CC BY
37
УДК 630.3
Н.П. Воробович
О РЕДКО ПРИМЕНЯЕМЫХ МЕТОДАХ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ СЕТЕВОГО ПРОЕКТА И АППРОКСИМАЦИИ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ВЫПОЛНЕНИЯ СЕТЕВОГО ПРОЕКТА
В работе выполнены обзор и анализ редко применяемых методов оценки параметров сетевого проекта и аппроксимации закона распределения времени выполнения сетевого проекта в целом. Эти методы лишены недостатков, присущих методике оценки математического ожидания времени выполнения сетевого проекта, а также других доверительных оценок, применяемых в системе ПЕРТ, которые, как правило, оказываются заниженными.
Ключевые слова: метод, сетевой проект, аппроксимация, закон распределения, вероятность, продолжительность, оценка, алгоритм, нормальное распределение.
N.P. Vorobovich ABOUT THE RARELY APPLIED TECHNIQUES FOR ESTIMATION OF THE NETWORK PROJECT PARAMETERS AND APPROXIMATION OF THE LAW OF TIME DISTRIBUTION IN THE NETWORK PROJECT FULFILMENT
The review and the analysis of the rarely applied techniques for estimation of the network project parameters and approximation of the law of time distribution in the network project fulfilment as a whole is conducted in the article. These techniques are deprived of the disadvantages peculiar for the technique for estimation of the mathematical expectation of the network project fulfilment time, and also other confidential estimations, applied in the PERT system which, as a rule, appears underestimated.
Key words: technique, network project, approximation, distribution law, probability, duration, estimation, algorithm, normal distribution.
В работах [1-6] показано, что методика оценки математического ожидания времени выполнения сетевого проекта, а также других доверительных оценок, применяемых в системе ПЕРТ, приводит к систематической погрешности, причем оценки, как правило, оказываются заниженными. Если зафиксировать коэффициент доверия р, близкий к единице, то полученная с помощью формулы Кт =МК+<7
оценка К*^<}¥р С,, где - Ж точное значение р-квантиля самого раннего срока свершения события /.
Иными словами, методика системы ПЕРТ приводит к занижению практически всех представительных оценок самых ранних сроков свершения, как завершающего события, так и событий внутри сети.
Описываемый ниже математический аппарат является попыткой уточнения оценки математического ожидания самых ранних сроков свершения событий, входящих в сетевую модель, с помощью аналитических методов.
Метод Фулкерсона-Клингена оценки параметров сетевого проекта
Д. Фулкерсоном предложен метод получения нижней оценки fj математического ожидания /л) самого раннего срока свершения события / и показано, что эта оценка имеет меньшую систематическую погрешность, нежели классическая оценка gj, то есть gj < /г < /у. (gj - оценка для , полученная по методике ПЕРТ).
Предложенный ниже алгоритм Фулкерсона работает на основе предположения, что продолжительность каждой отдельной работы есть случайная величина с дискретным распределением. Задается совме-
стное распределение длительностей работ, предшествующих данному событию, но предполагается независимость работ, у которых конечные события различны.
Обозначим через В1 совокупность работ, непосредственно предшествующих событию /, а символом
*в- = ^ ~ случайный вектор длительностей этих работ. Пусть ег*,а?- номера собы-
тий, предшествующих событию /, причем а\ < /' ^ = 1,2,...Д. Иными словами, сетевая модель считается технологически упорядоченной.
Полагаем /, = О (исходное событие) и для /=2, 3, ..., п (п- номер завершающего события) вычисляем / по рекуррентной формуле
(1)
причем значение fi дает искомую нижнюю оценку для p.i.
Фулкерсон доказал, что для любой сетевой модели имеет место неравенство gi < / < для всех 1 < /' < п.
Следует особо отметить, что в случае коррелированных работ с различными конечными событиями соотношение gi < //. остается в силе, однако неравенство / < //. может уже не иметь места.
