CC BY
61
УДК 517.28 Н.П. Воробович
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ВРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ СЕТЕВОЙ МОДЕЛИ
В статье представлены формулы и алгоритмы расчета вероятностных характеристик для анализа сетевых графиков со случайными оценками работ. При этом считается, что длина пути сетевого графика распределена по нормальному закону.
Ключевые слова: аналитические методы, сетевая модель, закон распределения, вероятностная характеристика, временной параметр, оценка, алгоритм.
Ы.Р. Vorobovich
ANALYTICAL TECHNIQUES FOR CALCULATION OF THE NETWORK MODEL TIME PARAMETERS
Formulas and algorithms for the probabilistic characteristics calculation to analyze the network graphs with casual work estimations are given in the article. Thus it is considered that the network graph way length is distributed under the normal law.
Key words: analytical techniques, network model, distribution law, probabilistic characteristics, time parameter, estimation, algorithm.
Для анализа сетевых графиков со случайными оценками работ в системе ПЕРТ используются следующие вероятностные характеристики:
1. Ожидаемое время свершения события (в том числе завершающего).
2. Дисперсия времени свершения события (в том числе завершающего).
3. Дисперсия времени окончания работы.
4. Среднее квадратическое отклонение времени окончания работы.
5. Вероятность свершения событий сетевой модели в установленные сроки.
6. Вероятность отсутствия резерва времени для момента окончания заданной работы.
Расчет этих характеристик основан на следующих основных допущениях.
Если частный путь в сети /.состоит из п работ ^ у -1,2,...,и со случайными продолжительно-
стями их выполнения, то длина пути ЦЦ считается распределенной по нормальному закону со средним Ш(Ц и дисперсией ОЦЦ), где
(1)
|'=1
/)/е>2><.-1л: (2)
>-=1
Распределение самого раннего срока I (= {свершения события } сетевой модели, в которое входит к работ = 1,2,...,£ со случайными временами /уих окончания, приравнивается распреде-
лению длины такого пути Ц, соединяющего исходное событие и событие [ у которого среднее значение длины, определенное по формуле (1), будет максимальным. Иными словами, делается допущение:
тах^,/23= (р 1 где шах ШР ■ (3)
* 1 <у<к
Ожидаемое время М ())=М (/) свершения /-го события определяется как сумма математических ожиданий времени выполнения работ, лежащих на максимальном пути Ц между исходным (С) и /-м событиями:
П
ме>£м<,_1л: (4)
У=\
если Ь - ао —> —> /2 —» ... —» /„ = / и Мг С^ Мг С'^ где V также соединяет исходное иу-е
события. Величина определяется по формуле М = (а+Ь+4т)/6.
Дисперсия времени свершения /-го события определяется как сумма дисперсий работ, лежащих на максимальном пути Ц между исходным и /-м событиями:
П
£С=»02>С,л1, (5)
У=1
где величина I)?^_1з /к определяется по формуле ст « (Ь-а) / 6.
Дисперсия самого раннего срока окончания работы ( /, ] ) оценивается по формуле
в*Р.о (6)
а стандартное отношение о- ^ 0 по формуле
л/7 )/ (7)
Алгоритм расчета среднего значения наиболее позднего срока М?й { свершения события / и его дисперсии { отличается от только что изложенного тем, что формулы (4)-(5) осуществляют переход от более ранних событий к более поздним, а алгоритм расчета значений М?й { и наоборот, от более поздних к
более ранним. Формула расчета значений М?й { имеет следующий вид:
м,„С=мг„<Ум,€: (8)
где / - завершающее событие, М?й { , а /. есть максимальный путь (по средним значениям), соединяющий события / и /. Что касается величины , то последняя оценивается по формуле
Ы„С=ОТ„ ОЯ/< 7", (9)
где работа (ц) лежит на пути /_, определенном формулой (8), причем 1)?й ^ в (9) полагаем равной
нулю.
Одним из основных показателей, который используется при вероятностном анализе сетевой модели, является оценка вероятности рл свершения /-го события в запланированный срок ?йл { . Эта оценка сводится к определению вероятности попадания случайной величины ОД в интервал tnл ^
1шс
р 10^,0 \рЛ11х,
(10)
где ^ - плотность распределения случайной величины ОД. Как уже указывалось выше, в качестве функции (рл ^ используется нормальное распределение вероятностей с параметрами 1УОД и 0(1), определяемыми по формулам (4)-(5):
<Рг О'
1
сг
-ехр
Х~М<^\
20 с
(11)
Подставляя (11) в формулу (10), получаем
г-1 1
. 4
Ф о
<уу^2я
Вводя переменную t=(x-M(i ))/о(/)
? хг 4
2 Г 1п/2
!пл С
| ехр
204,
и используя
|ехр (^р!2
получим
+ 1
ёх
функцию Лапласа
(12)
В ряде случаев интегральную функцию распределения Р , ^целесообразно аппроксими-
ровать полиномом пятой степени:
Р^У! пл
0,5 + 0,357х- 0,033х3 +0,00132х5 при -3,0< х< 3,0
0
1
при
при
х< -3 х> +3
(13)
где X = ■
сг<
Получение достоверной оценки времени выполнения сетевого проекта в целом выполняется в системе ПЕРТ по методике, суть которой заключается в следующем.
Каждой работе (Ц ) сетевой модели приписывается детерминированная временная оценка М t (Ц), определенная по формуле М = (а+Ь+4т)/6. Находится последовательность работ, принадлежащих критическому пути, после чего производится оценка параметров распределения длины критического пути К - его математического ожидания М/С и дисперсии ОК. _
Обозначая критический путь через ^,^2,...,^ _, получаем
/-г
мк = ^ш%4м1
/=1
/-1
/Ж = £>£,£+1
(14)
4=1
причем значения М^.,^.+1^и ^оцениваются по формулам а «(Ь-а)/6 и М=(а+Ь+4т)/6.
