О дискретно-разностных уравнениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

О ДИСКРЕТНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЯХ

© А.В. Васильев

Ключевые слова: разностное уравнение; дискретное уравнение; символ. Рассматривается общее линейное разностно-дискретное уравнение на вещественной прямой и на полуоси и описываются условия однозначной разрешимости простейшего класса таких уравнений в пространстве L2 . Исследование опирается на периодический аналог краевой задачи Римана.

1. Рассмотрим общее линейное разностное уравнение вида

+те

У^ ak(x)u(x + ßk)= v(x), x € D, (1)

—те

где D - это R или положительная полуось R+ для континуального случая и Z и дискретная положительная полуось Z+ для дискретного случая, [ßkС D - заданная числовая последовательность. Для континуального случая мы используем термин «разностное уравнение», а для дискретного - «дискретное уравнение».

Ситуации сильно различаются в зависимости от того, рассматриваем ли мы это уравнение на всей прямой или только на полуоси; здесь мы рассмотрим случай Z+ .

Такие уравнения возникают во многих прикладных задачах, например, в теории управления и цифровой обработки сигналов, и, следовательно, целесообразно исследование их разрешимости. В качестве исходного функционального пространства выбирается L2(D) , хотя можно рассматривать эти уравнения и в более общих пространствах Lp(D) . Ключевую роль в нашем исследовании будет играть специальный (лакунарный) ряд Фурье

+те

(T(x,Z) = ^2 ak(x)eißk«, (2)

—те

в предположении, что ряд (2) сходится почти всюду.

Определение 1. Функция a(x, £) называется символом уравнения (1) или символом дискретно-разностного оператора

+те

D : u(x) 1—ak(x)u(x + ßk), x € D.

—те

Замечание 1. Очевидно, что функция a(x,£) - периодическая функция по переменной £, поскольку [ßk }+те С Z+ .Ее период обозначим 2T, и, если [ßk }+те = Z+ , то T = п .

2. Первым шагом будет исследование следующего дискретного уравнения с постоянными коэффициентами

+те

J2aku(x + ßk)= v(x), x € Z+, Ш+те С Z+, (3)

—те

или, другими словами, нахождение условий обратимости для оператора

+те

£>х0 : и(х) -—► ^ ак(хо)и(х + вк), х € Z+, (4)

где точка х0 € Z+ фиксирована.

Для каждого оператора (4) определяется символ

+те

г(£о,0 = £ ак(хо)вгвк «,

—те

и вводится

Определение 2. Символ а(х, £) называется эллиптическим, если а(х, £) = 0, Ух € € Z+, i € [—Т, Т] .

Далее рассматривается более общее уравнение с разностно-дискретными операторами А, В с постоянными коэффициентами и двумя проекторами Р± на полуоси Z± . Более подробно, обозначим

+те +те

А : и(х) -—аки(х + вк), В : и(х) -—Ьки(х + вк),

— те —те

х € Z+, {вк }—те С Z+,

и рассмотрим уравнение

(АР+ + ВР—)и = V (5)

в пространстве . Символы операторов А, В будем обозначать а_д(£), (О .

Хорошо известно, что уравнение (3) эквивалентно уравнению (5) с В = 1,1 - тождественный оператор; в связи с этим изучается уравнение (5).

Вид операторов Р± в образах Фурье был найден в работах [1-3]. Здесь приводится основной результат для уравнения (5).

Теорема. Пусть &л(0,ав(О - эллиптические символы, непрерывные на [—Т,Т] . Уравнение (5) однозначно разрешимо в пространстве Ь2 для произвольной правой части V € Ь2^) тогда и только тогда, когда

т

I йaтg(<т—L1 (Оав(£)) =0. -т

ЛИТЕРАТУРА

1. Васильев А.В. Периодический аналог краевой задачи Римана // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. № 5. С. 2466-2468.

2. Vasilyev A. V., Vasilyev V.B. Discrete singular operators and equations in a half-space // Azerb. J. Math. 2013. V. 3. № 1. P. 84-93.

3. Vasilyev A. V., Vasilyev V.B. Discrete singular integrals in a half-space // In: Current Trends in Analysis and Its Applications. Proc. 9th ISAAC Congress, Krakow, Poland, 2013. Birkhauser, Basel, 2015. P. 663-670.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований и администрации Липецкой области, проект № 14-41-03595-р-центр-а.

Поступила в редакцию 28 мая 2015 г.

Vasilyev A.V. ON DISCRETE-DIFFERENCE EQUATIONS

One considers a general difference-discrete equation on a real line and a half-axis and describes conditions for a unique solvability for simplest class of such equations in the space L2 . This studying is based on a periodic analogue of the Riemann boundary value problem.

Key words: difference equation; discrete equation; symbol.

Васильев Александр Владимирович, Национальный исследовательский Белгородский государственный университет, г. Белгород, Российская Федерация, аспирант кафедры математического анализа, e-mail: alexvassel@gmail.com

Vasilyev Aleksandr Vladimirovich, National Research Belgorod State University, Belgorod, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Mathematical Analysis Department, e-mail: alexvassel@gmail.com

УДК 517.951

ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ

СО СЛОЖНОЙ ГРАНИЦЕЙ

© В.Б. Васильев

Ключевые слова: псевдодифференциальное уравнение; многомерная краевая задача Ри-мана; волновая факторизация; сложная граница.

Описывается конструкция общего решения модельного эллиптического псевдодифференциального уравнения в области многомерного пространства, представляющей собой объединение выпуклых конусов.

1. При исследовании псевдодифференциальных уравнений на многообразиях с краем важную роль играет локальный принцип, утверждающий, грубо говоря, что фредгольмо-вость уравнения вытекает из обратимости локальных представителей оператора, входящего в уравнение. Таким образом, для описания фредгольмовости уравнения нужно знание локальных представителей оператора, входящего в уравнение, в каждой точке многообразия (включая край) и условия обратимости этих локальных операторов. Такие локальные представители мы называем модельными, а области ш -мерного пространства, диффеоморфные окрестности точки многообразия - каноническими. В зависимости от типа точки многообразия каноническая область выглядит по-разному, возможные варианты: И,™ для внутренней точки, К™ для граничной точки гладкости, С+ = {х € И,™ : х = = (х',хт),хт >а|х'|,а> 0}, х' = (х1,хт—1), для конуса и т.д.

2. Нас будет интересовать разрешимость уравнения

(Аи)(х) = /(х), х € С+, (1)

в пространствах Соболева-Слободецкого НЯ(С+) , где С+ - ш -мерный конус, состоящий из объединения непересекающихся выпуклых конусов, С+ = ип=1С^ , где конус С^ имеет вид С+ после поворота на соответствующий угол а^ , А - модельный эллиптический псевдодифференциальный оператор с символом А(£) порядка а [1, 2]:

(Au)(x) = | J A(i)S(i)ei(x-yHdidy.

C+ Rm