Метод, разработанный Д. Фулкерсоном для случая дискретных распределений, был в дальнейшем обобщен Клингеном для случая непрерывных исходных функций распределения с получением соответствующего вычислительного алгоритма. Вместо формулы (1) Клинген предлагает использовать формулы
С = 0
Сг = \РІВ, ^аХ 4 + ^
(2)
где интеграл по Стилтьесу выполняется для случая дискретных или непрерывных распределений. Приняв, что для случайного вектора ^ его составляющие ^ 4<к< А:, статистически независимы,
преобразуем распределение ? в произведение простых распределений
Р
ОЙрС
к=1
(3)
В результате введения формулы (3) соотношение (2) приобретает следующий вид:
дЛ * >
С = 0
| ... |тах 6^ + і1, ... , +ікі р(^. pH? ^ ... ^ =
і1 ікі
і, і,
= I ... |тах ^ + і1, ... , сакі + $ ^. РІк‘Х\1РкгТ ^ іУ 1
і1 Л ' к=1
1І 1І
где р* определяется исходя из уравнения
р^=р4<т .
(4)
(5)
і
в
а
в
Расчет значений с. по формулам (4) практически не представляется возможным ввиду необходимости выполнения многомерного интегрирования. Соотношения (4) можно свести к следующему весьма простому и удобному с точки зрения вычислений виду.
Исходя из (5), имеем для 1 <k<kj
Вводим символ max ^ l + t)h +tk‘ j= zt и получаем с учетом (6)
(б)
- С
(7)
к=\
Поскольку равно - математическому ожиданию самого раннего срока свершения события /, то можно записать с учетом (4)
bi к ■
Mi =c,=E 1. 3= \zd Y[p4 ( - с
а k=1
(8)
где г. лежит в интервале |\1,Ъ1 , пределы которого определяются ниже. Вычисляя интеграл Стил-тьеса по частям, получаем
к‘ у
Мг = Сг =*Ш V
к= 1
К
е ki у >
J Ш y~cakdz
b, k=1
(9)
Что касается пределов a., bi, то последние определяются следующим образом:
a = max С 1 +a l5 c k. + a k.
1 la1 a1 ’ ’ a? ak1
L
bi = maxc 1+ b 1, ..., c ki +b ki ,
(10)
причем a t v\ b t i^<k <kt берутся так, чтобы соответственно
р 4 s а4 э РІ і* j=0
В результате уравнение (9) приобретает следующий весьма простой вид:
% ki У >
= Ьі- <= 2,3,..
а к=1
,n
(її)
к
а
а
c
к
а
и
c
В уравнении (11) распределения р^-с 1 можно определить как
<
а‘ а‘ Ш ■*“!
(12)
Приведенный алгоритм легко реализуем вычислительными средствами, поскольку для дискретных значений ^ он сокращается до простых конечных сумм, а для непрерывных значений ^ требует лишь однократного интегрирования.
Существуют и другие аналитические методы оценки математического ожидания самых ранних сроков свершения событий.
В соответствии с одним из них самый ранний срок свершения завершающего события, обозначаемый г, трактуется как функция продолжительностей работ, обозначаемых х . , 1< \ < п. Введем понятие матрицы
а., путей сети, причем индекс д.. = 1, если _/-я работа лежит на ш пути между исходным и завершающим
событиями (пути занумерованы), и = О в противном случае.
Время выполнения проекта г = г([1,х2,...,хп ]= шах
1<1<р
, а геометрически изображается
многогранником в (n+1)-мерном пространстве, грани которого лежат в гиперплоскостях
п
1г=Т;аг]Х1 ^ ^ Р^
^ 1
При z=t этот многогранник есть совокупность Я( всех точек пространства, которым отвечает продолжительность t выполнения сетевого проекта. Математическое ожидание этой продолжительности определяется тогда выражением
Мг = г= | ^ 1/^, х2, ...,хй
где 1 - плотность распределения п-мерного случайного вектора X.