О
Пусть вероятность того, что действительная продолжительность выполнения всего проекта не превысит запланированную величину 1пл СКпл (/ - завершающее событие) равна р, то есть
Соотношение (19) используется авторами системы ПЕРТ для нахождения оптимальных сроков планирования времени критического пути.
Вероятность отсутствия резерва времени для момента окончания работы (у) обычно оценивается по формуле
неравенства А/ С tn С ^ г С ^ 0.
Принятые в системе ПЕРТ допущения в отношении вероятностной сетевой модели и связанной с ней методики расчета параметров сети в целом вызвали резкую критику со стороны ряда ученых.
В частности, критикуется то обстоятельство, что, определяя на основе формулы (19) величину Кпл,
авторы методики фиксируют ее значение в качестве р процентной доверительной оценки для времени выполнения всего проекта в целом. Однако последнее совершенно необоснованно.
Время выполнения работ, лежащих на любом из путей, соединяющих исходную и завершающую вершины сети, не подчиняется нормальному закону распределения и, таким образом, употребляемые авторами системы ПЕРТ формулы (14) и (15) не являются достоверными.
Оценки самых ранних сроков, полученные с помощью формул (4) и (14), всегда получаются "оптимистическими”, то есть заниженными, причем наличие параллельных путей увеличивает ошибку, а наличие пересекающихся ее уменьшает. Что касается самых поздних сроков, оцениваемых по формуле (8), то может иметь место как занижение, так и завышение действительного результата.
Ряд расчетов моделирования экспериментальных сетевых проектов сравнительно небольшого объема показывает, что определенное по формуле (19) значение Кпл в качестве оценки ожидаемого времени
для всего проекта в целом на 15-25 % меньше истиной оценки (полученной с помощью метода статистического моделирования).
(16)
Плотность распределения длины критического пути имеет вид
(17)
Для величины К можно написать уравнение
(18)
Кш=МК+а«У1ф1.
(19)
(20)
где ст (/) определяется по формуле (5), причем Рх ^ одновременно есть вероятность выполнения
Литература
1. Богданов В.В. Управление проектами в Microsoft Project 2002: учеб. курс. - СПб.: Питер, 2003.
2. Воробович Н.П. Модели, методы и информационно-вычислительные технологии многопроектного управления в иерархических средах САПР и АСУ: деп. в ВИИНИТИ 21.08.98. - № 2631-В98 / Сиб. гос. технол. ун-т. - М., 1998.
3. Воробович Н.П. Анализ рисков в системе управления проектами Microsoft Project // Вестн. КрасГАУ. -
2007. - Вып. 5. - C. 38-44.
4. ГоленкоД.И. Статистические методы сетевого планирования и управления. - М.: Наука, 1968.
УДК 630*377 А.Н. Бестужев, В.Д. Валяжонков, Ю.А. Добрынин
ВЛИЯНИЕ ФАКТОРОВ ПРИРОДНО-ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ УСЛОВИЙ НА НАПРАВЛЕНИЕ ПОВАЛА ДЕРЕВЬЕВ
В статье рассматривается влияние основных природно-производственных факторов на направление повала деревьев в пасеке при проходных рубках ухода. С помощью предложенных авторами математических моделей можно определить рациональную технологию выборки древесины с пасеки, а также технические средства для ее обеспечения.
Ключевые слова: природно-производственные условия, угол направления валки деревьев, рациональная технология выборки древесины.
A.N. Bestuzhev, V.D. Valyazhonkov, Yu.A. Dobrynin INFLUENCE OF THE NATURAL AND PRODUCTION CONDITION FACTORS ON TREES FELLING DIRECTION
Influence of the basic natural and production factors on trees felling direction in an apiary at the through-pass attendance cuttings is considered in the article. By means of the mathematical models offered by the authors it is possible to define rational technology for wood selection from an apiary, and also the technical means for its realization.
Key words: natural and production conditions, shaky trees felling direction corner, rational technology for wood selection.
При выборке деревьев с пасеки во время выполнения проходных рубок ухода (ПРУ) важную роль играет угол направления их повала относительно оси технологического коридора ан.е. С углублением валки в пасеку значения данного показателя увеличиваются, что отрицательно сказывается на технологических свойствах подтаскивания хлыстов, на ранимости деревьев, оставляемых на доращивание, на сохранности благополучного подроста, живого напочвенного и почвенного покровов, а в целом на уровне техникоэкономических и экологических показателей технических средств [1-3].
Учитывая важность изложенного, было проведено изучение влияния на угол ан.е таких основных факторов, отражающих природно-производственные условия (ППУ), как глубина расположения дерева от кромки технологического коридора Ьг.д, объема запаса древесины на пасеках Узап и выбираемого объема древесины Уеыб.. Исследования проводились в условиях средней тайги Северо-Запада. На основании анализа материалов лесоустройства были выбраны четыре делянки с наиболее типичными условиями для подзоны тайги, в которой расположен Великоустюгский лесхоз Вологодской области. Их характеристики приведены в таблице. Основной объем работ по выявлению влияния на угол ан.е. факторов Ьг.д и Уеьб выполнен на делянке 3, являющейся наиболее характерной.
Постановка опытов осуществлена в соответствии со схемой рис. 1. Половина пасеки для отражения влияния глубины расположения деревьев была распределена на шесть лент шириной по три метра.
