единицах; (¡2^- выработка одного ис-
полнителя в одну смену в тех же единицах.
Экспертные оценки. Как показывает опыт, на практике не всегда имеется необходимая информация для определения продолжительности работ проекта. В этих случаях привлекают экспертов, оценки которых базируются на знании, опыте и используемой архивной информации. Чем выше уровень подготовки экспертов, тем надежнее оценка продолжительности.
Поскольку для построения сетевой матрицы нужно определить время выполнения каждой операции, то возникает необходимость научно обоснованного формирования оценок времени в условиях заданных ограничений по ресурсам. Рекомендуется определять продолжительность выполнения работ на основе вероятностного метода. Для этого необходимо правильно выбрать соответствующий закон распределения вероятностей, которому подчинена продолжительность выполнения операций.
Установлено, что наилучшее распределение продолжительности работ согласуется с законом нормального распределения случайных величин. Но поскольку определение кривой распределения и других параметров - процесс довольно трудоемкий, то в практике моделирования используются следующие упрощенные формулы: ¡нв = („, +^р +1пс ^оп +2?ис^5, где /яв- наиболее вероятная про-
должительность выполнения данной операции; /ои - "оптимистическая” продолжительность выполнения данной операции; /ис - "пессимистическое время" выполнения данной операции; I - реальная продолжительность данной операции.
Определение продолжительности выполнения работ осуществляется, как правило, методом экспертных оценок.
Для распределения, характеризующегося формулой tHB = +4tp +tnc'Jf>, а2 = 0,028h-a~^. Для
распределения, характеризующегося формулой tHB = $ton + 2tnc^5, <т2 =(Ш^-яЗ’гДе a = L? b = he-
После определения параметров кривой распределения необходимо установить степень вероятности реализации проекта в условиях заданных ограничений. Для этого необходимо определить аргумент функции
распределения вероятностей Z = ^ -tKp 7^/У, оу„~ > гДе hup ~ заранее определенная продолжительность реализации проекта; t - продолжительность реализации проекта по критическому пути сетевой матрицы; _ сУмма дисперсий случайных величин по работам, составляющим критический путь.
На основе значения Z определяем величину значения нормальной функции распределения вероятностей, т.е. степень вероятности реализации проекта в заданных условиях. При значении Z в пределах от 0,6 до 1,0 считаем, что проект будет безусловно реализован. Если же значение Z менее 0,6, то возникает необходимость увеличения ресурсов с целью уменьшения дисперсии и соответственно увеличения величины Z. И, наоборот, если величина Z будет более 1, это означает, что в решение заложены излишние ресурсы, которые целесообразно изъять. Следует отметить, что директивное время можно определить по формуле
К,р =Ьр+л1Т,а1 xZ’ где 2=1
Итак, наибольшее распространение получили следующие вероятностные методы определения продолжительности работ.
При нормальном законе распределения ожидаемая продолжительность работы рассчитывается по формуле Тож — С^п+4Тяв +7шах^6, где Tmm- минимально возможная продолжительность работы;
Ттх - максимально допустимая продолжительность работы; Гнв - наиболее вероятная продолжительность работы. Этот метод используется в системе PERT.
При бета-распределении используется формула Тож - +27шах ^5.
Оценки по аналогам. Оценки по аналогам используют продолжительность аналогичных работ ранее выполненных проектов как основу для определения продолжительности работ разрабатываемого проекта. Аналоговая оценка является одной из форм экспертной оценки.
Моделирование. Метод моделирования Монте-Карло позволяет с помощью генерации случайных чисел определить с учетом различных допущений вероятностную продолжительность работ проекта.
Литература
1. Богданов В.В. Управление проектами в Microsoft Project 2002: учеб. курс. - СПб.: Питер, 2003.
2. Воробович Н.П. Модели, методы и информационно-вычислительные технологии многопроектного управления в иерархических средах САПР и АСУ: Деп. в ВИИНИТИ 21.08.98, № 2631-В98 / Сиб. гос. технол. ун-т. - М., 1998. - 273 с.
3. Воропаев В.И. Модели и методы календарного планирования в автоматизированных системах управления строительством. - М.: Стройиздат, 1975.
4. Гусаков А.А., Ильин Н.И. Методы совершенствования организационно-технологической подготовки производства. - М.: Стройиздат, 1985.
5. ГоленкоД.И. Статистические методы сетевого планирования и управления. - М.: Наука, 1968.