Кларком предложен аналитический метод оценок первых двух моментов распределения самых ранних сроков свершения событий для топологически упорядоченной сети в предположении, что продолжительность выполнения работ распределена по нормальному закону. Вычисление средних значений самых ранних сроков при этом осуществляется последовательной процедурой, на каждом шаге которой необходимо определить среднее значение максимума конечного числа случайных величин. Пусть х. {) < / < п -случайная продолжительность входящих в сетевую модель работ, распределенная по закону Гаусса со средним mj и дисперсией а] , а - попарные коэффициенты корреляции. Тогда, исходя из соотношения
тах|1ах^:0,х1^)х:2 ~^=тах^0,х1,х2 осуществляем рекуррентную процедуру оценки параметра распределения самых ранних сроков свершения событий. При этом предполагаем, что у = шах^.,х] также имеет нормальное распределение. Основой рекуррентного процесса является применение следующих двух расчетных формул для моментов первого и второго порядков /лх и //2 случайных величин у = шах^., х :
/1Х =Му = т1Ф^р'Ут]Ф^гсо'Укр4р^
/*2 = 1Уу = ^ ~ су] > ^ ~ с,2 {V, + т] 'УрЪ
г-с
а
а
к
к
М1 ~т7 2 2
где СО =--------, к = СГ, + <7, - 2(7, <7,0,,.
£ з 1 з гз
В формулах (13) Ф(х) - функция Лапласа, определяемая по формуле
гу X . £ /• _ 2
Ф4ь=— \е~ (14)
■у] 71 *
р(х) определяется по формуле
М>-г^-*2/2, (15)
V 2ж
а фу - смешанный момент второго порядка.
Для определения моментов распределения максимумов, когда число переменных больше двух, применяется следующая формула для коэффициентов корреляции:
d > / / » А/, Ф<0+^, Р,к ФС
Р = Р%к,У^ Р %к,та&%,Х;^------------ 2 >---
V *^2 _ /^1 >
Можно поставить задачу определения такого оптимального набора сроков начала выполнения работ в сетевой модели, при котором вероятность выполнения любой работы х к заданному директивному сроку
была бы не меньше заранее заданной величины р. - значения гарантированного риска.
Поставленная задача сводится к отысканию значений м., минимизирующих функционал 's£_uiai при
!= 1
ограничениях P , где F - функция распределения tj. После этого решается двойст-
т т ^
венная задача отыскания / = min ^'uiai при ограничениях '^jiieij > F~l ^, 1 <\<п.
i-0 i-0
Метод Виленкина аппроксимации закона распределения времени выполнения сетевого проекта
В предыдущем разделе было показано, что методика оценки математического ожидания времени выполнения сетевого проекта, а также других доверительных оценок, применяемых в системе ПЕРТ, приводит к систематической погрешности, причем оценки, как правило, оказываются заниженными.
Изложенные в предыдущем параграфе аналитические методы расчета параметров сетевой модели со случайными оценками работ могут быть применены лишь для оценки средних значений самых ранних сроков свершения событий. Однако они не могут использоваться для получения какой-либо информации о законе распределения ранних сроков t в частности законе распределения самого раннего срока
свершения завершающего события сети (то есть времени выполнения сетевого проекта в целом). Опишем один аналитический метод решения этой задачи, предложенный С.Я. Виленкиным.
Рассмотрим сетевую модель, состоящую из n+1 события i (1< i < n), причем времена выполнения входящих в нее работ ( i, j ) считаются независимыми и распределенными каждое по одномерному закону с
математическим ожиданием ау и дисперсией а^ .
Рассмотрим последовательности rjk - ^Jjjk , где индекс /(указывает, что времена ttj лежат на к-й последовательности событий от 0 до п. Примем, что закон распределения времени выполнения сетевого проекта А при случайном выборе величин ttj будет совпадать с законом распределения величины rj^ .
Пусть X = , tit -1 ,пГ^ - случайный вектор выполнения работ в сетевой модели. Вве-
m
дение величин г]к = является линейным преобразованием с матрицей тхп, где т<п. Это преобразование определяет новую случайную величину г с т-мерным распределением, однозначно определенным данным распределением величины X. Моменты распределения величины г связаны с моментами распре-
деления величины X соотношением
Мік ~ У"! Сгг ^г.ч СЬ
r ,s=1
aj =
В силу независимости величин распределение величины г имеет первые моменты
п
^с!ГЯгась и нормированную матрицу коэффициентов корреляции
r ,s=1 Ґ
Pi 1 Pi 2
P 21 P22
\Pm\ Pn
P\m
Plm
P
где Рш =
и <72т - дисперсия времени выполнения работы,
тт /
принадлежащей как к-й, так и /-Й последовательности. Ранг матрицы моментов г<т. Отсюда делаем вывод, что величины г)1 могут быть с вероятностью, равной единице, представлены в виде линейных функций г
некоррелированных случайных величин
Нетрудно видеть, что если распределение каждой из этих величин будет близко к нормальному, то и вектор I будет иметь распределение, близкое к нормальному, а совместное распределение величины 77; также можно рассматривать как нормальное. Тогда функцию
ехр
Х] ~aj хк ~ак
/«1,
2 р
},к
Т*/2
(Tj <J2
4р
где р]к - алгебраическое дополнение элементов р]1с, а р - с^Цр^Ц можно принять за плотность совместного распределения величин . Характеристическая функция этого распределения равна
J,k
Вероятность того, что ни один из путей не будет иметь максимального времени более X
А А
Pi/1<x,Tj2<x,...,Jim<xy J... ^fi1,x2,...,xmyx1dx2 ... dx
— СО —СО
Функцию /^:1з х2, ...,хт разложим в многомерный ряд Грамма-ШарльетипаА
В одномерном случае / 4^Уса(р4ГУ — ср'^Гз- ... + — ср*1^'У ... ,
1! п\
где ф(х) - плотность нормального распределения; ^\Т^Нп ^ Нп^~ полином
Эрмита степени л; сп - ^ 1^ ^Нг 1 ХУ ХУх - суммы соответствующих моментов функции плотности. Для многомерного случая получаем формулу
дщ+тг+-лтП(р^х2,...,хп^
fi 1,х2,...,хп > c0(pi1,x2,...,xn > £
m m ... m
m і m і m і
m1,m2,...,m^/*1 • #/*2 * * * * n •
dx?1 dxm ...dx”n
2
к
x
2
в
В этом разложении
d”h+,lh+-■+,,Х1,х2,...,х„ dx”h дх”'2... дх
"Tfti + W2o + ..
Я„
m1 m2 ... ?п
гдЄ
, x^, ..., x„
полиномы Эрмита, порожденные функцией <р^1,х2,...,хп^;,
- плотность нормального распределения; величины
m m ... m
являются суммами моментов функции плотности / ^, х2,..., хп
Таким образом, вычисление вероятности Р^ < х^щ <х,...,г}т <х сводится к отысканию значений интегралов вероятности и функций плотности в одномерном пространстве (эти функции табулированы) и к вычислении значений полиномов Эрмита.
В частности, разложение /^,х2, х3 ^ в многомерный ряд Грамма-Шарлье типа А будет следующим:
/ , Хо , хз = (р4(л , Хо ,хз ^| + Рр^Х, + РиХ1Хъ + /7о3ХоХ3 + р^ріхХ^Х з ^ -\+ргр^іх1хі І(1 -1 +
2 2 2 +р„р^Лі-...:
Что касается оценки многомерной функции распределения, то окончательный результат получается следующим:
У °п
J f 4сх,хп...........хп dxj dxn ... dxn =
exp<
:П^
x — a,.
■X
m, m-y... m„
i=і
mllm2l...mnl ,=1
№
2a-
m;~ і
42jt
Пф
J=і
m ; =0
x — a.
V У
где Ф(у) - интеграл вероятности
^ x
Ф$У~= \e~rl2dt
•л/2 я
Литература
1. Богданов В.В. Управление проектами в Microsoft Project 2002: учеб. курс. - СПб.: Питер, 2003.
2. Воробович Н.П. Модели, методы и информационно-вычислительные технологии многопроектного управления в иерархических средах САПР и АСУ: Деп. в ВИИНИТИ 21.08.98, № 2631-В98 / Сиб. гос. технол. ун-т.
- М., 1998.
3. Воробович Н.П. Анализ рисков в системе управления проектами Microsoft Project // Вестн. КрасГАУ. -Красноярск, 2007. - Вып. 5. - C.38-44.
4. Воропаев В.И. Модели и методы календарного планирования в автоматизированных системах управления строительством. - М.: Стройиздат, 1975.
5. Гусаков А.А., Ильин Н.И. Методы совершенствования организационно-технологической подготовки производства. - М.: Стройиздат, 1985.
6. ГоленкоД.И. Статистические методы сетевого планирования и управления. - М.: Наука, 1968.
т
-оо
т> О
